1
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. KIẾN THỨC CĂN BẢN1. Tọa độ của véc tơ và tọa độ của điểm
Véc tơ u( ; ; )x y z u xi y jzk
Điểm M ( ; ; )x y z OM xi y jzk
Véc tơ 0(0;0;0)
Điểm A
xA;yA;zA
; B
xB;yB;zB
;C
xC;yC;zC
thì
B A; B A; B A
AB x x y y z z và AB AB
xBxA
2 yB yA
2 zBzA
2 Tọa độ trung điểm I của AB: ; ;
2 2 2
A B A B A B
I I I
x x y y z z
x y z
Tọa độ trọng tâm G của tâm giác ABC:
; ;
3 3 3
A B C A B C A B C
G G G
x x x y y y z z z
x y z
2. Các phép toán
Cho u
x y z; ;
;v
x y z'; ;' '
thì u v
xx y'; y z'; z'
; ku
kx ky kz; ;
;' ' '
x x
u v y y
z z
u cùng phương với
'
' ' ' '
' ' '
'
. . 0
x kx
x y z
v u kv y ky x y z
x y z
z kz
3. Tích vô hướng và tích có hướng của hai véc tơ
Trong không gian Oxyz cho u
x y z; ;
;v
x y z'; ;' '
3.1.Tích vô hướng của hai véc tơ
Định nghĩa: Tích vô hướng của hai véc tơ là một số: u v. u v. .cos
u v, Biểu thức tọa độ: u v. x x. 'y y. 'z z. '; u v u v. 0 x x. 'y y. 'z z. '0
Độ dài véc tơ: u x2y2z2
Góc giữa hai véc tơ: cos
, . 2 2. ' 2. ' '2 . ''2 '2. .
u v x x y y z z u v
u v x y z x y z
3.2.Tích có hướng của hai véc tơ
Định nghĩa: Tích có hướng của hai véc tơ là một véc tơ và được tính như sau , y' z' ;z' x' ; x' y'
' ' ; ' ' ; ' '
u v yz y z zx z x xy x y
y z z x x y
Tính chất:
o u v, u;u v, v
o u cùng phương với vu v, 0 o u v, u v. .sin
u v, ( )2
Ứng dụng của tích có hướng:
o u v, , w đồng phẳng u v, .w 0 ( ) (ba véc tơ có giá song song hoặc nằm trên một mặt phẳng).
o u v, , w không đồng phẳng u v, .w0 ( ) .
o Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng AB AC AD, . 0 ( ) (bốn điểm nằm trên một mặt phẳng).
o Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng AB AC, .AD0 ( ) (bốn đỉnh của một tứ diện).
o Diện tích hình bình hành: SABCD AB AD, ( ) o Diện tích tam giác: 1 , ( )
ABC 2
S AB AC ; SABC AB AC2. 2
AB AC.
2o Thể tích khối hộp: ' ' ' '
'
. , .AA ( )
ABCD A B C D
V AB AD o Thể tích tứ diện: 1 , .AD ( )
ABCD 6
V AB AC
4. Phương trình mặt cầu
Dạng 1:
xa
2 y b
2 z c
2 R2 (1) , mặt cầu tâm I(a; b; c) và bán kính R.Dạng 2: x2y2z22Ax2By2Cz D 0 (2) , với điều kiện A2 B2C2 D 0là phương trình mặt cầu có tâm I(A; B; C) và bán kính R A2B2C2D. 5. Phương trình mặt phẳng
Véc tơ n0 vuông góc với mặt phẳng
được gọi là VTPT của mặt phẳng
. Véc tơ u0 có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng
được gọi là VTCP của mặt phẳng
. Nếu u v, là hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng
thì u v, n là một VTPT của mặt phẳng
. Nếu ba điểm A, B, C không thẳng hàng thì AB AC, n là một VTPT của mặt phẳng (ABC).
Mặt phẳng
đi qua điểm Mo( ;x y z0 0; 0)và có VTPT n
A B C; ;
có phương trình A x( x0)B y( y0)C z( z0)0 (). Phương trình dạng AxBy Cz D 0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng với VTPT n
A B C; ;
.6. Phương trình đường thẳng
Véc tơ u0 có giá song song hoặc trùng với đường thẳng được gọi là VTCP của đường thẳng .
Đường thẳng đi qua điểm Mo( ;x y z0 0; 0) và có VTCP u
a b c; ;
, khi đó+ Phương trình tham số là:
0 0 0
; ( ) x x at
y y bt t R z z ct
, t gọi là tham số.
3
+ Phương trình chính tắc là: x x0 y y0 z z0 ( 0)
a b c abc
.
Nếu hai mặt phẳng
:AxBy Cz D 0và
:A x' B y C z' ' D' 0 giao nhau thì hệ phương trình: ' ' ' ' 00 Ax By Cz D A x B y C z D
được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng
trong không gian.
7. Khoảng cách
7.1. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Cho điểm M x y z0( ;0 0; 0) và mp
:AxBy Cz D 0 thì:
0;
Ax0 2By0 2Cz02 D d MA B C
7.2. Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song
Cho đường thẳng
: AxBy Cz D 0, M x y z0( ;0 0; 0) là một điểm thuộc
,
0;
Ax0 2By0 2Cz0 2 Dd d M
A B C
7.3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Cho hai mặt phẳng song song
:AxBy Cz D 0 và
:A x' B y C z' ' D' 0, khi đó
,
0;
A x' 0 B y'2' 0 '2C z' 0'2 D'd d M
A B C
trong đó M x y z0( ;0 0; 0) là một điểm
7.4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Khoảng cách từ điểm M x
M;yM;zM
đến đường thẳng0
0 0 0 0 0
0
: ; ( ; ; ) , ( ; ; )
x x at
y y bt M x y z VTCP u a b c z z ct
; được tính bởi CT:
,
u M M, 0d M
u
7.5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Nếu đường thẳng đi qua điểm M x y z0( ;0 0; 0)và có VTCP u( ; ; )a b c Đường thẳng ' đi qua điểm M x0'( '0;y'0;z'0) và có VTCP u'( ; ; )a b c' ' ' thì
'
' 0 0''
, . ,
, u u M M d
u u
Lưu ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm nằm trênđường thẳng này đến đường thẳng còn lại, nghĩa là
4
' '
0 0
' '
0 '
,
, ,
u M M
d d M
u
, M0 .
8. Vị trí tương đối
8.1. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
Cho
:AxBy Cz D 0 và
:A x' B y C z' ' D' 0 khi đó+
'' ' ' ' 'n k n A B C D
A B C D
D kD
+
'' ' ' ' 'n k n A B C D
A B C D
D kD
+
và
cắt nhau n k n'
A B C: :
A B C': ': '
+
và
vuông góc vớ nhau n n. ' 0 AA'BB'CC' 0 8.2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳngCho hai đường thẳng
0
0 0 0 0 0
0
: ; ( ; ; ) , ( ; ; )
x x at
y y bt M x y z VTCP u a b c z z ct
' ' '
0
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
0 0 0 0 0
' ' '
0
: ; ( ; ; ) , ( ; ; )
x x a t
y y b t M x y z VTCP u a b c z z c t
Xét hệ phương trình
' ' '
0 0
' ' '
0 0
' ' '
0 0
( ) x at x a t y bt y b t I z ct z c t
, khi đó
+
' '
' '
0 0
u ku
M M
, hay hệ phương trình (I) có vô số nghiệm.
+
' '
' '
0 0
u ku
M M
, hay uku'và hệ (I) vô nghiệm.
+ và ' cắt nhau u ku'và hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất
hay u u , '.M M0 0' 0
.+ và ' chéo nhau u ku'và hệ phương trình (I) vô nghiệm
hay u u , '.M M0 0' 0
8.3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng Cho đường thẳng
0
0 0 0 0 0
0
: ; ( ; ; ) , ( ; ; )
x x at
y y bt M x y z VTCP u a b c z z ct
và mặt phẳng
:AxBy Cz D 0 có VTPT n
A B C; ;
.Xét phương trình A x
0at
B y
0bt
C z
0ct
D 0 ( ) ẩn là t, khi đó5
+
phương trình (*) vô nghiệm
u n. 0,M0
+
phương trình (*) có vô số nghiệm
u n. 0,M0
+ và
cắt nhau tại một điểm phương trình (*) có nghiệm duy nhất
u n. 0
Lưu ý:
u kn8.4. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu
Cho mặt phẳng
:AxBy Cz D 0 và mặt cầu ( ) :S
xa
2 y b
2 z c
2 R2(S) có tâm I a b c
; ;
, án kính Rb . Gọi d d I
;
A a. 2B b C c. 2 . 2DA B C
. + Nếu d R
và (S) không giao nhau.+ Nếu d R
và (S) tiếp xúc nhau tại một điểm H. (
gọi là tiếp diện của mặt cầu (S)).+ Nếu d R
và (S) cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn (C) có bán kính2 2
r R d và có tâm H là hình chiếu vuông góc của I trên
.Lưu ý: Để tìm tọa độ tâm H của đường tròn (C) ta làm như sau
- Lập phương trình đường thẳng đi qua I và vuông góc với
.- Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ gồm phương trình của và phương trình
.8.5. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu Cho đường thẳng thẳng
0 0 0
:
x x at y y bt z z ct
và mặt cầu (S):
xa
2 y b
2 z c
2 R2Gọi d d I
,
u M I, 0u
, trong đó M x y z0( ;0 0; 0),u( ; ; )a b c là VTCP của + Nếu d R và (S) không có điểm chung
+ Nếu d R tiếp xúc với (S) ( là tiếp tuyến của mặt cầu (S))
+ Nếu d R cắt (S) tai hai điểm A, B ( gọi là cát tuyến của mặt cầu (S)) 8.6. Vị trí tương đối giữa một điểm và mặt cầu
Cho điểm M x y z( ;0 0; 0) và mặt cầu (S):
xa
2 y b
2 z c
2 R2,tâm
; ;
, án kính RI a b c b thì MI
ax0
2 by0
2 c z0
2+ Nếu MI R thì điểm M nằm ngoài mặt cầu (S) + Nếu MI R thì điểm M nằm trên mặt cầu (S) + Nếu MI R thì điểm M nằm trong mặt cầu (S) 9. Góc
9.1. Góc giữa hai đường thẳng
Nếu đường thẳng có VTCP u( ; ; )a b c và đường thẳng ' có VTCP u( ; ; )a b c' ' ' thì
'
'' 2 2 ' 2 ' '2 ' '2 '2
0
'
0
.
cos , ; 0 , 90
. .
u u aa bb cc
a b c a b c
u u
9.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
6
Đường thẳng có VTCP u( ; ; )a b c và mặt phẳng
có VTPT n( ; ; )A B C thìsin
,
cos
, . 2 2 2 2 2 2 ; 0
0
,
900
. .
u n Aa Bb Cc
u n
u n A B C a b c
9.3. Góc giữa hai mặt phẳng
Nếu mặt phẳng
có VTPT n( ; ; )A B C và mặt phẳng
có VTPT n'
A B C'; '; '
thì
' '' 2 2 ' 2 ' '2 ''2 '2
0
0
.
cos , cos , ; 0 , 90
. .
n n AA BB CC
n n
A B C A B C
n n
II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Vấn đề 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ CỦAVÉCTƠ, TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM
Bài 1: Trong hệ tọa độ Oxy cho a(1; 2;1) , b ( 2;1;1), c3i 2jk . Tìm tọa độ các véctơ sau: a)u3a2b b)v c 3b c)w a b 2c d) 3 2
x a 2b c Bài 2: Trong hệ tọa độ Oxy cho a (1; 1;0), b ( 1;1; 2), c i 2jk , di
a) xác định k để véctơ u(2; 2k1;0) cùng phương với a b) xác định các số thực m, n, p để dma nb pc
c) Tính a b a, , 2b
Bài 3: Cho A
2; 5; 3 ,
B 3;7; 4 ,
C x y; ; 6
a) Tìm x, y để ba điểm A, B, C thẳng hàngb) Tìm giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng yOz. Tính độ dài đoạn AB c) Xác định tọa độ điểm M trên mp Oxy sao cho MAMB nhỏ nhất.
Bài 4: Trong hệ tọa độ Oxy cho (1; 2; )1
a 4 , b ( 2;1;1), c 3i 2j4k
a) Tính các tích vô hướng a b. , c b. . Trong ba véctơ trên có các cặp véctơ nào vuông góc
b) Tính cos(a,b),cos(a,i)
Bài 5: Trong hệ tọa độ Oxy cho: A
1; 1;1 ,
B 2; 3; 2 ,
C 4; 2; 2 ,
D 3;0;1 ,
E 1; 2;3
a) Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật. Tính diện tích của nó.b) Tính cos các góc của tam giác ABC
c) Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm A, B d) Tìm tọa độ điểm M thỏa MAMB2MC0
Bài 6: Trong hệ tọa độ Oxy cho: A
1; 1;1 ,
B 2; 3; 2 ,
C 4; 2; 2 .
a) Tìm tọa độ trung điểm của đoạn AB7 b) Tìm tọa độ trong tâm tam giác ABC
c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành d) Tìm tọa độ điểm E để B là trọng tâm của tam giác ACE
Vấn đề 2: TÍCH CÓ HƯỚNG HAI VÉCTƠ VÀ CÁC ỨNG DỤNG Bài 1: Trong không gian Oxyz, tính tích có hướng u v, biết rằng:
a)u (1; 2;1), v ( 2;1;1) b)u ( 1;3;1), v(0;1;1) c)u 4i j, v i 2jk Bài 2: Trong không gian Oxyz, tính tích u v, .w và kết luận sự đồng phẳng của các véc tơ, biết rằng:
a) u (1; 2;1), v(0;1;0), w(1; 2; 1) b) u ( 1; 1;1), v(0;0; 2), w (1; 2; 1) c) u 4i j, v i 2jk, w(5;1; 1)
Bài 3: Trong không gian Oxyz, Cho A
1; 1;1 ,
B 2; 3; 2 ,
C 4; 2; 2 ,
D 1; 2;3
a) Chứng tỏ rằng A, B, C không thẳng hàng.b) Chứng tỏ rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
c) Tính diện tích tam giác ABC.
d) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có:
2; 1;1 ,
2; 3;2 ,
4; 2;2 ,
1;2; 1 ,
A B C D S
0;0;7
a) Tính diện tích tam giác SAB b) Tính diện tích tứ giác ABCD
c) Tính thể tích hình chóp S.ABCD. Từ đó suy ra khoảng cách từ S đến mp(ABCD)
d) Tính khoảng cách từ A đến mp(SCD)
Bài 5: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết rằng:
1;2; 1 ,
1;1;3 ,
1; 1;2 ’ 2; 2; 3
A B C và D
a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại b) Tính thể tích hình hộp
c) Tính thể tích tứ diện A.A’BC. Tính tỉ số . ' ' ' '
. ' ' ' ABCD A B C D
A A B C
V V d) Tính thể tích khối đa diện ABCDD’
Vấn đề 3: PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT CẦU Bài 1: Trong không gian Oxyz, tìm tâm và bán kính mặt cầu
a) (x2)2(y1)2 (z 2)2 9 b) 2 2 2 2 2 2 8 10 6 25 0
x y z x y z 2
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho A
1;3; 7 ,
B 5; 1;1
.8
a) Lập phương trình mặt cầu tâm A bán kính AB b) Lập phương trình mặt cầu đường kính AB
c) Lập phương trình mặt cầu tâm B tiếp xúc với mặt phẳng Oxy
Bài 4: Trong không gian Oxyz, hãy lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm: A
1; 2; 4 ,
1; 3;1 ,
2; 2;3
B C và có tâm nằm trên mp Oxy
Bài 5: Trong không gian Oxyz, cho A
2; 1;6 ,
B 3; 1; 4 ,
C 5; 1;0 ,
D 1; 2;1
a) Chứng tỏ rằng ABCD là một tứ diệnb) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
c) Viết phương trình mặt cầu cắt mp(ABC) theo thiết diện là một đường tròn có bán kính lớn nhất.
Bài 6: Chứng tỏ rằng phương trình: x2y2z24mx2my4zm24m0 luôn luôn là phương trình của một mặt cầu. Tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất.
Bài 7: Chứng tỏ rằng phương trình: x2y2z22 os .c x2sin . y4z 4 4sin2 0 luôn là phương trình của một mặt cầu. Tìm m để bán kính mặt cầu là lớn nhất.
Vấn đề 4: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho A(-1;2;3), B(2;-4;3), C(4;5;6)
a) Viết phương trình mp đi qua A và nhận vectơ n(1; 1;5) làm vectơ pháp tuyến b) Viết phương trình mp đi qua A biết rằng hai véctơ có giá song song hoặt nằm trong mp đó là a(1; 2; 1), b(2; 1;3)
c) Viết phương trình mp qua C và vuông góc với đường thẳng AB d) Viết phương trình mp trung trực của đoạn AC
e) Viết phương trình mp (ABC)
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho A(-1;2;1), B(1;-4;3), C(-4;-1;-2) a) Viết phương trình mp đi qua I(2;1;1) và song song với mp (ABC)
b) Viết phương trình mp qua A và song song với mp
P : 2x y 3z 2 0c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng
Q : 2x y 2z 2 0d) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng
R : 3x y 3z 1 0e) Viết phương trình mp qua C song song với mp Oyz.
Bài 3: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mp đi qua M(2;1;4) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho: OA = OB = OC.
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho A
1;1;1 ,
B 1; 2;1 ,
C 1;1; 2 ,
D 2; 2;1
a) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D
b) Tìm hình chiếu của tâm mặt cầu ở câu a) lên các mp
Oxy
, Oyz
9
Bài 4: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mp đi qua M(2;2;2) cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.
Bài 5: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mp đi qua M(1;1;1) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lược tại các điểm A, B, C sao cho tam giác ABC cân tại A, đồng thời M là trọng tâm tam giác ABC.
Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD, biết rằng: A
2; 1;6 ,
B 3; 1; 4 ,
5; 1;0 ,
1; 2;1 .
C D
a) Viết phương trình mp chứa A và song song với mp (ABC) b) Viết phương trình mp cách đều bốn đỉnh của tứ diện đó.
Bài 7: Trong không gian Oxyz, cho mp(P): 2x y 2z 2 0 và hai điểm A
2; 1;6 ,
3; 1; 4 .
B
a) Tính khoảng cách từ A đến mp (P)
b) Viết phương trình mp chứa hai điểm A,B và tạo với mp (P ) một góc có số đo lớn nhất.
c) Viết phương trình mặt cầu tâm B tiếp xúc với mp (P) Bài 8: Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng:
: 2x y 2z 1 0;
:x2y z 1 0;
: 2 x y 2z 3 0a) Trong ba mặt phẳng đó mp nào song song với mp nào?
b) Tìm quỹ tích các điểm cách đều
và
c) Tính khoảng cách giữa hai mp
và
d) Tìm quỹ tích các điểm cách
một khoảng bằng 1e) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc trục Ox và tiếp xúc với 2 mp
và
Bài 9: Trong kh.gian Oxyz, cho 2 mặt phẳng
: 2x y 2z 1 0;
:x2y z 1 0a) Tính cosin góc giữa hai mp đó
b) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc Oy tiếp xúc với cả hai mp đó.
c) Viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mp đó và song song với trục Ox Bài 10: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
P : 2x y 2z 3 0 và mặt cầu (C ): (x1)2(y1)2 (z 2)2 25a) Chứng tỏ rằng mặt phẳng (P) và mặt cầu (C ) cắt nhau. Tìm bán kính của đường tròn giao tuyến
b) Lập phương trình các tiếp diện của mặt cầu song song với mặt phẳng (P)
Bài 11: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng
: 2x2y z 5 0 và mặt cầu (C)(x1)2(y1)2 (z 2)2 25a) Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu song song với Ox và vuông góc với mặt phẳng
b) Tính góc giưa mp
với Ox10
c) Lập phương trình mp đi qua hai A(1;0;1) điểm B(1;-2;2) và hợp với mặt phẳng
một góc 600Bài 13: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A
1;1; 2 ,
B 1; 2;1 ,
C 2;1;1 ,
D 1;1; 1
a) Viết phương trình mặt phẳng ABC.
b) Tính góc cosin giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD)
Bài 14: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(2;1;-1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng x y z 4 0 và x 3 y z 1 0
Bài 15: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mpx2z 4 0 và x y z 3 0 đồng thời song song với mặt phẳng x y z 0 Bài 16: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mp đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng 3x y z 2 0 và x4y 5 0 đồng thời vuông góc với mp 2x y 7 0 Bài 17: Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2.
Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh BB’, C’D’và D’A’.
a) Chứng tỏ rằng mặt phẳng (IJK) vuông góc với mặt phẳng (CC’K) b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (JAC) và (IAC’)
c) Tính khoảng cách từ I đến mp(AJK)
Bài 18: Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật 2 ;
ABSA a ADa. Đặt hệ trục Oxyz sao cho các tia Ox, Oy, Oz lần lượt trùng với các tia AB, AD, AS.
a) Từ điểm C vẽ tia CE cùng hướng với tia AS. Tìm tọa độ của E.
b) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).
c) Chứng tỏ rằng mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC) d) Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SDC)
e) Tính thể tích hình chóp S.ABCD
Bài 19: Trong không gian Oxyz, cho tam giác đều ABC cạnh a; I là trung điểm của BC.
D là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I. Dựng đoạn SD = 6
a 2 vuông góc với mp (ABC). Chứng minh rằng:
a) mp SAB( )mp SAC( ) b) mp SBC( )mp SAD( )
c) Tính thể tích hình chóp S.ABC
Vấn đề 5: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Bài 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng:
a) Đi qua A(1; 2; -1) và có vectơ chỉ phương là a(1; 2;1) b) Đi qua hai điểm I(-1; 2; 1), J(1; -4; 3).
c) Đi qua A và song song với đường thẳng 1 2 1
2 1 3
x y z
11
d) Đi qua M(1; 2; 4) và vuông góc với mặt phẳng 3x y z 1 0
Bài 2: Trong không gian Oxyz, tìm phương trình chính tắc của đường thẳng:
a) Qua điểmA
3; 1; 2
và song song với đường thẳng1 2 3
x t
y t
z t
b) Qua A
3; 1; 2
và song song với hai mặt phẳng x2z 4 0; x y z 3 0 c) Qua điểm M(1;1;4) và vuông góc với hai đường thẳng:(d1):
1 2 3
x t
y t
z t
và (d2): 1 2 1
2 1 3
x y z
Bài 3: Cho tứ diện ABCD, biết rằng: A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1) a) Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng (BCD).
b) Viết phương trình đường thẳng qua điểm I(1;5;-2) và vuông góc với cả hai đường thẳng AB, CD.
Bài 4: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d): 1 2 1
2 1 3
x y z
lên các mặt phẳng tọa độ.
Bài 5: Trong không gian Oxyz, viết phương trình hình chiếu (vuông góc) của đường thẳng (d):
1 2 3
x t
y t
z t
lên mặt phẳng
P :x y z 3 0Bài 6: Trong không gian Oxyz, viết phương trình giao tuyến của hai mặt phẳng
: 2x y 2z 1 0,
:x2y z 1 0Vấn đề 6: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC MẶT PHẲNG. GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
Bài 7: Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:
a) (d) 1 7 3
2 1 4
x y z và (d’) 6 1 2
3 2 1
x y z
b) (d) 1 2
2 2 1
x y z
và (d’) 8 4
2 3 1
x y z
c) (d) 2 1
4 6 8
x y z