Chuyên đề tính thể tích khối đa diện

(1)

CHỦ ĐỀ 1

ÔN TẬP HÌNH HỌC PHẲNG VÀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

VẤN ĐỀ 1

ÔN TẬP HÌNH HỌC PHẲNG

1/ C t ƣ tr t vu

Cho DA BC n i à ư n ca à ư n n n Ta c

2/ C t ƣ tr t ất a)

b)

c)

A

B C R

sin sin sin 2

a b c

A = B = C = R

à n nh ư n n n i i ABC)

c b a

A

B C

b c

a



1 1 1

. . .

2 2 2

A BC a b c

S

_D

= a h = b h = c h



1 1 1

sin sin sin

2 2 2

S

_DA BC

= ab C = bc A = ac B



, .

A BC

4

A BC

S abc S p r

D

= R

D

=

( )( )( ) ,

A BC

2

a b c S

_D

= p p - a p - b p - c æ ç ç çè p = + + ö ÷ ÷ ÷ ø

p – n a ch i

r

– n nh ư n n n i i R – ư n n i n i i

A

B C

b c

a

2 2 2

2 cos cos

2

2 cos cos

2

2 cos cos

2

b c a

a b c bc A A

bc

a c b

b a c ac B B

ac

a b c

c a b ab C C

ab

+ -

* = + - Þ =

+ -

* = + - Þ =

+ -

* = + - Þ =

A

B C

H M

 ^BC² ⁼ ^{A B}² ⁺ ^{A C}²

(

^Pitago

)

 AH BC. = AB AC.

 A B² = B H B C A C. , ² = CH CB.

 1₂ 1₂ 1₂ ²

, A H HB HC.

A H = A B + A C =

 2 A M = BC

(2)

d)

. .

.

3/ Đ T t

4/ D t

D t t vu

i n ch a i c n n ch c nh c vuông.

D t t u

+ i n ch a i c . 3 S_D = 4

+ hi ca a i c . 3 h_D = 2

D t vu v t + i n ch h nh n n c nh nh hư n + Đư n ch h nh n n c nh nh n

2

. + i n ch h nh ch nh n ài nh n n

D t t i n ch h nh han S nh Than 1

= 2 n chi ca

D t t ƣ vu + i n ch i c c hai ư n ch n c nha n ch hai ư n ch

+ nh h i c hai ư n ch n c nha i n i c a i ư n

ƣu T n nh n i n ch a c h chia a i c hành nh n h nh n i n nh i n ch sa c n c c i n ch ược chia nà a ược i n ch a i c

2 2

/ /

A MN A BC

A M A N MN

MN B C k

A B A C B C

S A M

S A B k

D D

* Þ = = =

æ ö÷

ç ÷

* = çççè ÷÷ø =

(

A

B C

N M

A C

B

1 .

A BC 2

S_D A B A C

Þ =

A

B

C h

a

2

3

4 3 2

A BC

S a h a

íïï

D

= Þ ì ïïï

ïï = ïï ïî

A B

C D

a

_O

2

2 S

HV

a

A C BD a

í =

Þ ì ïïï ï ïïî = =

A

B H C

D

( ) .

2

A D BC A H

S +

Þ =

A

B

D

C _.

1

2 .

H T hoi

S A C BD

Þ =

c nh

²

c nh

A

B C

N K

M

2 2 2

2

2 4

A B A C BC

A M +

* = -

2 2 2

2

2 4

BA BC A C

BN +

* = -

2 2 2

2

2 4

CA CB A B

CK +

* = -

(3)

VẤN ĐỀ 2

ÔN TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11

1 C ư t ẳ g d // mp a( )

a. Phương pháp 1: h n inh

( )

//

'

' ( ) ( )

( ) d d

d d mp

d

a a

a íïï ïïï Ì Þ ìï ïï Ë

ïïî

b. Phương pháp 2: h n inh

( ) // //

( ) ( )

( )

d b d mp

b a a íï Ì ïï Þ ìï ïïî

c. Phương pháp 3: h n inh d à ( )a c n n c i ư n h n h c c n n c i h n

2 C ^mp^{( )}^a ^//^mp

( )

^b

a. Phương pháp 1: h n inh

mp a ( )

ch a hai ư n h n c nha s n s n i ^{m p b}

( )

^.

b. Phương pháp 2: h n inh mp a( ) à ^{m p b}

( )

c n s n s n i h n h c c n n c i ư n h n

3 C ư t ẳ s s :

a. Phương pháp 1: Hai ^{mp a}^{( ),}

( )

^b c i ch n à n ượ ch a ư n h n s n s n a b, h

( )

^{// //}

( )a Ç b = Sx a b.

b. Phương pháp 2: h n inh

( ) ( )

//

( ) ( )

a mp

a mp a b

b a

b

a b

íïï ïïï Ì Þ

ìï ïï Ç = ïïî

.

c. Phương pháp 3: ai h n c n s n s n i ư n h n h ia n c a ch n s n s n i ư n h n

d. Phương pháp 4: h n c hai h n s n s n h ia n s n s n e. Phương pháp 5: ai ư n h n c n n c i h n h s n s n i nha f. Phương pháp 6: n hư n h h nh h c h n Đư n n nh nh Ta

4 C ư t ẳ ^d ^{^} ^{mp a}

( )

a. Phương pháp 1: h n inh

( )

, d a d b a b

a b mp a íï ^ ïï

ï ^ ïï Þ

ì Ç ïï ïï Ì ïïî

( )

d ^ mp a

b. Phương pháp 2: h n inh

( )

// ' ' d d d mp a

íïïï Þ

ìï ^

ïïî

^d ^{^} ^{mp a}

( )

(4)

c. Phương pháp 3: h n inh

( ) ( ) // ( )

d mp

mp mp

b

b a

íï ^ ïï Þ

ìï ïïî

^d ^{^} ^{mp a}

( )

d. Phương pháp 4: ai h n c nha c n n c i h n h h ia n c a ch n

n c i h n h

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

P

P d P

d a

b

a b

íï ^

ïï ïï ^ Þ ^

ìï ïï Ç = ïïî

e. Phương pháp 5: hai h n n c ư n h n nà n n h n nà à n

c i ia n c a 2 m t ph ng c n n c i h n ia

( ) ( ) ( ) ( )

( ) a d ( )

d d a

a b

a b íï ^ ïï ïï Ç =

ï Þ ^

ì ï Ì ïï ï ^ ïïî

5 C ư t ẳ d ^ d'

a. Phương pháp 1: Đư ng th ng ^d ^{^}

( )

^a ^thì^d ^{^} tất c c c ư ng th ng n m trong ^{m p a}

( )

^.

b. Phương pháp 2: n nh a ư n n c c. Phương pháp 3: h n c i a d à d' n 90⁰. d. Phương pháp 4: n h nh h c h n

6 C ^mp

( )

^a ^{^} ^mp

( )

^b

a. Phương pháp 1: h n inh

( )

( ) d mp ( ) mp ( )

d

a a b

b íï É

ïï Þ ^

ìï ^ ïïî

ch n inh ch a ư n h n n c i ia

b. Phương pháp 2: h n c i a hai h n n 90⁰.

PHƯƠNG PHÁP

XÁC ĐỊNH GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH (P ầ ầ ắ ậ vữ

I. TÍNH GÓC

1. Tính góc giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau Phương pháp : h s n n c c c ch sa

a. Cách 1: (theo phương pháp hình học)

+ G c i a hai ư n h n song song ho c trùng nhau thì b ng 0 G c i a hai ư n h n ch nha ắ ầ v v

¶ ·

//

' ( , ) ( ', ') '

a a

a b a b

b b f

íïï Þ = =

ìï ïî

(chú ý: ữ ấ ọ k ấ

b. Cách 2 : (theo phương pháp véc tơ):

cos   a b , a b

a b

 



^.

2. Tính góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng

 

^P

Phương pháp xác định : + ^a^

   

^P ^ ^A

T ên ư n h n a ấ i ấ ỳ

T i à h nh chi c a ên

 

^P ^^MH ^

 

^P

 a

b '

a ' b

(5)

+

a P ;  

^

MAH

^



Chú ý: đường thẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng thì góc bằng 0 3. Xác định góc giữa hai mặt phẳng

 

^P ^và

 

^Q

Phương pháp :

T ia n c a h n

 

^P ^và

 

^Q

T ư n h n n n h n

 

^P ^và

 

^Q

ồn h i ư n h n nà c n n c i ia n ch n c a h n

 

^P ^và

 

^Q

G c c a h n

 

^P ^và

 

^Q à c c a ư n h n c n n c i ia n ch n c a h n

 

^P ^và

 

^Q

C ú : 2 ặt p ẳ s s ặ trù u t ằ 0 II. TÍNH KHOẢNG CÁCH

1. Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng

Phương pháp : Đ nh h n c ch ừ i n h n a h i i n n c ẽ ừ i n h n a ha n n hai c ch sa

Cách 1 :

+ T h n (Q) ch a M à n c i (P) . + Xác nh ^m^

   

^P ^ ^Q ^.

+ ựn ^MH^{ }^m

   

^P ^ ^Q ^,^^MH^

 

^P

Suy ra MH à n c n

Cách 2: ựn ^MH^{/ /}^AK^

 

^P

Chú ý :

+ N ^MA^{/ /}

 

^P ^^d^_^{M P}^,

 

^_ ^^d^_^{M P}^,

 

^_^.

+ N ^MA^

 

^P ^^I

 

, ,

d M P IM d M P IA

 

 

 

 

 

2. Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng:

+ Khi ^a^{/ /}

 

^P ^^d^_^{a P}^,

 

^_ ^^d^_^{A P}^,

 

^_ⁱ^A^

 

^P ^.

+ Khi ^a^

 

^P ặ ^a^

 

^P k ả 0

3. Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng : + Khi

   

^P ^{/ /} ^Q

d

__{   }_P _,_Q_

d

__M_,_{ }_Q_

   

 

i

A    P

^.

+ Khi

   

^{   }^P^, ^Q ⁰

P Q

d

_ _

 

 

  

 

4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng

(6)

Trang 6

S a. Khi

   

^{   }^, ^'

' 0

'

d

__{ } _

 

   

  

  

 .

b. Khi

   

^{/ /} ^'

d

__{   }_ _, __'_

d

__M_,_{ }__'_

d

__N_,_{ }__

     

   



i ^M^{ }

 

^,^N^{ }

 

^' ^.

c. Khi hai đường thẳng chéo nhau :

+ Đư n n c ch n c a hai ư n h n ch nha

 

^ ^và

 

^^' à ư n h n

 

^a ^c

 

^ ^ở^{M à c}

 

^^' ^ở^N

ồn h i n c i c

 

^ ^và

 

^^' ^.

+ Đ n MN ược i à n n c ch n c a hai ư n h n ch nha

 

^ ^và

 

^^' ^.

+ Kh n c ch i a hai ư n h n ch nha à ài n n c ch n c a hai ư n h n

Phương pháp :

+ Cách 1 : ựn h n (P) ch a ư n h n a à s n s n i b T nh h n c ch ừ b n mp(P) .

+ Cách 2 : ựn hai h n s n s n à n ượ ch a hai ư n h n Kh n c ch i a hai h n à h n c ch c n

+ Cách 3 : ựn n n c ch n à nh ài n

* C ự ạ vu u ƣ t ẳ u : + ựn

 

^P ^^{b P}^,

 

^{/ /}^a^.

+ ựn ^a^'^^hch

 

^P ^a n c ch ấ M a

+ Dựn n ^MN^

 

^ c ’ là ư n h n i q a N và song song a .

+ G i H a ' b ựn HK/ /MN

HK ạ vu u ầ t ( Hay MN ạ vu u ầ t ) .

* Nếu hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc nhau thì:

+ ựn ^{mp P}

 

^^{b P}^,

 

^^a^{i H .}

+ Trong (P) ựn HK b i K .

+ Đ n HK à n n góc ch n c a a và b .

VẤN ĐỀ 3

TÍNH CHẤT CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐẶC BIỆT

I. HÌNH CHÓP ĐỀU

1/ Đ : h nh ch ược i à h nh ch n c đá à một đa giác đ u à có ch n đường cao trùng với t m c a đa giác đá .

ậ :

ặ ữ ặ v

v ặ . ( , hình vuông ...)

2/ H p u t ƣ ặp a/ ình chóp tam giác đ u:

h h nh ch a i c S A BC. Khi + Đ A BC à a i c

(a)

'



M

N

(7)

A

B C

D S

O H

+ c ên à c c a i c c n iS . + hi ca SO.( O à c a

+ G c i a c nh ên à

· · · SA O = SBO = SCO

. + G c i a ên à

·

SHO

.

+ T nh chấ 2 1 3

, ,

3 3 2

A O = A H OH = A H A H = A B . k v

+ T i n c c c à c c a i c

+ T i n à h nh ch a i c c c nh ên n c nh b/ ình chóp t giác đ u:

h h nh ch a i c S A BCD. . + Đ A B CD à h nh n

+ c ên à c c a i c c n iS . + hi ca SO.

+ G c i a c nh ên à

· · · ·

SA O = SBO = SCO = SDO

. + G c i a ên à

·

SHO

. II. TỨ DIỆN ĐỀU:

+ T i n c 4 à c c a i c

+ Khi h nh ch a i c c c nh ên n c nh h à i n . Do i n có tính chấ như h nh ch a i c

III. HÌNH ĂNG TRỤ VÀ HÌNH ĂNG TRỤ ĐỨNG

HÌNH ĂNG TRỤ HÌNH ĂNG TRỤ ĐỨNG

à a i c s n s n à n nha c c c nh ên s n s n à n nha

c c ên à h nh nh hành

hi ca à h n c ch c a

H ộp: ă ụ 2

à a i c s n s n à n nha c c c nh ên s n s n à n nha

c c ên à h nh nh ch nh à n c i

hi ca à c nh ên

H ộp t : ă ụ 2 ữ ậ

H p p ƣơ : ă ụ 6 ặ hình vuông.

IV. CHIỀU CAO CỦA MỘT SỐ HÌNH CHÓP CÓ TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT

1/ H p ột ạ vu vớ : v v

V nh ch S A BCD. c c nh ên ^SA ^{^}

(

^{A B CD}

)

h chi ca à SA.

2/ H p ột ặt vu vớ ặt : ặ v v .

(8)

V nh ch S A BC. c ên

(

^{SA B}

)

n c i

(

^{A B C}

)

h chi ca c a h nh ch à chi ca c a DSA B.

3/ H p ặt vu vớ : ặ v v

V : H nh ch S A BCD. c hai ên

(

^{SA B}

)

^à

(

^{SA D}

)

c n n c i

(

^{A BCD}

)

^h

chi ca à SA.

4 H p u v t u: v . V nh ch i c S A BCD. c h n à ia i

O

c a hai ư n ch h nh vuôngA B CD h c ư n ca à SO.

CHỦ ĐỀ 2

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

VẤN ĐỀ 1

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN DIỆN TÍCH XUNG QUANH DIỆN TÍCH TOÀN PHẦN

T ể t D t xu qu D t t p ầ

KHỐI CHÓP

1 . V 3B h

+ B à diện tích đá + h đường cao hình chóp

Sxq = Tổng diện tích các mặt bên Stp = Sxq + Diện tích mặt đá

KHỐI ĂNG TRỤ

. V



B h

+ B à diện tích đá

+ h à đường cao ăng trụ S_xq = Tổng diện tích các mặt bên S_tp = S_xq + Diện tích 2 mặt đá

KHỐI CHÓP CỤT

(

^' ^'

)

3

V = h B + B + B B

+ ới B B, ' à diện tích hai đá + h đường cao hình chóp

S_xq = Tổng diện tích các mặt bên S_tp = S_xq + Diện tích mặt đá

Chú ý:

I. T ể t ộp t:

V = a bc . . Þ

T ể t p p ƣơ : V = a³

nh h ch nh nh hư n

II. 4 p ƣơ p p t ƣ ù t t ể t 1.T t ể t ằ t .

+ T nh c c c n hi ài c nh i n ch chi ca + n c n h c nh h ch

n nă n c c c n h c nh i n ch a i c i c ....

2. T t ể t ằ : Ta chia h i a i n hành nhi h i a i n nh à c h àn nh h ch c a ch n a a c n q i a sẽ c q c n

a b

c

a a a

(9)

3. T t ể t ằ su : Ta c h h hê à h i a i n h i a i n h c sa ch h i a i n hê à à h i a i n i c h àn nh ược h ch

4. T t ể t ằ t s t ể t .

, v k ặ k k ă v ặ k v

ặ k ,

P k ầ ặ k ả ( ặ ă ụ k

ặ k ầ v k ặ

* Trong d ng nà , ta thường ha s dụng phương pháp tỉ số, ấ kết quả c a bài toán sau:

h h nh ch ấ ư n n ên c nh Khi ^{. '} ^' ^'

.

' ' '

. .

S A B C S A BC

V SA SB SC

V = SA SB SC

. C :

K à c n n c i h n Khi à h n hàn

Ta c ^{. '} ^' ^' ^' ^' ^' ^' ^'

. .

1 . ' '

3

1 .

3

S A B C A SB C SB C

S A BC A SBC

SBC

S A H

V V

S A H

D

= =

( )

1 '. '. sin . ' '

'. '. ' 2

1 . .

. . sin . 2

SB SC A H

SB SC SA SB SC SA Ðpcm SB SC A H

a a

= = Þ

.

T n

· ·

' '

B SC BSC

a = =

.

ưu ả v ’, ’, ’ A º A B', º B C', º C '. , v , , , ,

III. Sử p ƣơ p p t ể t ể t ả

* Các bài toán tìm khoảng cách: Kh n c ch ừ i n h n h n c ch i a hai ư n h n n nhi ư n hợ c h q i ài n h ch h i a i n i c nh h n c ch nà ựa à c n h c hi n nhiên 3V

h = B ở V B h, , n ượ à h ch i n ch à chi ca c a h nh ch nà h c V

h = S i i h nh ăn

* Phương pháp nà áp dụng đư c trong trường h p sau: Gi s c h q i ài n h n c ch ài n chi ca c a h nh ch h c ăn nà nhiên c c chi ca nà hư n à h n nh ược ực i n c ch s n c c hư n h h n hư n như nh i a c n h c ượn i c T nhiên c c h i a i n nà i àn nh ược h ch à i n ch Như chi ca c a n sẽ ược c nh ởi c n h c n i n ên

* Phương pháp: n c c nh c a h nh h c n h n ian sa + N ^{A B}^//^{mp P}

( )

ⁿ^{mp P}

( )

^{ch a}^CD^h^{d A B CD}

(

^,

)

⁼ ^{d A B P}^é_ê_ë ^,

( )

^ù_ú_û^.

+ N ^{mp P}

( )

^//^{mp Q}

( )

n ^{m p P}

( )

^,^{m p Q}

( )

n ượ ch a A B à CD h

(

^,

) ( )

^,

( )

d A B CD = d mp Péêë mp Q ùúû^.

+ Từ q i ài n h n c ch h ê c ài n i c chi ca c a h i ch h c h i ăn nà

S

A B

C H

(10)

+ Gi s ài n ược q i chi ca ừ nhS c a h nh ch h c ăn Ta h ch c a h nh ch ăn nà h c n ư n h c à h n ựa à nh S nà ch n h n như q an ni h nh ch ấ c nhS '¹ S a nh i n ch i i n i nhS Như h a s a ược chi ca ừS c n

VẤN ĐỀ 2

CÁC DẠNG TOÁN KHỐI CHÓP

DẠNG 1

HÌNH CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1. h h nh ch S A BC. c à DA BC n c n ở^{B A C}^, ⁼ ^a ^2,^SA ^{^} ^{m p A B C}

( )

^,^SA ⁼ ^a^.

a. T nh h ch h i ch S A BC. . Đ :

(

^đvtt

)

3

. 6

S A BC

V = a .

b. G i G à n c a DSB C , ^{m p a}

( )

^{i q a}^{A G} à s n s n i BC c SC SB, n ượ i ,

M N T nh h ch h i ch S A MN. . Đ :

( đvtt )

2

3 SA MN

27

V = a

.

Bài 2. h h nh ch S A BC. c à DA BC c nh

a

à ^SA ^{^}

(

^{A BC}

)

^,^SA ⁼ ²^a^{G i}

H K ,

^{n ượ}

à h nh chi n c c a i A n ượ ên c nh SB SC, .

a. T nh h ch h i chóp H A B C. theo

a

. Đ :

(

^đvtt

)

3 .

3

H A BC 30

V = a .

b. T nh h ch h i A BCKH. theo

a

. Đ :

(

^đvtt

)

3 .

3 3

A BCKH 50

V = a .

c. T nh h n c ch ừH n^{m p SA C}

( )

^. ^{Đ :} _,₍ ₎ ³

(

^đvđd

)

H SA C 10 d_é _ù a

ê ú

ë û

= .

Bài 3. Tr t tu ể s Đạ D – 2002)

h i n A B CD c c nh A D n c i ^{m p A B C}

( )

^,^{A C} ⁼ ^{A D} ⁼ ⁴

( )

^cm ^,^{A B} ⁼ ³

( )

^cm ^,

( )

5

B C = cm T nh h n c ch ừ A n ^{mp BCD}

( )

^. ^Đ _,₍ ₎ ^{6 34}

( )

A DBC 17

d_é _ù cm

ê ú

ë û

=

Bài 4. Ch h nh ch S A BCD. c A B CD à h nh n ^{O SA}^, ^{^}

(

^{A BCD}

)

^,^{A B} ⁼ ^a nh ên SC hợ i ^{mp A BCD}

( )

^c⁴⁵⁰^{G i}

H K ,

n ượ à h nh chi c a c a A lên

SB SD ,

.

a. h n inh n ^SC ^{^}

(

^{A HK}

)

(11)

b. T nh h ch h i ch SOCD. Đ :

(

^đvtt

)

3 .

2

S OCD 12

V = a .

c. T nh h ch h i ch O A HK. . Đ :

Bài 5. Ch h nh ch S A BCD. c A B CD à h nh n c nh

a

, ^SA ^{^}

(

^{A B CD}

)

^.^{mp SBC}

( )

^{hợ i}

( )

mp A BCD c 30⁰ G i

H K ,

n ượ à h nh chi c a c a A lên

SB SD ,

.

a. h n

(

^{A HK}

)

chia h i ch S A BCD. hành hai h i a i n T nh s hai h i a i n b. G i M là i i n ên c nh HK h n inh h ch h i ch M A BC. c h ch h n ổi T nh h ch

Bài 6. h i nA B CD c ^{A D} ^{^}

(

^{A BC}

)

^,^{A C} ⁼ ^{A D} ⁼ ^{4 ,}^{a A B} ⁼ ^{3 ,}^{a BC} ⁼ ⁵^a^.

a. T nh h ch h i i n A B CD. Đ : VA B CD = ⁸a³

(

^đvtt

)

.

b. T nh h n c ch ừ i A n ^{mp BCD}

( )

^. ^{Đ :} _, ₍ ₎ ⁶ ³⁴

(

^đvđd

)

A mp BCD 17 d_é _ù a

ê ú

ë û

=

Bài 7. h h nh ch S A BC. c A BC à tam giác có A C = a A B, = 3a,

·

0

60

BA C =

G i H là h nh chi c a S trên

(

^{A B C}

)

ⁱ

H Î A B

^à^{A H} ⁼ ²^HB nh ên SC hợ i c

45

⁰.

a. T nh h ch h i ch S A BC. b. T nh h n c ch ừ A n ^{mp SBC}

( )

^.

Bài 8. h h nh ch S A BC. c à DA BC n iA à ^SB ^{^}

(

^{A B C}

)

ⁱ

A B = a 2;

^SB ⁼ ^a

,SC hợ i ^{mp SA B}

( )

^c³⁰⁰^.

a. h n inh n SC² = SB² + A B² + A C².

b. T nh h ch h i ch S A BC. . Đ :

(

^đvtt

)

3 .

3

S A B C 6

V = a .

c T ên c nh SA ấ i H sao cho 2

SH = 3HA. Tính h ch h i ch S HBC. .

Đ :

(

^đvtt

)

3 .

3

S HBC 15

V = a .

Bài 9. h h nh ch S A BC. c DA BC à a i c n i B à ^SA ^{^}

(

^{A BC}

)

ⁱ

A CB · = 60

⁰^,

, 3

BC = a SA = a

G i M à n i c a c nh SB. a. Ch n inh n ^{mp SA B}

( )

^{^} ^{mp SBC}

( )

^.

( đvtt )

3

.

2

S A BC

V = a

.

c. T nh h ch h i i nMA BC . Đ :

(

^đvtt

)

3 MA BC 4

V = a .

d. T nh h n c ch ừ i M n ^{m p SA C}

( )

^. ^{Đ :} _,₍ ₎

(

^đvđd

)

M SA C 2 d_é _ù a

ê ú

ë û=

Bài 10. h h nh ch S A BC. c à a i c A BC n i B i ^SA ^{^}

(

^{A BC}

)

^{. Cho}^{A B} ⁼ ^a^,

3

BC = a

,SA = a h n q a A n c i SC i H và c SB i K . a T nh i n ch n q anh h nh ch S A BC. .

b. T nh h ch h i ch S A HK. theo

a

^. ^{Đ :}

(

^đvtt

)

3 .

3

S A HK 60

V = a .

(12)

c. Th ch h i a i n A HKBC. theo

a

. Đ :

(

^đvtt

)

3 3 3

A HKBC 20

V = a .

Bài 11. h h nh ch a i c S A BC. c A BC à a i c c nh

a

^à^SA ^{^} ^{mp A BC}

( )

. ên SBC hợ i c 60⁰.

a. T nh h ch h i ch S A BC. theo

a

. Đ :

(

^đvtt

)

3 .

3

S A B CD 8

V = a .

b. G i M àN n ượ à h nh chi n c c aA ên c c ư n h n SB à SC T nh h ch c a h i ch a i n A BCNM. .

Bài 12. h h nh ch S A BC. c A BC à a i c c nh

a 3

ư n ca SA = a h n q a i A à n c i SB i H à c SC iK .

a T nh i n ch àn h n h nh ch S A BC. .

b. T nh h ch h nh ch S A HK. . Đ :

(

^đvtt

)

3 .

3

S A HK 40

V = a .

Bài 13. h h nh ch S A BCD. c A B CD à h nh n c nh

a

^,^SA ^{^}

(

^{A B CD}

)

^,

SA = a 3

^{. G i}^O ^là

ia i c a hai ư n ch h nh n A B CD.

a. T nh h ch h i ch S A BCD. theo

a

. Đ :

(

^đvtt

)

3 .

3

S A B CD 3

V = a .

T nh h ch h i ch S OBC. theo

a

. Đ :

(

^đvtt

)

3 .

3

S A BCD 12

V = a .

c T nh h n c ch ừ i A n ^{mp SBC}

( )

^. ^{Đ :} _,₍ ₎ ³

(

^đvđd

)

A SBC 2 d_é _ù a

ê ú

ë û=

d T nh h n c ch ừ i O n ^{mp SBC}

( )

^. ^{Đ :} _,₍ ₎ ³

(

^đvđd

)

ê ú

ë û=

a

^{G i}M àN n ượ à n i c a c c c nh A B à A D H, à ia i c a CN àDM i ^SH ^{^} ^{mp A BCD}

( )

^à

SH = a 3

^.

a. T nh h ch h i ch S CDNM. Đ :

5 3 3 24 V = a .

b. T nh h n c ch i a hai ư n h n DM àSC theo

a

. Đ : 2 3 19 d = a

a

c nh ên SA = a h nh chi n c c a nh S lên ^{mp A BCD}

( )

^{à i}^H h c n ,

4

A C A H = A C G i CM à ư n ca c a a i c SA C .

a. h n inhM à n i c aSA. b. T nh h ch h i i n SMB C theo

a

.

a

,^SA ^{^}

(

^{A B CD}

)

^nh^SC i h n

(

^{A BCD}

)

^c⁶⁰⁰^.

a

^. ^Đ

(

^đvtt

)

3 .

6

S A BCD 3

V = a .

c nh à nh ài n n c ch n c a hai ư n h n SC à BD. Đ :

( ^; )

3

SC B D 4 d = a

(13)

c.

h n

( )

^P ^{i q a}^A à n c i SC c SB SC SD, , n ượ i

M N P , ,

. M h n

( )

^P chia h i ch S A BCD. hành hai h i a i n T nh s hai h i a i n ấ

Bài 17. h h nh ch S A BCD. c à h nh n c nh n

a

chi ca SA = 2a G i N à n i c a SC .

a T nh i n ch àn h n h nh ch S A BCD. .

b T nh h ch h i ch S A BCD. theo

a

. Đ

(

^đvtt

)

3 .

2

S A BCD 3

V = a .

c. h n

( )

^P ^{ch a}^{A N} à s n s n i BD n ượ c

SB SD ,

i M P, T nh h ch h i ch .

S A MNP theo

a

. Đ :

( đvtt )

3 .

2

S A MNP

9

V = a

.

a

,^SA ^{^} ^{mp A B CD}

( )

c ởi

( )

mp A BCD à ^{mp SBC}

( )

ⁿ⁴⁵⁰^.

a. T nh h ch c a h i ch S A BCD. . Đ

( đvtt )

3

.

3

S A BCD

V = a

.

b. T nh h n c ch i a hai ư n h n SC àA D. Đ

( ; )

(

^đvđd

)

6

SC A D 3 d = a

c. G i M à n i c a SC . h n

( )

^P ^{ch a} ^{A M} à s n s n i BD chia h i ch .

S A BCD hành hai h i a i n T nh s hai h i a i n .

Bài 19. h h nh ch S A BCD. c A B CD à h nh ch nh ^{O SA}^, ^{^} ^{mp A BCD}

( )

ⁱ

3

A B = a c

·

0

60

BA C =

. ên

(

^{SB C}

)

hợ i c 45⁰.

a

. Đ : V_{S A BCD}. = 9a³ 3

(

^đvtt

)

.

b. T nh h ch h i ch SOA D. Đ :

(

^đvtt

)

3 .

9 3

S OA D 4

V = a .

c. T nh h n c ch ừ i O n^{mp SBC}

( )

^.

Đ :

_,₍ ₎ ³ ²

(

^đvđd

)

O SBC 2 d_é _ù a

ê ú

ë û

=

G i G à n DSA C . h n

( )

^a ^{i q a}^{A G} song song BD, chia h i ch S A BCD. hành hai h i a i n T nh s hai h i a i n

Bài 20. h h nh ch nh A B CD c

A D = 6 A B = 3 3

ấ i M ên c nhA B sao cho MB = 2MA à N à n i c a A D T ên ư n h n n c i ^{mp A BCD}

( )

ⁱ^M ^{ấ i}^S sao cho

2 6 SM =

.

a. h n inh

(

^{SB N}

) (

^{^} ^SMC

)

b. T nh c i a ư n h n SN à ^{m p SMC}

( )

^.

Bài 21. h h i ch S A BCD. c A B CD à h nh ch nh i n ^SA ^{^}

(

^{A BCD SC}

)

^, hợ i h n ch a A B CD c 30⁰ àA B = a BC, = 2a.

a. T nh h ch h i ch S A BCD. . Đ :

(

^đvtt

)

3 .

15

S A BCD 3

V = a .

(

^đvtt

)

3 .

15

S A B C 6

V = a .

c. G i

O

à ia i c a

AC

và BD. T nh h n c ch ừ i O n ^{mp SCD}

( )

^.

(14)

Đ :

( )

(

^đvđd

)

,

1140

O SCD 60 d_é _ù a

ê ú

ë û

=

Bài 22. h h nh ch S A BCD. c à h nh han c

· ·

0

90

A BC = BA D =

,BA = BC = a A D, = 2a. nh ên SA n c i à

SA = a 2

G i H à h nh chi n c c a A trên SB .

a. h n inh n DSCD vuông.

T nh i n ch n q anh h nh ch S A BCD. .

c. T nh h n c ch ừ H n ^{mp SCD}

( )

^. ^{Đ :} ₍ _,₍ ₎₎

(

^đvđd

)

H SCD 3

d = a .

Bài 23. h h nh ch S A BCD. c A B CD à h nh han

· ·

90

^o

BA D = A BC =

,A B = BC = a, 2

A D = a, ^SA ^{^}

(

^{A B CD SA}

)

^, ⁼ ²^a^{G i}^{M N}^, n ượ à n i c a SA SD, . a. h n inh n BCNM à h nh ch nh

b. T nh h ch c a h i ch S A CD. theo

a

. Đ : V_{S A BCD}. = 3a³

(

^đvtt

)

.

c G i J à i i n ên c nh BC h n inh h ch h i ch J SA D. c h ch h n ổi T nh h ch

h n

(

^{B CNM}

)

chia h i ch S A BCD. thành hai h i ch T nh s hai h i ch .

Đ : 2

7

SMNB C MNA B CD

V

V = .

Bài 24. h h i i nA B CDc h ch ⁹

( )

^m³ ^{, trên}A B A C A D^, ^, n ượ ấ c c i B C D', ', 'sao cho

2 ', 2 3 ', 3 '

A B = A B A C = A C A D = A D T nh h ch h i i n A B C D' ' '. Đ : ^V ⁼ ²

( )

^m³

Bài 25. h i n A B CD G i B C', ' n ượ à n i c a A B à A C T nh s h ch c a h i

i n A B C D' ' à h i i n A B CD. Đ : ^' ^' 1

4

A B C D A BCD

V

V = .

Bài 26. h i n A B CD c h ch n ¹²

( )

^m³ ^{G i}^{M P}^, à n i c a

A B CD ,

à ấ i N trên A D sao cho DA = 3NA T nh h ch h i i n BMNP . Đ : ^V ⁼ ¹

( )

^m³ ^.

Bài 27. h h nh ch S A BCD. c h ch n ²⁷

( )

^m³ ấ i A' trên SA sao cho SA = 3SA' h n q a i A' à s n s n i h nh ch c SB SC SD, , n ượ i c c i B C D', ', ' T nh h ch c a h i ch S A B C D. ' ' ' '. Đ : ^V ⁼ ¹

( )

^m³ ^.

Bài 28. h h nh ch S A BCD. c h ch n ⁹

( )

^m³ ^à^{A B CD} à h nh nh hành ấ i M trên SA sao cho 2SA = 3SM h n

(

^{MB C}

)

^c^SDⁱ^N T nh h ch h i a i n A BCDMN

Đ : ^V ⁼ ⁴

( )

^m³ ^.

Bài 29. h h nh ch S A BCD. c A B CD à h nh nh hành à I à n i c a SC h n q a A I à s n s n i BD chia h i ch hành hai h n T nh s h ch hai h n nà

Đ : k = 0, 5.

Bài 30. h h nh ch S A BCD. c à h nh nh hành à ấ i M trên SA sao cho SM

SA = x T i c a

x

h n

(

^{MB C}

)

chia h nh ch ch hành hai h n c h ch n nha

Đ : 5 1

x 2-

= .

BÀI TẬP NÂNG CAO

(15)

Ô t ạ

Bài 1. Ch h nh ch S A BC. c A BC à a i c n c n i^{B A B}^, ⁼ ^{a SA}^, ^{^}

(

^{A BC}

)

c i a

( )

mp SBC à ^{m p A B C}

( )

ⁿ

30

⁰^{G i}^M à n i c a c nhSC .

a/ T nh h ch h i ch S A BM. theo

a

. Đ

(

^đvtt

)

3 .

3

S A BM 36 V = a

b/ T nh h n c ch ừ M n ^{m p A B C}

( )

^. ^Đ _,₍ ₎ ³

(

^đvđd

)

A SB C 6 d_é _ù a

ê ú

ë û

=

c G i G à n DSA C . T nh h n c ch ừ G n ^{mp SBC}

( )

^{. Đ} ;₍ ₎

(

^đvđd

)

G SB C 18 d_é _ù a

ê ú

ë û

=

d/ T nh h n c ch i a ư n h n SC và A B . Đ ,

(

^đvđd

)

A B SC 2 d_é _ù a

ê ú

ë û=

Bài 2. Cho hình chóp S A BC. c à a i c n i · 0

, 30 ,

B BA C = SA = A C = a và SA vuông góc i^{m p A B C}

( )

^.

a/ T nh h ch h i ch S A BC. theo a. Đ

(

^đvtt

)

3 .

3

S A BC 24 V = a

b/ T nh h n c ch ừA n ^{mp SBC}

( )

^. ^Đ _,₍ ₎ ²¹

(

^đvđd

)

ê ú

ë û

=

c/ T nh h n c ch i a ư n h n SA và BC . Đ ;

(

^đvđd

)

3

SA BC 2 d_é _ù a

ê ú

ë û=

T nh c hợ ởi ư n h n SC và A B . Đ

15 arct an

3 æ ö÷

ç ÷

çè ø

e/ T nh h n c ch i a ư n h n SB và A C . Đ _, 57

A C SB 3 d_é _ù a

ê ú

ë û=

Bài 3. Ch h nh ch S A BCD. c A B CD à h nh n O, c nh

a

, ^SA ^{^}

(

^{A B CD}

)

à ên

(

^SCD

)

hợ i h n A B CD c

60

⁰.

a/ T nh h ch h i ch S OCD. theo

a

. Đ

(

^đvtt

)

3 .

3

S A DC 12 V = a

b/ T nh h n c ch ừ i O n ^{mp SCD}

( )

^. ^Đ _,₍ ₎ ³

(

^đvđd

)

O SCD 4 d_é _ù a

ê ú

ë û

=

c G i G à n DA BC . T nh h n c ch ừ G n ^{mp SCD}

( )

^{. Đ} _,₍ ₎ ³

(

^đvđd

)

G SDC 3 d_é _ù a

ê ú

ë û

=

d/ T nh h n c ch gi a ư n h n SO và CG. Đ ,

(

^đvđd

)

30

SO CG 8 d_é _ùa

ê ú

ë û

G i J à i i n ên c nh A D h n inh h ch h i ch J SBC. c h ch h n ổi T nh

h ch Đ

(

^đvtt

)

3

. 8

J SBC

V = a Bài 4. Tr t tu ể s Đạ B – 2006)

(16)

h h nh ch S A BCD. c A B CD à h nh ch nh i

A B = a A D , = a 2, SA = a

à SA n c i h n G iM N, n ượ à n i c a

A D SC ,

àI à ia i c a BM àA C T nh h

ch h i i nA N IB. Đ

(

^đvtt

)

3 .

2

N A IB 36 V = a Bài 5. Tr t tu ể s Đạ A – 2004)

h h nh ch S A BCD. c à h nh h iA B CDc SO n c i iO à ia i c a A C à BD Gi s

SO = 2 2, A C = 4, A B = 5

à M à n i c a SC T nh h n c ch i a hai

ư n h n SA àBM . Đ

( , )

(

^đvđd

)

2 6

SA MB 3

d =

Bài 6. h h nh ch S A BC. c ^SA ^{^}

(

^{A BC}

)

^,^SA ⁼ ^a . i n DA BC à ^{mp SBC}

( )

hợ i h n ch a A BC c 30⁰.

a. T nh h ch c a h i ch S A BC. . Đ :

(

^đvtt

)

3 .

3

S A B C 3

V = a .

b. Cho

E



AC

h a 1 3 EC

AE  . T nh h n c ch ừ i E n ^{mp SBC}

( )

^.

Đ : _;_ _ ^{3 đvđd}

 

E SBC 8 d_ _ a

  

Bài 7. Ch h nh ch S A BC. c A BC à a i c c n i^{A SA}^, ^{^}

(

^{A B C}

)

^{. Cho}

BC = 2 , a SB = a 3

^.

( )

mp SBC i ^{m p A B C}

( )

^c³⁰⁰^{. G i}

G

à n 

ABC

.

a. T nh h ch c a h i ch S A BC. theo

a

. Đ :

(

^đvtt

)

3 .

3

S A B C 6

V = a .

b. T nh h n c ch i a ư n h n

SA

và

BC

theo

a

. Đ : _ ; _ 6 đvđd

 

SA BC 2 d  a

c. T nh h n c ch ừ i

G

n ^{mp SA B}

( )

^. ^{Đ :} _;_ _ ² ^{15 đvđd}

 

G SAB 15 d_ _ a

  

Bài 8. h h nh ch S A BC. có ^SA ^{^} ^{mp A BC}

( )

i n A B = a,

A C = 2 , a BC = a 3

c i a hai h n

(

^{SB C}

)

^à

(

^{A BC}

)

ⁿ⁶⁰⁰^.

a. T nh h n c ch ừ i B n ^{m p SA C}

( )

^. ^{Đ :} _;_ _ ^{3 đvđd}

 

B SAC 2 d_ _ a

  

SA

và

BC

theo

a

. Đ :

d

__{SA BC}_; _^

a  đvđd 

c h n

 

^P ^{i q a}^A à n c i

SC

, chia hình chóp S A BC. hành h i a i n T nh s h i a i n .

Bài 9. Ch h nh ch S A BC. c A BC à a i c n c n i ^{B SA}^, ^{^}

(

^{A BC}

)

^{. Cho}

A C = a 2

^,

3 SB = a.

a. T nh h n c ch ừ i C n ^{mp SA B}

( )

^. ^{Đ :}

d

__{C SAB};_ __

a  đvđd 

  

G i I à n i A C . T nh h n c ch ừ i I n ^{m p SA C}

( )

^{. Đ :} _;_ _



^đvđd



I SAC 2 d_ _ a

  

c. T nh h n c ch i a ư n h n

SC

và AB theo

a

. Đ : _ ; _

 

3 đvđd

SC AB 2

d  a

Bài 10. h h nh ch S A BC. c A BC à a i c n i ^{B SA}^, ^{^}

(

^{A BC}

)

^{. Cho}^{A B} ⁼ ^a^{, góc}

·

0

60

BA C =

nh SC i ^{m p A B C}

( )

^c⁶⁰⁰^.

(17)

a. T nh h n c ch ừ i A n ^{mp SBC}

( )

^theo

a

^. ^{Đ :} _;_ _ ² ^{39 đvđd}

 

A SBC 13 d_ _ a

  

G i I à n i

AC

. T nh h n c ch ừ i I n ^{mp SA B}

( )

^theo

a

^.

Đ : _;_ _ ^{3 đvđd}

 

I SAB 2 d_ _ a

  

c G i

G

à n 

SBC

h n

 

^P ^{ch a}

AG

à s n s n i

BC

c

SB SC ,

n ượ i

M N ,

T nh h ch c a h i a i n MNA BC .

d. G i J à i i ng trên c nh MN . Tính th tích kh i chóp J A BC. . Đ : VJ A B C. = a³

(

^đvtt

)

. Bài 11. h h nh ch S A BC. c àDA BC c n i

·

( )

, 2 , 120 ,

0

A BC = a BA C = SA ^ A BC

i

( )

mp SBC hợ i h n ch a c 45⁰.

a. T nh h ch h i ch S A BC. . Đ :

( đvtt )

3

.

9

S A BC

V = a

.

b. Cho DAB h a: DB2AD. T nh h n c ch ừ i D n ^{mp SBC}

( )

^.

Đ : _;_ _ ^{6 đvđd}

 

D SBC 9 d_ _ a

  

c. T nh c i a ư n h n

AC

và

SB

. Đ :



^,



^cos ^{2 5}

SB AC acr  5 

   Bài 12. h h nh ch S A BC. c A BC à a i c n cân i B i^{A C} ⁼ ^{a SA}^, ^{^}

(

^{A BC}

)

^à^SB

hợ i h n ch a A BC c 60⁰.

a G i G à n VSA C . T nh h n c ch ừ i G n^{mp SBC}

( )

^.

SB

và

AC

.

Bài 13. h h nh ch S A BCD. c A B CD à h nh n c nh a SA, ^ (A BCD) c i a SD à

( )

mp SA B n 30⁰. G i

O

à ia i c a

AC

và BD.

a. T nh h n c ch ừ i O n ^{mp SBC}

( )

^. ^{Đ :} _;_ _ ^{3 đvđd}

 

O SBC 4 d_ _ a

  

b. T nh h n c ch ừ i C n^{mp SBD}

( )

^. ^{Đ :} ;_ _ 21 đvđd

 

C SBD 7 d_ _ a

  

Bài 14. h h nh ch S A BCD. c A B CD à h nh n c nh a SA, ^ (A BCD) c i a ^{mp SBC}

( )

à n 45⁰.

a T nh h n c ch i a ư n h n BD và

SC

. Đ :

d

__{SC BD}_; _^

a  đvđd 

b. Cho

E



CD

h a 2 3 DE

EC  . T nh h n c ch ừ i E n ^{m p SA C}

( )

^.

Đ : _;_ _ ³ ^{2 đvđd}

 

E SAC 10 d_ _ a

  

c G i M à n i

SC

h n

 

^P ^{ch a}^AM à s n s n i BD c

SB SC ,

n ượ i

E F ,

T nh s ^{S A EMF}^.