Giải Toán 10 Bài 1: Hàm số và đồ thị - Chân trời sáng tạo

(1)

Bài 1. Hàm số và đồ thị

Các câu hỏi trong bài

Hoạt động khởi động trang 41 SGK Toán 10 tập 1:

Nhiệt độ có mối liên hệ gì với thời gian?

Lời giải

Lúc 1:00, nhiệt độ là 26 độ.

(2)

Ta có thể thấy, nhiệt độ phụ thuộc vào thời gian, mỗi mốc thời gian ứng với một nhiệt độ. Cụ thế, từ 1:00 đến 10:00, nhiệt độ tăng theo thời gian, từ 10:00 đến 22:00, nhiệt độ giảm theo thời gian.

Đây là một quan hệ hàm số.

Sau bài học này ta sẽ trả lời được: Thế nào là một hàm số ? Tập xác định, tập giá trị của hàm số là gì ? Cách vẽ đồ thị hàm số. Khái niệm và cách xét tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số.

Hoạt động khám phá 1 trang 41 SGK Toán 10 tập 1: Bản tin dự báo thời tiết cho biết nhiệt độ ở một số thời điểm trong ngày 01/5/2021 tại Thành phố Hồ Chí Minh đã được ghi lại thành bảng kèm với biểu đồ bên.

Sử dụng bảng hoặc biểu đồ, hãy:

a) Viết tập hợp các mốc giờ đã có dự báo nhiệt độ.

b) Viết tập hợp các số đo nhiệt độ đã dự báo.

c) Cho biết nhiệt độ dự báo tại Thành phố Hồ Chí Minh vào lúc 7 giờ sáng ngày 01/5/2021.

(3)

Lời giải:

a)

Gọi G là tập hợp các mốc giờ đã có dự báo nhiệt độ, khi đó:

G = {1; 4; 7; 10; 13; 16; 19; 22}.

b)

Gọi N là tập hợp các số đo nhiệt độ đã dự báo, khi đó:

N = {27; 28; 29; 31; 32}.

c)

Nhiệt độ dự báo tại Thành phố Hồ Chí Minh vào lúc 7 giờ sáng ngày 01/5/2021 là 28 độ C.

Thực hành 1 trang 43 SGK Toán 10 tập 1: Một thiết bị đã ghi lại vận tốc v (mét/giây) ở thời điểm t (giây) của một vật chuyển động như trong bảng sau:

(4)

Vì sao bảng này biểu thị một hàm số ? Tìm tập xác định của hàm số này.

Lời giải:

– Từ bảng dữ liệu trên, ta thấy ứng với mỗi một thời điểm t (giây) trong bảng đều có một giá trị vận tốc v (mét/giây) duy nhất. Vì vậy, bảng này biểu thị một hàm số.

– Hàm số đó có tập xác định là D = {0,5; 1; 1,2; 1,8; 2,5}.

Thực hành 2 trang 43 SGK Toán 10 tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) f(x) = 2x+7; b) f(x) = ₂ x 4

x 3x 2

+

− + . Lời giải:

a)

Biểu thức f(x) có nghĩa khi và chỉ khi 2x + 7 ≥ 0, tức là khi 2x ≥ –7 hay x ≥ 7 2

− .

Vậy tập xác định của hàm số này là D = 7 2 ;

− +

 . b)

Biểu thức f(x) có nghĩa khi và chỉ khi x2 −3x+ 2 0

x2 x 2x 2 0

 − − + 

(5)

(

^x² ^x

) ⁽

^2x ²

⁾

⁰

 − − − 

( ) ( )

x x 1 2 x 1 0

 − − − 

(

^x ^{2 x}

)(

¹

)

⁰

 − − 

 x 2 0 x 1 0

 − 

 − 



 x 2 x 1

 

 

Vậy tập xác định của hàm số này là D = \{1; 2}.

Vận dụng trang 43 SGK Toán 10 tập 1: Ở góc của miếng đất hình chữ nhật, người ta làm một bồn hoa có dạng một phần tư hình tròn với bán kính r (Hình 2).

Bán kính bồn hoa có kích thước từ 0,5m đến 3m.

a) Viết công thức của hàm số biểu thị diện tích bồn hoa theo bán kính r và tìm tập xác định của hàm số này.

b) Bán kính bồn hoa bằng bao nhiêu thì nó có diện tích là 0,5π m² ?

Lời giải:

(6)

a)

Công thức tính diện tích hình tròn theo bán kính r (m) là: S = πr² (m² ).

Do bồn hoa có dạng một phần tư hình tròn với bán kính r nên ta có công thức của hàm số biểu thị diện tích bồn hoa theo bán kính r là: f(r) = 1 ²

4r .

Ta có, do bán kính r của bồn hoa có kích thước từ 0,5m đến 3m nên tập xác định của hàm số f(r) là D = [0,5; 3] .

b)

Khi diện tích bồn hoa là 0,5π m² tức là:

f(r) = 0,5π 1 2

r 0,5

  =4 

2 1

r 0,5 : 4

 

 =   

  r2 2

 =

r 2

  =

 = −

Dễ thấy r= − 2 không thuộc tập xác định của hàm số f(r) nên ta loại đi r= − 2. Vậy bán kính bồn hoa bằng 2m thì bồn hoa có diện tích là 0,5π m².

Hoạt động khám phá 2 trang 43 SGK Toán 10 tập 1: Xét hàm số f(x) cho bởi bảng sau:

(7)

a) Tìm tập xác định D của hàm số trên.

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ tất cả các điểm có tọa độ (x; y) với x ∈ D và y

= f(x).

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là: D = {–2; –1; 0; 1; 2; 3; 4}

b) Ta có các điểm cần vẽ như sau:

A(–2; 8) B(–1; 3) C(0; 0) D(1; –1) E(2; 0) F(3; 3) G(4; 8)

(8)

Thực hành 3 trang 44 SGK Toán 10 tập 1: Vẽ đồ thị hàm số f(x) = 3x + 8.

Lời giải:

Xét hàm số f(x) ta có:

Với x = 0 thì f(0) = 3.0 + 8 = 8 Với x = 1 thì f(1) = 3.1 + 8 = 11 Với x = –1 thì f(–1) = 3.(–1) + 8 = 5 Với x = –2 thì f(–2) = 3.(–2) + 8 = 2

Đồ thị hàm số f(x) = 3x + 8 là đường thẳng đi qua các điểm (0; 8), (1; 11), (–1; 5), (–2; 2).

(9)

Hoạt động khám phá 3 trang 45 SGK Toán 10 tập 1: Quan sát đồ thị hàm số y = f(x) = x² rồi so sánh f(x1) và f(x2) (với x1 < x2) trường hợp sau:

Lời giải:

(10)

Xét hình (a). Khi x1, x2 ∈ (–∞; 0)

Với x1 < x2 thì f(x1) > f(x2) (f(x1) ở vị trí cao hơn f(x2) trên trục Oy).

Xét hình (b). Khi x1, x2 ∈ (0; +∞)

Với x1 < x2, thì f(x1) < f(x2) (f(x1) ở vị trí thấp hơn f(x2) trên trục Oy).

Thực hành 4 trang 47 SGK Toán 10 tập 1: a) Tìm khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số có đồ thị sau:

b) Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) = 5x² trên khoảng (2; 5).

Lời giải:

a) Từ đồ thị ta thấy hàm số xác định trên [–3; 7]

Trong khoảng (–3; 1) ta thấy đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (–3; 1).

Trong khoảng (1; 3) ta thấy đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 3).

Trong khoảng (3; 7) ta thấy đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (3; 7).

b)

(11)

Xét hàm số: y = f(x) = 5x² xác định trên khoảng (2; 5).

Lấy x1, x2 tùy ý thuộc khoảng (2; 5) sao cho x1 < x2, ta có:

f(x1) – f(x2) = 5x12 – 5x22 = 5(x12 – x22) = 5(x1 – x2)(x1 + x2)

Do x1 < x2 nên x1 – x2 < 0 và do x1, x2 thuộc khoảng (2; 5) nên x1 + x2 > 0. Từ đó ta suy ra f(x1) – f(x2) < 0 hay f(x1) < f(x2).

Vậy hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng (2; 5).

Bài tập

Bài 1 trang 47 SGK Toán 10 tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) f(x) = −5x+3; b) f(x) = 1

2+ x 3 + . Lời giải:

a)

Hàm số f(x) = −5x +3 có nghĩa khi và chỉ khi:

5x 3 0

− + 

5x 3

 −  − x 3

 5

Vậy tập xác định của hàm số f(x) = −5x +3 là 3

D ;

5

 

= − .

b)

(12)

Hàm số f(x) = 1 2+ x 3

+ có nghĩa khi và chỉ khi:

x+ 3 0

x 3

  −

Vậy tập xác định của hàm số f(x) = 1 2+ x 3

+ là D= \ { 3}− .

Bài 2 trang 47 SGK Toán 10 tập 1: Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số có đồ thị như Hình 10.

Lời giải:

Nhìn đồ thị ta thấy, hàm số có:

Tập xác định là D = [–1; 9].

Điểm thấp nhất của đồ thị có tọa độ là (5; –2) và điểm cao nhất của đồ thị có tọa độ là (9; 6), do đó tập giá trị của hàm số là T = [–2; 6].

(13)

Bài 3 trang 47 SGK Toán 10 tập 1: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) f(x) = –5x + 2;

b) f(x) = –x². Lời giải:

a)

Xét hàm số f(x) = –5x + 2. Hàm số này xác định trên . Lấy x1, x2 là hai số tùy ý sao cho x1 < x2, ta có:

x1 < x2 ⇒ –5x1 > –5x2 ⇒ –5x1 + 2 > –5x2 + 2 ⇒ f(x1) > f(x2) Vậy hàm số nghịch biến (giảm) trên .

b)

Xét hàm số f(x) = –x². Hàm số này xác định trên . Lấy x1, x2 là hai số tùy ý sao cho x1 < x2, ta có:

x1 < x2 ⇒ x1 – x2 < 0 ⇒ x2 – x1 > 0

f(x1) – f(x2) = –x12 – (–x22) = x22 – x12 = (x2 – x1)(x2 + x1) Xét trên khoảng (–∞; 0), ta có: x2 – x1 > 0 và x2 + x1 < 0

Do đó, f(x1) – f(x2) < 0 ⇒ f(x1) < f(x2) nên hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (–∞;

0).

Xét khoảng (0; +∞), ta có: x2 – x1 > 0 và x2 + x1 > 0

Do đó, f(x1) – f(x2) > 0 ⇒ f(x1) > f(x2) nên hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (0;

+∞).

(14)

Vậy hàm số f(x) = –x² đồng biến trên khoảng (–∞; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; +∞).

Bài 4 trang 47 SGK Toán 10 tập 1: Vẽ đồ thị hàm số f(x) = |x|, biết rằng hàm số này còn được viết như sau:

x khi x 0 f (x)

x khi x 0

 

= −  .

Lời giải:

Ta thấy hàm số f(x) xác định trên .

f(x) = |x| ≥ 0 với mọi x thuộc nên ta có tập xác định của hàm số f(x) là D = và tập giá trị là T = [0; + ∞).

Ta có:

Với x = 0 thì f(x) = 0 Với x = 1 thì f(x) = 1 Với x = 2 thì f(x) = 2 Với x = 3 thì f(x) = 3 Với x = –1 thì f(x) = 1 Với x = –2 thì f(x) = 2 Với x = –3 thì f(x) = 3

Từ các điểm (0; 0), (1; 1), (2; 2), (3; 3), (–1; 1), (–2; 2), (–3; 3) ta vẽ được đồ thị hàm số f(x) = |x| như sau:

(15)

Bài 5 trang 48 SGK Toán 10 tập 1: Tìm tập xác định, tập giá trị và vẽ đồ thị hàm số:

1 khi x 0 f (x)

1 khi x 0

− 

=   .

Lời giải:

Ta có:

Hàm số f(x) không xác định tại x = 0. Do đó, tập xác định của hàm số là D= \ {0}.

Với mọi x thuộc tập xác định của hàm số, ta có tập giá trị của hàm số là:

T = {–1; 1}.

Với x = –1 thì f(x) = –1 Với x = –2 thì f(x) = –1 Với x = –3 thì f(x) = –1 Với x = 1 thì f(x) = 1

(16)

Với x = 2 thì f(x) = 1 Với x = 3 thì f(x) = 1

Từ các điểm (–1; –1), (–2; –1), (–3; –1), (1; 1), (2; 1), (3; 1) ta có đồ thị hàm số f(x) như sau:

Bài 6 trang 48 SGK Toán 10 tập 1: Một hãng taxi có bảng giá như sau:

a) Xem số tiền đi taxi là một hàm số phụ thuộc số kilômét di chuyển, hãy viết công thức của các hàm số dựa trên thông tin từ bảng giá đã cho theo từng yêu cầu:

i) Hàm số f(x) để tính số tiền hành khách phải trả khi di chuyển x km bằng xe taxi 4 chỗ.

ii) Hàm số g(x) để tính số tiền hành khách phải trả khi di chuyển x km bằng xe taxi 7 chỗ.

b) Nếu cần đặt xe taxi cho 30 hành khách, nên đặt toàn bộ xe 4 chỗ hay xe 7 chỗ thì có lợi hơn ?

Lời giải:

(17)

a)

i) Hành khách di chuyển x (km) bằng xe taxi 4 chỗ:

Ta có:

Với 0 < x ≤ 0,5, thì hàm f(x) = 11000 Với 0 < x ≤ 0,5, thì có:

f(x) = 11000 + 14500(x – 0,5) = 11000 + 14500x – 7250 = 3750 + 14500x Với x > 30 thì có:

f(x) = 11000 + 14500.29,5 + 11600(x – 30)

= 11000 + 427750 + 11600x – 408000

= 90750 + 11600x

Vậy hàm số f(x) =

11000 (0 x 0,5)

3750 14500x (0,5 x 30) 90750 11600x (x 30)

  

 +  

 + 



.

ii) Hành khách di chuyển bằng xe taxi 7 chỗ:

Ta có:

Với 0 < x ≤ 0,5, thì hàm g(x) = 11000 Với 0 < x ≤ 0,5, thì có:

g(x) = 11000 + 15500(x – 0,5) = 11000 + 15500x – 7750 = 3250 + 15500x Với x > 30, thì có:

g(x) = 11000 + 15500.29,5 + 13600(x – 30)

= 11000 + 457250 + 13600x – 408000

(18)

= 60250 + 13600x

Vậy hàm số g(x) =

11000 (0 x 0,5)

3250 15500x (0,5 x 30) 60250 13600x (x 30)

  

 +  

 + 



.

b)

Nếu đặt xe taxi cho 30 hành khách di chuyển x km, ta có + Với 0 < x ≤ 0,5

Giá tiền mỗi xe 4 chỗ hoặc 7 chỗ là: f(x) = g(x) = 11000 Nếu đi xe 4 chỗ thì cần 8 xe, giá tiền là: 8.11000 = 88000 Nếu đi xe 7 chỗ thì cần 5 xe, giá tiền là: 5.11000 = 55000 Với x như nhau, ta có: 55000 < 88000

Vậy nếu di chuyển quãng đường nhỏ hoặc bằng 0,5km thì di chuyển bằng taxi 7 chỗ có lợi hơn

+ Với 0,5 < x ≤ 30

Giá tiền mỗi xe 4 chỗ là: f(x) = 3750 + 14500x Giá tiền mỗi xe 7 chỗ là: g(x) = 3250 + 15500x

Nếu đi xe 4 chỗ thì cần 8 xe, giá tiền là: 8.(3750 + 14500x) = 30000 + 116000x Nếu đi xe 7 chỗ thì cần 5 xe, giá tiền là: 5.(3250 + 15500x) = 16250 + 77500x Ta có: 16250 + 77500x – (30000 + 116000x) = –13750 – 38500x < 0 với 0,5 < x ≤ 30

Do đó, 16250 + 77500x < 30000 + 116000x với 0,5 < x ≤ 30

(19)

Vậy nếu di chuyển quãng đường x sao cho 0,5 < x ≤ 30 thì di chuyển bằng taxi 7 chỗ có lợi hơn

+ Với x > 30

Giá tiền mỗi xe 4 chỗ là: f(x) = 90750 + 11600x Giá tiền mỗi xe 7 chỗ là: g(x) = 60250 + 13600x

Nếu đi xe 4 chỗ thì cần 8 xe, giá tiền là: 8.(90750 + 11600x) = 726000 + 92800x Nếu đi xe 7 chỗ thì cần 5 xe, giá tiền là: 5.(60250 + 13600x) = 301250 + 68000x Ta có: 301250 + 68000x – (726000 + 92800x) = –424750 – 24800x < 0 với x > 30 Do đó, 301250 + 68000x < 726000 + 92800x với x > 30

Vậy nếu di chuyển quãng đường x sao cho x > 30 thì di chuyển bằng taxi 7 chỗ có lợi hơn.

Vậy dù cho quãng đường di chuyển có độ dài bao nhiêu thì di chuyển bằng taxi 7 chỗ luôn có lợi hơn cho 30 người.

Bài 7 trang 48 SGK Toán 10 tập 1: Đố vui.

Số 2 đã trải qua hành trình thú vị và bị biến đổi sau khi đi qua chiếc hộp đen.

Bác thợ máy đã giải mã hộp đen cho một số x bất kì như sau:

(20)

Bên trong hộp đen là một đoạn chương trình được cài đặt sẵn. Ta xem đoạn chương trình này như một hàm số f(x). Hãy viết biểu thức của f(x) để mô tả sự biến đổi đã tác động lên x.

Lời giải:

Thông qua sự biến đổi của x trong hộp đen, ta có hàm số: f(x) Qua máy bình phương, x biến thành x².

Qua máy tăng gấp ba, x² biến thành 3x². Qua máy lấy bớt đi 5, 3x²biến thành 3x² – 5.

Vậy ta có biểu thức: f(x) = 3x²– 5.

* Thử nghiệm lại với giá trị x = 2, thay vào f(x) ta được: f(2) = 3 . 2² – 5 = 7.

Vậy 2 đi vào nhà máy và biến thành 7.