Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài toán nâng cao về đồ thị hàm số

1. Lời giới thiệu

Nội dung về hàm số và ứng dụng của hàm số để giải các bài toán chiếm một phần lớn và có một vị trí vô cùng quan trọng trong nội dung chương trình Toán ở trường Trung học phổ thông cũng như trong các kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia, Học sinh giỏi cấp tỉnh.

Bài toán về đồ thị hàm số nằm trong lớp các bài toán về hàm số.

Bài toán về đồ thị hàm số không những rèn luyện tư duy sáng tạo, trí thông minh mà còn đem lại niềm say mê và yêu thích môn Toán cho chính người học.

Khó khăn mà học sinh thường gặp là hệ thống bài tập liên quan đến đồ thị hàm số rất đa dạng và phong phú nhưng nội dung chưa đề cập một cách liên tục và có hệ thống trong sách giáo khoa phổ thông. Mặt khác trong kì thi trung học Phổ thông Quốc gia, từ năm 2017 môn Toán lại được ra dưới hình thức trắc nghiệm, học sinh thiếu tài liệu chuyên sâu về chủ đề này.

Vì vậy để giúp các em học sinh phổ thông trong quá trình học tập, hình thành cho học sinh những kiến thức và kỹ năng nhất định trong việc giải các bài toán nâng cao về đồ thị hàm số. Dưới sự góp ý của đồng nghiệp và trải qua những nhận xét rút được từ quá trình giảng dạy, tôi đã chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài toán nâng cao về đồ thị hàm số”. Với nội dung chính:

- Phân dạng và hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài toán nâng cao về đồ thị hàm số.

- Giới thiệu với học sinh một số bài toán nâng cao về đồ thị hàm số dưới hình thức trắc nghiệm.

2. Tên sáng kiến

“Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài toán nâng cao về đồ thị hàm số”

3. Tác giả sáng kiến

- Họ và tên: Nguyễn Thị Phương Dịu - Chức vụ: Chủ tịch Công đoàn

- Địa chỉ: Trường Trung học Phổ thông Lê Xoay, Khu 2, thị trấn Vĩnh Tường, huyện Vĩnh Tường, tỉnh Vĩnh Phúc

- Số điện thoại: 0936 383 666 - E-mail: diu.nf@hotmail.com 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến

Trường THPT Lê Xoay- huyện Vĩnh Tường- tỉnh Vĩnh Phúc 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến

Giảng dạy và bồi dưỡng kỹ năng giải bài tập toán giải tích cho học sinh THPT.

6. Ngày sáng kiến được áp dụng thử Từ tháng 8/2018.

7. Mô tả bản chất của sáng kiến 7.1. Các bước thực hiện sáng kiến 7.1.1. Nghiên cứu tài liệu

Thu thập các tài liệu liên quan đến chủ đề nghiên cứu: Giáo trình về phương pháp dạy học Toán, các tạp chí về khoa học giáo dục, các sách giáo khoa và các sách tham khảo, các trang web về toán học.

7.1.2. Điều tra sư phạm

Nghiên cứu, tìm hiểu chất lượng của học sinh, thăm dò ý kiến học sinh về những khó khăn trong khi giải bài tập toán về đồ thị hàm số của các em.

7.1.3. Quan sát sư phạm

Ghi nhật kí chi tiết, chính xác theo đúng trình tự thời gian nhằm tìm ra những ưu khuyết điểm trong quá trình giảng dạy.

7.1.4. Thực nghiệm sư phạm

Nhằm tìm hiệu quả của việc “Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài toán nâng cao về đồ thị hàm số” cho học sinh Trung học phổ thông tôi lập kế hoạch thực nghiệm cho việc nghiên cứu đề tài chia làm các giai đoạn: Thử áp dụng đề tài cho học sinh 3 lớp 12 ở hai năm học 2018-2019; 2019-2020. So sánh

7.2. Nội dung của sáng kiến

7.2.1. Cơ sở lí luận của vấn đề nghiên cứu

Khi giải bài toán nâng cao về đồ thị hàm số thì vấn đề cơ bản là học sinh phải nắm được các dạng đồ thị của các hàm số thường gặp, các phép biến đổi đồ thị hàm số để từ đó có sự linh hoạt trong vận dụng giải bài tập.

7.2.2. Thực trạng của vấn đề mà nội dung của đề tài đề cập đến

Trong chương trình Toán Trung học phổ thông, đồ thị hàm số được đề cập đến từ lớp 10 khi học sinh được học về hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai. Đến lớp 12 thì đồ thị hàm số tiếp tục được đề cập đến khi học sinh được học chương I - Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, trong chương trình Giải tích. Đây là kiến thức cần cho thi THPT Quốc gia và thi học sinh giỏi.

Trong bài viết này, Tôi xin đưa ra cách phân dạng, hướng dẫn Học sinh giải một số bài tập nâng cao về đồ thị hàm số cùng một số bài tập trắc nghiệm về đồ thị hàm số để minh hoạ cho Sáng kiến kinh nghiệm: “Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài toán nâng cao về đồ thị hàm số”.

7.2.3. Chuẩn bị thực hiện đề tài

- Hướng dẫn học sinh sử dụng các tài liệu tham khảo và giới thiệu sách hay có liên quan để học sinh tìm đọc.

- Chọn lọc, biên soạn theo hệ thống từng bài dạy.

- Nghiên cứu các đề thi Trung học phổ thông Quốc gia, đề thi học sinh giỏi, và trao đổi kinh nghiệm cùng đồng nghiệp.

7.2.4. Những biện pháp, giải pháp đặt ra của đề tài

7.2.4.1. Hình thành thái độ học tập môn Toán cho học sinh

Học sinh cấp Trung học phổ thông đã có ý thức tương đối tốt trong việc học hành. Nắm bắt được sự phát triển tâm lý này, giáo viên cần khơi gợi sự say mê, tìm tòi; kích thích hứng thú học tập của học sinh trong quá trình học môn Toán.

7.2.4.2. Phân loại và yêu cầu đối tượng

- Giới thiệu tính chất, hướng chứng minh.

- Đưa ra ví dụ minh hoạ, bài tập áp dụng tính chất.

7.2.4.3. Rèn luyện kỹ năng giải bài tập nâng cao về đồ thị hàm số cho học sinh 7.2.4.3.1– Kiến thức cơ bản:

Để giải các bài tập về đồ thị hàm số ta thường sử dụng các kiến thức cơ bản sau:

 Sách giáo khoa Đại số 10 –NXB Giáo dục nêu khái niệm về đồ thị của hàm số như sau:

“Đồ thị của hàm số y f x( ) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm



^{; ( )}



M x f x trên mặt phẳng toạ độ với mọi xD”

 Sách giáo khoa Giải tích 12 –NXB Giáo dục nêu nhận xét:

“Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm y f x( ) xác định trên K.

Nếu hàm số y f x( ) đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải;

Nếu hàm số y f x( ) nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải”.

 Cách vẽ đồ thị một số hàm đặc biệt

Đồ thị Cách vẽ

( )

y f x Lấy đối xứng đồ thị hàm số y f x( ) qua trục Oy

( )

y f x Lấy đối xứng đồ thị hàm số y f x( ) qua trục Ox

( )

y f x - Giữ nguyên phần đồ thị hàm số

( )

y f x phía trên trục Ox gọi phần đó là

 

C1 ;

- Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số ( )

y f x phía dưới trục Ox qua Ox gọi phần đó là

 

C2 .

Đồ thị cần vẽ là hợp của

 

C1 và

 

C2 . ( )

y f x - Giữ nguyên phần đồ thị hàm số

( )

y f x phía bên phải trục Oy gọi phần đó là

 

C1 ;

- Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số ( )

y f x phía bên phải Oy qua Oy gọi phần đó là

 

C2 .

Đồ thị cần vẽ là hợp của

 

C1 và

 

C2

( ) p

y f x  với p0 Tịnh tiến đồ thị hàm số y f x( ) theo vectơ ^u

 

^{0; p} ( lên phía trên p đơn vị) ( ) p

y f x  với p0 Tịnh tiến đồ thị hàm số y f x( ) theo vectơ ^u



^{0; p}



( xuống phía dưới p đơn vị)

( )

y f x q với q0 Tịnh tiến đồ thị hàm số y f x( ) theo vectơ ^u



^q;0



( sang bên trái q đơn vị)

( )

y f x q với q0 Tịnh tiến đồ thị hàm số y f x( ) theo vectơ ^u

 

^q;0 ( sang bên phải q đơn vị) ( )

y f px với p1 Co đồ thị hàm số y f x( ) theo chiều ngang hệ số p

( )

y f px với 0 p 1 Giãn đồ thị hàm số y f x( ) theo chiều ngang hệ số 1/p

( )

yqf x với q1 Giãn đồ thị hàm số y f x( ) theo chiều dọc hệ số q

( )

yqf x với 0 q 1 Co đồ thị hàm số y f x( ) theo chiều dọc hệ số 1/q

( )

y f x a Vẽ đồ thị hàm số y f x( ) trước, sau đó tịnh tiến đồ thị hàm số y f x( ) lên trên hoặc xuống dưới tuỳ thuộc dấu của a

( )

y f x b Vẽ đồ thị hàm số y f x( ) trước, sau đó tịnh tiến đồ thị hàm số y f x( ) sang trái hoặc sang phải tuỳ thuộc dấu của b

7.2.4.3.2 – Các dạng toán thường gặp:

7.2.4.3.2.1 – Dạng 1: Liên hệ giữa đồ thị hàm số và nghiệm của phương trình.

7.2.4.3.2.1.1 –Bài toán 1 :

Bài toán : Biết đồ thị của hàm số yf(x). Tìm số nghiệm của phương trình

 

( ) b, , , 0

af x  a b a Cách giải:

+ Đưa phương trình af x( )b về dạng ( ) b f x  a.

+ Số nghiệm của phương trình ^{af x( )b,}



^{a b,  ,a0}



bằng số giao điểm của đồ thị hàm số yf(x) và đường thẳng b

y  a (đường thẳng b

y a song song với trục hoành).

Bài 1. Cho hàm số bậc ba yf(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Số nghiệm thực của phương trình 5 ( )f x  2 0 là

A. 3. B. 2 . C. 1. D. ⁰.

Hướng dẫn

+ Phương trình 2

5 ( ) 2 0 ( )

f x f x 5

    .

+ Số nghiệm của phương trình 5 ( )f x  2 0 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số yf(x) và đường thẳng 2

y 5 .

Từ hình vẽ và nhận xét đường thẳng 2 y 5

 song song với trục hoành nên có số giao điểm là 3.

Vậy chọn đáp án A.

Bài 2. (Đề thi THPT QG - Mã đề 102 - 2018)

Cho hàm số ^{f x( )ax4 bx2 c a b c,}



^{, , }



^,a0 có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình 4 ( )f x  3 0 là

A. 4 . B. 2 . C. 3. D. ⁰.

Hướng dẫn

+ Phương trình 3

4 ( ) 3 0 ( )

f x    f x  4.

+ Số nghiệm của phương trình 4 ( )f x  3 0 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số yf(x) và đường thẳng 3

y  4.

Từ hình vẽ và nhận xét đường thẳng 3

y 4song song với trục hoành nên có số giao điểm là 4.

Vậy chọn đáp án A.

Bài 3. Cho hàm số yf(x) liên tục trên đoạn



^2;2



và có đồ thị như hình vẽ.

Số nghiệm thực của phương trình 2 ( )f x  3 0 trên đoạn



^{ 2; 1}



^là

A. 2 . B. 1. C. 4 . D. ³.

Hướng dẫn

+ Phương trình 3

2 ( ) 3 0 ( )

f x    f x  2.

+ Số nghiệm của phương trình 2 ( )f x  3 0 trên đoạn



^{ 2; 1}



bằng số giao điểm của đồ thị hàm số yf(x) và đường thẳng 3

y 2 trên đoạn



^{ 2; 1}



^.

Từ hình vẽ và nhận xét đường thẳng 3

y 2song song với trục hoành nên có số giao điểm là 2.

Vậy chọn đáp án A.

Bài 4. Cho hàm số ^{y f x}

 

xác định và liên tục trên đoạn



^2;2



và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ sau.

Tất cả các giá trị thực của tham số

m

để phương trình ^{f x}

 

^m có 3 nghiệm phân biệt trên đoạn



^2;2



^là

A. ^m



^2;



. B. ^{m }



^2;2



. C. ^{m }



^2;3



. D. ^{m }



^2;2



^.

Hướng dẫn Chọn D.

Số nghiệm của phương trình ^{f x}

 

^m bằng số điểm chung của đồ thị hàm số

 

y f x (hình vẽ) và đường thẳng ym trên đoạn



^2;2



Nhìn vào đồ thị ta thấy để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì ^{m }



^2;2



^.

Vậy chọn đáp án D.

7.2.4.3.2.1.2 – Bài toán 2 :

Bài toán : Biết đồ thị của hàm số yf(x). Xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng ^{f x}

 

^{g m}

 

^{, f u x}

   

^{g m}

 

^{, f x}

 

^{ f m}

 

^,

     

f u x  f m . Cách giải:

Xét trường hợp ^{f u x}

   

^{ g m}

 

ta làm như sau:

+ Chặn giá trị của ^{x u x,}

 

^{, f u x}

   

+ Đặt ^{tu x}

 

, phương trình trở thành ^{f t}

 

^{g m}

 

+ Từ đồ thị suy ra điều kiện của ^{g m}

 

, từ đó suy ra điều kiện của m.

Bài 1. Cho hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

 

^{2 1 0}

3

x m

f   ^  có hai nghiệm phân biệt ?

A. 3. B. 4. C. 7. D. 6.

Hướng dẫn Chọn A

Phương trình đã cho tương đương với

 

^{2 1 0 1}

 

3

x m

f   ^  .

Đặt t ^x. Điều kiện t 0. (1) trở thành

 

^{2 1 2}

 

3

f t m  .

Vì với mỗi nghiệm t 0 của phương trình (2) cho đúng một nghiệm xlog_t của phương trình (1) nên (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có đúng

hai nghiệm phân biệt trên



^0;



^. Dựa vào đồ thị ta thấy điều này xảy ra khi và chỉ khi

2 1

1 1.

3 m 

  

Mà m nguyên nên

 

2 1 1;0;1

2 2

1 1

3

m m

m m

m

   

    

      

 .

Vậy có 3 giá trị của m thoả mãn.

Bài 2. Cho hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên \ 1 và có đồ thị như hình vẽ dưới

 

đây

Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f



log2x



m có nghiệm thuộc



^{4; }



^là

A.



^{2; }



^{. B.}



^{0;1 .}



^C.

 

0;1 . D. ^{\ 1 .}

 

Hướng dẫn Chọn B

Đặt t log₂x. Với ^x



^{4; }



^{thì t}



^{2; }



^.

Do đó phương trình f



log2x



m có nghiệm thuộc



^{4; }



khi và chỉ khi phương trình ^{f t}

 

^m có nghiệm ^t



^{2; }



Quan sát đồ thị ta suy ra điều kiện của tham số m là ^m



^0;1



^.

Bài 3. Cho hàm số y f x( ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Số các giá trị nguyên của m lớn hơn -10 để phương trình



^{2 2x 1}



^{5 0}

f x     m

có đúng hai nghiệm phân biệt là

A. 13. B. 12 . C. 14 . D. 0.

O ^x

y 2

1 2 1

Hướng dẫn Chọn A

Đặt t x² 2x1,t0. Phương trình đã cho trở thành ^{f t}

 

^{ m 5 1}

 

Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt khi phương trình

 

¹ có đúng 1 nghiệm dương.

Từ đồ thị hàm số ^{y f x}

 

^{ta có m    5 2 m 3.}

Do m nguyên và m lớn hơn -10 nênm   



9; 8; 7,...,2;3 .



Vậy có 13 giá trị của m thỏa mãn.

Bài 4. Cho hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của _m để phương trình ^{f x}



^{2 3}



^{m2 7} có nghiệm ?

A. m  7. B. m  7. C. m  11. D. m  11. Hướng dẫn

Chọn D

Đặt t x² 3 suy ra t3, ta có phương trình ^{f t}

 

^{m2 7}

Từ đồ thị suy ra phương trình ^{f t}

 

^{m2 7} có nghiệm t3 khi và chỉ khi

   

2 7 4 11

m m .

Vậy m  11.

Bài 5. Cho hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Để phương trình ^{f x}



^{2 6x13}



^{ f m}

 

có nghiệm thì tất cả các giá trị m thoả mãn là ^{m }



^;a

 

^{ b;}



^{. Tính 2020ab?}

A. 6066. B. 2025. C. 6064. D. 2024. Hướng dẫn

Chọn C

Đặt t x² 6x13 suy ra t4, ta có phương trình ^{f t}

   

^{ f m}

Dựa vào đồ thị phương trình ^{f t}

   

^{ f m} có nghiệm t4 khi và chỉ khi

 

   ^{ }  5 3

4 f m m

m .

Suy ra a3;b 4 2020a b 6064. Vậy 2020a b 6064.

Bài 6. Cho hàm số y f x( ) liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Tất cả các giá trị của m để phương trình f(sin )x m có nghiệm thuộc khoảng

 

^{0; là}

A. ^{m }



^1;1



^{. B. m}



^1;3



^{. C. m}



^1;3



^{. D. m }



^1;1



. Hướng dẫn

Chọn C

Đặt t sinx, do ^x

 

^{0;  t}



^0;1



^.

Phương trình trở thành f t( )m

Phương trình f(sin )x m có nghiệm thuộc khoảng

 

^0; khi và chỉ khi phương trình f t( )m có nghiệm ^t



^0;1



^.

Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có giá trị cần tìm của m là ^m



^1;3



^.

Bài 7. Cho hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình ^{f x}



^22x



^{m có}

đúng 4 nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn 3 7 2 2;

 

 

  là

A. 9. B. 5. C. 6. D. 8.

Hướng dẫn Chọn D

Đặt t  x² 2 ,x ta có bảng biến thiên

Vậy với 3 7

2 2;

x   thì 21 1; . t  4  Dựa vào BBT ta thấy: với mỗi 21

1; 4

t   sẽ cho hai nghiệm x và với t  1 sẽ cho một nghiệm x.

Do đó phương trình ^{f x}



^{2 2x}



^m có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 3 7;

2 2

 

 

  ^{ f t}

 

^m có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc 21 1; 4

 

 

 . Dựa vào đồ thị ta có phương trình ^{f t}

 

^m có đúng 2 nghiệm phân biệt

1;21

t  4  khi

2 4

5 .

(4) m m m f

  

 

 

Vì m nguyên nên m3,m5. Vậy chọn đáp án D.

Bài 8. Cho hàm số ^{y  f x}

 

liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình



^{3 3 2 2}



^{2 3}

f x  x  m  m có nghiệm thuộc nửa khoảng



^{1;3 ?}



A. 4. B. 6. C. 3. D. Vô số.

Hướng dẫn Chọn A

Đặt t x³ 3x² 2. Vì 1     x 3 2 t 2.

Phương trình ^{f x}



^{33x2 2}



^{m2 3m f t}

 

^{m2 3m với t }



^2;2



^.

Phương trình có nghiệm

2 2

2

3 2 0 1 1

2 3 4

2 4

3 4 0

m m m

m m

m m m

      

            . Vậy có tất cả 4 giá trị nguyên của tham số m thoả mãn.

Bài 9. Cho hàm số ^{y f x}

 

có đồ thị như hình vẽ.

Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình ^f



^cosx



^m

có đúng hai nghiệm thuộc khoảng ; 2 2

 

 

 

 ?

A. 18. B. 6. C. 5. D. 4.

Hướng dẫn Chọn D

Đặt cos ; 0 1

2 2

t  x x     t .

Nhận xét: với mỗi giá trị t thỏa mãn 0 t 1 cho tương ứng hai giá trị x₀ và

 

x0 thuộc khoảng ; 2 2

 

 

 

 .

Phương trình ^f



^cosx



^m có đúng hai nghiệm thuộc khoảng ;

2 2

 

 

 

 

 Phương trình ^{f t}

 

^m có đúng 1 nghiệm thuộc khoảng

 

^0;1

7 m 2

     .

Mà: ^m      ^m



^{3; 4; 5; 6}



.

Vậy tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để thoả mãn đề bài là ( 18 ).

Bài 10. Cho hàm số y f x( ) liên tục trên và có đồ thị là đường cong như hình vẽ dưới đây:

Có bao nhiêu giá trị âm của tham số m để phương trình f x( ) f m( ) có đúng 2 nghiệm?

A. 2. B. 3. C. 4. D. 1.

Hướng dẫn Chọn A

Dựa vào đồ thị hàm số thì phương trình f x( ) f m( ) có đúng 2 nghiệm ( ) 1

( ) 3 (1).

f m f m

  

  

Số giá trị m thỏa mãn (1) chính là số nghiệm x âm của hệ ^{( ) 1}(2).

( ) 3 f x f x

  

 



Lại dựa vào đồ thị thì đường thẳng y3 cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt, đường thẳng y 1 cũng cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt, 4 điểm này có 2 điểm có hoành độ âm khác nhau nên hệ (2) có 2 giá trị x âm thỏa mãn. Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa mãn bài toán.

7.2.4.3.2.1.3–Bài toán 3 :

Bài toán : Biết đồ thị của hàm số yf(x). Tìm số nghiệm của phương trình

 

( ) b , , , , 0, 0

af x  c a b c a c Cách giải 1:

+ Đưa phương trình af x( ) b c về dạng b

( ) c

f x  a a. + Từ đồ thị hàm số yf(x) suy ra đồ thị hàm số b

( ) y f x

 a

+ Từ đó tìm được số nghiệm của phương trình af x( ) b c theo bài toán 1.

Cách giải 2:

+ Đưa phương trình af x( ) b c về dạng

( ) ( ) f x c b

a f x c b

a

  



   



.

+ Từ đồ thị hàm số yf(x) rút ra kết luận về số nghiệm các phương trình ( ) c b; ( ) c b

f x f x

a a

  

 

+ Từ đó tìm được số nghiệm của phương trình af x( ) b c Nhận xét :

Làm tương tự khi xét các bài toán :

Biết đồ thị của hàm số ^{y f x} , xét các bài toán liên quan đến phương trình có dạng ^f

 

^{x a f u x;}



 



^a....

Bài 1. Cho hàm số bậc ba ^{y f x}

 

có đồ thị như hình vẽ.

Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m: m 5để phương trình ^{f x}

 

^m

có hai nghiệm phân biệt là

A. 14. B. 15. C. 30. D. 10.

Hướng dẫn Chọn A

Từ hình vẽ suy ra tập các giá trị nguyên của tham số m: m 5để phương trình

 

f x mcó hai nghiệm phân biệt là ^m



^0;2;3;4;5



^.

Vậy có tổng các giá trị của m thoả mãn là 14.

Bài 2. Cho đồ thị của hàm số ^{y f x}

 

như hình vẽ:

Tìm số nghiệm phương trình

 

³

f x 2.

A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.

Hướng dẫn Chọn D

Cách 1:

Đồ thị hàm ^{y  f x}

 

gồm 2 phần:

+ Phần đồ thị ^{y  f x}

 

^{nằm trên Ox} (Kể cả giao điểm trên trục Ox) + Phần đồ thị lấy đối xứng qua Ox của đồ thị ^{y  f x}

 

^{nằm dưới Ox}

Từ đó ta có đồ thị của của hàm số ^{y f x}

 

^.

Từ đồ thị của hàm số ^{y  f x}

 

^{suy ra}

 

³

f x 2 có 6 nghiệm.

Cách 2:

 

³

f x  2

   

   

3 * 2 3 **

2 f x f x

  

 

 



Dựa vào đồ thị trên:

-Phương trình

 

³

f x  2: có 4 nghiệm -Phương trình

 

³

f x 2: có 2 nghiệm Vậy

 

³

f x  2 có 6 nghiệm.

Bài 3. Cho hàm số bậc bốn ^{y f x}

 

có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tìm tập

 

^

A.



^{0;2 .}



^B.



^{0;1 .}



^C.

 

^{0;2 . D.}

 

^{0;1 .}

Hướng dẫn Chọn C

Từ đồ thị hàm số ^{y f x}

 

ta suy ra đồ thị hàm số ^{y2f x}

 

như hình vẽ (đồ thị nét liền)

Từ đồ thị hàm số ^{y2f x}

 

ta suy ra đồ thị hàm số ^{y 2f x}

 

như hình vẽ (đồ thị nét liền)

Từ hình vẽ suy ra tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

 

2f x mcó tám nghiệm phân biệt là ^m

 

^{0;2 .}

Bài 4. (Đề thi THPT QG - Mã đề 103 - 2019) Cho hàm số bậc ba ^{y f x}

 

^có

đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình



^{3 3}



³

f x  x  2 là

A. 8. B. 4 . C. 7. D. 3.

Hướng dẫn Chọn A

Phương trình

   

 

3 3

3

3 3

3 2

3 2 3

3 2

f x x f x x

f x x

  

   

   



.

* Phương trình

     

 

3

1 1

3 3

2 2

3

3 3

3 , 2 0

3 3 3 , 0 2

2

3 , 2

x x a a

f x x x x a a

x x a a

     

      

   



.

* Phương trình



^{3 3}



^{3 3 3 4,}



^{4 2}



f x  x   2 x  xa a   . Đồ thị hàm số yx³ 3x có dạng như hình vẽ sau:

y

a₂ x

a₁ a₃

a₄

y =- 3 2

y = 3 2

-2 O 2

-1 2

Dựa vào đồ thị trên ta có:

- Phương trình x³ 3xa₁ có 3 nghiệm phân biệt.

- Phương trình x³ 3xa₂ có 3 nghiệm phân biệt.

- Phương trình x³ 3xa₃ có 1 nghiệm.

- Phương trình x³ 3xa₄ có 1 nghiệm.

Vậy phương trình



^{3 3}



³

f x  x  2 có 8 nghiệm phân biệt.

Bài 5. (Đề thi THPT QG - Mã đề 101 - 2019) Cho hàm số bậc ba ^{y f x}

 

^có

đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình ^{f x}



^{4 2x2}



^{2 là}

A. 8 . B. 9. C. 7 . D. 10 .

Hướng dẫn Chọn A

Phương trình

   

 

4 2

4 2

4 2

2 2

2 2

2 2

f x x

f x x

f x x

  

  

   



.

x y

y = a₄ y = a₃

y = a₂

y = a₁ O

2

-2 -1 1

* Phương trình

     

 

4 2

4 2 4 2

4 2

2 , 1 0

2 2 2 , 0 1

2 , 2 3

x x b b

f x x x x c c

x x d d

     

       

    



.

* Phương trình ^{f x}



^{4 2x2}



^{  2 x4 2x2 a,}



^{   2 a 1}



^.

Đồ thị hàm số yx⁴ 2x² như hình vẽ sau:

Dựa vào đồ thị trên ta có:

- Phương trình ^{x4 2x2 a,}



^{   2 a 1}



không có nghiệm thực.

- Phương trình ^{x4 2x2 b,}



^{  1 b 0}



có 4 nghiệm thực phân biệt.

- Phương trình ^{x4 2x2 c, 0}



^{ c 1}



có 2 nghiệm thực phân biệt.

- Phương trình ^{x4 2x2 d, 2}



^{ d 3}



có 2 nghiệm thực phân biệt.

Vậy phương trình ^{f x}



^{4 2x2}



^2 có 8 nghiệm thực phân biệt.

A. ⁴. B. 6. C. 3. D. 8.

Hướng dẫn Chọn D

Ta có f cos 2x 1

 

 

cos 2 1 cos 2 1

f x

f x



 

  

 

 

cos 2 0

cos 2 1 cos 2 0

sin 4 0 sin 2 0

cos 2 1

cos 2 1

x

x a VN x

x x

x b VN

x

 

    

         

  

Phương trình sin 4x 0 có 8 nghiệm thuộc 0;2 .

Bài 7. Đồ thị hàm số y 2x³ 9x² 12x4 như hình vẽ. Phương trình

3 2 9

2 9 12 0

x  x  x  2 có bao nhiêu nghiệm phân biệt?

A. 3. B. 4. C. 6. D. 8.

Hướng dẫn Chọn C

Xét phương trình ^{3 2} 9

2 9 12 0

x  x  x  2

O x

y

1

1

2 4

^{3 2} 1

2 9 12 4

x x x 2

      (*)

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số

3 2

2 9 12 4

y  x  x  x  và đường thẳng 1 y  2

Hình vẽ dưới là đồ thị hàm số y 2 x³ 9x² 2x4 (C). Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng 1

y  2 cắt đồ thị (C ) tại 6 nghiệm phân biệt.

Bài 8. Cho hàm số ( ) ax b y f x

cx d

  

 có đồ thị như hình vẽ.

Tất cả các giá trị của m để phương trình ( )f x mcó hai nghiệm phân biệt là

A. ^m

  

^{0;1  1;}



. B. ^{m  }



^;1

 

^2;



^.

C. ^{m  }



^;1

 

^2;



D. ^m

 

^{0;1 .}

Hướng dẫn Chọn C

Số nghiệm của phương trình f x( )m(1) là số giao điểm của đồ thị hàm số ( )

y f x và đường thẳng y m.

O ^x

y

1

1

2 4

1

2

+ Phần 1: Đồ thị hàm số y f x( )với x0.

+ Phần 2: Lấy đối xứng đồ thị hàm số y f x( )với x0qua trục Oy.

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì đường thẳng ym cắt đồ thị ( )

y f x tại 2 điểm phân biệt. Từ đồ thị ta có m2;m1

Bài 9. Cho hàm số xác định trên và có đồ thị như hình vẽ. Hỏi phương trình có bao nhiêu nghiệm?

A. 4. B. 0. C. 6. D. 2.

Hướng dẫn Chọn A

+ Trước tiên tịnh tiến đồ thị sang phải 2 đơn vị để được đồ thị hàm số .

 

C1

+ Tiếp theo xóa bỏ phần đồ thị phía bên trái đường thẳng .

+ Cuối cùng lấy đối xứng phần đồ thị còn lại ở trên qua đường thẳng . Ta được toàn bộ phần đồ thị của hàm số (hình vẽ bên dưới)

 

C2

+ Dựa vào đồ thị hàm số , ta thấy đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

 

y f x



²



¹

f x  2

x y

1 3

-1 -1 O



²



y f x 2

x

2 x



^{2 .}



y f x

x y

1 3

-1 O 3

y f x 2

x y

1

2 -1

3 O

2 y f x

1 y 2



²



y f x 1

y 2



²



y f x 



²



¹

f x  2

Bài 10. Cho hàm số ^{f x}

 

^{ax3bx2 cxd a b c d}



^{, , , }



có đồ thị như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m đề phương trình ^{2f x}

 

^{ m 0 có}

đúng 4 nghiệm thực phân biệt.

A.   3 m 1. B.   1 m 3. C.  2 m6. D.   6 m 2. Hướng dẫn

Chọn D

Ta có: ^{2f x}

 

^{ m 0}

 

2 f x m

  .

 

f x là hàm chẵn nên đồ thị như hình sau:

Từ đồ thị ta có phương trình ^{2f x}

 

^{ m 0} có 4 nghiệm thực phân biệt khi:

m

      

Bài 11. Cho hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Số giá trị nguyên của m để phương trình ^{f x}



^2



^m có nghiệm trên đoạn



^1,5



^là.

A. 3. B. 5. C. 4. D. 2.

Hướng dẫn Chọn C

Ta có            1 x 5 3 x 2 3 0 x 2 3 Do đó ^{  x}



^1;5



^{, 0  x 2 3.}

Đặt t  x 2 với ^t

 

^0;3 . Xét hàm số ^{y f t}

 

liên tục trên

 

^{0;3 .}

Dựa vào đồ thị ta thấy

 ^0;3

max ( )f t 5,

 ^0;3

min ( )f t 2

 1;5 1;5

max (f x 2 ) 5,min (f x 2 ) 2

   

  

Suy ra phương trình ^{f x}



^2



^m có nghiệm trên đoạn



^1,5



^{khi 2m5.}

7.2.4.3.2.2– Dạng 2: Liên hệ giữa đồ thị hàm số ^{y f '}

 

^x và nghiệm của phương trình.

Bài toán: Biết đồ thị của hàm số ^{y f}

 

^x , xét nghiệm của các phương trình có dạng ^{f x}

 

^{0;f u x}

   

^{0;f x}

 

^{g x}

 

^{; f u x}

   

^{g v x}

   

^....

Cách giải:

Từ đồ thị của hàm số ^{y f}

 

^x rút ra nhận xét về bảng biến thiên hoặc đồ thị hàm số ^{y f x}

 

và làm tương tự các bài toán trên.

Bài 1. Cho hàm số ^{y= f x}

 

^{a.x3 b.x2 c.xd} với , , ,a b c d , có đồ thị

 

y= f ' x như hình dưới đây

Biết ^f

 

^{0 0}. Khi đó số nghiệm của phương trình ^{f x}



^{2 x}



^{0 là}

A. 2. B. 4. C. 3. D. 6.

Hướng dẫn Chọn B

*Cách 1: Từ đồ thị ta có BBT sau:

Từ BBT ta có

 

^{0 0}

2 f x x

x a

 

     Do đó



²



^{0 2}₂ ^{0 1}

   

2 x x

f x x

x x a

  

   

  

Ta có (1) 0

1 x x

 

  

(2) x²   x a 0, có   1 4a  0, a 2 nên (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt khác 0 và 1

Vậy phương trình ^{f x}



^{2 x}



^0 có 4 nghiệm phân biệt.

*Cách 2: Từ đồ thị ta có

 

^{0 0}

2 f ' x x

x

 

    Đặt ^{g x}

 

^{ f x}



^{2 x}



Ta có ^{g' x}

 

^_^{f x}



^{2 x '}



^_ ^



^2x1



^{f ' x}



^{2 x}



  

²



2 1 0 1

0 1 0 1 2

0 2

x

g' x x ; ; ; ;

f ' x x

    

       

Từ BBT ta thấy phương trình ^{g x}

 

^{ f x}



^{2 x}



^0 có 4 nghiệm phân biệt.

*Cách 3: Từ giả thiết ta có ^{f ' x}

 

^{3ax2 2bxc.}

Từ đồ thị ta có ^{f '}

 

^{0   0 c 0;}

 

^{2 0 12 4 0 3 0}

f '   a b c   a b  (1) Lại có ^{f '}

 

^{1  1 nên 3a2b1 (2)}

Từ (1), (2) ta có 1 3 1

a  ; b 

Do đó

 

^{2 2}

  

^{2 2}



^{3 2}

3

f ' x x  x f x 



x  x dx x x C Lại có ^f

 

^{0   0 C 0 nên}

 

^{3 2}

3 f x  x x

Mặt khác

 

^{0 3 2 0 0}

3 3 x x

f x x

x

 

      

Khi đó



²



^{0 2}₂ ^{0 0}1 13¹

3 2

x ; x x x

f x x

x x x

 

   

        

có 4 nghiệm.

Vậy phương trình ^{f x}



^{2 x}



^0có 4 nghiệm.

Bài 2. Cho hàm số ^{y= f x}

 

xác định trên . Hàm số ^{y= f ' x}

 

có đồ thị như hình dưới đây.

Số nghiệm nhiều nhất của phương trình ^{f x}

 

^{2 m (m} là tham số thực) là?

A. 2. B. 3. C. 4. D. 5

Hướng dẫn Chọn C

Dựa vào đồ thị hàm số ^{y f}

 

^x ta có bảng biến thiên của đồ thị hàm số

 

y f x như sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình ^{f x}

 

^mcó tối đa hai nghiệm dương, do đó phương trình ^{f x}

 

^{2 m} có tối đa ⁴ nghiệm.

Bài 3. Cho hàm số f x( )ax⁵ bx⁴ cx³dx² exm với , , , , ,a b c d e m

0

a . Hàm số y f( )x có đồ thị như hình vẽ (đồ thị của y f( )x cắt Ox tại ⁴ điểm có hoành độ  3; 1; 0,5 và 2 ).

Hỏi phương trình f x( ) m có mấy nghiệm phân biệt.

A. 3. B. 1. C. 5. D. 4.

Hướng dẫn Chọn C

Từ đồ thị ta có

     

^{4 3 2}



'( ) 3 1 2 1 2 2 3 12 7 6

f x a x x x x a x  x  x  x .



^{4 3 2}



^{2 5 3 4 3 7 2}

( ) 2 3 12 7 6 d 4 6

5 4 2

f x a x x x x x a x x x x x m

            

 



.

Giải phương trình :

5 4 3 2

4 3 2

2 3 7 0

( ) 4 6 0 2 3 7

5 4 2 4 6 0 (1)

5 4 2

x

f x m x x x x x

x x x x

 

        

     

 .

Ta thấy phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khác 0.