Đề thi HSG Toán lớp 9 Sở GD&ĐT Hà Tĩnh năm 2022 có lời giải chi tiết

(1)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC: 2021 – 2022

Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề

I – PHẦN GHI KẾT QUẢ (10 điểm, thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)

Câu 1. Cho ³

3

1 2 3.

2 3

a  

 Tính giá trị của biểu thức Pa³3a2022.

Câu 2. Tính giá trị của biểu thức ² ¹ ⁴

1 1 2

x x x

A x

x x x x x

    

  

         khi x2022.

Câu 3. Cho các số thực x y z, , thỏa mãn ² ² .

3 5

x y z x y z

  

  

 Tính giá trị của biểu thức

2

2 2

2 3

2 x xy

P x y

 

 với x y, 0.

Câu 4. Giải phương trình 1

2 x 3x 2 3.

x

 

    

 

 

Câu 5. Giải hệ phương trình 2



1



² 8 ² .

1 2

x y y x y

x y y x x y

    

    



Câu 6. Tìm bốn chữ số tận cùng của 5²⁰²² trong hệ thập phân.

Câu 7. Cho hình vuông cạnh 2a và hai nữa đường tròn bán kính cùng bằng a, tiếp xúc với nhau như hình vẽ. Một đường tròn  ^C tiếp xúc với hai nữa đường tròn đã cho và tiếp xúc với cạnh hình vuông (hình vẽ). Tính diện tích hình tròn  ^C ^.

Câu 8. Cho đường thẳng ^{d y}^: ^^{m x} ^{ }² ³^với 0, ³.

m m 2 Biết rằng đường thẳng

d luôn cắt hai trục tọa độ Oxvà Oy tại hai điểm A B, phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của ¹₂ ¹₂. OA OB

Câu 9. Cho tam giác nhọn ABC cân tại A, đường cao AD, trực tâm H. Biết AH49 cm BH, 14cm. Tính độ dài đoạn thẳng AD.

Câu 10. Trên bảng có 2022 số tự nhiên khác nhau từ số 1 đến số 2022. Lần thứ nhất xóa đi hai số bất kỳ và viết tổng của chúng lên bảng, lúc này trên bảng còn 2021 số. Lần thứ nhất xóa đi hai số bất kỳ và viết tổng của chúng lên bảng và cứ tiếp tục như vậy. Hỏi đến lần thứ 2021, trên bảng còn lại số nào?

II – PHẦN TỰ LUẬN (10 điểm, thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)

Câu 11. (3 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên x⁴2x³6x²4y²32x4y390.

Câu 12. (5 điểm) Cho đường tròn  O đường kính BC và điểm A di động trên đường tròn  O sao cho AB, .

AC Gọi H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC. Lấy D là trung điểm đoạn HC. Kẻ đường thẳng đi qua H vuông góc với đường thẳng AD cắt đường thẳng AB tại điểm E.

a) Chứng minh rằng HD HE  AD AH .

b) Chứng minh rằng B là trung điểm AE. Tìm quỹ tích điểm E.

Câu 13. (2 điểm) Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn ab  a b 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2

1 .

1 1 2 3

a b a b

P b a a b

    

   

---HẾT--- ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(2)

(3)

(4)

(5)