Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Sở GD&ĐT TP Hà Nội năm 2022 có lời giải chi tiết

(1)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN VÀO LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC: 2021 – 2022

Môn thi: TOÁN (chuyên Toán) Ngày thi: 14/06/2021

Thời gian làm bài: 150 phút Bài I (2,0 điểm)

1) Giải phương trình: x²  x 2 2 x 1 0.

2) Cho ba số thực a b, và c thỏa mãn abbcca1. Chứng minh:

2 2 2 0.

1 1 1

a b b c c a

c a b

  

  

  

Bài II (2,0 điểm)

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên



^{x y}^;



^{thỏa mãn}^x²^⁵^xy^⁶^y²^{ }^x ²^y^{ }² ^0.

2) Chứng minh với mỗi số nguyên n, số n² n 16 không chia hết cho 49.

Bài III (2,0 điểm)

1) Cho số thực x khác 0 thỏa mãn x ²

x và x³ đều là số hữu tỉ. Chứng minh x là số hữu tỉ.

2) Cho các số thực không âm a b, và c thỏa mãn a  b c 5. Chứng minh:

2a2ababc18.

Bài IV (2,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn

 

^O ^,^{với góc}^BAC^^⁶⁰⁰^vàABAC. Các đường thẳng ,

BO CO lần lượt cắt các đoạn thẳng AC AB, tại M N, . Gọi F là điểm chính giữa cung BC lớn.

1) Chứng minh năm điểm A N O M, , , và F cùng thuộc một đường tròn.

2) Gọi P Q, lần lượt là các giao điểm thứ hai của hai tia FN FM, với đường tròn

 

^O ^.^Gọi^J^{là giao}

điểm của đường thẳng BC với đường thẳng PQ. Chứng minh AJ là tia phân giác của góc BAC^. 3) Gọi K là giao điểm của đường thẳng OJ với đường thẳng CF. Chứng minh AB vuông góc với AK. Bài V (2,0 điểm)

Cho A là một tập hợp con có 100 phần tử của tập hợp 1, 2, 3,..., 178 . 1) Chứng minh A chứa hai số tự nhiên liên tiếp.

2) Chứng minh với mọi số tự nhiên n thuộc tập hợp 2, 3, 4,..., 22 , tồn tại hai phần tử của A có hiệu bằng n.

………Hết………

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ tên thí sinh: ………Số báo danh: ………

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(2)

LỜI GIẢI CHI TIẾT Bài I (2,0 điểm)

1) Giải phương trình: x²  x 2 2 x 1 0.

2) Cho ba số thực a b, và c thỏa mãn abbcca1. Chứng minh:

2 2 2 0.

1 1 1

a b b c c a

c a b

     

  

Lời giải 1) Điều kiện x1. Phương trình tương đương:

 

2

2 2

1 2 1 1 0

1 1 0

0 0.

1 1 0

x x x

x x

x

     

    

 

      Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x0.

2) Ta có: 1c² abbccac² 



b c c



a



. Suy ra:

      

2 2

2 .

1

a b a b a b

c b c c a a b b c c a

    

     

Tương tự ta cũng có:

   

2 2

1 2

b c b c

a a b b c c a

  

    và

   

2 2

2 .

1

c a c a

b a b b c c a

  

   

Khi đó:

     

   

2 2 2 2 2 2

2 2 2 0.

1 1 1

a b b c c a

c a b a b b c c a

    

      

     

Ta có điều phải chứng minh.

Bài II (2,0 điểm)

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên



^{x y}^;



^{thỏa mãn}^x²^⁵^xy^⁶^y²^{ }^x ²^y^{ }² ^0.

2) Chứng minh với mỗi số nguyên n, số n² n 16 không chia hết cho 49.

Lời giải 1) Ta có:

    

  

2 2

5 6 2 2 0

2 3 2 2

2 3 1 2

x xy y x y

x y x y x y

x y x y

     

     

    

Khi đó, ta có:

(3)

2

x y 2 1 1 2

3 1

x y 1 2 2 1

x 2 3 1 6

y 0 2 0 2

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm



x y^;

 

 2;0 , 3; 2 , 1;0 , 6; 2 .

 



   





2) Giả sử tồn tại số nguyên n sao cho n² n 16 chia hết cho 49.

Suy ra n² n 16 chia hết cho 7.

Vì ^{gcd 4; 7}

 

^{ }¹



ⁿ²^{ }ⁿ ^{16 7}



^ ^⁴



ⁿ²^{ }ⁿ ^{16 7}



^ ^^__



²ⁿ^¹



²^^{63 7.}^__^

Do ^{63 7} 



²ⁿ¹



²⁷



²ⁿ^{1 7}



 do n. Từ đây suy ra



²ⁿ¹



²^49.

Ta có: ⁴



ⁿ²^{ }ⁿ ¹⁶



^



²ⁿ^¹



²^⁶³ chia hết cho 49 nên 63 chia hết cho 49, vô lí.

Vậy với mỗi số nguyên n, số n² n 16 không chia hết cho 49.

Bài III (2,0 điểm)

1) Cho số thực x khác 0 thỏa mãn x ²

x và x³ đều là số hữu tỉ. Chứng minh x là số hữu tỉ.

2) Cho các số thực không âm a b, và c thỏa mãn a  b c 5. Chứng minh:

2a2ababc18.

Lời giải

1) Ta có x³ x ² x⁴ 2x² x

 

   

 

  là số hữu tỉ, suy ra x⁴2x²4 cũng là số hữu tỉ.

Ta có: ⁴ ² ⁴ 2 ³ 2

2 4 2 2 .

x x x x x x x x

x x

 

   

   

           

Do x ²

x và x³ đều là số hữu tỉ nên x³ 2 x ² x

 

    là số hữu tỉ.

Vì x⁴2x²4 và x³ 2 x ² x

 

    là các số hữu tỉ nên

4 2

3

2 4

2 2

x x

x

x x

x

 

    

là số hữu tỉ.

2) Ta có: ² ² ²



²



² ¹



²



² ² ¹



⁷



² ^.

4 4

a ababca b c a  b c a  a 

Ta chứng minh ² ¹



⁷



² ^18,

a 4 a 

   

 

  thật vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương:

(4)

 

  

2

3 2

2

2 7 18

4

14 57 72 0

8 3 0.

a a

a

a a a

a a

  

    

   

Vì a          b c 5 a 5 b c 5 a 8 0 nên bất đẳng thức cuối đúng, suy ra điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a3,b2, c0.

Lời giải 1) Ta có ^MON^BOC2^BAC120⁰^NAMMON^180 .⁰ Do đó bốn điểm A N O M, , , cùng thuộc một đường tròn (1) Gọi G là giao điểm của đường thẳng OF với đường tròn  O . Suy ra FG là trung trực của BC. Ta có BOGCOG60 .⁰

Do đó BOG,COG là các tam giác đều nên tứ giác GBOC là hình thoi.

Suy ra BO CG . Khi đó: AFO180⁰ABG180⁰ANO. Suy ra bốn điểm A F O N, , , cùng thuộc một đường tròn (2).

Từ (1) và (2) suy ra năm điểm A N O M, , , và F cùng thuộc một đường tròn.

2) Ta có MFN^ ^MAN60⁰ PFQ^60 .⁰

Mà BAC60 nên số đo cung BC bằng số đo cung PQ.

Suy ra số đo cung BP bằng số đo cung CQCBQ^BQP^ hay JB JQ. JC JP

 

 



Lại có ^AFP^AON2^ACN CO là tia phân giác của ^ACPCACP. Tương tự ta cũng có BABQ.

Từ đây ta có: JB JB BQ AB. JC  JP  CP  AC Bài IV (2,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn

 

^O ^,^{với góc}BAC^60⁰ và ABAC. Các đường thẳng ,

BO CO lần lượt cắt các đoạn thẳng AC AB, tại M N, . Gọi F là điểm chính giữa cung BC lớn.

1) Chứng minh năm điểm A N O M, , , và F cùng thuộc một đường tròn.

2) Gọi P Q, lần lượt là các giao điểm thứ hai của hai tia FN FM, với đường tròn

 

^O ^.^Gọi^J^{là giao}

điểm của đường thẳng BC với đường thẳng PQ. Chứng minh AJ là tia phân giác của góc BAC^.

3) Gọi K là giao điểm của đường thẳng OJ với đường thẳng CF. Chứng minh AB vuông góc với AK.

(5)

Suy ra AJ là phân giác của góc BAC^.

c) Bổ đề: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Đường thẳng qua A vuông góc với AD cắt đường thẳng qua B vuông góc với BC tại H. Khi đó OH AC BD, , đồng quy.

Qua H lần lượt kẻ các đường thẳng song song với OC cắt AC tại L và song song với OD cắt BD tại K. Ta có: HLA^OCA^90⁰^ADCCAB^90⁰ HBA^.

Suy ra tứ giác AHBL nội tiếp.

Tương tự ta cũng có tứ giác AHBK. nội tiếp.

Do đó năm điểm A B H K L, , , , cùng thuộc một đường tròn.

Lại có HAC90⁰DAC90⁰DBCHBDHALHAKHKHL. Gọi I là giao điểm của AC với OH, ta có: IH HL HK.

IOOC OD Mà IHKIOD IHKIOD HIK OID. Suy ra D I K, , thẳng hàng hay OH, AC BD, đồng quy.

(6)

Qua B kẻ vuông góc với BA, cắt đường thẳng qua G vuông góc với GC tại L thì theo bổ đề ta có O J L, , thẳng hàng.

Do GIGC nên OL OG 1

GL FK O

OK OF

   

 là trung điểm của LK.

Ta có OAOB O, là trung điểm của LK mà ABLBAK90 .⁰

Lời giải

a) Chia tập hợp 1, 2, 3,..., 178 thành 89 nhóm      1; 2 , 3; 4 , 5; 6 ,..., 177;178 . 

Theo nguyên lí Dirichle khi chia 100 số của A vào các nhóm trên thì có ít nhất hai số này trong một nhóm.

Suy ra điều phải chứng minh.

b) Với mọi n2, 3, 4,..., 21 , gọi a₁a₂ ... a₁₀₀ là 100 phần tử của tập hợp A.

Xét các số a a₁, ₂, ..., a₁₀₀, a₁n a, ₂n,..., a₁₀₀n là 200 số tự nhiên bé hơn 178 n 17821199.

Theo nguyên li Dirichle với 200 số tự nhiên chia vào 199 giá trị thì có ít nhất hai số bằng nhau.

Mà a_ia_i với mọi i j nên tồn tại i j, sao cho a_ia_in hay a_i a_i n.

Nếu n22, ta chia tập 1, 2, 3,..., 178 thành 89 nhóm 1; 23 , 2; 24 ,..., 22; 44 ,..., 154;176 , 177;178 .         Theo nguyên lí Dirichle khi chia 100 số của A vào các nhóm trên thì có ít nhất hai số này trong một nhóm.

Nếu hai số này không rơi vào nhóm ^177;178 ta có điều phải chứng minh,

Nếu hai số này rơi vào nhóm ^177;178 thì xét 98 số còn lại xếp vào 88 nhóm còn lại khác ^177;178 thì ta cũng có điều phải chứng minh.

Bài V (2,0 điểm)

Cho A là một tập hợp con có 100 phần tử của tập hợp 1, 2, 3,..., 178 . 1) Chứng minh A chứa hai số tự nhiên liên tiếp.

2) Chứng minh với mọi số tự nhiên n thuộc tập hợp 2, 3, 4,..., 22 , tồn tại hai phần tử của A có hiệu bằng .n