BÀI 2. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ

(1)

1

LÝ THUYẾT HÌNH HỌC 10 Tổ toán

CHƯƠNG 1

BÀI 1. VÉC TƠ CÁC ĐỊNH NGHĨA

1. KHÁI NIỆM VECTƠ

Cho đoạn thẳng . Nếu chọn điểm làm điểm đầu, điểm làm điểm cuối thì đoạn thẳng có hướng từ đến . Khi đó ta nói là một đoạn thẳng có hướng.

1.1. Định nghĩa

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

1.2. Kí hiệu

Vectơ có điểm đầu và điểm cuối được kí hiệu là , đọc là “vectơ ”.

Vectơ còn được kí hiệu là , , , , … khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó.

2. VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, VECTƠ CÙNG HƯỚNG 2.1. Giá của vectơ

Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.

2.2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng

Định nghĩa: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Hai vectơ cùng phương thì chúng chỉ có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

AB A B AB

A B AB

A B ^A B AB

a b^  x ^y

(2)

2 2.3. Nhận xét

Ba điểm phân biệt , , thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ và cùng phương.

3. HAI VECTƠ BẰNG NHAU 3.1. Độ dài vectơ

Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Độ dài của vectơ được kí hiệu là , như vậy . Vectơ có độ dài bằng gọi là vectơ đơn vị.

3.2. Định nghĩa

Hai vectơ và được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.

Kí hiệu . 3.3. Chú ý

Khi cho trước vectơ và điểm , thì ta luôn tìm được một điểm duy nhất sao cho . 4. VECTƠ – KHÔNG

Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ta kí hiệu là .

Ta quy ước vectơ – không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ và có độ dài bằng .

Như vậy và .

BÀI 2. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ

1. TỔNG CỦA HAI VECTƠ

1.1. Định nghĩa: Cho hai vectơ và . Lấy một điểm tùy ý, vẽ , . Vectơ được gọi là tổng của hai vectơ và , kí hiệu . Vậy .

A B C ^A B ^A C



A B 

AB  

AB AB

1

a b^

  a b

a O A  

O A a

0

0

0    ...

 A A B B   0

M N M N

a b^ A  

AB a   

BC b 

 AC

a b^ 

a b   AC a b

(3)

3 1.2. Tính chất: Với ba vectơ , , tùy ý, ta có:

+ Tính chất giao hoán: .

+ Tính chất kết hợp: .

+ Tính chất của vectơ - không: . 1.3. Các quy tắc:

+ Quy tắc ba điểm: Với ba điểm , , , ta luôn có: .

+ Quy tắc hình bình hành: Tứ giác là hình bình hành, ta có: .

Chú ý:

+ Điểm là trung điểm của đoạn thẳng khi và chỉ khi . + Điểm là trọng tâm của tam giác khi và chỉ khi . 2. HIỆU CỦA HAI VECTƠ

1.1. Định nghĩa:

+ Vectơ đối của vectơ , kí hiệu là , là một vectơ ngược hướng và có cùng độ dài với vectơ .

+ Cho hai vectơ và . Ta gọi hiệu của hai vectơ và là vectơ , kí hiệu .

1.2. Quy tắc về hiệu vectơ:

Với ba điểm , , tùy ý, ta luôn có: .

BÀI 3: TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ

1. ĐỊNH NGHĨA:

Cho số và một vectơ . Tích của vectơ với số là một vectơ, kí hiệu , cùng hướng với nếu , ngược hướng với nếu và có độ dài bằng .

Quy ước: .

2. TÍNH CHẤT:

Với hai vectơ , bất kỳ, với mọi số thực và , ta có:

a b^  c

 

 

a b b a



^a^^^b^



^^c^^^a^^



^b^^^c^



0 0

 

  

a a a

A B C   

AB BC AC

ABCD   

AB AD AC

I AB   0

IA IB

G ABC     0

GA GB GC

a 

 a

a 

a b^ 

a b^ ^a^^{ }

 

^b^ ^a^^^b^

O A B    

OB OA AB

0



k 0

a 

a k 

 ka

a k0 

a k0 

k a 0.0

a

a b^ h k

(4)

4

;

, .

3. TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG VÀ TRỌNG TÂM CỦA TAM GIÁC:

a) Nếu là trung điểm của đoạn thẳng thì với mọi điểm ta có . b) Nếu là trọng tâm của tam giác thì với mọi điểm ta có

.

4. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG:

Điều kiện cần và đủ để hai vectơ và ( ) cùng phương là có một số thực để .

Nhận xét: Ba điểm phân biệt , , thẳng hàng khi và chỉ khi có số khác để .

5. PHÂN TÍCH MỘT VECTƠ THEO HAI VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG:

Cho hai vectơ và không cùng phương. Khi đó mọi vectơ đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ và , nghĩa là có duy nhất cặp số sao cho .

BÀI 4: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

1.TRỤC TỌA ĐỘ:

1.1 Định nghĩa:

Trục tọa độ (Trục, hay trục số ) là một đường thẳng trên đó ta đã xác định một điểm và một vectơ đơn vị (tức là ).



^^ ^



^ ^^ ^

k a b ka kb



^{h k a}^



^^^ha^^^ka^

   

^ ^ ^

h ka hk a

1 

a a

 

^¹ ^a^^{ }^a^

I AB M   2

MA MB MI

G ABC M

3

  

   

MA MB MC MG

a b^  0

b k

  a kb

A B C k 0



 

AB k AC

a b^ 

 x

a b^ h k,  

   x ha kb

 O

i  1 i

(5)

5

Điểm được gọi là gốc tọa độ, vec tơ được gọi là vectơ đơn vị của trục tọa độ. Kí hiệu hay hoặc đơn giản là .

1.2. Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục:

+ Cho vec tơ nằm trên trục khi đó số được gọi là tọa độ của vectơ trên trục khi và chỉ khi .

+ Cho điểm nằm trên khi đó số được gọi là tọa độ của điểm trên trục khi và chỉ khi .

Như vậy tọa độ điểm là tọa độ vectơ . 1.3. Độ dài đại số của vec tơ trên trục:

Cho hai điểm , nằm trên trục thì tọa độ của vectơ kí hiệu là và gọi là độ dài đại số của vectơ trên trục .

Vậy: .

Tính chất:

+ +

+ : .

O i^



^{O i}^;^



^{x Ox}^ ^Ox

u



^{O i}^;^



^a ^u^



^{O i}^;^



^u^^^ai^

M



^{O i}^;^



^m ^M



^{O i}^;^



^OM^{}^^mi^

M 

OM

A B Ox ^AB AB



AB Ox

.



 

AB AB i

  AB BA

  

 

AB CD AB CD

 

, , ;

  

A B C O i ABBC AC

(6)

6 2. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

2.1. Định nghĩa:

Hệ trục tọa độ gồm hai trục vuông góc và với hai vectơ đơn vị lần lượt là , . Điểm gọi là gốc tọa độ, gọi là trục hoành và gọi là trục tung.

Kí hiệu hay .

2.2. Tọa độ điểm, tọa độ vectơ.

+ Trong hệ trục tọa độ , cặp số được gọi là tọa độ của vectơ khi và chỉ

khi . Kí hiệu là hay .

+ Trong hệ trục tọa độ , tọa độ của vectơ gọi là tọa độ của điểm , kí hiệu

là hay .

2.3. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm tam giác.

+ là trung điểm của đoạn .

+ là trọng tâm tam giác .

2.4. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ.

Cho ; và số thực . Khi đó ta có:

1)

2)

3) .

Ox Oy 

i  j

O Ox Oy

Oxy



^{O i}^{; ,}^{ }^j





^{O i}^{; ,}^{ }^j

 

^{x y}^;



^u^

  

u xi yj ^u^^



^{x y}^;



^{u x y}^



^;





^{O i j}^{; ,}^{ }



^OM^{} ^M



^;





M x y ^{M x y}



^;



M AB  ;

2 2

 

 

 

 

A B A B

x x y y

M

G ABC ;

3 3

   

 

  

 

A B C A B C

x x x y y y

G



^;





u x y ^u^^^



^x^^;^y^



^k

 

 

  

 



  x x

u u

y y



^;



  

   u u x x y y

 

.  ; k u kx ky

(7)

7

4) cùng phương ( ) khi và chỉ khi tồn tại số sao cho .

5) Cho , thì .

CHƯƠNG 2: TÍCH VÔ HƯỚNG

BÀI 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0  ĐẾN 180  .

III. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC ĐẶC BIỆT

Góc  ₀⁰ ₃₀⁰ ₄₅⁰ ₆₀⁰ ₉₀⁰

sin ⁰ 1

2

2 2

3

2 ¹

cos ¹ 3

2

2 2

1

2 ⁰

tan ⁰ 3

3 ¹ ³ ^

cot ^ 3 ¹ 3

3 ⁰

IV. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Công thức:

2 2

2

tan sin ( 90 ) ;

cos

cot cos ( 0 ; 180 ) sin

tan .cot 1 ( 0 ; 90 ; 180 )

sin cos 1

1 tan 1 ( 90 )

cos

1 cot 1 ( 0 ; 180 )

sin

  



  



  

 



 



 

 

  

o

o o

o o o

o

o o



u 

u 0

u k   

  

 x kx y ky



A ^; A



A x y B x



B ^;yB



^AB^



xB^xA ^;yB ^yA



(8)

8

BÀI 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

1. Định nghĩa: Cho hai vectơ a và b

đều khác vectơ 0.

Tích vô hướng của a và b

là một số, kí hiệu là a b . , được xác định bởi công thức sau:

 

. . cos ,

a b  a b  a b  Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ a

và b

bằng vectơ 0

ta quy ước a b . 0 Chú ý

 Với a và b

khác vectơ 0

ta có a b .  0 ab.

 Khi ab

tích vô hướng a a .

được kí hiệu là a²



và số này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ a.



Ta có: a²  a a. .cos 0⁰  a²

   

2. Các tính chất của tích vô hướng

Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng:

Với ba vectơ a b c  , ,

bất kì và mọi số k ta có:

 a b   . b a.

(tính chất giao hoán);

 ^{a b c}^{  }



^



^^{a b a c}^{   }^. ^ ^. (tính chất phân phối);



 

^{k a b}^{ }^. ^^{k a b}

 

^{ }^. ^^{a kb}^^.

 

^ ^;

 a² 0, a² 0a0

Nhận xét. Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:





^{a b}^^^



² ^^a^²^^{2 .}^{a b}^ ^{ }^^b²^;





^{a b}^{ }^



² ^^a^²^^{2 .}^{a b b}^{  }^ ²^;





^a^{   }^^b



^{a b}^



^^a^²^^b^²^.

(9)

9 3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng tọa độ



^{O i j}^{; ;}^{ }



^, cho hai vectơ a



a a1; 2



, b



b b1; 2



.

Khi đó tích vô hướng a b . là:

1 1 2 2

.

a ba b a b

 

Nhận xét. Hai vectơ a 



a a1; 2



, b



b b1; 2



đều khác vectơ 0

vuông góc với nhau khi và chỉ khi

1 1 2 2 0

a b a b  4. Ứng dụng

a) Độ dài của vectơ

Độ dài của vectơ a



a a1; 2



được tính theo công thức:

2 2

1 2

a  a a

b) Góc giữa hai vectơ

Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu a



a a1; 2



và b



b b1; 2



đều khác 0 thì ta có

 

₂ ^{1 1}₂ ^{2 2}₂ ₂

1 2 1 2

cos ; .

. .

a b a b a b a b

a b a a b b

  

 

   

 

c) Khoảng cách giữa hai điểm

Khoảng cách giữa hai điểm A x



A^;yA



và B x



B^;yB



được tính theo công thức:



B A



²



B A



²

AB x x  y y