Bài 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

Tổ toán Khối 11

TRƯỜNG THPT BÌNH CHÁNH

Bài 1: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA 3 VECTƠ

I ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN CỦA VEC TƠ TRONG KHÔNG GIAN

II

Định nghĩa

1

I ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN CỦA VEC TƠ TRONG KHÔNG GIAN .

A

B

Các khái niệm có liên quan đến vectơ như: giá của vectơ, độ dài vectơ,

sự cùng phương, cùng hướng của hai vectơ, sự bằng nhau của hai vectơ,

và các quy tắc thực hiện các phép toán về vectơ được định nghĩa tương

tự trong mặt phẳng.

Bài giải Ví dụ 1

Cho tứ diện ABCD, kể tên các vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là các đỉnh còn lại của tứ diện. Các vectơ đó có cùng nằm trong một mặt phẳng không?

A

B D

C

⃗ 𝐴𝐵

   

⃗ 𝐴𝐶

 

⃗ 𝐴𝐷

Chúng không cùng thuộc một mặt phẳng Các vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối

là các đỉnh còn lại của tứ diện là:

Bài giải Ví dụ 2

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’

a) Kể tên các vectơ bằng với vectơ

b) Có tất cả bao nhiêu vectơ khác có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp?

 

B

B' C'

A'

C A

D'

⃗ 𝑨𝑩=⃗ 𝑫𝑪 =⃗ 𝑨 ′ 𝑩 ′ =⃗ 𝑫 ′ 𝑪 ′

D

 

Hai vectơ bằng nhau khi nào?

a) Các vectơ bằng với vectơ là:

 

b) Vectơ khác có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp có tất cả = 56 vectơ

 

I ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN CỦA VEC TƠ TRONG KHÔNG GIAN .

2 Phép cộng và phép trừ các vectơ, phép nhân với một số

Ví dụ 1

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’

a) Thực hiện phép toán . b) Chứng minh .

 

Nhắc l i quy tắc 3 đi m,  ạ ể

quy tắc hình bình hành?

Nhắc l i quy tắc 3 đi m,  ạ ể quy tắc hình bình hành?

• Qui tắc 3 điểm.

Với ba điểm A,B,C bất kì luôn có:

 ^;   

⃗ 𝐴𝐵 − ⃗ 𝐴𝐶 =⃗ 𝐶𝐵

• Qui tắc hình bình hành.

Nếu ABCD là hình bình hành thì:

 

⃗ 𝐴𝐵 +⃗ 𝐴𝐷 =⃗ 𝐴𝐶

Bài giải Ví dụ 1

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’

a) Thực hiện phép toán . b) Chứng minh .

 

B

B' C'

A'

C A

D' D

𝑎 ¿ ⃗ 𝐴𝐵 +⃗ 𝐶𝐷 +⃗ 𝐴 ′ 𝐵 ′ +⃗ 𝐶 ′ 𝐷 ′ =⃗ 0

 

𝑏 ¿ 𝑉𝑇 =⃗ 𝐴𝐵 +⃗ 𝐴𝐷 +⃗ 𝐴𝐴 ′

   

¿ ⃗ 𝐴𝐶 +⃗ 𝐴𝐴 ′

¿ ⃗ 𝐴𝐶 ′ = 𝑉𝑃

 

Câu 1

Câu 2

Cho hình hộp chữ nhật . Khi đó, vectơ cùng phương với vectơ là vectơ nào dưới đây?

 

A

 

⃗ 𝐶𝐷 B

 

⃗ 𝐵

^′

𝐶 ′ D

 

⃗ 𝐴𝐶 ′ C

 

⃗ 𝐴𝐷

B

B' C'

A'

C A

D'

A

D

Cho tứ diện , gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Khi đó, vectơ cùng hướng với vectơ là vectơ nào dưới đây?

 

A

 

⃗ 𝑀 𝐷 B

 

⃗ 𝐶𝐷 D

 

⃗ 𝐵𝐷 C

 

⃗ 𝐷 𝐵 D

N A

B D

C M

Câu 4 Câu 3

Cho tứ diện , gọi M, N lần lượt là điểm thuộc cạnh AB, AD sao cho . Tìm số thực k thỏa mãn ?

 

A

 

1 3 B −

 

1 3 C C −

 

3 4 D

 

3 4

Cho hình hộp . Chọn đẳng thức vectơ đúng:

 

A B

C D

⃗ 𝐷𝐵 ′ =⃗ 𝐷𝐴 +⃗ 𝐷𝐷 ′ +⃗ 𝐷𝐶

   

⃗ 𝐴𝐶 ′ =⃗ 𝐴𝐶 +⃗ 𝐴𝐵 +⃗ 𝐴𝐷

⃗ 𝐷𝐵 =⃗ 𝐷𝐴 +⃗ 𝐷𝐷 ′ +⃗ 𝐷𝐶

   

⃗ 𝐴𝐶 ′ =⃗ 𝐴𝐵 +⃗ 𝐴𝐵 ′ +⃗ 𝐴𝐷

A

1

Khái niệm về sự đồng phẳng của 3 vectơ trong không gian.

A O

B C

A

B ^C

Ba vectơ

không đồng phẳng

  ^{Ba vectơ}

đồng phẳng

 

Thế nào là hai vect  ơ cùng phương?

C . Từ một điểm O bất kì vẽ .

 

Nếu OA, OB, OC không cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói không

đồng phẳng.

𝑎 ⃗ , 𝑏 ⃗ , 𝑐 ⃗

 

Nếu OA, OB, OC cùng nằm trong

một mặt phẳng thì ta nói đồng phẳng.

𝑎 ⃗ , 𝑏 ⃗ , 𝑐 ⃗

 

Vậy trong không gian khi nào thì ba vectơ đồng

phẳng?

Chú ý: Việc xác định sự đồng phẳng hay không đồng phẳng của ba vectơ không phụ thuộc vào vị trí điểm O.

II ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ

Định nghĩa . 2

Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

3

Điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng.

Định lí 1:

Trong không gian cho hai vectơ không cùng phương và vectơ . Khi đó, ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho . Ngoài ra cặp số m, n là duy nhất.

 

Bài giải Ví dụ

Theo quy tắt của phép trừ hai vectơ ta tìm được:

⃗ 𝑐 = 2 𝑎 ⃗ − ⃗ 𝑏 =2 ⃗ 𝑎 + ( − 𝑏 ⃗ )

 

Vì

    nên theo định lí 1 thì ba vectơ đồng phẳng

Bài giải Ví dụ

Ta có:  

𝑚 ⃗ 𝑎 + 𝑛 ⃗ 𝑏 + 𝑝 ⃗ 𝑐 =⃗ 0

  và giả sử p.

Khi đó ta có thể viết: ⃗𝑐=− 𝑚

𝑝 ⃗𝑎 − 𝑛

𝑝 ⃗𝑏

 

Nên theo định lí 1 thì ba vectơ đồng phẳng

 

3

Điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng.

Định lí 2:

Trong không gian cho 3 vectơ không đồng phẳng ,. Khi đó với mọi vectơ ta đều tìm được một bộ 3 số m, n, p sao cho . Bộ ba số là duy nhất.

 

Ví dụ

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Xét các điểm M và N lần lượt thuộc các

đường thẳng A’C và C’D sao cho . Đặt . Hãy biểu thị các vectơ và qua các vectơ

 

Bài giải Ví dụ

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Xét các điểm M và N lần lượt thuộc các đường thẳng A’C và C’D sao cho . Đặt . Hãy biểu thị các vectơ và qua các

vectơ

 

c

b a

D'

B' C' A D

B C

A'

M

N

⃗ 𝑀𝐴 ′ =− 3 ⃗ 𝑀𝐶

   

⇔ ⃗ 𝑀𝐵 +⃗ 𝐵𝐴 ′ = − 3 ( ⃗ 𝑀𝐵 +⃗ 𝐵𝐶 )

⇔ 4 ⃗𝑀𝐵=−

(

^⃗𝐵𝐴 +⃗𝐴 𝐴^′

)

− 3 ⃗𝐵𝐶

 

⇔ 4 ⃗ 𝐵𝑀 =⃗ 𝐵𝐴 +⃗ 𝐵 𝐵

^′

+ 3 ⃗ 𝐵𝐶

 

⇔⃗𝐵𝑀 = 1

4 ⃗𝑎+ 1

4 ⃗𝑏+ 3

4 𝑐⃗

 

Tương tự, .

 

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

A

  Ba vecto đồng phẳng

B

  Hai vecto cùng phương

C

  Hai vecto cùng phương

D

  Ba vecto đôi một cùng phương.

A

Câu 1

Cho 3 vecto không đồng phẳng. xét các vecto . Chọn khẳng định đúng

 

Câu 2

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi I và K là tâm của hình bình hành ABB’A’ và BCC’B’. Khẳng định nào sau đây sai

A

Bốn điểm I, K , C , A đồng phẳng.

B

  Ba vecto không đồng phẳng

C

 ^{⃗𝐼𝐾 = 1}₂ ^{⃗𝐴𝐶= 1}₂^{⃗𝐴 ′ 𝐶 ′}

D

 

⃗ 𝐵𝐷 + 2 ⃗ 𝐼𝐾 = 2 ⃗ 𝐵𝐶

B

A

Câu 4 Câu 3

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm của AD, BC. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai

A

  3 vecto đồng phẳng

B

  3 vecto không đồng phẳng

C

  3 vecto đồng phẳng

D

  3 vecto không đồng phẳng

A

Cho là 3 vectơ đồng phẳng. Khẳng định nào sau đây sai ?

 

A

 

𝑎 ⃗ = 2 𝑏 ⃗ + ⃗ 𝑐 B

Giá của cùng song song với 1 mặt phẳng.

 

C

với cùng phương.  

D

với không cùng phương

D

 

1

1 Khái niệm về sự đồng phẳng của 3 vectơ trong không gian.

3

3

Điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng.

2

Định nghĩa.

Trong không gian ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Định lí 1:Trong không gian cho hai vectơ không cùng phương và vectơ . Khi đó, ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho . Ngoài ra cặp số m, n là duy nhất.

  Định lí 2: Trong không gian cho 3

vectơ không đồng phẳng ,. Khi đó với mọi vectơ ta đều tìm được một bộ 3 số m, n, p sao cho . Bộ ba số là duy nhất.