Giải Toán 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ - Chân trời sáng tạo

(1)

Bài 4. Tích vô hướng của hai vectơ

A. Câu hỏi

Hoạt động khám phá 1 trang 98 sgk Toán 10 tập 1:

Cho hình vuông ABCD có tâm I (Hình 1).

a) Tính IDC.

b) Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và điểm cuối lần lượt là I và C.

c) Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và lần lượt bằng vectơ IB và AB. Lời giải:

a) Hình vuông ABCD có tâm I nên IA = IB = IC = ID và AC ⊥ BC tại I.

Do đó tam giác IDC vuông cân tại I.

Khi đó IDC = 45^o.

b) Vectơ có điểm đầu là D, điểm cuối là I là vectơ DI.

Vectơ có điểm đầu là D, điểm cuối là C là vectơ DC. c) Vectơ có điểm đầu là D và bằng vectơ IB là vectơ DI .

(2)

Vectơ có điểm đầu là D và bằng vectơ AB là vectơ DC. Thực hành 1 trang 99 sgk Toán 10 tập 1:

Cho tam giác đều ABC có H là trung điểm của cạnh BC. Tìm các góc:

(

^{AB, AC}

)

^,

(

^{AB, BC}

)

^,

(

^{AH, BC}

)

^,

(

^{BH, BC}

)

^,

(

^{HB, BC}

)

^.

Lời giải:

Dựng hình bình hành ABCD.

Do tam giác ABC đều nên BAC = 60^o, do đó

(

^{AB, AC}

)

^{= 60}^o^.

Do ABCD là hình bình hành nên BC=AD. Do đó

(

^{AB, BC}

) (

⁼ ^{AB, AD}

)

^.

Do ABCD là hình bình hành nên ABC+BAD 180= . Do đó BAD 180=  −ABC = 180ô − 60ô = 120ô.

Khi đó

(

^{AB, AD}

)

^{= 120}^o^hay

(

^{AB, BC}

)

^{= 120}^o^.

(3)

Tam giác ABC đều có H là trung điểm của BC nên AH vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao trong tam giác ABC.

Do đó AH ⊥ BC nên

(

^{AH, BC}

)

^{= 90}^o^.

Hai vectơ BH và BC cùng hướng nên

(

^{BH, BC}

)

^{= 0}^o^.

Hai vectơ HB và BC ngược hướng nên

(

^{HB, BC}

)

^{= 180}^o^.

Hoạt động khám phá 2 trang 99 sgk Toán 10 tập 1:

Một người dùng một lực F có cường độ 10 N kéo một chiếc xe đi quãng đường dài 100 m. Tính công sinh bởi lực F , biết rằng góc giữa vectơ F và hướng di chuyển là 45^o. (Công A (đơn vị: J) bằng tích của ba đại lượng: cường độ của lực F, độ dài quãng đường và côsin của góc giữa hai vectơ F và độ dịch chuyển d).

Lời giải:

Công sinh bởi lực F bằng:

( )

F . d .cos F,d = 10 . 100 . cos 45^o ≈ 707 J.

(4)

Vậy công sinh bởi lực F khoảng 707 J.

Thực hành 2 trang 100 sgk Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có cạnh huyền bằng 2. Tính các tích vô hướng: AB.AC, AC.BC, BA.BC.

Lời giải:

Do tam giác ABC vuông cân tại A nên AB ⊥ AC.

Do đó AB⊥ACAB.AC=0.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông cân tại A ta có:

AB² + AC² = BC²

2AB² = 2

 AB² = 1

 AB = 1 (do AB là độ dài đoạn thẳng nên AB > 0) Tam giác vuông cân tại A nên ABC=ACB = 45^o. Ta có ^AC.BC^{= −}^CA.

( )

⁻^CB ⁼^CA.CB^.

(5)

( )

CA.CB= CA . CB .cos CA.CB = 1 . 2 . cos ACB = 1 . 2 . cos 45^o = 1.

Do đó AC.BC = 1.

( )

BA.BC= BA . BC .cos BA, BC = 1 . 2 . cos ABC = 1 . 2 . cos 45^o = 1.

Do đó BA.BC = 1.

Thực hành 3 trang 100 sgk Toán 10 tập 1:

Hai vectơ a và b có độ dài lần lượt là 3 và 8 và có tích vô hướng là 12 2. Tính góc giữa hai vectơ a và b.

Lời giải:

Ta có ^a.b= a . b .cos a, b

( )

=12 2

 3 . 8 . ^{cos a, b}

( )

⁼^{12 2}

( )

²

cos a, b

 = 2

( )

^{a, b}

 = 45^o.

Vậy góc giữa hai vectơ a và b bằng 45^o. Vận dụng 1 trang 100 sgk Toán 10 tập 1:

Một người dùng một lực F có độ lớn là 20 N kéo một vật dịch chuyển một đoạn 50 m cùng hướng với F. Tính công sinh bởi lực F.

Lời giải:

(6)

Do vật dịch chuyển cùng hướng với F nên góc tạo bởi vectơ hướng di chuyển của vật và F bằng 0^o.

Khi đó công sinh bởi lực F bằng:

20 . 50 . cos 0^o = 1 000 J.

Vậy công sinh bởi lực F bằng 1 000 J.

Thực hành 4 trang 101 sgk Toán 10 tập 1:

Cho hai vectơ i, j vuông góc, cùng có độ dài bằng 1.

a) Tính:

( )

ⁱ⁺ ^j ²^;

( )

ⁱ⁻ ^j ²^;

( ) ( )

ⁱ⁺ ^{j . i}⁻^j ^.

b) Cho a = +2i 2 j, b= −3i 3j. Tính tích vô hướng a.b và tính góc

( )

^{a, b} ^.

Lời giải:

Do hai vectơ i, j vuông góc nên i. j= i . j.

a) Ta có

( )

ⁱ⁺ ^j ² ^{= +}ⁱ² ^{2i. j}^{+ =}^j² ⁱ² ⁺^{2 i . j}⁺ ^j²^{= 1}² + 2 . 1 . 1 + 1² = 4.

( )

ⁱ⁻ ^j ² ^{= −}ⁱ² ^{2i. j}^{+ =}^j² ⁱ² ⁻^{2 i . j}⁺ ^j²^{= 1}² − 2 . 1 . 1 + 1² = 0.

( ) ( )

ⁱ⁺ ^{j . i}^{− = −}^j ⁱ² ^j²^{= 1}²^{− 1}²^{= 0.}

b) ^a ^{= +}²ⁱ ^{2 j}⁼^{2 i}

( )

⁺ ^j ^;^b^{= − =}³ⁱ ^{3j 3 i}

( )

⁻^j ^.

Do đó ^a.b⁼^{2 i}

( ) ( ) ( )( )

⁺ ^{j .3 i}^{− =}^j ^{6 i}⁺ ^{j i}⁻ ^j = 6 . 0 = 0.

(7)

Khi đó cos

( )

^{a, b} ^{= 0 (do} ^a > 0 và b > 0).

( )

^{a, b}

 = 180^o.

Vận dụng 2 trang 101 sgk Toán 10 tập 1:

Phân tử sulfur dioxide (SO2) có cấu tạo hình chữ V, góc liên kết OSO gần bằng 120^o. Người ta biểu diễn sự phân cực giữa nguyên tử S với mỗi nguyên tử O bằng các vectơ ₁ và ₂ có cùng phương với liên kết cộng hóa trị, có chiều từ nguyên tử S về mỗi nguyên tử O và cùng có độ dài 1,6 đơn vị (Hình 6). Cho biết vectơ tổng

1 2

 = + được dùng để biểu diễn sự phân cực của cả phân tử SO2. Tính độ dài của

.

Lời giải:

Do  = ₁+₂ nên  = ₁+₂ .

Ta có ^{ }¹⁺ ² ² ⁼

(

^{ }¹⁺ ²

)

² ⁼^¹² ⁺^{2 .}^¹^² ⁺^²²

( )

2 2

1 2 1 2

1,6 2 . .cos , 1,6

= +     +

(8)

= 1,6² + 2 . 1,6 . 1,6 . cos 120^o + 1,6²

= 2,56

Do đó  = ₁+₂ = 2,56 = 1,6.

Vậy độ dài của  bằng 1,6 đơn vị.

B. Bài tập

Bài 1 trang 101 sgk Toán 10 tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng: AB. DA , AB.AC, AC.CB, AC.BD.

Lời giải:

AC là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông cân có cạnh bằng a nên AC = a² +a² = 2a.

Do ABCD là hình vuông nên AC = BD = 2a.

Do AB ⊥ AD nên AB⊥AD do đó AB.AD= AB . AD = a . a = a². Do đó AB.AD = a².

(9)

Tam giác ABC vuông cân tại B nên BAC=BCA = 45^o.

( )

AB.AC= AB . AC .cos AB, AC = a . 2a. cos BAC = 2a² . cos 45^o = a². Do đó AB.AC = a².

( )

AC.CB= −CA.CB= −CA . CB .cos CA,CB

= − 2a . a . cos BCA = − 2a² . cos 45^o = −a². Do đó AC.CB = −a².

Do ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD.

Do đó AC⊥BD nên AC.BD= AC . BD = 2a. 2a = 2a². Bài 2 trang 101 sgk Toán 10 tập 1:

Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và cho AD = a, AB = 2a. Tính:

a) AB.AO; b) AB.AD. Lời giải:

(10)

a) AC là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông có độ dài hai cạnh lần lượt là 2a và a.

Do đó AC =

( )

^2a ² ⁺^a² ⁼ ^5a (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0).

Hình chữ nhật ABCD có tâm O nên O là trung điểm của AC.

Do đó AO = 1

2AC = 5a 2 .

Tam giác ABC vuông tại B nên BC a 1 sin BAC

AB 2a 2

= = = .

BAC = 30^o cosBAC 3

 = 2

( )

AB.AO= AB . AO .cos AB, AO = 2a . 5a

2 . cos BAO = = 2a . 5a

2 . 3 2 = 15

2 a².

Vậy 15 ²

AB.AO a

= 2 .

b) Do AB ⊥ AD nên AB⊥AD do đó AB.AD= AB . AD = 2a . a = 2a².

Bài 3 trang 101 sgk Toán 10 tập 1: Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng OA.OB trong hai trường hợp:

a) Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB.

b) Điểm O nằm trong đoạn thẳng AB.

(11)

Lời giải:

a)

Do O nằm ngoài đoạn thẳng AB nên hai vectơ OA và OB cùng hướng.

Do đó

(

^OA,OB

)

^{= 0}^o^.

Khi đó ^OA.OB= OA . OB .cos OA,OB

( )

= a . b . cos 0^o = a.b.

b)

Do O nằm trong đoạn thẳng AB nên hai vectơ OA và OB ngược hướng.

Do đó

(

^OA,OB

)

^{= 180}^o^.

Khi đó ^OA.OB= OA . OB .cos OA,OB

( )

= a . b . cos 180^o = −a.b.

Bài 4 trang 101 sgk Toán 10 tập 1:

Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm và cho điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

MA.MB = MO² − OA². Lời giải:

(12)

Do O là trung điểm của AB nên −OA =OB.

Khi đó ^MA.MB⁼

(

^MO⁺^{OA . MO}

) (

⁺^OB

) (

⁼ ^MO⁺^{OA . MO}

) (

⁻^OA

)

2 2

MO OA

= − = MO² − OA². Vậy MA.MB = MO² − OA².

Bài 5 trang 101 sgk Toán 10 tập 1:

Một người dùng một lực F có độ lớn là 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m. Biết lực F hợp với hướng dịch chuyển một góc 60^o. Tính công sinh bởi lực F . Lời giải:

Công sinh bởi lực F bằng: 90 . 100 . cos 60^o = 4 500 J.

Vậy công sinh bởi lực F bằng 4 500 J.

Bài 6 trang 101 sgk Toán 10 tập 1:

Cho hai vectơ có độ dài lần lượt là 3 và 4 và có tích vô hướng là −6. Tính góc giữa hai vectơ đó.

Lời giải:

Gọi hai vectơ đó lần lượt là a và b.

(13)

Khi đó ta có ^a.b= a . b .cos a , b

( )

= −6.

 3 . 4 . ^{cos a, b}

( )

^{= −6}

( )

¹

cos a, b 2

 = −

( )

^{a, b}

 = 120^o.

Vậy góc giữa hai vectơ đó bằng 120^o.