Bài 1. Khái niệm vectơ
A. Câu hỏi
Hoạt động khám phá 1 trang 81 sgk Toán 10 tập 1: Trong thông báo: Có một con tàu chở 500 tấn hàng từ cảng A đến cảng B cách nhau 500 km.
Bạn hãy tìm sự khác biệt giữa hai đại lượng sau:
− Khối lượng của hàng: 500 tấn.
− Độ dịch chuyển của tàu: 500 km từ A đến B.
Lời giải:
Khối lượng của hàng: 500 tấn biểu thị khối lượng hàng mà tàu cần chở là 500 tấn.
Độ dịch chuyển của tàu: 500 km từ A đến B biểu thị quãng đường tàu cần di chuyển.
Thực hành 1 trang 82 sgk Toán 10 tập 1: Tìm điểm đầu, điểm cuối, giá và độ dài của các vectơ CH,CB, HA trong Ví dụ 1. Biết tam giác đều ABC có cạnh bằng 2 và H là trung điểm của đoạn thẳng BC.
Lời giải:
Tam giác ABC đều lại có H là trung điểm của BC nên AH vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao trong tam giác ABC.
Ta có HC = 1
2BC = 1.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AHC vuông tại H ta có:
AH2 + HC2 = AC2
AH2 = 22 − 12
AH2 = 3
AH = 3
Vectơ CH có điểm đầu là C, điểm cuối là H, có giá là đường thẳng CH và CH = 1.
Vectơ CB có điểm đầu là C, điểm cuối là B, có giá là đường thẳng CB và CB = 2.
Vectơ HA có điểm đầu là H, điểm cuối là A, có giá là đường thẳng HA và HA = 3 .
Thực hành 2 trang 82 sgk Toán 10 tập 1:
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2
2 , hai đường chéo cắt nhau tại O (Hình 5).
Tìm độ dài của các vectơ AC, BD,OA, AO.
Lời giải:
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABD vuông tại A:
BD2 = AB2 + AD2
BD2 =
2 2
2 2
2 2
+
BD2 = 1
BD = 1 (do BD là độ dài đoạn thẳng nên BD > 0)
Do ABCD là hình vuông có hai đường chéo cắt nhau tại O nên AC = BD và O là trung điểm của AC.
Do đó AC = BD = 1 và OA = 1
2AC = 1 2.
Vậy AC = BD = 1 và 1
OA AO
= = 2.
Hoạt động khám phá 2 trang 83 sgk Toán 10 tập 1: Bạn có nhận xét gì về giá của các cặp vectơ AB và CD, PQ và RS trong Hình 6?
Lời giải:
Giá của vectơ AB là đường thẳng AB; giá của vectơ CD là đường thẳng CD.
Đường thẳng AB và CD trùng nhau nên giá của hai vectơ AB và CD trùng nhau.
Giá của vectơ PQ là đường thẳng PQ, giá của vectơ RS là đường thẳng RS.
Đường thẳng PQ và đường thẳng RS song song với nhau nên giá của hai vectơ PQ và RS song song với nhau.
Thực hành 3 trang 84 sgk Toán 10 tập 1: Quan sát Hình 8 và gọi tên các vectơ:
a) Cùng phương với vectơ x ; b) Cùng hướng với vectơ a; c) Ngược hướng với vectơ u. Lời giải:
a) Các vectơ cùng phương với vectơ x là: vectơ w và vectơ z. b) Vectơ cùng hướng với vectơ a là: vectơ b.
c) Vectơ ngược hướng với vectơ u là: vectơ v.
Thực hành 4 trang 84 sgk Toán 10 tập 1: Khẳng định sau đúng hay sai? Hãy giải thích.
Nếu ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ AB và AC cùng hướng.
Lời giải:
Do A, B, C thẳng hàng nên B và C cùng nằm ở một phía so với điểm A (1).
Giá của vectơ AB là đường thẳng AB, giá của vectơ AC là đường thẳng AC.
Do A, B, C thẳng hàng nên đường thẳng AB và đường thẳng AC trùng nhau (2).
Từ (1) và (2) ta có hai vectơ AB và AC cùng hướng.
Hoạt động khám phá 3 trang 84 sgk Toán 10 tập 1: Cho hình bình hành ABCD (Hình 10), hãy so sánh độ dài và hướng của hai vectơ:
a) AB và DC; b) AD và CB.
Lời giải:
a) Ta thấy hai vectơ AB và DC cùng hướng.
Do ABCD là hình bình hành nên AB = CD.
Do đó AB = CD .
b) Ta thấy hai vectơ AD và CB ngược hướng.
Do ABCD là hình bình hành nên AD = BC.
Do đó AD = BC.
Thực hành 5 trang 85 sgk Toán 10 tập 1:
Cho D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC (Hình 14).
a) Tìm các vectơ bằng vectơ EF. b) Tìm các vectơ đối của vectơ EC. Lời giải:
a) Tam giác ABC có E là trung điểm của AC, F là trung điểm của AB nên EF là đường trung bình của tam giác ABC.
Do đó EF // BC và EF = 1 2BC.
Do D là trung điểm của BC nên DB = DC = 1 2BC.
Ta thấy các vectơ DB và CD cùng hướng với vectơ EF và BC
DB C EF
D 2
= = =
.
Do đó các vectơ bằng vectơ EF là vectơ DB và vectơ CD.
b) Tứ giác FECD có EF // CD và EF = CD nên FECD là hình bình hành.
Do đó EC = FD.
Do E là trung điểm của AC nên EA = EC.
Ta thấy các vectơ EA, vectơ DF và vectơ CE ngược hướng với vectơ EC và EA = DF = CE = EC.
Do đó các vectơ đối của vectơ EC là vectơ EA, vectơ DF và vectơ CE. Thực hành 6 trang 86 sgk Toán 10 tập 1:
Tìm độ dài của các vectơ EF, EE, EM, MM , FF trong Ví dụ 5.
Cho đoạn thẳng EF có độ dài bằng 2 và nhận M là trung điểm.
Lời giải:
Do M là trung điểm của EF nên EM = 1
2EF = 1.
Ta có: EF = EF = 2, EE = 0 = 0, EM = EM = 1, MM = 0 = 0, FF = 0 = 0.
B. Bài tập
Bài 1 trang 86 sgk Toán 10 tập 1:
a) Bạn hãy tìm sự khác biệt giữa hai đại lượng sau:
− Bác Ba có số tiền là 20 triệu đồng;
− Một cơn bão di chuyển với vận tốc 20 km/h theo hướng đông bắc.
b) Trong các đại lượng sau, đại lượng nào cần được biểu diễn bởi vectơ?
Giá tiền, lực, thể tích, tuổi, độ dịch chuyển, vận tốc.
Lời giải:
a) − Đại lượng số tiền 20 triệu đồng biểu thị số tiền bác Ba có.
− Đại lượng vận tốc 20 km/h của cơn bão di chuyển theo hướng đông bắc biểu thị quãng đường cơn bão đi được mỗi giờ và hướng đi của cơn bão.
b) Các đại lượng giá tiền, thể tích, tuổi được biểu diễn bởi các số thực.
Do đó các đại lượng cần được biểu diễn bởi vectơ là: lực, độ dịch chuyển, vận tốc.
Bài 2 trang 86 sgk Toán 10 tập 1:
Cho hình thang ABCD có hai cạnh đáy là AB và DC (Hình 15). Điểm M nằm trên đoạn DC.
a) Gọi tên các vectơ cùng hướng với vectơ AB. b) Gọi tên các vectơ ngược hướng với vectơ DM.
Lời giải:
a) Do ABCD là hình thang nên AB // CD.
Do đó các vectơ cùng hướng với vectơ AB là: vectơ DM, vectơ MC, vectơ DC.
b) Các vectơ ngược hướng với vectơ DM là: vectơ BA, vectơ CM, vectơ MD, vectơ CD.
Bài 3 trang 86 sgk Toán 10 tập 1:
Cho hình vuông ABCD có tâm O và có cạnh bằng a (Hình 16).
a) Tìm trong hình hai vectơ bằng nhau và có độ dài bằng a 2 2 . b) Tìm trong hình hai vectơ đối nhau và có độ dài bằng a 2. Lời giải:
a) Hình vuông ABCD có tâm O nên AC ⊥ BD và OA = OB = OC = OD.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AOD vuông tại O có:
OA2 + OD2 = AD2
2OA2 = a2
OA2 = a2
2
OA = a a 2
2 = 2 (do OA là độ dài đoạn thẳng nên OA > 0)
Ta thấy hai vectơ OA và CO cùng hướng và OA = CO nên hai vectơ bằng nhau và có độ dài bằng a 2
2 là vectơ OA và vectơ CO.
Chú ý: Ngoài ra chúng ta có thể có hai vectơ bằng nhau và có độ dài bằng a 2 2 là vectơ OB và vectơ DO, …
b) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ADC vuông tại D:
AD2 + DC2 = AC2
a2 + a2 = AC2
AC2 = 2a2
AC = 2a (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0)
Ta thấy hai vectơ AC và CA ngược hướng và AC = CA nên hai vectơ bằng nhau và có độ dài bằng a 2 là vectơ AC và vectơ CA.
Chú ý: Ngoài ta chúng ta có thể có hai vectơ bằng nhau và có độ dài bằng a 2 là vectơ BD và vectơ DB.
Bài 4 trang 86 sgk Toán 10 tập 1: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi AB=DC.
Lời giải:
Phần thuận: ABCD là hình bình hành thì AB=DC.
Do ABCD là hình hình bình hành nên AB = DC và AB // DC.
Khi đó ta thấy hai vectơ AB và vectơ DC cùng hướng.
Mà AB = DC nên AB=DC.
Phần đảo: Tứ giác ABCD có AB=DC thì ABCD là hình bình hành.
Giá của vectơ AB là đường thẳng AB, giá của vectơ DC là đường thẳng DC.
Do AB=DC nên đường thẳng AB và đường thẳng DC song song hoặc trùng nhau.
Do A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ giác nên hai đường thẳng AB và DC không trùng nhau.
Do đó đường thẳng AB và đường thẳng DC song song với nhau.
Mà AB=DC nên AB = DC hay AB = CD.
Tứ giác ABCD có AB // CD và AB = CD nên tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài 5 trang 86 sgk Toán 10 tập 1:
Hãy chỉ ra các cặp vectơ cùng hướng, ngược hướng, bằng nhau trong Hình 17.
Lời giải:
Các cặp vectơ cùng hướng là: a−b, u −v. Cặp vectơ ngược hướng là: x− y.
Cặp vectơ bằng nhau là: u−v.
Bài 6 trang 87 sgk Toán 10 tập 1: Gọi O là tâm hình lục giác đều ABCDEF.
a) Tìm các vectơ khác vectơ 0 và cùng hướng với vectơ OA. b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB.
Lời giải:
a) Do ABCDEF là lục giác đều nên BC // AD // EF.
Do đó các vectơ cùng hướng với vectơ OA là: vectơ CB, vectơ DO, vectơ DA, vectơ EF.
b) Do ABCDEF là lục giác đều nên AB // CF // DE và AB = OC = FO = ED.
Các vectơ OC, vectơ FO, vectơ ED cùng hướng với vectơ AB và
OC = FO = ED = AB nên các vectơ bằng vectơ AB là: vectơ OC, vectơ FO và vectơ ED.
Bài 7 trang 87 sgk Toán 10 tập 1:
Tìm các lực cùng hướng và ngược hướng trong số các lực đẩy được biểu diễn bằng các vectơ trong Hình 18.
Lời giải:
Trong Hình 18a ta thấy hai lực a và b cùng hướng.
Trong Hình 18b ta thấy hai lực c và d ngược hướng.
