Giải Toán 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ - Chân trời sáng tạo

(1)

Bài 2. Tổng và hiệu của hai vectơ

A. Câu hỏi

Hoạt động khởi động trang 88 sgk Toán 10 tập 1:

Một kiện hàng được vận chuyển từ điểm A đến điểm B rồi lại được vận chuyển từ điểm B đến điểm C. Tìm vectơ biểu diễn tổng của hai độ dịch chuyển: AB+BC.

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Lời giải:

Vectơ biểu diễn tổng của hai độ dịch chuyển AB+BC là AC. Hoạt động khám phá 1 trang 88 sgk Toán 10 tập 1:

Một rô bốt thực hiện liên tiếp hai chuyển động có độ dịch chuyển lần lượt được biểu diễn bởi hai vectơ AB và BC (Hình 1). Tìm vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của rô bốt sau hai chuyển động trên.

(2)

Lời giải:

Vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của rô bốt sau hai chuyển động trên là AB+BC. Hoạt động khám phá 2 trang 89 sgk Toán 10 tập 1:

Cho hình bình hành ABCD (Hình 4).

Chứng minh rằng AB+AD=AC. Lời giải:

Do ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Ta thấy hai vectơ AD và BC cùng hướng và AD = BC nên AD=BC. Khi đó AB+AD=AB+BC=AC.

Vậy AB+AD=AC.

(3)

Thực hành 1 trang 89 sgk Toán 10 tập 1: Cho hình thang ABCD có hai cạnh đáy là AB và DC. Cho biết a =AC+CB; b=DB+BC. Chứng minh hai vectơ a và b cùng hướng.

Lời giải:

Ta có a =AC+CB=AB; b=DB+BC=DC.

Hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD nên AB // CD.

Ta thấy hai vectơ AB và DC cùng hướng nên hai vectơ a và b cùng hướng.

Thực hành 2 trang 89 sgk Toán 10 tập 1: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a.

Tìm độ dài của vectơ AB+AC. Lời giải:

(4)

Dựng hình bình hành ABDC.

Do tam giác ABC đều nên ABC = 60^o.

Hình bình hành ABDC có AB = AC nên ABDC là hình thoi.

Gọi giao điểm của AD và BC là H.

Khi đó AH ⊥ BC.

Tam giác ABH vuông tại H có:

sin ABH AH

= AB

 AH = AB . sin ABH = a . sin 60^o = a 3 2

Do H là giao điểm hai đường chéo của hình thoi ABDC nên AH = 1 2AD.

Do đó AD = a 3.

(5)

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có AB+AC=AD. Do đó AB+AC = AD =a 3.

Vận dụng 1 trang 90 sgk Toán 10 tập 1:

Một máy bay có vectơ vận tốc chỉ theo hướng bắc, vận tốc gió là một vectơ theo hướng đông như Hình 7. Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói trên.

Lời giải:

(6)

Gọi vectơ AB là vectơ vận tốc của máy bay, vectơ BC là vận tốc gió.

Khi đó vectơ tổng của hai vectơ nói trên là AB+BC=AC. Khi đó tam giác ABC vuông tại B.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B:

AC² = AB² + BC²

 AC² = 150² + 30²

 AC² = 23 400

 AC = 30 26 km/h (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0).

Vậy AB+BC = AC =30 26.

Vận dụng 2 trang 90 sgk Toán 10 tập 1:

Hai người cùng kéo một con thuyền với hai lực F₁ =OA, F₂ =OB có độ lớn lần lượt là 400 N, 600 N (Hình 8). Cho biết góc giữa hai vectơ là 60^o. Tìm độ lớn của vectơ hợp lực F là tổng của hai lực F₁ và F₂.

(7)

Lời giải:

Dựng hình bình hành AOBC.

Khi đó F=OC.

Do AOBC là hình bình hành nên AOB+OBC 180=  và OA = BC = 400.

Do đó OBC 180=  −AOB 180=  −  =60 120. Áp dụng định lí côsin vào tam giác OBC có:

OC² = OB² + BC² − 2.OB.BC.cos OBC

 OC² = 600² + 400² − 2.600.400.cos 120^o

 OC² = 760 000

 OC ≈ 872 N (do OC là độ dài đoạn thẳng nên OC > 0) Vậy F ≈ 872 N.

Hoạt động khám phá 2 trang 90 sgk Toán 10 tập 1:

Cho ba vectơ a, b,c được biểu diễn như Hình 9.

(8)

Hãy hoàn thành các phép cộng vectơ sau và so sánh các kết quả tìm được:

a) a+ =b AB+BC= ? ; b+ =a AE+EC= ? .

b)

( )

^a⁺^b ^{+ =}^c

(

^AB⁺^BC

)

⁺^C^D⁼^AC⁺^C^D⁼ ^? ^;

( ) ( )

a + b+c =AB+ BC+CD =AB+BD= ? . Lời giải:

a) Ta có: a + =b AB+BC=AC. b+ =a AE+EC=AC.

Do đó a+ = +b b a.

b) Ta có:

( )

^a ⁺^b ^{+ =}^c

(

^AB⁺^BC

)

⁺^C^D⁼^AC⁺^C^D⁼^A^D^.

( ) ( )

a + b+c =AB+ BC+CD =AB+BD=AD. Do đó

( )

^a⁺^b ^{+ = +}^c ^a

( )

^b⁺^c ^.

Thực hành 3 trang 91 sgk Toán 10 tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1.

Tính độ dài của các vectơ sau:

a) ^a ⁼

(

^AC⁺^B^D

)

⁺^CB^; ^b)â ⁼ÂB⁺Â^D⁺^BC⁺^DA^.

Lời giải:

(9)

a)

(

^AC⁺^B^D

)

⁺^CB⁼^AC⁺^B^D⁺^C^B

(

^AC ^C^B

)

^BD

= + +

AB BD

= +

=AD

Do đó a = AD = 1.

b) ^AB⁺^A^D⁺^BC⁺^DA⁼

(

^AB⁺^BC

) (

⁺ ^A^D⁺^DA

)

⁼ÂC⁺ÂA⁼ÂC^.

Do đó a = AC .

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ADC có:

AC² = AD² + DC²

 AC² = 1² + 1²

 AC² = 2

 AC = 2 (do AC là độ dài đoạn thẳng)

(10)

Vậy a = AC = 2.

Tìm hợp lực của hai lực đối nhau F và F− (Hình 11).

Lời giải:

Hợp lực của hai lực đối nhau F và F− là ^F^{+ −}

( )

^F ^.

Thực hành 4 trang 92 sgk Toán 10 tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1 và một điểm O tùy ý. Tính độ dài của các vectơ sau:

a) a =OB−OD; b) ^b⁼

(

^OC⁻^OA

) (

⁺ ^DB⁻^DC

)

^.

Lời giải:

a) Ta có OB OD− =DB.

(11)

Do đó a = DB .

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABD vuông tại A có:

BD² = AB² + AD²

 BD² = 1² + 1²

 BD² = 2

 BD = 2 (do BD là độ dài đoạn thẳng nên BD > 0) Vậy a = OB OD− = 2.

b) Ta có

(

^OC⁻^OA

) (

⁺ ^DB⁻^DC

)

⁼^AC⁺^CB⁼^AB^.

Do đó ^b ⁼

(

^OC⁻^OA

) (

⁺ ^DB⁻^DC

)

⁼ ^AB^{= 1.}

a) Cho điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Ta đã biết MB= −MA=AM. Hoàn thành phép cộng vectơ sau: MA+MB=MA+AM =MM= ? .

b) Cho điểm G là trọng tâm của tam giác ABC có trung tuyến AI. Lấy D là điểm đối xứng với G qua I. Ta có BGCD là hình bình hành và G là trung điểm của đoạn thẳng AD. Với lưu ý rằng GA+GC=GD và GA= DG, hoàn thành phép cộng vectơ sau:

GA+GB+GC=GA+GD=DG+GD=DD= ? .

(12)

Lời giải:

a) Ta có MA+MB=MA+AM=MM =0.

b) Ta có GA+GB+GC=GA+GD=DG+GD=DD=0. Thực hành 5 trang 93 sgk Toán 10 tập 1:

Cho hình bình hành ABCD tâm O. Tìm ba điểm M, N, P thỏa mãn:

a) MA+MD+MB=0; b) ND+NB+NC=0; c) PM+PN=0.

Lời giải:

(13)

a) Hình bình hành ABCD có tâm O nên O là trung điểm của BD.

Do MA+MD+MB=0 nên M là trọng tâm của tam giác ADB.

Khi đó trên AO chọn M sao cho 2

AM AO

=3 .

b) Do ND+NB+NC=0 nên N là trọng tâm của tam giác DBC.

Khi đó trên CO chọn N sao cho 2

CN CO

= 3 .

c) Do PM+PN=0 nên P là trung điểm của MN (1).

Ta có AM = 2

3AO = 2 1

3 2. AC = 1

3AC; CN = 2

3CO = 2 1

3 2. AC = 1 3AC.

Do đó MN = 1 3AC.

MO = 1

3AO = 1 1

3 2. AC = 1 6AC.

Khi đó MO = 1 2MN.

(14)

Mà O nằm giữa M và N nên O là trung điểm của MN (2).

Từ (1) và (2) suy ra P trùng O.

B. Bài tập

Bài 1 trang 93 sgk Toán 10 tập 1: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

a) BA+DC=0; b) MA+MC=MB+MD. Lời giải:

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AB = CD.

Ta thấy hai vectơ BA và DC ngược hướng và BA = DC nên DC= −BA. Do đó BA+DC=BA−BA=0.

b) Do O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.

(15)

Do O là trung điểm của AC nên OA+OC=0. Do O là trung điểm của BD nên OB+OD=0.

Ta có MA+MC=MO+OA+MO+OC=2MO+OA+OC=2MO. MB+MD=MO+OB+MO+OD=2MO+OB+OD=2MO.

Do đó MA+MC=MB+MD.

Bài 2 trang 93 sgk Toán 10 tập 1: Cho tứ giác ABCD, thực hiện các phép cộng và trừ vectơ sau:

a) AB+BC+CD+DA; b) AB AD− ;

c) CB−CD. Lời giải:

a) ^AB⁺^BC⁺^CD⁺^DA⁼

(

^AB⁺^BC

) (

⁺ ^CD⁺^DA

)

⁼^AC⁺^CA⁼^AA⁼⁰^.

b) AB AD− =DB. c) CB−CD=DB.

Bài 3 trang 93 sgk Toán 10 tập 1:

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ:

a) BA+AC; b) AB+AC; c) BA−BC.

(16)

Lời giải:

a) Ta có BA+AC=BC. Do đó BA+AC = BC = a.

b) Dựng hình bình hành ABDC.

Gọi H là giao điểm của AD và BC.

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có AB+AC=AD. Hình bình hành ABDC có AB = AC nên ABDC là hình thoi.

Do đó AD ⊥ BC tại H.

Do tam giác ABC đều nên ABH = 60^o. Xét tam giác ABH vuông tại H:

(17)

sin ABH AH

= AB

 AH = AB . sin ABH = a . sin 60^o = a 3 2 .

Do H là giao điểm hai đường chéo của hình thoi ABDC nên H là trung điểm của AD.

Do đó AD = 2AH = 2 . a 3

2 = a 3. Vậy AB+AC = AD =a 3.

c) Ta có BA−BC=CA. Do đó BA−BC = CA = a.

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Chứng minh rằng:

a) OA−OB=OD−OC; b) OA−OB+DC=0. Lời giải:

(18)

a) Ta có OA−OB=BA; OD−OC=CD. Do ABCD là hình bình hành nên AB = CD.

Ta thấy hai vectơ BA và CD cùng hướng và BA = CD nên BA=CD. Do đó OA−OB=OD−OC.

b) Ta có OA−OB=OD−OC=CD.

Do đó OA−OB+DC=CD+DC=CC=0. Vậy OA−OB+DC=0.

Cho ba lực F₁=MA, F₂ =MB và F₃ =MC cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của F , F₁ ₂ đều là 10 N và AMB = 90^o. Tìm độ lớn của lực F₃.

Lời giải:

(19)

Dựng hình bình hành MBAD.

Do ba lực F , F₁ ₂ và F₃ cùng tác động vào vật tại điểm M và vật đứng yên nên

1 2 3

F +F + =F 0.

Do đó ^F³ ^{= −}

(

^F¹⁺^F²

)

^.

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:

MA+MB=MD hay F₁+F₂ =MD. Do đó F₃ = −MD.

Hình bình hành MBAD có AMB = 90^o và MA = MB nên MBAD là hình vuông.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác MAD vuông tại A có:

MD² = MA² + AD²

(20)

 MD² = 10² + 10²

 MD² = 2.10²

 MD = 10 2 N (do MD là độ dài đoạn thẳng nên MD > 0).

F3 MD 10 2

 = − = N.

Vậy cường độ của lực F₃ là 10 2 N.

Khi máy bay nghiêng cánh một góc α, lực F của không khí tác động vuông góc với cánh và bằng tổng của lực nâng F₁ và lực cản F₂ (Hình 16). Cho biết α = 30^o và F

= a. Tính F₁ và F₂ theo a.

Lời giải:

(21)

Đặt tên các điểm đầu và điểm cuối của các vectơ và tên góc như trên hình.

Khi đó ABDC là hình chữ nhật.

Ta có BAD = α (cùng phụ với β).

Do đó BAD = 30^o.

Tam giác ABD vuông tại B nên BA cos BAD

= AD

 BA = AD . cos BAD = a . cos 30^o = a 3 2 . sin BAD BD

= ADBD = AD. sin BAD = a . sin 30^o = a 2. Do ABDC là hình chữ nhật nên BD = AC = a

2. Vậy ₁ a 3 ₂ a

F ; F

2 2

= = .

(22)

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K thỏa mãn: KA+KC=0

;

GA+GB+GC=0; HA+HD+HC=0. Tính độ dài các vectơ KA,GH, AG. Lời giải:

Do KA+KC=0 nên K là trung điểm của AC.

Do đó K là giao điểm hai đường chéo của hình vuông ABCD.

Do GA+GB+GC=0 nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó trên đoạn BK chọn điểm G sao cho 2

BG BK

= 3 .

Do HA+HD+HC=0 nên H là trọng tâm của tam giác ADC.

Khi đó trên đoạn DK chọn điểm H sao cho 2

DH DK

= 3 . Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ADC vuông tại D có:

AC² = AD² + DC²

(23)

 AC² = a² + a²

 AC² = 2a²

 AC = 2a (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0) Do K là trung điểm của AC nên AK = 1

2AC = 2a 2 .

Do đó 2a

KA = 2 .

Do ABCD là hình vuông nên AC = BD.

Do đó BD = 2a.

Do H là trọng tâm của tam giác ADC nên HK = 1

3DK = 1 1

3 2. BD = 1

6BD = 2a 6 . Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên KG = 1

3BK = 1 1

3 2. BD = 1

6 BD = 2a 6 . Do đó HK + KG = 2a

6 + 2a

6 hay HG = 2a 3 .

Do đó 2a

GH = 3 .

Do ABCD là hình vuông là K là giao điểm hai đường chéo nên AC ⊥ BD tại K.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AKG vuông tại K có:

AG² = AK² + KG²

 AG² =

2 2

2a 2a

2 6

   

  + 

   

(24)

 AG² = 5a2

9

 AG = 5a

3 (do AG là độ dài đoạn thẳng nên AG > 0)

Do đó 5a

AG = 3 .

Vậy 2a

KA = 2 ; 2a

GH = 3 ; 5a

AG = 3 . Bài 8 trang 93 sgk Toán 10 tập 1:

Một con tàu có vectơ vận tốc chỉ theo hướng nam, vận tốc của dòng nước là một vectơ theo hướng đông như Hình 17. Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói trên.

Lời giải:

(25)

Đặt tên điểm đầu và điểm cuối của các vectơ như hình trên.

Khi đó vectơ vận tốc của con tàu là vectơ AB; vectơ vận tốc của dòng nước là vectơ BC.

Khi đó vectơ tổng của hai vectơ trên là AB+BC=AC. Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B:

AC² = AB² + BC²

 AC² = 30² + 10²

 AC² = 1 000

 AC = 10 10 (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0) Vậy độ dài tổng của hai vectơ trên là 10 10 km/h.