Giải Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ - Chân trời sáng tạo

(1)

Bài 3. Tích của một số với một vectơ

A. Câu hỏi

Hoạt động khám phá 1 trang 94 sgk Toán 10 tập 1:

Cho vectơ a. Hãy xác định độ dài và hướng của hai vectơ: a+a,

( ) ( )

^{− + −}^a ^a ^(Hình

1).

Lời giải:

Vectơ a +a có hướng từ A sang C.

Vectơ

( ) ( )

^{− + −}^a ^a có hướng từ D sang F.

Thực hành 1 trang 95 sgk Toán 10 tập 1:

Cho hai vectơ a, b và một điểm M như Hình 3.

(2)

a) Hãy vẽ các vectơ MN=3a, MP= −3b.

b) Cho biết mỗi ô vuông có cạnh bằng 1. Tính: 3b , −3b , 2a+2b . Lời giải:

a) Ta thấy 3 > 0 nên hai vectơ MN và a cùng hướng.

Do đó từ M kẻ đường thẳng d song song với đường thẳng a.

Trên đường thẳng d, về bên phải điểm M chọn điểm N sao cho MN = 6.

Khi đó MN=3a.

Do −3 < 0 nên hai vectơ MP và b ngược hướng.

Do đó từ M kẻ đường thẳng c song song với đường thẳng b.

Trên đường thẳng c, về bên trái điểm M chọn P sao cho MP = 3.

Khi đó MP= −3b. Ta có hình vẽ như sau:

(3)

b) Ta thấy MP là độ dài cạnh huyền của 1 tam giác vuông cân có cạnh bằng 3.

Do đó MP = 3² +3² =3 2.

Ta thấy 3b và −3b là hai vectơ đối nên 3b = −3b = MP =3 2.

(4)

Ta thấy b+a là độ cạnh huyền của 1 tam giác vuông có độ dài 2 cạnh góc vuông lần lượt là 1 và 3.

Khi đó b+ =a 3² + =1² 10. Do đó 2b+2a = 2a+2b =2 10.

Vậy 3b = −3b =3 2; 2a+2b =2 10.

Thực hành 2 trang 95 sgk Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi MA+MB+MC=3MG.

Lời giải:

Phần thuận: G là trọng tâm của tam giác ABC thì MA+MB+MC=3MG. Chứng minh:

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên GA+GB+GC=0.

Do đó MG+GA+MG+GB+MG+GC=3MG hay MA+MB+MC=3MG.

(5)

Phần đảo: Tam giác ABC có MA+MB+MC=3MG thì G là trọng tâm của tam giác ABC.

Chứng minh:

MA+MB+MC=3MG

MG GA MG GB MG GC 3MG

 + + + + + =

GA GB GC 0

 + + =

Dựng hình bình hành GBDC và gọi I là giao điểm của GD và BC.

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có GB+GC=GD. Mà GA+GB+GC=0 hay GA+GD=0.

Do đó GA= −GD.

Khi đó GA = −GD hay GA = GD.

Hình bình hành GBDC có I là giao điểm hai đường chéo GD và BC nên I là trung điểm của BC và I là trung điểm của GD.

Do I là trung điểm của GD nên GI = 1

2GD = 1 2GA.

GI = 1

2GA nên AI = GI + GA = 1

2GA + GA = 3

2GA hay AG = 2 3AI.

Tam giác ABC có AI là đường trung tuyến, lại có AG = 2

3AI nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

(6)

Vận dụng trang 95 sgk Toán 10 tập 1:

Một con tàu chở hàng A đang đi về hướng tây với tốc độ 20 hải lí/giờ. Cùng lúc đó, một con tàu chở khách B đang đi về hướng đông với tốc độ 50 hải lí/giờ. Biểu diễn vectơ vận tốc b của tàu B theo vectơ vận tốc a của tàu A.

Lời giải:

Ta thấy hai vectơ a và b ngược hướng và b =50; a =20. b 5 a

 = 2 .

Vậy 5

b a

2

= − .

Hoạt động khám phá 2 trang 96 sgk Toán 10 tập 1:

Cho hai vectơ a và b cùng phương, b khác 0 và cho a

c .b

b

= . So sánh độ dài và hướng của hai vectơ a và c.

Lời giải:

(7)

Ta thấy với b khác 0 thì a

b ≥ 0.

Do đó hai vectơ c và b là hai vectơ cùng hướng.

Mà a và b là hai vectơ cùng phương nên hai vectơ a và c cùng hướng khi hai vectơ a và b cùng hướng; hai vectơ a và c ngược hướng khi hai vectơ a và b ngược hướng.

Do a

c .b

b

= nên a a

c .b . b a

b b

= = = .

Do đó độ dài của hai vectơ a và c bằng nhau.

Thực hành 3 trang 96 sgk Toán 10 tập 1:

Cho tứ giác ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Cho điểm G thỏa mãn

GA+GB+GC+GD=0. Chứng minh rằng ba điểm I, G, J thẳng hàng.

Lời giải:

(8)

Do I là trung điểm của AB nên GA+GB=2GI. Do J là trung điểm của CD nên GC+GD=2GJ.

Do đó GA+GB+GC+GD=2GI+2GJ hay GI+GJ=0. Do GI+GJ=0 nên G là trung điểm của IJ.

Vậy I, G, J thẳng hàng.

B. Bài tập

Bài 1 trang 97 sgk Toán 10 tập 1:

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Với M là điểm tùy ý, chứng minh rằng:

a) MA+MB+MC+MD=4MO; b) AB+AC+AD=2AC.

Lời giải:

(9)

a) Hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo nên OA = OC, OB = OD.

Khi đó OA và OC là hai vectơ đối, OB và OD là hai vectơ đối.

Do đó OA+OB+OC+OD=0.

Ta có MA+MB+MC+MD=MG+GA+MG+GB+MG+GC+MG+GD

( )

4MG GA GB GC GD

= + + + +

=4MG

Vậy MA+MB+MC+MD=4MO.

b) Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có AB+AD=AC. Do đó AB+AD+AC=AC+AC hay AB+AC+AD=2AC. Vậy AB+AC+AD=2AC.

(10)

Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD. Chứng minh rằng:

a) AC+BD= 2MN; b) AC+BD=BC+AD. Lời giải:

a) Gọi O là giao điểm hai đường chéo của tứ giác ABCD.

Do M là trung điểm của AB nên OA+OB=2OM. Do đó AO+BO=2MO.

Do N là trung điểm của CD nên OC+OD=2ON. Do đó AO+BO+OC+OD=2MO+2ON.

hay AO+OC+BO+OD=2MN. Do đó AC+BD=2MN.

b) Ta có AD=AC+CD

(11)

Do đó ^BC⁺ÂD⁼^BC⁺ÂC⁺^CD⁼ÂC⁺

(

^BC⁺^CD

)

⁼^AC⁺^BD^.

Vậy AC+BD=BC+AD.

Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định điểm M sao cho MA+4MB=0. Lời giải:

Do MA+4MB=0 nên MA= −4MB do đó MA = −4 MB =4 MB hay MA = 4MB.

Ta thấy −4 < 0 nên hai vectơ MA và MB ngược hướng.

Do đó A và B nằm ở hai phía so với điểm M.

Ta thực hiện vẽ như sau:

Bước 1. Vẽ đường thẳng d, trên đường thẳng d xác định hai điểm M và B.

Bước 2. Trên đường thẳng d, xác định điểm A sao cho A và B nằm ở hai phía so với điểm M thỏa mãn MA = 4MB.

Ta có hình vẽ như sau:

Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, EF. Lấy điểm M tùy ý, chứng minh rằng MA+MB+MC+MD=4MG.

Lời giải:

(12)

Do E là trung điểm của AB nên GA+GB=2GE. Do F là trung điểm của CD nên GC+GD=2GF. Do G là trung điểm của EF nên GE+GF=0.

Do đó ^GA⁺^GB⁺^GC⁺^GD⁼^2GE⁺^2GF⁼^{2 GE}

(

⁺^GF

)

⁼⁰^.

Ta có MA+MB+MC+MD=MG+GA+MG+GB+MG+GC+MG+GD

( )

4MG GA GB GC GD

= + + + +

=4MG

Vậy MA+MB+MC+MD=4MG. Bài 5 trang 97 sgk Toán 10 tập 1:

(13)

Máy bay A đang bay về hướng đông bắc với tốc độ 600 km/h. Cùng lúc đó máy bay B đang bay về hướng tây nam với tốc độ 800 km/h. Biểu diễn vectơ vận tốc b của máy bay B theo vectơ vận tốc a của máy bay A.

Lời giải:

Ta thấy hai vectơ a và b ngược hướng và a = 600, b = 800.

Do đó 800 4

b a a

600 3

= = hay b = 4

3a.

Mà hai vectơ a và b ngược hướng nên 4

b a

= −3 .

Vậy 4

b a

= −3 .

Bài 6 trang 97 sgk Toán 10 tập 1: Cho hai điểm phân biệt A và B.

a) Xác định điểm O sao cho OA+3OB=0.

b) Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có MA+3MB=4MO. Lời giải:

(14)

a) Do OA+3OB=0 nên OA= −3OB do đó OA = −3 OB =3 OB hay OA = 3OB.

Ta thấy −3 < 0 nên hai vectơ OA và OB ngược hướng.

Do đó A và B nằm ở hai phía so với điểm O.

Ta thực hiện vẽ như sau:

Bước 1. Vẽ đường thẳng d, trên đường thẳng d xác định hai điểm O và B.

Bước 2. Trên đường thẳng d, xác định điểm A sao cho A và B nằm ở hai phía so với điểm O thỏa mãn OA = 3OB.

Ta có hình vẽ như sau:

b)

Ta có ^MA⁺^3MB⁼^MO⁺^OA⁺^{3 MO}

(

⁺^OB

)

⁼^4MO⁺^OA⁺^3OB⁼^4MO^.

Vậy MA+3MB=4MO.

Bài 7 trang 97 sgk Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC.

(15)

a) Xác định các điểm M, N, P thỏa mãn: 1

MB BC, AN 3NB, CP PA

= 2 = = .

b) Biểu thị mỗi vectơ MN, MP theo hai vectơ BC, BA. c) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Lời giải:

a) Do 1

MB BC

= 2 nên hai vectơ MB và BC cùng hướng.

Do đó M và C nằm ở hai phía so với điểm B sao cho MB = 1 2BC.

Do AN=3NB nên AN+NB=4NB hay AB=4NB. Do đó A và N nằm cùng phía so với điểm B sao cho NB = 1

4AB.

Do CP=PA nên CP+PA=2PA hay CA=2PA.

Do đó P và C nằm cùng phía so với điểm A sao cho PA = 1 2CA.

Ta có hình vẽ sau:

(16)

b) Ta có MN=BN−BM.

Do AN=3NB nên NA=3BNBN+NA=4BN hay BA=4BN.

Do đó 1

BN BA

= 4 .

Do 1

MB BC

=2 nên 1

BM BC

2

= − .

Do đó 1 1

MN BN BM BA BC

4 2

= − = + .

Ta có MP=BP BM− .

Do đó P và C nằm cùng phía so với điểm A và PA = 1

2CA nên P là trung điểm của CA.

Do đó ^BA⁺^BC⁼^2BP^^BP⁼ ¹₂

(

^BA⁺^BC

)

^.

Do đó ^MP⁼^BP⁻^BM⁼¹₂

(

^BA⁺^BC

)

⁺¹₂^BC⁼¹₂^BA⁺^BC^.

(17)

Ta thấy 1 1

MN BA BC

4 2

= + ; 1

MP BA BC

= 2 + nên MP=2MN. Do đó M, N, P thẳng hàng và N là trung điểm của MP.