Kiến thức và bài tập trắc nghiệm tích vô hướng của hai vectơ - THI247.com

(1)

CHUYÊN ĐỀ 2

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO

§

2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1. Định nghĩa:

a) Góc giữa hai vectơ.

Cho hai vectơ a và b đều khác 0. Từ điểm O bất kỳ dựng các vectơ OA a và OB b. Số đo góc AOB được gọi là số đo góc giữa hai vectơ a và b.

+ Quy ước : Nếu a 0 hoặc b 0 thì ta xem góc giữa hai vectơ a và b là tùy ý (từ 0⁰ đến 180⁰).

+ Kí hiệu: a b;

b) Tích vô hướng của hai vectơ.

Tích vô hướng của hai véc tơ a và b là một số thực được xác định bởi: a b. a b .cos( , )a b . 2. Tính chất: Với ba véc tơ bất kì a b c, , và mọi số thực k ta luôn có:

a b b a

a b c a b a c ka b k a b a kb

a² a² a

1) . .

2) ( ) . .

3) ( ) ( . ) ( )

4) 0, 0 0

Chú ý: Ta có kết quả sau:

+ Nếu hai véc tơ a và b khác 0 thì a b a b. 0 + a a. a² a ² gọi là bình phương vô hướng của véc tơ a. + (a b)² a² 2 .a b b², (a b a)( b) a² b²

3. Công thức hình chiếu và phương tích của một điểm với đường tròn.

a) Công thức hình chiếu.

Cho hai vectơ AB CD, . Gọi A', B' lần lượt là hình chiếu của A, B lên đường thẳng CD khi đó ta có

. ' '.

ABCD A B CD

b) phương tích của một điểm với đường tròn.

Cho đường tròn O R; và điểm M. Một đường thẳng qua N cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Biểu thức MAMB. được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn O R; . Kí hiệu là P_{M O}_/ . Chú ý: Ta có P_{M O}/ MAMB. MO² R² MT² với T là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm M 3.Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Cho hai vectơ a ( ; )x y₁ ₁ và b ( ; ). Khi đó x y₂ ₂ 1) a b. x x_{1 2} y y_{1 2}

2) a ( ; )x y | |a x² y²

3) a b x x y y

a b a b x y x y

1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

cos( , ) .

Hệ quả:

Chương 2

(2)

+ a b x x_{1 2} y y_{1 2} 0

+ Nếu A x y( ; ) và _A _A B x y( ; )_B _B thì AB (x_B x_A)² (y_B y_A)² Câu 1. Trong mp Oxy cho ^A

( )

^4;6 ^,^B

( )

^{1; 4} ^, ^7;³

2

 

 

 

C . Khảng định nào sau đây sai A.^AB^{= − −}

(

^{3; 2}

)

^, ^3; ⁹

2

 

= − 

AC . B.AB AC. =0.

C. AB = 13. D. 13

= 2

BC .

Lời giải Chọn D

Phương án A: ^AB^{= − −}

(

^{3; 2}

)

, nên loại A.

Phương án B: AB AC. =0nên loại B.

Phương án C : AB = 13 nên loại C. 9 3; 2

 

= −  AC

Phương án D: Ta có 5

6; 2

 

= − 

BC suy ra

2

2 5 13

6 2 2

= +   =

BC   nên chọn D.

Câu 2. Cho a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0. Trong các kết quả sau đây, hãy chọn kết quả đúng:

A.a b. = a b. . B.a b. =0. C.a b. = −1. D.a b. = −a b. . Lời giải

Chọn A

Ta thấy vế trái của 4 phương án giống nhau.

Bài toán cho a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0 suy ra

( )

^{a b}^, ⁼⁰⁰

Do đó a b. = a b. .cos 0^o = a b. nên chọn A

Câu 3. Cho các vectơ ^a^{= −}

(

^{1; 2 ,}

)

^b^{= − −}

(

^{2; 6}

)

. Khi đó góc giữa chúng là

A.45ô. B. 60ô. C. 30ô. D. 135ô. Lời giải

Chọn A

Ta có ^a^{= −}

(

^{1; 2 ,}

)

^b^{= − −}

(

^{2; 6}

)

^{, suy ra}^cos

( )

^; ^. ¹⁰ ₂²

5. 40 .

= a b = = a b

a b ^

( )

^{a b}^; ⁼⁴⁵^o^.

Câu 4. Cho ^OM ^{= − −}

(

^{2; 1}

)

^,^ON⁼

(

^{3; 1}⁻

)

. Tính góc của

(

^{OM ON}^,

)

A.135^o. B. 2

− 2 . C. −135^o. D. 2 2 . Lời giải

Chọn A

Ta có ^cos

(

^,

)

^. ⁵ ₂²

(

^,

)

¹³⁵^o

5. 10 .

= OM ON = − = −  =

OM ON OM ON

OM ON .

Câu 5. Trong mặt phẳng Oxy cho ^a⁼

( )

^{1;3 ,}^b^{= −}

(

^2;1

)

. Tích vô hướng của 2 vectơ a b. là:

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Lời giải Chọn A

Ta có ^a⁼

( )

^{1;3 ,}^b^{= −}

(

^2;1

)

^{, suy ra}^{a b}^. ⁼^1.

( )

^{− +}² ^{3.1 1}⁼ ^.

(3)

Câu 6. Cặp vectơ nào sau đây vuông góc?

A. ^a⁼

(

^{2; 1}⁻

)

^và^b^{= −}

(

^{3; 4}

)

^. ^B.^a⁼

(

^{3; 4}⁻

)

^và^b^{= −}

(

^{3; 4}

)

^.

C.^a^{= − −}

(

^{2; 3}

)

^và^b^{= −}

(

^{6; 4}

)

^. ^D.^a⁼

(

^{7; 3}⁻

)

^và^b⁼

(

^{3; 7}⁻

)

^.

Lời giải Chọn C

Phương án A: ^{a b}^. ⁼^2.

( ) ( )

^{− + −}³ ^{1 .4}^{= − }¹⁰ ⁰ suy ra A sai.

Phương án B: ^{a b}^. ⁼^3.

( ) ( )

^{− + −}³ ^{4 .4}^⁰ suy ra B sai.

Phương án C: ^{a b}^. ^{= − − −}^2.

( )

⁶ ^3.4^{=  ⊥}⁰ ^a ^b suy ra C đúng.

Phương án D: ^{a b}^. ⁼^7.3^{+ −}

( ) ( )

^{3 .} ^{− =}⁷ ⁴²^⁰ suy ra D sai.

Câu 7. Cho 2 vec tơ a=

(

a a1; 2

)

,b=

(

b b1; 2

)

, tìm biểu thức sai:

A.a b. =a b₁.₁+a b₂. ₂. B.^{a b}^. ⁼ ^{a b}^. ^.cos

( )

^{a b}^, ^.

C.^{a b}^. ⁼¹₂^__^a²⁺^b²⁻

( )

^{a b}⁺ ²^__^. ^D.^{a b}^. ⁼¹₂^__

( )

^{a b}⁺ ²⁻^a²⁻^b²^__^.

Phương án A : biểu thức tọa độ tích vô hướng a b. =a b₁. ₁+a b₂. ₂ nên loại A

Phương án B : Công thức tích vô hướng của hai véc tơ ^{a b}^. ⁼ ^{a b}^. ^.cos

( )

^{a b}^, nên loại B Phương án C: ¹₂^__^a²⁺^b² ⁻

( )

^{a b}⁺ ²^__⁼ ¹₂^__^a²⁺^b²⁻

(

^a²⁺^b²⁺²^ab

)

^__^{= −}^ab nên chọn C.

Câu 8. Cho tam giác đều ABC cạnh a=2. Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?

A.

(

^{AB AC BC}^.

)

⁼²^BC ^. ^B.^{BC CA}^. ^{= −}²^.

C.

(

^AB⁺^{BC AC}

)

^. ^{= −}⁴^. ^D.

(

^BC⁻^{AC BA}

)

^. ⁼²^.

Ta đi tính tích vô hướng ở các phương án. So sánh vế trái với vế phải.

Phương án A:^{AB AC}^. ⁼ ^{AB AC}^. ^{cos 60}^o ⁼²^x^

(

^{AB AC BC}^.

)

⁼²^BCnên loại A.

Phương án B:BC CA. =BC AC. cos120^o = −2nên loại B.

Phương án C:

(

^AB⁺^{BC AC}

)

^. ⁼^{AC AC}^. ⁼⁴^,^{BC CA}^. ⁼^2.2.cos120^o ^{= −}² nên chọn C.

Câu 9. Cho tam giác ABC cân tại A, A=120^ovà AB=a. Tính BA CA. A.

2

a . B.

2

−a2

. C.

2 3

2

a . D.

2 3

−a 2 . Lời giải

Chọn B

Ta có . . .cos120^o ¹ ²

= = −2

BA CA BA CA a .

Câu 10. Cho ABC là tam giác đều. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.AB AC. =0. B.AB AC. = −AC AB. . C.

(

^{AB AC BC}^.

)

⁼^{AB AC BC}

(

^.

)

^. ^D.^{AB AC}^. ⁼^{BA BC}^. ^.

Phương án A: DoAB AC. = AB AC. .cos 60^o 0nên loại A.

Phương án B: . 0

. .

. 0

    −

−  

AB AC

AB AC AC AB AC AB

nên loại B.

(4)

Phương án C: Do

(

^{AB AC BC}^.

)

^và^{AB AC BC}

(

^.

)

không cùng phương nên loại C.

Phương án D:AB=AC=BC=a,

2

. .

= =a2

AB AC BA BC nên chọn D.

Câu 11. Cho tam giác ABC có ^A

( )

^{1; 2} ^,^B

(

⁻^1;1

)

^,^C

(

^{5; 1}⁻

)

^.Tính^cos^A

A. 2

5. B. 1

5

− . C. 1

5. D. 2

5

− . Lời giải

Chọn B

Ta có ^AB^{= − −}

(

^{2; 1}

)

^, ^AC⁼

(

^{4; 3}⁻

)

^suy ^ra

( ) ( ) ( )

( ) ( )

² ² ²

( )

²

2 .4 1 . 3

. 5 1

cos =

. 2 1 . 4 3 5 25 5

− + − − −

= = = −

− + − + −

AB AC

A AB AC .

Câu 12. Cho hình vuông ABCD tâm O. Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?

A.OA OB. =0. B. . ¹ .

=2

OA OC OA AC. C.AB AC. = AB CD. . D.AB AC. =AC AD. .

Phương án A:OA⊥OBsuy ra OA OB. =0nên loại A.

Phương án B:OA OC. =0và ¹ . 0

2OA AC= suy ra . ¹ . 0

= 2 =

OA OC OA AC nên loại B.

Phương án C: ^o 2 ²

. . .cos 45 . 2.

= = 2 =

AB AC AB AC AB AB AB .

0 2

. = . .cos180 = −

AB CD AB DC AB AB AC.  AB CD. nên chọn C.

Câu 13. Trong mặt phẳng Oxy cho ^A

(

^{− −}^{1; 1}

)

^,^B

( )

^3;1 ^,^C

( )

^6;0 . Khảng định nào sau đây đúng.

A.^AB^{= − −}

(

^{4; 2}

)

^,^AC⁼

( )

^1;7 ^{. B.}B=135^o. C. AB =20. D. BC =3. Lời giải

Chọn B

Phương án A: do ^AB⁼

( )

^{4; 2} nên loại A Phương án B:

Ta có ^AB⁼

( )

^{4; 2} ^suy ^ra ^AB ⁼ ²⁰^, ^BA^{= − −}

(

^{4; 2}

)

^;

(

^{3; 1}

)

¹⁰

= −  =

BC BC . . 10 1 ^o

cos 135

. 20. 10 2

− −

= BA BC = =  =

B B

BA BC nên chọn B.

Câu 14. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?

A.DA CB. =a². B.AB CD. = −a².

C.

(

^AB⁺^{BC AC}

)

^. ⁼^a²^. ^D.AB AD CB CD^. ⁺ ^. ⁼⁰. Lời giải

Chọn B

Phương án A:DoDA CB. =DA CB cos. . 0⁰ =a²nên loạiA.

Phương án B:DoAB CD. =AB CD. .cos180^o = −a²nên chọn B.

Câu 15. Cho hình thang vuông ABCDcó đáy lớn AB=4a, đáy nhỏ CD=2a, đường cao AD=3a; I là trung điểm của AD . Câu nào sau đây sai?

A.AB DC. =8a². B.AD CD. =0. C.AD AB. =0. D.DA DB. =0. Lời giải

Chọn D

Phương án A:AB DC. = AB DC. .cos 0^o =8a²nên loại A.

(5)

Phương án B:AD⊥CD suy ra AD CD. =0 nên loại B.

Phương án C:AD⊥ AB suy ra AD AB. =0nên loại C.

Phương án D:DA không vuông góc với DBsuy ra DA DB. 0 nên chọn D .

Câu 16. Cho hình thang vuông ABCDcó đáy lớn AB=4a, đáy nhỏ CD=2a, đường cao AD=3a; I là trung điểm của AD . Khi đó

(

^IA⁺^{IB ID}

)

^. ^{bằng :}

A.

9 2

2

a . B.

9 2

− 2a

. C.0 . D.9a².

Lời giải Chọn B

Ta có

(

^{IA IB ID}⁺

)

^. ⁼

(

IA IA AB ID^{+ +}

)

^. ⁼^{2 .}IA ID^{= −}⁹₂^a² nên chọn B.

Câu 17. Cho tam giác đều ABC cạnh a, với các đường cao AH BK, ; vẽHI ⊥AC. Câu nào sau đây đúng?

A.BA BC. =2BA BH. . B.CB CA. =4CB CI. . C.

(

^AC⁻^{AB BC}

)

^. ⁼²^{BA BC}^. ^. D.Cả ba câu trên.

Phương án A:BC=2BH BA BC. =2BA BH. nên đẳng thức ở phương án A là đúng.

Phương án B:CA=4CICB CA. =4CB CI. nên đẳng thức ở phương án B là đúng.

Phương án C:

( )

2

. .

. 2 .

2 . 2. . .1 2

− = = 

  − =

= = 

 AC AB BC BC BC a

AC AB BC BA BC BA BC a a a

nên đẳng thức ở phương án C là đúng.

Vậy chọn D.

Câu 18. Cho tam giác đều ABC cạnh a, với các đường cao AH BK, ; vẽHI ⊥AC Câu nào sau đây . đúng?

A.

(

^AB⁺^{AC BC}

)

^. ⁼â²^{. B.}^{CB CK}^. ⁼â₈² ^. ^C.^{AB AC}^. ⁼ â₂² ^. ^D.^{CB CK}^. ⁼ â₂² ^.

Phương án A:do

(

^AB⁺^{AC BC}

)

^. ⁼ ^{AB BC}^. ⁺^{AC BC}^. ^{= −}^a₂² ⁺^a₂² ⁼⁰nên loại A Phương án B:do

2

. . .cos 0o

= = a2

CB CK CB CK nên loại B Phương án C:do

2

. . .cos 60o

= = a2

AB AC AB AC nên chọn C Câu 19. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Mệnh đề nào sau đây sai?

A.AB AD. =0. B.AB AC. =a².

C.AB CD. =a². D.(AB CD BC AD+ + ). =a². Lời giải

Chọn C

Ta đi tính tích vô hướng ở vế trái của 4 phương án.

Phương án A:AB⊥ ADAB AD. =0 nên loại A.

Phương án B:AB AC. = AB AC. .cos 45^o =a² nên loại B.

Phương án C:AB CD. =a a. .cos180^o = −a²nên chọn C.

Câu 20. Tam giác ABC vuông ở A và có góc B=50^o. Hệ thức nào sau đây là sai?

(6)

A.

(

^{AB BC}^,

)

⁼¹³⁰^o^. ^B.

(

^{BC AC}^,

)

⁼⁴⁰^o^. ^C.

(

^{AB CB}^,

)

⁼⁵⁰^o^. ^D.

(

^{AC CB}^,

)

⁼¹²⁰^o^.

Phương án A:

(

^{AB BC}^,

)

⁼¹⁸⁰⁰⁻

(

^{AB CB}^,

)

⁼¹³⁰^o nên loại A.

Phương án B:

(

^{BC AC}^,

) (

⁼ ^{CB CA}^,

)

⁼⁴⁰^o nên loại B.

Phương án C:

(

^{AB CB}^,

) (

⁼ ^{BA BC}^,

)

⁼⁵⁰^o nên loại C.

Phương án D:

(

^{AC CB}^,

)

⁼¹⁸⁰⁰⁻

(

^{CA CB}^,

)

⁼¹⁴⁰^onên chọn D.

Câu 21. Trong mặt phẳng

(

^{O i j}^{; ,}

)

cho 2 vectơ : a= +3i 6j và b= −8i 4 .j Kết luận nào sau đây sai?

A.a b. =0. B.a⊥b. C. a b. =0. D. a b. =0. Lời giải

Chọn C

( )

^{3;6 ;}

(

^{8; 4}

)

= = −

a b

Phương án A:a b. =24 24− =0 nên loại A

Phương án B:a b. =0 suy ra a vuông góc bnên loại B Phương án C: ^{a b}^. ⁼ ³²⁺^{6 . 8}² ²^{+ −}

( )

⁴ ² ^⁰ nên chọn C.

Câu 22. Trong mặt phẳng Oxy cho ^A

( ) ( ) ( )

^{1; 2 ,}^B ^{4;1 ,}^C ^{5; 4} ^{. Tính}^BAC^?

A.60ô. B.45ô. C.90ô. D.120ô.

Ta có ^AB⁼

(

^{3; 1}⁻

)

^, ^AC⁼

( )

^{4; 2} ^suy ^ra

( )

^. ¹⁰ ²

cos ;

. 10. 20 2

= AB AC = = AB AC

AB AC ^

(

^{AB AC}^;

)

⁼⁴⁵^o^.

Câu 23. Cho các vectơ ^a^{= −}

(

^{1; 3 ,}

)

^b⁼

( )

^2;5 . Tính tích vô hướng của ^{a a}

(

⁺²^b

)

A.16. B.26. C.36. D.−16.

Ta có a a. =10, a b. = −13 suy ra ^{a a}

(

⁺²^b

)

^{= −}¹⁶^.

Câu 24. Cho hình vuông ABCD, tính ^cos

(

^{AB CA}^,

)

A.¹

2 . B. ¹

−2. C. 2

2 . D. 2

− 2 . Lời giải

Chọn D

Đầu tiên ta đi tìm số đo của góc

(

^{AB CA}^,

)

sau đó mới tính ^cos

(

^{AB CA}^,

)

Vì

(

^{AB CA}^,

)

⁼¹⁸⁰^o⁻

(

^{AB CA}^,

)

⁼¹³⁵^o ^^cos

(

^{AB CA}^,

)

^{= −} ₂² ^.

Câu 25. Cho hai điểm ^A

(

⁻^{3, 2 ,}

) ( )

^B ^{4,3 .} Tìm điểm M thuộc trục Oxvà có hoành độ dương để tam giác MAB vuông tại M

A.^M

( )

^7;0 ^. ^B.^M

( )

^5;0 ^. ^C.^M

( )

^3;0 ^. ^D.^M

( )

^9;0 ^.

Ta có ^A

(

⁻^{3, 2 ,}

) ( )

^B ^4,3 ^{, gọi}^{M x}

( )

^{;0 ,}^x^⁰^{. Khi đó}^AM ⁼

(

^x^{+ −}^{3; 2}

)

^,^BM ⁼

(

^x^{− −}^{4; 3}

)

^.

(7)

Theo YCBT . 0 ² 6 0 ²

( ) ( )

3;0 3

= −

=  − − =  = 

x l

AM BM x x M

x .

Câu 26. ChoA

( ) ( ) (

2; 5 , 1; 3 , B C 5; 1−

)

. Tìm tọa độ điểm Ksao cho AK =3BC+2CK

A.^K

(

⁻^4;5

)

^. ^B.^K

(

⁻^4;5

)

^. ^C.^K

(

^{4; 5}⁻

)

^. ^D.^K

(

^{− −}^{4; 5}

)

Gọi ^{K x y}

(

^;

)

^với^{x y}^, ^ ^.

Khi đó ^AK^{= −}

(

^x ^2;^y⁻⁵

)

^,³^BC⁼

(

^{12; 12}⁻

)

^,²^CK⁼

(

²^x⁻^{10; 2}^y⁺²

)

^.

Theo YCBT AK =3BC+2CK nên 2 12 2 10

5 12 2 2

− = + −

 − = − + +



x x

y y ⁴

(

^4;5

)

5

 = −

 =  −

x K

y .

Câu 27. Cho tam giácABC vuông cân tại A có BC=a 2.Tính CA CB. A.CA CB. =a². B.CA CB. =a. C. 2 . = ^a2

CA CB . D.CA CB. =a 2. Lời giải

Chọn A

Ta có 2 ²

. 2.

. =a a 2 =a

CACB .

Câu 28. Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Tính AB AD.

A.0 . B.a. C.

2

a . D.a². Lời giải

Chọn A

Ta có AB AD. =a a. .cos90^o =0.

Câu 29. Trong mặt phẳng Oxy, cho ^a⁼

(

^{2; 1}⁻

)

^và^b^{= −}

(

^{3; 4}

)

. Khẳng định nào sau đây là sai?

A.Tích vô hướng của hai vectơ đã cho là 10− . B.Độ lớn của vectơ a là 5 . C.Độ lớn của vectơ b là 5 . D.Góc giữa hai vectơ là 90^o.

Ta có a = 2²+ −

( )

1 ² = 5 nên B đúng.

( )

³ ² ⁴² ⁵

= − + =

b nên C đúng.

( ) ( )

. =2. − + −3 1 .4= − 10 0

a b nên A đúng, D sai.

Câu 30. Cho M là trung điểm AB, tìm biểu thức sai:

A.MA AB. = −MA AB. . B.MA MB. = −MA MB. . C.AM AB. =AM AB. . D.MA MB. =MA MB. .

Phương án A:MA AB, ngược hướng suy ra MA AB. =MA AB. .cos180^o = −MA AB. nên loại A.

Phương án B:MA MB, ngược hướng suy ra MA MB. =MA MB. .cos180^o = −MA MB. nên loại B.

Phương án C: AM AB, cùng hướng suy ra AM AB. =AM AB. .cos 0^o =AM AB. nên loại C.

Phương án D:MA MB, ngược hướng suy ra MA MB. =MA MB. . cos180^o= −MA MB. nên chọn D.

Câu 31. Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a và H là trung điểm BC. Tính AH CA.

(8)

A.

3 2

4

a . B.

3 2

4

− a

. C.

3 2

2

a . D.

3 2

2

− a . Lời giải

Chọn B

Ta có ^{AH CA}^. ⁼ ^{AH CA}^. ^.cos

(

^{AH CA}^,

)

⁼â₂³^{. .cos150}â ô ^{= −}³₄â² ^.

Câu 32. Biếta, b 0 và a b. = −a b. . Câu nào sau đây đúng A.avà b cùng hướng.

B.avà bnằm trên hai dường thẳng hợp với nhau một góc 120^o. C.avà b ngược hướng.

D. A, B, C đều sai.

Ta có ^{a b}^. ^{= −}^{a b}^. ^ ^{a b}^. ^cos

( )

^{a b}^, ^{= −}^{a b}^. ^^cos

( )

^{a b}^, ^{= −}¹^nên^a^và^b ngược hướng Câu 33. Tính

( )

^{a b}^, ^biết^{a b}^. ^{= −}¹₂ ^{a b}^. ^{, (}^a^,^b ^⁰⁾

A.120ô. B.135ô. C.150ô. D.60ô. Lời giải

Chọn A

( ) ( )

1 1 1

. . . cos , . cos ,

2 2 2

= −  = −  = −

a b a b a b a b a b a b nên

( )

^{a b}^, ⁼¹²⁰^o

Câu 34. Cho tứ giác lồi ABCD có AD=6 cm. Đặt v=AB−DC−CB .Tính v AD.

A.18 cm . ² B.24 cm . ² C.36 cm . ² D.48 cm . ² Lời giải

Chọn C

= − − = + + =

v AB DC CB AB CD BC AD suy ra v AD. =AD²=36 cm². Câu 35. Cho 2 vectơ a và b có a =4, b =5 và

( )

^{a b}^, ⁼¹²⁰^o^.Tính ^a⁺^b

A. 21. B. 61 . C.21. D.61 .

Ta có ^{a b}^{+ =}

( )

^{a b}⁺ ² ⁼ ^a²⁺^b²⁺^{2 .}^{a b}⁼ ^a²⁺ ^b²⁺²^{a b} ^cos

( )

^{a b}^, ⁼ ²¹^.

Câu 36. Cho tam giác ABC có cạnh BC=6 cm và đường cao AH, H ở trên cạnh BC sao cho

=2

BH HC.Tính AB BC.

A.−24 cm². B.24 cm . ² C.18 cm . ² D.−18 cm². Lời giải

Chọn A

Ta có ^{AB BC}^. ⁼

(

^AH⁺^{HB BC}

)

^. ⁼ ^{AH BC}^. ⁺^{HB BC}^. ⁼^{HB BC}^. ^{= −}^{24 cm}²^.

Câu 37. Cho tam giác ABC có ^A

( )

^{1; 2} ^,^B

(

⁻^1;1

)

^,^C

(

^{5; 1}⁻

)

^.Tính^{AB AC}^.

A.7 . B.5 . C.−7. D.−5.

Ta có ^{AB AC}^. ^{= −}

( )

^{2 .4}^{+ −}

( ) ( )

^{1 .} ^{− = −}³ ⁵^.

Câu 38. Trong mặt phẳngOxy cho ^A

(

⁻^1;1

)

^,^B

( )

^1;3 ^,^C

(

^{1; 1}⁻

)

. Khảng định nào sau đây đúng.

A.^AB⁼

( )

^{4; 2} ^,^BC⁼

(

^{2; 4}⁻

)

^. ^B.^AB^⊥^BC^.

C. Tam giác ABCvuông cân tại A. D. Tam giác ABCvuông cân tại B.

(9)

Phương án A: do ^AB⁼

( )

^{2; 2} nên loại A.

Phương án B:^AB⁼

( )

^{2; 2} ^,^BC⁼

(

^{0; 4}⁻

)

^,^{AB BC}^. ^{= −}⁸^{suy ra}^AB không vuông gócBC nên loại B.

Phương án C : Ta có ^AB⁼

( )

^{2; 2} ^, ^AC⁼

(

^{2; 2}⁻

)

^, ^BC⁼

(

^{0; 4}⁻

)

, suy ra AB=AC= 8, . =0

AB AC .Nên Tam giác ABC vuông cân tại A.Do đó chọn C.

Câu 39. Cho ^a⁼

(

^{1; 2}⁻

)

^,^b^{= − −}

(

^{1; 3}

)

^{. Tính}

( )

^{a b}^, ^.

A.

( )

^{a b}^, ⁼¹²⁰^o^. ^B.

( )

^{a b}^, ⁼¹³⁵^o^. ^C.

( )

^{a b}^, ⁼⁴⁵^o^. ^D.

( )

^{a b}^, ⁼⁹⁰^o^.

Ta có

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2

( )

^o

2

1. 1 2 . 3

. 5 1

cos , , 45

5 10 2

. 1 1 . 1 3

− + − −

= = = =  =

+ − − + −

a b a b a b

a b

. Câu 40. Cho tam giác ABC vuông tại A có B=60^o,AB=a. Tính AC CB.

A.3a². B.−3a². C.3a . D. 0.

Ta có ^o 3 ²

. . .cos150 3.2 . 3

2

 

= = − = −

AC CB AC BC a a a .

Câu 41. Cho tam giác ABC vuông tại A có AC=12 cm. M là trung điểm AC . TínhBM CA. A.144cm². B.−144cm². C.72 cm². D.−72cm².

( )

²

. = + . = . + . = . = −72 cm

BM CA BA AM CA BA CA AM CA AM CA

Câu 42. Cho tam giác ABC có đường cao BH (H ở trên cạnh AC).Câu nào sau đây đúng

A.BA CA. =BH HC. . B.BA CA. =AH HC. . C.BA CA. =AH AC. . D.BA CA. =HC AC. . Lời giải

Chọn C

Ta có ^{BA CA}^. ⁼

(

^BH⁺^{HA CA}

)

^. ⁼^{BH CA}^. ⁺^{HA CA}^. ⁼^{HA CA}^. ⁼^{AH AC}^. nên chọn C.

Câu 43. Cho 2 vectơ đơn vị a và b thỏa a+ =b 2. Hãy xác định

(

³^a⁻⁴^b

)(

²^a⁺⁵^b

)

A.7 . B.5 . C.−7. D.−5.

= =1

a b , ^{a b}^{+ = }²

( )

^{a b}⁺ ²^{= }⁴ ^{a b}^. ⁼¹^,

(

³^a⁻⁴^b

)(

²^a⁺⁵^b

)

⁼⁶^a²⁻²⁰^b²⁺^{7 .}^{a b}^{= −}⁷^.

Câu 44. Cho tam giác ABC. Lấy điểm M trên BC sao choAB AM. −AC AM. =0.Câu nào sau đây đúng

A.M là trung điểm của BC. B.AM là đường phân giác của góc A. C.AM ⊥BC. D. A, B, C đều sai.

Ta có ^{AB AM}^. ⁻^{AC AM}^. ^{= }⁰ ^{AM AB}

(

⁻^AC

)

^{= }⁰ ^{AM CB}^. ⁼⁰^nên^AM ^⊥^BC^.

Câu 45. Cho hình thang vuông ABCDcó đáy lớn AB=4a, đáy nhỏ CD=2a, đường cao

=3

AD a.Tính DA BC.

A.−9a². B. 15a². C. 0. D. 9a²

(10)

Vì^{DA BC}^. ⁼^{DA BA}^.

(

⁺^AD⁺^DC

)

⁼^{DA AD}^. ^{= −}⁹^a²nên chọn A.

Câu 46. Cho tam giác ABC vuông tại C có AC=9, BC=5. Tính AB AC.

A.9. B.81. C.3. D.5.

Lời giải ChọnB

Ta có ^{AB AC}^. ⁼

(

^AC⁺^{CB AC}

)

^. ⁼^{AC AC}^. ⁺^{CB AC}^. ⁼^{AC AC}^. ⁼⁸¹nên chọn B.

Câu 47. Cho hai vectơ avà b. Biết a =2 , b = 3 và

( )

^{a b}^, ⁼¹²⁰^o^.Tính^a⁺^b

A. 7+ 3. B. 7− 3 . C. 7−2 3. D. 7+2 3. Lời giải

Chọn C

Ta có ^{a b}^{+ =}

( )

^{a b}⁺ ² ⁼ ^a²⁺^b²⁺^{2 .}^{a b} ⁼ ^a²⁺ ^b²⁺²a b cos a b

( )

^, ⁼ ^{7 2 3}⁻ . Câu 48. Cho hai điểm B C, phân biệt. Tập hợp những điểm Mthỏa mãn CM CB. =CM² là :

A.Đường tròn đường kínhBC . B. Đường tròn

(

^{B BC}^;

)

^.

C. Đường tròn

(

^{C CB}^;

)

^. D. Một đường khác.

Lời giải Chọn A

2 2

. =  . − = 0 . =0

CM CB CM CM CB CM CM MB . Tập hợp điểm M là đường tròn đường kính BC.

Câu 49. Cho ba điểm A B C, , phân biệt. Tập hợp những điểm M mà CM CB. =CA CB. là : A. Đường tròn đường kínhAB.

B.Đường thẳng đi qua A và vuông góc vớiBC . C. Đường thẳng đi qua B và vuông góc vớiAC . D. Đường thẳng đi qua C và vuông góc vớiAB. Lời giải Chọn B

( )

. = .  . − . = 0 − . = 0 . =0

CM CB CA CB CM CB CA CB CM CA CB AM CB . Tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC .

Câu 50. Cho hai điểm ^A

( )

^{2, 2} ^,^B

(

^{5, 2}⁻

)

^{. Tìm}^M^{trên tia}Ôx^{sao cho}ÂMB ⁼⁹⁰ô

A.^M

( )

^{1, 6} ^. ^B.^M

( )

^{6, 0} ^. ^C.^M

( )

^{1, 0} ^hay^M

( )

^{6, 0} ^. ^D.^M

( )

^0,1 ^.

Gọi ^{M x}

( )

^;0 ^{, với} ^x^ . Khi đó ^AM ⁼

(

^x^{− −}^{2; 2 ,}

)

^BM ⁼

(

^x⁻^{5; 2}

)

. Theo YCBT ta có

( )( )

²

. =  −0 2 − − =5 4 −7x 6+ =0

AM BM x x x

( )

1 1;0

6 6;0

= 

 

 = 

x M

x M ,nên chọn C.