TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ A

(1)

§2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Góc giữa hai vectơ

• Cho hai vectơ a và b khác vectơ 0.

Từ điểm O bất kì, ta vẽ các vectơ OA=a và OB=b. Khi đó AOB được gọi là góc giữa hai vectơ a và b , kí hiệu là

( )

^{a b}^, ^.

•

( )

^{a b}^, ⁼⁹⁰⁰ ^{ ⊥}^a ^b^.

2. Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số, kí hiệu là a b. , được xác định bởi công thức

( )

. . . os a, a b = a b c b .

3. Tính chất của tích vô hướng :

• Với mọi vectơ a b c, , và mọi số thực k, ta có:

1) a b. =b a. (Tính chất giao hóan) ; 2)

( ) ( )

^{k a b}⁼^{k ab} ^;

3) ^{a b c}^.

( )

⁺ ⁼^{a b a c}^. ⁺ ^. (Tính chất phân phối đối với phép cộng) ; ^{a b c}^.

( )

^{− =}^{a b a c}^. ⁻ ^. (Tính chất phân phối đối với phép trừ) ; 4) a b. =  ⊥0 a b.

5) Bình phương vô hướng: Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó :

2 2

a = a

• Các hằng đẳng thức về bình phương vô hướng :

( )

^{a b}⁺ ² ⁼^a²⁺ ²^ab⁺^b²^;

( )

^{a b}⁻ ² ⁼^a²⁻²^ab⁺^b²^;

a²−b² =(a −b a)( + b).

4. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong mặt phẳng Oxy, cho a=( ; )x y và b=( '; ')x y . Khi đó : a/ a b. =xx'+yy' ;

b/ a = x²+y² ; c/ cos

2 2 2 2

' ' ( , )

' ' xx yy a b

x y x y

= +

+ +

(

^a^^0,^b^⁰

)

^;

d/ Khoảng cách giữa hai điểm M x

(

M^;yM

)

và N x

(

N^;yN

)

: MN =

2 2

( _N _M) ( _N _M) MN = x −x + y −y ; e/ a⊥ b xx'+yy'=0.



(2)

BÀI TẬP VÍ DỤ

Bài 1: Cho tam giác ABC đều cạnh a, tâm O. Hãy tính:

a). AB AC. b). AB BC. c).

(

^{OB OC}⁺

)(

^AB⁻^AC

)

d).

(

^AB⁺²^AC

)(

^AB⁻³^BC

)

LỜI GIẢI

a). ^{AB AC}^. ⁼ ^{AB AC}^. ^cos

(

^{AB AC}^,

)

⁼ ^{AB AC}^. ^{.cos 60}⁰ ⁼^{a a}^{. .}¹₂ ⁼^a₂²

b). ^{AB BC}^. ^{= −}^{BA BC}^. ^{= −} ^{BA BC}^. ^cos

(

^{BA BC}^,

)

2

0 1

. .cos 60 . .

2 2

BA BC a a a

= − = − = −

c). Gọi E trung điểm của BC, có OB OC+ =2OE, AB−AC=CB; Do đó

(

^{OB OC}⁺

)(

^AB⁻^AC

)

⁼²^{OE CB}^. ⁼²^{OE CB}^. ^.cos

(

^{OE CB}^,

)

=2.OE.CBcos 90⁰ =0. d). Khai triển biểu thức, ta được

(

²

)(

³

)

² ³ ^. ² ^. ⁶ ^.

D= AB+ AC AB− BC = AB − AB BC+ AB AC− AC BC Chú ý rằng:

2 2 2

. ; . ; .

2 2 2

a a a

AB BC= − AB AC= AC BC= Từ đó

2 2

2 3a 2 2

2 3a 2

D=a + +a − = a .

Bài 2: Cho tam giác ABC có AB=2,AC=3,BAC=60⁰ a). Tính AB AC. và độ dài cạnh BC.

b). Cho điểm M thỏa MB+2MC=0. Tính dộ dài AM.

LỜI GIẢI

• ⁰ 1

. . cosA AB.AC.cos 60 2.3. 3

AB AC= AB AC = = 2=

• ^BC² ⁼

(

^AC⁻^AB

)

² ^^BC² ⁼ ^AB²⁺^AC²⁻²^{AB AC}^.

BC² =2²+ −3² 2.3= 7 BC= 7

Ta có: ^MB⁺²^MC^{= }⁰

(

^AB⁻^AM

) (

⁺² ^AC⁻^AM

)

^{= }⁰ ÂM ⁼¹₃ÂB⁺²₃ÂC

2 2 2

2 1 2 2 1 2 1 2

2. .

3 3 3 3 3 3

AM  AB AC AM  AB  AC AB AC

 = +   =  +  −

O

E A

B C

(3)

2 1 2 4 2 4

9 9 9 .

AM AB AC AB AC

 = + −

2 1 2 4 2 4 28 2 7

.2 .3 .3

9 9 9 9 3

AM AM

 = + − =  =

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho ^A

( ) ( ) (

^{1;1 ,}^B ^{2; 4 ,}^C ^{10; 2}⁻

)

a). Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông.

b). Tính BA BC. suy ra cosB

LỜI GIẢI a). ^AB = ^AB= ¹⁰, AC = AC= 90, ^BC =^BC= ¹⁰⁰ Có BC² = AB²+AC² =100 ABC vuông tại A.

b). Có ^BA^{= − −}

(

^{1; 3}

)

^,^BC⁼

(

^{8; 6}⁻

)

BA BC^. = −( 1).8 ( 3)( 6) 10+ − − = Ngoài ra ^{BA BC}^. ⁼ ^{BA BC}^. ^cos

(

^{BA BC}^,

)

^cos

(

^,

)

^. _{10. 100}¹⁰ ¹₁₀

. BA BC BA BC

BA BC

 = = = .

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có ^A

( ) (

^{3;3 ,}^B ^{− −}^{1; 5 ,}

) (

^C ^{6; 6}⁻

)

a). Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

b). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

c). Với điểm E thỏa mãn hệ thức CA−9CB−6CE=0. Chứng minh BE vuông góc với AD.

d). Tìm điểm M thuộc đường thẳng x=1 sao cho MA MC. +MB MD. =14 LỜI GIẢI

a). Gọi ^{I x y}

( )

^; Theo đề bài ta có

2 2

AI BI AI BI AI CI AI CI

=  =

 

 =  =

 

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

I A I A I B I B

I A I A I C I C

x x y y x x y y

 − + − = − + −

 

− + − = − + −



( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2

3 3 1 5

3 3 6 6

x y x y

 − + − = + + +

 

− + − = − + +



6 9 6 9 2 1 10 25

6 9 6 9 12 36 12 36

x y x y

− + − + = + + +

 − + − + = − + + +

( )

8 16 8 3

6 18 54 2 3; 2

x y x

x y y I

+ = − =

 

 − =  = −  −

b). ABCD là hình bình hành ¹⁰

(

^{10; 2}

)

2

D A C B D

x x x x x

AD BC D

y y y y y

− = − =

 

 =  − = −  =  c). Gọi ^{E a b}

( )

^;

(

A C^; A C

) (

^3;9

)

CA= x −x y −y = −

(4)

(

B C^; B C

) (

^7;1

)

CB= x −x y −y = −

(

E C^; E C

) (

^6; ⁶

)

CE= x −x y −y = a− b+

( )

9 6 96 6 ; 36 6

CA CB CE a b

 − − = − − −

( )

96 6 0 16

9 6 0 16; 6

36 6 0 6

a a

CA CB CE E

b b

− = =

 

− − = − − =  = −  −

(

E B^; E B

) (

^{17; 1}

)

BE= x −x y −y = −

(

D A^; D A

) (

^{7; 1}

)

AD= x −x y −y = −

d). Tìm điểm M thuộc đường thẳng x=1 sao cho MA MC. +MB MD. =14 Gọi ^M

( )

^1;^m ^^{d x}^: ⁼¹ ^A

( ) (

^{3;3 ,}^B ^{− −}^{1; 5 ,}

) (

^C ^{6; 6}⁻

)

^D

(

^{10; 2}

)

^E

(

^{16; 6}⁻

)

( )( ) ( )( )

. _A _M _C _M _A _M _C _M

MA MC= x −x x −x + y −y y −y ⁼^2.5^{+ −}

(

³ ^m

)(

^{− −}⁶ ^m

)

⁼^m²⁻³^m⁻⁸

( )( ) ( )( )

. _B _M _D _M _B _M _D _M

MB MD= x −x x −x + y −y y −y ^{= −}^2.9^{+ − −}

(

⁵ ^m

)(

²⁻^m

)

⁼^m²⁺³^m⁻²⁸

(

²

) (

²

)

. . 24 3 8 3 28 14

MA MC+MB MD=  m − m− + m + m− =

2 25 5

m m

 =  = 

Vậy có hai tọa độ điểm M cần tìm là ^M

( )

^1;5 ^hoặc^M

(

^{1; 5}⁻

)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có ^A

(

^{0; 2 ,}⁻

) (

^B ⁻^{2; 2 ,}

) ( )

^C ^5;3 . Gọi I trung điểm của AC.

a). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABG vuông cân.

b). Tìm tọa độ điểm D sao cho DA DB CD− + =0 c). Tìm m, n sao cho DI =mAB nAC+

d). Tìm tọa độ điểm M thuộc trục hoành sao cho MA MB− +MC đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 2: Cho tam giác ABC có AB=a 2,BC=5 ,a ABC=135⁰. Gọi điểm M thuộc AC sao cho 3

AM =2MC a). Tính BA BC.

b). Tìm x, y sao cho BM =xBA+yBC và tính BM.

Bài 3: Cho tam giác ABC có AB=2,AC=3,BAC=120⁰ a). Tính AB AC. và độ dài trung tuyến AM.

b). Gọi AD là phân giác trong của góc A của tam giác ABC. Phân tích ^AD theo hai vectơ ,

AB AC. Suy ra độ dài đoạn AD.

(5)

Bài 4: Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường cao AH. Tính:

a). AB AC BA AH. ; . . b).

(

^{CB CA}⁻

)(

²^CA⁻³^AH

)

Bài 5: Trong hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3; 7), C(6; 0)

a) Xét xem tam giác ABC là tam giác gì? Tính chu vi và diện tích tam giác ABC b) Tìm điểm D đối xứng với B qua C

c) Gọi M là điểm trên cạnh AC sao cho MA = 2MC. Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM và tính diện tích hình tròn này.