50 bài toán về tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ (có đáp án 2022) – Toán 12

Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải I. LÝ THUYẾT

1. Tích vô hướng của hai vectơ a) Tích vô hướng của hai vectơ

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ a =

(

a ;a ;a1 2 3

)

và

(

1 2 3

)

b= b ;b ;b được xác định bởi công thức:

1 1 2 2 3 3

a.b=a b +a b +a b b) Ứng dụng của tích vô hướng

+ Cho vectơ a =

(

a ;a ;a1 2 3

)

, khi đó độ dài của vectơ a được tính theo công thức:

2 2 2

1 2 2

a = a +a +a

+ Cho hai điểm A x ; y ;z

(

A A A

)

và B x ; y ;z

(

B B B

)

. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A, B chính là độ dài của vectơ AB . Do đó ta có

2 2 2

B A B A B A

AB= (x −x ) +(y −y ) +(z −z )

+ Cho vectơ a =

(

a ;a ;a1 2 3

)

và b=

(

b ;b ;b1 2 3

)

. Khi đó góc giữa hai vectơ a và b được tính theo công thức:

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

a.b a b a b a b

cos(a, b)

a . b a a a . b b b

+ +

= =

+ + + + (với a, b0)

+ Hai vectơ vuông góc: Cho vectơ a =

(

a ;a ;a1 2 3

)

và b=

(

b ;b ;b1 2 3

)

. Khi đó:

1 1 2 2 3 3

a⊥ b a.b= 0 a b +a b +a b =0

2. Tích có hướng của hai vectơ a) Tích có hướng của hai vectơ

Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a=(a ;a ;a )_{1 2 3} , b=(b ;b ;b )_{1 2 3} . Tích có hướng

của hai vectơ a và b, kí hiệu là a, b , được xác định bởi

( )

2 3 3 1 1 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

2 3 3 1 1 2

a a a a a a

a, b ; ; a b a b ;a b a b ;a b a b

b b b b b b

 

  = = − − −

   

 

Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.

b) Tính chất của tích có hướng:

[a, b]⊥a; [a, b]⊥b

a, b b,a

  = − 

   

i , j k; j, k i ; k, i j

 =  =  =

   

+ Độ dài của vectơ tích có hướng u, v = u . v .sin(u, v).

+ Hai vectơ u; v cùng phương u, v=0 (0;0;0).

+ Ba vectơ a; b; c đồng phẳng khi a,b .c  = 0.

Từ đó suy ra 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện khi 3 vectơ AB; AC; AD không đồng phẳng hay AB,AC .AD 0   và 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng khi

AB,AC .AD 0.

  =

 

3. Ứng dụng của tích có hướng:

Ta sử dụng tích có hướng để tính:

+) Diện tích hình bình hành ABCD:

SABCD = AB, AD

+) Diện tích tam giác ABC:

ABC

S 1 AB, AC

2  

=  

+) Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’:

ABCD.A ' B'C' D'

V = [AB, AD].AA

+) Thể tích tứ diện ABCD:

ABCD

V 1[AB, AC].AD

=6

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA 1. Tích vô hướng của hai vectơ

Dạng 1: Tính biểu thức tọa độ tích vô hướng

Phương pháp giải: Cho hai vectơ a =

(

a ;a ;a1 2 3

)

và b=

(

b ;b ;b1 2 3

)

, khi đó:

1 1 2 2 3 3

a.b=a b +a b +a b

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho ^{u = −}

(

^1;3;2

)

^{, v= − −}

(

^{3; 1;2}

)

. Khi đó u.v bằng A. 10 .

B. 2. C. 3 . D. 4.

Hướng dẫn giải

( ) ( ) ( )

u.v= −1 . − +3 3. − +1 2.2= − + =3 3 4 4. Chọn D.

Dạng 2: Tính độ dài của một vectơ

Phương pháp giải: Cho vectơ a =

(

a ;a ;a1 2 3

)

, khi đó độ dài của vectơ a được tính theo công thức:

2 2 2

1 2 2

a = a +a +a

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho vectơ ^{a =}

(

^2;4;1

)

. Độ dài vectơ a là A. 21

B. 7 C. 21 D. 7

Hướng dẫn giải:

Độ dài vectơ a là a = 2² +4² +1² = 21 Chọn A.

Dạng 3: Khoảng cách giữa hai điểm

Phương pháp giải: Cho hai điểm A x ; y ;z

(

A A A

)

và B x ; y ;z

(

B B B

)

. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm A, B chính là độ dài của vectơ AB . Do đó ta có

2 2 2

B A B A B A

AB= (x −x ) +(y −y ) +(z −z )

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; 2; 3), trên trục Oz lấy điểm M sao cho AM= 5. Tọa độ của điểm M là

A. M (0; 0; 3).

B. M (0; 0; 2).

C. M (0; 0; -3).

D. M (0; 3; 0).

Hướng dẫn giải

Do MOzM (0; 0; m)

( ) (

²

) (

²

)

^{2 2}

AM= 0 1− + 0−2 + m 3− = (m 3)− +5. Mặt khác AM= 5 nên

( )

²

(m 3)− 2 + =5 5 m 3− + = 5 5 m – 3 = 0 m = 3 Suy ra M (0; 0; 3).

Chọn A.

Dạng 4: Góc giữa hai vectơ

Phương pháp giải: Cho vectơ a =

(

a ;a ;a1 2 3

)

và b=

(

b ;b ;b1 2 3

)

. Khi đó góc giữa hai vectơ a và b được tính theo công thức:

1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2

1 2 3 1 2 3

a.b a b a b a b

cos(a, b)

a . b a a a . b b b

+ +

= =

+ + + + (với a, b0)

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (1; 0; 0), B (0; 1; 0), C (0; 0; 1) và D (-2; 1; -1). Tính góc giữa hai vectơ AB và CD.

A. 45 . ⁰ B. 60 . ⁰ C. 90 . ⁰ D. 135 ⁰

Hướng dẫn giải

Gọi  là góc tạo bởi hai vectơ AB và CD. Ta có: ^{AB= −}

(

^{1;1;0 , CD}

)

^{= −}

(

^{2;1; 2−}

)

. Khi đó:

( ) ( ) ( )

( )

^{2 2 2}

( )

^{2 2}

( )

²

1. 2 1.1 0. 2 1

cos cos AB,CD

1 1 0 . 2 1 2 2

− − + + −

 = = =

− + + − + + −

450

  = Chọn A.

Dạng 5: Tìm điều kiện để hai vectơ vuông góc

Phương pháp giải: Cho vectơ a =

(

a ;a ;a1 2 3

)

và b=

(

b ;b ;b1 2 3

)

. Khi đó:

1 1 2 2 3 3

a⊥ b a.b= 0 a b +a b +a b =0

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vec tơ ^{a = −}

(

^1;1;0

)

^,

( )

b= 1;1;0 và ^c=

(

^1;1;1

)

. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. c⊥b. B. c = 3.

C. a ⊥b. D. a = 2. Hướng dẫn giải

Ta kiểm tra lần lượt từng đáp án:

c.b 1.1 1.1 1.0= + + = 2 0. Suy ra c không vuông góc với b. Do đó A sai.

Có thể kiểm tra thêm 3 đáp án còn lại:

2 2 2

c = 1 + + =1 1 3. Do đó B đúng.

a.b= −1.1 1.1 0+ + =0. Suy ra a ⊥b. Do đó C đúng.

( )

^{2 2 2}

a = −1 + +1 0 = 2. Do đó D đúng.

Chọn A.

2. Tích có hướng của hai vectơ

Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.

Dạng 1: Tính tích có hướng của hai vectơ

Phương pháp giải: Cho hai vectơ a =

(

a ;a ;a1 2 3

)

và b=

(

b ;b ;b1 2 3

)

, khi đó:

( )

2 3 3 1 1 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

2 3 3 1 1 2

a a a a a a

a, b ; ; a b a b ;a b a b ;a b a b

b b b b b b

 

  = = − − −

   

 

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ^{a =}

(

^{3;2;1 ,}

)

^b=

(

^3;2;5

)

^.

Khi đó a,b  có tọa độ bằng A.

(

^{8; 12;5−}

)

^.

B.

(

^{8; 12;0−}

)

^.

C.

(

^0;8;12

)

^.

D.

(

^{0;8; 12−}

)

^.

Hướng dẫn giải

( )

( )

a 3;2;1 b 3;2;5

 =

 =

 ^a,b=

(

2.5 2.1; 1.3 3.5; 3.2 3.2− − −

)

⁼

(

^{8; 12;0−}

)

^.

Chọn B.

Dạng 2: Tìm điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

Phương pháp giải: a, b và c đồng phẳng  [a, b].c=0 Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho vectơ

( ) ( ) ( )

a = 1;m;2 ; b= m 1;2;1 ; c+ = 0;m−2;2 . Giá trị của m để a, b, c đồng phẳng là

A. ² 5 . B. ²

5

− .

C. ¹ 5. D. 1.

Hướng dẫn giải Ta có

( ) ( )

( ) (

²

)

a,b m.1 2.2; 2 m 1 1.1; 1.2 m 1 m m 4; 2m 1; m m 2

  = − + − − + = − + − − +

 

( ) ( ) ( ) (

²

)

a,b .c m 4 .0 2m 1 . m 2 m m 2 .2 5m 2

 

  = − + + − + − − + = − +

Để a, b, c đồng phẳng thì a, b .c 0 5m 2 0 m 2

5

  =  − + =  =

  Chọn A.

Dạng 3: Tính diện tích một số hình phẳng

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức sau:

+) Diện tích hình bình hành ABCD: S_ABCD = AB, AD +) Diện tích tam giác ABC : _ABC 1

S AB, AC

2  

=  

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A (1; 2;

1), B (2; 1; 3) và C (3; 2; 2). Diện tích tam giác ABC bằng A. 11

2 . B. 3 . C. 13

2 . D. 14

2 .

Hướng dẫn giải

+)

( )

( ) ( ( ) ) ( )

AB 1; 1;2

AB, AC 1.1 2.0; 2.2 1.1; 1.0 2. 1 1;3;2 AC 2;0;1

 = −

  = − − − − − = −

 =  



( )

^{2 2 2}

AB, AC 1 3 2 14

 

   = − + + = .

+) _ABC 1 14

S AB, AC

2 2

 =   = .

Chọn D.

Dạng 4: Tính thể tích khối hộp và tứ diện Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức sau:

+) Thể tích khối hộp ABCD. A’B’C’D’:

ABCD.A ' B'C' D'

V = [AB, AD].AA

+) Thể tích tứ diện ABCD:

ABCD

V 1[AB, AC].AD

=6

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A (1; 2;

1), B (2; 1; 3), C (3; 2; 2), D (1; 1; 1). Thể tích của tứ diện ABCD bằng A. 1.

B. 2. C. 1

2. D. 3.

Hướng dẫn giải

( )

( ) ( )

AB 1; 1;2

AB, AC 1;3;2 AC 2;0;1

 = −

  = −

 =  

 , ^AD=

(

^{0; 1;0−}

)

( )

AB,AC .AD 1.0 3. 1 2.0 3

  = − + − + = −

 

ABCD

1 1 1

V AB, AC .AD .3

6 6 2

 

 =   = =

Chọn C.

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 0; -2), B (2; 1; - 1). Độ dài của đoạn thẳng AB là

A. 2 B. 18 C. 2 7 D. 3

Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ ^a=

(

^{1;−2; 0}

)

^và

( )

b= −2; 3;1 . Khẳng định nào sau đây là sai?

A. a.b= −8.

B. ^{a+ = −b}

(

^{1;1; 1−}

)

^.

C. b = 14. D. ^2a=

(

^{2;−4; 0}

)

^.

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ ^a=

(

^{2;4; 2−}

)

^và

( )

b= 3; 1;6− . Tính P = a.b. A. P = -10

B. P = -40 C. P = 16 D. P = -34

Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a=

(

2;1;0

)

và

( )

b= −1;0; 2− . Tính cos a, b .

( )

A. cos a, b

( )

²

= −25 B. cos a, b

( )

²

= −5 C. cos a, b

( )

²

= 25 D. cos a, b

( )

²

= 5

Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ^{a =}

(

^{1; 2;1 ,−}

)

^b=

(

^{2; 4;2−}

)

^.

Khi đó a,b  có tọa độ bằng A. (0 ; 0 ; 0).

B. (1 ; 1 ; 1).

C. (2 ; 8 ; 2).

D. (1 ; -2 ; 1).

Câu 6: Cho bốn véc tơ ^{a = −}

(

^1;1;0

)

^{, b=}

(

^1;1;0

)

^{, c=}

(

^1;1;1

)

^{, d=}

(

^2;0;1

)

. Chọn mệnh đề đúng.

A. a, b, c đồng phẳng.

B. a, b, d đồng phẳng.

C. a, c, d đồng phẳng.

D. d, b, c đồng phẳng.

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC biết A (1; 1; 1), B (4; 3; 2), C (5; 2; 1). Diện tích tam giác ABC là

A. 42 4 . B. 42 . C. 2 42 . D. 42

2 .

Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A (1; 0;

1), B (2; 0; -1), C (0; 1; 3), D (3; 1; 1). Thể tích khối tứ diện ABCD là A. V ²

= 3. B. V ⁴

= 3. C. V = 4.

D. V = 2.

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có A (-1; 0; 2), B (1; 1; -1), D (0; 1; 1), A’ (2; -1; 0). Thể tích V của khối hình hộp ABCD. A’B’C’D’ là

A. V = 1.

B. V = 4.

C. V = 5.

D. V = 6.

Câu 10: Cho ba vectơ ^{a =}

(

^{4;2;5 , b}

)

⁼

(

^{3;1;3 ,c}

)

⁼

(

^2;0;1

)

. Chọn mệnh đề đúng:

A. Ba vectơ đồng phẳng.

B. Ba vectơ không đồng phẳng.

C. Ba vectơ cùng phương.

D. c=  a, b.

ĐÁP ÁN Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Đáp

án

D B A B A C D A C A