50 bài tập về Diện tích hình tròn, diện tích hình quạt tròn (có đáp án 2022) - Toán 9

Diện tích hình tròn, diện tích hình quạt tròn I. Lý thuyết

1. Công thức tính diện tích hình tròn

Diện tích S của một hình tròn bán kính R được tính theo công thức S= R2(đơn vị diện tích)

2. Công thức tính diện tích hình quạt tròn

Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung nđược tính theo công thức:

R .n2

S 360

=  hay lR

S= 2 (đơn vị diện tích) (với l là độ dài cung ncủa hình quạt tròn).

II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Tính diện tích hình tròn, hình quạt tròn

Phương pháp giải: Áp dụng công thức tính diện tích hình tròn, diện tích hình quạt tròn.

Ví dụ 1: Điền vào ô trống bảng sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Bán kính đường tròn

Độ dài đường tròn

Diện tích hình tròn

Số đo của

cung tròn n Diện tích hình quạt tròn cung

n

12cm 45

2cm 10,5cm ²

40cm2 10cm²

Lời giải:

+ Độ dài đường tròn là 12cm nên C = 12cm. Bán kính đường tròn là:

C 12

R 1,91

2. 2.

= = =

  cm.

Diện tích hình tròn bán kính 1,91cm là: S=R .²  =1,91 .² =11, 46cm². Diện tích hình quạt tròn cung 45là:

2 2

R .n .1,91 .45 2

S 1, 43cm

360 360

 

 = = = .

+ Bán kính đường tròn là 2 nên độ dài đường tròn là C 2 .R 2. .2 12,57cm=  =  = . Diện tích hình tròn là: S=R .²  =  =2 .² 12,57cm²

Vì diện tích hình quạt tròn là 10,5cm²nên số đo của cung tròn là:

2

360.S 360.10,5

n 300

R 12,57

=  = = 

 .

+ Vì diện tích hình tròn là 40cm²nên bán kính đường tròn là:

S 40

R = = =3,57cm

  .

Chu vi cung tròn là: C 2 .R 2. .3,57 22,42cm=  =  =

Vì diện tích hình quạt tròn bằng 1

4diện tích hình tròn nên số đo cung tròn đó là 90.

Ta có bảng sau:

Bán kính đường tròn

Độ dài đường tròn

Diện tích hình tròn

Số đo của

cung tròn n Diện tích hình quạt tròn cung

n

1,91cm 12cm 11,46cm² 45 1,43cm ²

2cm 12,57cm 12,57cm ² 300 10,5cm ²

3,57cm 22,42cm _40cm² 90 _10cm²

Ví dụ 2: Cho hình vuông có cạnh 5cm nội tiếp đường tròn (O). Hãy tính độ dài đường tròn (O) và diện tích hình tròn (O).

Lời giải:

Gọi hình vuông nội tiếp đường tròn (O) là ABCD khi đó:

OA = OB = OC = OD = R O là giao điểm của AC với BD AC

R 2

 = Xét tam giác ABC vuông tại B ta có:

2 2 2

AC =AB +BC (định lý Py – ta – go)

2 2 2

AC 5 5

 = +

AC2 25 25

 = +

AC2 50

 =

AC 5 2

 = cm

Vậy bán kính đường tròn là:

AC 5 2

R cm

2 2

= =

Chu vi đường tròn là:

C 2 R 2. .5 2 5 2

=  =  2 = (cm) Diện tích hình tròn là:

2

2 5 2 25 2

S R (cm )

2 2

 

=  =   = 

 

Dạng 2: Tính diện tích một số hình đặc biệt liên quan đến hình tròn, hình quạt tròn.

Phương pháp giải: Chia hình cần tính thành các hình nhỏ hơn có công thức tính diện tích và sử dụng công thức để tính.

Ví dụ 1: Cho (O) đường kính AB = 4 3 cm, điểm C thuộc (O) sao cho

ABC= 30 . Tính diện tích viên phân AC (viên phân là phần hình giới hạn bởi một cung tròn và dây căng cung ấy).

Xét đường tròn (O) có:

ABCvà AOC là góc nội tiếp và góc ở tâm chắn cung AC .

AOC 2.ABC 2.30 60

 = =  = 

Diện tích hình quạt tròn AOC là:

2 2

qAOC

R .60 R

S 360 6

 

= =

Xét tam giác AOC có:

AOC= 60 OA = OC = R

Do đó tam giác AOC là tam giác đều cạnh bằng R.

Gọi CH là đường cao của tam giác AOC

Ta có CH

sin 60

 =CO(hệ thức lượng trong tam giác vuông) CH CO.sin 60 3R

 =  = 2

Diện tích tam giác AOC là:

2 AOC

1 1 3 3

S CH.OA . R.R R

2 2 2 4

= = =

Diện tích viên phân AC là :

2

2 2

qAOC AOC

R 3 3

S S R R

6 4 6 4

 

 

− = − = − 

 

( )

3 . 2 3 2 3 3cm 6 4

 

= −  =  −

 

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O; R) và một điểm M sao cho OM = 2R. Từ M vẽ các tiếp tuyến MA và MB với A, B là các tiếp điểm.

a) Tính độ dài cung nhỏ AB.

b) Tính diện tích giới hạn bởi hai tiếp tuyến AM; BM và cung nhỏ AB.

Lời giải:

a) Vì AM là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên AM vuông góc với OA.

Xét tam giác OAM vuông tại A ta có:

OA R 1

cos AOM

OM 2R 2

= = = (tỉ số lượng giác trong tam giác vuông)

AOM 60

 = . Mà OM là tia phân giác của góc AOB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

AOB 120

 = . Độ dài cung AB là:

R.120 2 R

l 180 3

 

= = (cm)

b) Xét tam giác OAM vuông tại A ta có:

2 2 2

AM +AO =OM (định lý Py – ta – go)

( )

2 2

AM R 2R

 + =

2 2 2

AM 4R R

 = −

AM 3R

 = (đơn vị độ dài) Diện tích tam giác OAM là:

1 1 3R2

S AM.AO .R. 3R

2 2 2

= = = (đơn vị diện tích)

Xét tam giác AOM và tam giác BOM có:

OM chung AO = BO = R

AM = BM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Do đó AOM= BOM (c – c – c)

2

AOM BOM

S S 3R

 = = 2

2 2

2

AMBO AOM BOM

3R 3R

S S S 3R

2 2

= + = + = (đơn vị diện tích)

Diện tích quạt tròn AB là:

2 2

qAB

R .120 R

S 360 3

  

= =

 (đơn vj diện tích)

Diện tích phần giới hạn bởi tiếp tuyến MA; MB và cung nhỏ AB là:

2

2 2

AMBO qAB

S S S 3R R R 3

3 3

  

= − = − =  − (đơn vị diện tích) III. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hình vuông có cạnh 10cm. Tính độ dài đường tròn và diện tích hình tròn (O) nội tiếp hình vuông.

Bài 2: Một hình quạt có chu vi bằng 28cm và diện tích bằng 49cm². Tính bán kính hình quạt tròn đó.

Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; 3cm). Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi hai bán kính OA; OC và cung nhỏ AC khi ABC 60= .

Bài 4: Cho đường tròn (I; 2cm). Vẽ bán kính IA và IB sao cho AIB 120= . Hãy tính

a) Độ dài cung nhỏ AB.

b) Diện tích hình quạt giới hạn bởi cung nhỏ AB và hai bán kính IA, IB.

Bài 5: Cho hai đường tròn đồng tâm O, bán kính lần lượt R = 5cm, r = 2cm. Lấy 2 điểm A, B thuộc (O; 2) sao cho AOB 70= . Tia OA, OB cắt đường tròn (O; R) tại D và E, lấy điểm C thuộc đường tròn (O; r).

a) Tính DOE;DCE.

b) Tính độ dài đường tròn (O; R) và đường tròn (O; r); độ dài cung DE.

b) Tính diện tích hình tròn (O; r) và hình quạt tròn DOE.

Bài 6: Cho (O) đường kính AB = 2 2 cm, điểm C thuộc (O) sao cho ABC= 30 . Tính diện tích hình giới hạn bởi đường tròn (O) với AB; AC.

Bà 7: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy M thuộc đoạn AB. Vẽ dây CD vuông góc với AB tại M. Giả sử AM = 2cm và CD = 4 3 cm. Tính:

a) Độ dài đường tròn (O) và diện tích hình tròn (O).

b) Độ dài cung CAD và diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi hai bán kính OC, OD và cung nhỏ CD .

Bài 8: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định. Gọi M là trung điểm đoạn OB. Dây CD vuông góc với AB tại M. Điểm E chuyển động trên cung lớn CD (E khác A). Nối AE cắt CD tại K. Nối BE cắt CD tại H.

a) Chứng minh bốn điểm B, M, E, K thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh AE.AK không đổi.

c) Tính theo R diện tích hình quạt giới hạn bởi OB, OC và cung nhỏ BC.

Bài 9: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ dây CD = R (C thuộc cung AD). Nối AC và BD cắt nhau tại M.

a) Chứng minh rằng khi CD thay đổi vị trí trên nửa đường tròn thì độ lớn góc AMBkhông đổi.

b) Cho ABC= 30 , tính độ dài cung nhỏ AC và diện tích viên phân giới hạn bởi dây cung AC và cung nhỏ AC.

Bài 10: Cho hình vẽ là các cung tròn của các đường tròn có bán kính khác nhau được xếp nối tiếp nhau. Tính diện tích phần bị gạch trong hình vẽ biết HI = 10cm;

HO = BI = 2cm.