Đáp án bài tập tự luyện môn toán lớp 12 về ứng dụng tích phân | Toán học, Đề thi THPT quốc gia - Ôn Luyện

(1)

HOCMAI – Ngôi trường chung của học trò Việt !! Tổng đài tư vấn: 1900 69-33 - Trang | 1-

Câu 1. Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số , liên tục

trên và hai đường thẳng , là:

A. . B. .

C. . D. .

Chọn D.

Câu 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi là:

A. 8 B. 9 C. 12 D. 13

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Ta có ; S= ∫ |𝑥₋₂² ³− 4𝑥|𝑑𝑥 = 8 (casio)

Câu 3. Cho đồ thị hàm số . Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là

A. B.

C. D.

Chọn D. Theo định nghĩa ta có

( )

y f x y g x( ) [ ; ]a b x a _x _b (a b)

( ) ( ) .

b

S a f x g x dx ^b( ( ) ( ))

S a f x g x dx ( ( ) ( )) .2

b

S a f x g x dx ^b ( ) ( ) .

S a f x g x dx

3, 4

y x y x

3 4 2 0 2

x x x x x

( ) y f x

0 1

2 0

( ) ( )

S f x dx f x dx

1

2

( ) S f x dx

2 1

0 0

( ) ( )

S f x dx f x dx

0 1

2 0

( ) ( )

S f x dx f x dx

0 1

2 0

( ) ( )

S f x dx f x dx

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 D A D D B B B C B C D A C B A B B B A A D B A D

BÀI TOÁN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ ANH TUẤN

(2)

Câu 4. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường

thẳng , là

A. B. C. D.

Chọn D

Ta có trên đoạn nên

Cách khác: bấm casio ra ngay kết quả

Câu 5. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , là

A. B. C. D.

Chọn B

Ta có trên đoạn nên

Câu 6. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số . Diện tích của (H) bằng

A. B. C. D.

Chọn B

Xét pt có nghiệm

Suy ra S=73/3 ( bấm casio)

Câu 7. Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng và đồ thị hàm số là . Khi đó bằng

A. B. C. D.

Chọn B Ta có

tan

y x

x 6

x 4 ln 3

3

ln 6 3

ln 3 3

ln 6 3

tanx 0 ;

6 4

4 4

4 6

6 6

tan tan ln(cos ) ln 6

S x dx xdx x 3

y e2x

0

x x 3

6 1

2 2

e ⁶ 1

2 2

e ⁶ 1

3 3

e ⁶ 1

3 3 e

2^x 0

e [0;3]

3 6

3 3

2 2 2

0 0 0

1 1

2 2 2

x x x e

S e dx e dx e

2 1 , 5

y x y x

71 3

73 3

70 3

74 3

2 1 5

x x x 3, x 3

8 ,

y x y x y x³ ^a

b a b

68 67 66 65

3 0 3 0

8 0 0;8 0 ; 0

2 2 1

x x

x x x x x x x

x x

(3)

Nên

Câu 8. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường quanh trục ox là:

A. B. C. D.

Chọn C

Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

Câu 9. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A. B. C. D.

Chọn B

Câu 10. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường ; trục Ox và đường thẳng quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A. B. C. D.

Chọn C

1 2 2

3

0 1

8 8 63

S x x dx x x dx 4

4   

y , y 0 , x 1, x 4 x

6 6 12 6

4

2 1

.( )4 12 .

V dx

 x 







( ), , , y f x Ox x  a x  b

2 ( ) .

b

a

V 



f x dx ^b ²^{( )} ^.

a

V 



f x dx ^b ²^. ²^{( )} ^.

a

V 



 f x dx ^b ²^{( )} ^.

a

V 



f x dx

2( ) .

b

a

V 



f x dx 1

y x x3

3

2 3 2 

(4)

Giao điểm của hai đường và là . Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

Câu 11. Thể tích khối tròn xoay trong không gian Oxyz giới hạn bởi hai mặt phẳng và có thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm bất kỳ là đường tròn bán kính

là:

A. B. C. D.

Chọn D

Khối tròn xoay trong đề bài có được bằng cách quay hình phẳng tạo bởi các đường quay trục Ox.

Câu 12. Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là hình vuông. Thể tích của vật thể là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải Hướng dẫn giải:

Chọn A

Thiết diện cắt trục Ox tại điểm H có hoành độ bằng x thì cạnh của thiết diện bằng . Vậy thể tích của vật thể bằng

Câu 13. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A. B.

C. D.

1

y  x  y 0 ^A^(1;0)

3

1

V



(x 1)dx 2 .

0;

x x ( ;0;0)x

sinx

2.

V V . V 4 . V 2 .

; i

0;  s n ;

  

x x y x Ox

0

sin x 2 .



 







V dx

2 2

x y 16

 

4 2

44 16 x dx

 



⁴44x dx²



 ⁴44 x dx ²







_⁴₄⁴^



^{16 x}^ ²



^dx

2. 16x2

 

4 4

2

4 4

V S(x)dx 4 16 x dx.

 











ln , 0, 2

  

y x y x

2ln 2 4ln 2 22   



2ln 2 4ln 2 2²  





2ln 2 4ln 2 2²



   



^{2ln 2 1}



(5)

Chọn C

Tọa độ giao điểm của hai đường và là điểm . Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

Câu 14. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A. B. C. D.

Chọn B

Tọa độ giao điểm của hai đường và là các điểm và .

Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

Câu 15. Một Chi đoàn thanh niên đi dự trại ở một đơn vị bạn, họ dự định dựng một lều trại có dạng parabol (nhìn từ mặt trước, lều trại được căng thẳng từ trước ra sau, mặt sau trại cũng là parabol có kích thước giống như mặt trước) với kích thước: nền trại là một hình chữ nhật có chiều rộng là 3 mét, chiều sâu là 6 mét, đỉnh của parabol cách mặt đất là 3 mét. Hãy tính thể tích phần không gian phía trong trại để cử số lượng người tham dự trại cho phù hợp.

A. 36 m3 B. 32 m3 C. 33 m3 D.37 m³ Hướng dẫn giải:

Chọn A

Giả sử nền trại là hình chữ nhật ABCD có AB = 3 mét, BC = 6 mét, đỉnh của parabol là I. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho: O là trung điểm của cạnh AB, , phương trình của parabol

ln

y x y 0 ^C^(1;0)

 

2

2 2

1

.ln 2 ln 2 4 ln 2 2 .





^ ^  

V xdx

2 1 2

4 ,

  3

y x y x

24 3

V 5

  28 3

V 5

  28 2

V 5

  24 2

V 5

 

4 2

y  x 1 ²

y  3x A( 3;1) B( 3;1)

3 3

2 4

3 3

1 28 3

.(4 ) . . .

9 5

V  x dx  x dx 

 





 







¹^,⁵^;⁰

 

^,^B¹^,⁵^;⁰



^và^I

 

⁰^;³

A

(6)

có dạng: , Do I, A, B thuộc (P) nên ta có: . Vậy thể tích phần không gian phía trong trại là: ( sử dụng công thức

Thể tích dựa vào thiết diện vuông góc với trục ox là một hình chữ nhật có cạnh là 6 và ⁻⁴₃ 𝑥² + 3) V = 6.

Câu 16. Để trang trí cho một phòng trong một tòa nhà, người ta vẽ lên tường một hình như sau: trên mỗi cạnh của hình lục giác đều có cạnh bằng 2 dm một cánh hoa hình parabol, đỉnh của parabol cách cạnh 3 dm và nằm phía ngoài hình lục giác, 2 đầu mút của cạnh cũng là 2 điểm giới hạn của đường parabol đó. Khi đó diện tích xấp xỉ của hình nói trên (kể cả hình lục giác đều) để mua sơn trang trí cho phù hợp là:

A. 33 B. 34,39 C. 35 D.36.34 Hướng dẫn giải:

Chọn B

Giả sử ABCDEF là hình lục giác đều có cạnh bằng 2 dm, ta tính diện tích một cánh hoa:

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm của cạnh AB, A(1;0), B(-1; 0) và đỉnh I của parabol có tọa độ là (0;3). Phương trình của parabol có dạng: , Do I, A, B thuộc (P) nên ta có:

. Do đó: diện tích mỗi cánh hoa là:

. Hình lục giác đều ta chia thành sáu tam giác đều có chung đỉnh là tâm của hình lục giác đều khi đó mỗi tam giác đều này có cạnh bằng a.

Vậy: Diện tích của hình là:

Câu 17. Ông B có một khu vườn giới hạn bởi đường parabol và một đường thẳng. Nếu đặt trong hệ tọa độ Oxy như hình vẽ bên thì parabol có phương trình yx² và đường thảng là y25. O ng B dự định dùng một mảnh vườn nhỏ được chia từ khu vườn bởi đường thẳng đi qua O và điểm M trên parabol để trồng hoa. Hãy giúp ông B xác định điểm M bằng cách tính độ dài OM để diện tích mảnh vườn nhỏ bằng 9

2 A. OM2 5 B. OM3 10

C. OM 15 D. OM 10 Hướng dẫn giải:

Chọn B

Giả sử ^{M a; a}

 

² suy ra phương trình OM : yax

Khi đó die ̣n tích khu vườn là ^a



²



² ³ ³

0

x x a a 9

S ax x dx a a 3

2 3 0 6 2

 

        

 



Khi đó OM3 10



0



2 

ax b a

y 3342xy

) ( 36 9 3

. 4 12 3 3

2 4 ² ³

3

0 3

2 3

0

2 dx x x m

x  



 



 

 



 



 





0



2 

ax b a y

3 3 ²



 x y



³ ³



²¹



³ ³



²^.



³ ³



¹₀ ⁴⁽ ²⁾

0 2 1

1 2

1 x dx x dx x x dm

S 



  



     



) ( 39 , 34 24 3 6 4 4

3 . 2

6 ²

2

dm

S   







 



(7)

Câu 18. Bạn có một cốc thủy tinh hình trụ, đường kính trong lòng đáy cốc là 6 cm chiều cao trong lòng cốc là 10 cm đang đựng một lượng nước. Bạn A nghiêng cốc nước, vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy. Tính thể tích lượng nước trong cốc.

A. 15 cm ³ B. 60 cm ³ C. 60cm³ D. 70cm³

Chọn B

Dựng hệ trục tọa độ Oxy (các em tự vẽ hình). Gọi S(x) là diện tích thiết diện do mặt

phẳng có phương vuông góc với trục Ox với khối nước, mặt phẳng này cắt trục Ox tại điểm có hoành độ h x 0. Ta có:



^h ^{x R}



r h x

R h r h

 

   , vì thiét die ̣n này là nửa đường tròn bán kính

 

²

 

² ²

2

h x R r S x r

2 2h

  

  

Thẻ tích lượng nước chứa trong bình là ^h

 

¹⁰

 

²

0 0

V S x dx 9 10 x dx

200





 





 

10 3

2 2

0

9 9 x 10

x 100 20x dx 200x 10x

0

200 200 3

 

 

       

 



^⁶⁰^

 

^cm³

Câu 19. Từ mo ̣t khúc gõ hình trụ có đường kính 30 cm , người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc để lấy một hình nêm (xem hình minh họa dưới đa y)

Hình 1 Hình 2

Kí hie ̣u là thẻ tích của hình nêm (Hình 2).Tính .

A. B. C. D.

Chọn A

450

V V

 

V 2250 cm³ ^V ^ ²²⁵₄^

 

^cm³ ^V ^¹²⁵⁰

 

^cm³ ^V ^¹³⁵⁰

 

^cm³

(8)

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó hình nêm có đáy là nửa hình tròn có phương trình :

Một một mặt phẳng cắt vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ , cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích là (xem hình).

Dễ thấy và 𝑀𝑁 = 𝑁𝑃𝑡𝑎𝑛45⁰ = . khi đó

suy ra thể tích hình nêm là :

.

Câu 20. Một viên đá được bắn thẳng đứng lên trên với vận tốc ban đầu là 40 m/s từ một điểm cao 5 m cách mặt đất. Vận tốc của viên đá sau t giây được cho bởi công thức ^{v t}

 

^^{40 10}^ ^t^m/s.

Tính độ cao lớn nhất viên đá có thể lên tới so với mặt đất.

A. 85m . B. 80m . C. 90m . D. 75m . Hướng dẫn giải:

Chọn A

Gọi h là quãng đường lên cao của viên đá.

 

'

      

40 10



40 5² v t h t h t  v t dt   t dt t t c Tại thời điểm t0 thì h5. Suy ra c5.

Vậy h t

 

40t5t²5

 

h t lớn nhất khi ^{v t}

 

^{ }⁰ ^{40 10}^ ^t^{  }⁰ ^t ⁴^{. Khi đó}^h

 

⁴ ^⁸⁵^m

Câu 21.

Một ô tô chạy với vận tốc 20m/s thì người lái xe đạp phanh còn được gọi là “thắng”. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốcv t

 

 40t20



m s/



Trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh . Quãng đường ô tô di chuyển từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là bao nhiêu?

A. 2m B.3m C.4m D. 5m

Chọn D

Lấy mốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu phanh (t = 0)

Gọi T là thời điểm ô tô dừng lại. Khi đó vận tốc lúc dừng là v(T) = 0 Vậy thời gian từ lúc đạp phanh đến lúc dừng là

Gọi s(t) là quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian T.

Ta có suy ra s(t) là nguyên hàm của v(t) y  225x x²,   15;15

x



^x ^{ }^ ^15;15^



 

S x



NP y y  225x x²,   15;15

 

^ ¹₂ ^. ^ ¹₂^{. 225}



^ ²



S x MN NP x

 



 ¹⁵



15

V S x dx



^{x dx}

  

^cm

15

2 3

15

1 . 225 2250

2_





 

( ) 0 40 20 0 1

v T    T   T 2

( ) '( ) v t s t

(9)

Vây trong ½ (s) ô tô đi được quãng đường là :

Câu 22. Một vật chuyển động với vận tốc v(t) (m/s) có gia tốc (m/s²). Vận tốc ban đầu của vật là 2 (m/s). Hỏi vận tốc của vật sau 2s .

A. 10 m/s B. 12 m/s C. 16 m/s D. 8 m/s.

Chọn B

Ta có (m/s).

Vận tốc ban đầu của vật là 2 (m/s) . Vậy vận tốc của vật sau 2s là: (m/s).

Câu 23. Một ô tô xuất phát từ A chuyển động với vận tốc nhanh dần đều, 10 giây sau, ô tô đạt vận tốc

 

5 m / s và từ thời điểm đó ô tô chuyển động đều. Ô tô thứ hai cũng xuất phát từ A nhưng sau ô tô thứ nhất là 10 giây, chuyển động nhanh dần đều và đuổi kịp ô tô thứ nhất sau 25 giây. Vận tốc ô tô thứ hai tại thời điểm đó là

A. ^{12 m / s}

 

^B.^{8 m / s}

 

^C.^{10 m / s}

 

^D.^{7 m / s}

 

Chọn A

Cách 1. Ta có gia tốc trong 10s đầu của ô tô thứ nhất là ^t ⁰



²



0

v v 5

a 0, 5 m / s

t t 10

   



Trong 10s đầu, ô tô thứ nhất chuyển động nhanh dần với vận tốc ^{v t}

 

^^0,5t^ Quãng đường ô tô thứ nhất đi được trong 10s là ¹⁰

 

0

0, 5tdt25 m



Trong 25s tiếp theo, ô tô thứ nhất đi được ^{5.25 125 m}^

 

Vậy quãng đường ô tô thứ nhất đi được đến khi bị đuổi kịp là 25 125 150 m 

 

Mặt khác ₀ 1 ²

S S at

 2  Gia tốc của ô tô thứ hai là



2 ⁰



2



²



2 S S 2.150

a 0,48 m / s

t 25

   

Vậy khi đuổi kịp ô tô thứ nhất, vận tốc của ô tô thứ hai là vtv0 at 12 m / s

 

Câu 24. Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc (m/s). Đi được (s), người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc (m/s² ). Tính quãng đường (m) đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.

A. (m). B. (m). C. (m). D. (m).

Hướng dẫn giải Chọn D.

1 1/ 2 2

2

0 0

( ) ( 40 20) ( 20 20 ) 5( )

T

t

v t dt  t dt  t  t  m

 

( ) 3 2

a t  t t

2

2 3

(t) ( ) dt (3 t t) dt

2 v 



a t 



   t t C

(0) 2 C 2

v   

2

3 2

(2) 2 2 12

V   2  

1( ) 7

v t  t 5

70

a  S

95, 70

S  S 87,50 S94, 00 S 96, 25

(10)

Quãng đường ô tô đi được từ lúc xe lăn bánh đến khi được phanh:

(m).

Vận tốc (m/s) của ô tô từ lúc được phanh đến khi dừng hẳn thoả mãn

, . Vậy .

Thời điểm xe dừng hẳn tương ứng với thoả mãn (s).

Quãng đường ô tô đi được từ lúc xe được phanh đến khi dừng hẳn:

(m).

Quãng đường cần tính (m).

5 5 2 5

1 1

0 0 0

( )d 7 d 7 87,5 2

S 



v t t



t t t 

2( ) v t

2( ) ( 70)d = 70

v t  



t  tC ^v²⁽⁵⁾^^v¹⁽⁵⁾^³⁵^{ }^C ³⁸⁵ ^{v t}²^{( )}^{ }^{70 t 385}^ t v t₂( )  0 t 5,5

5,5 5,5

2 1

5 5

( )d ( 70 385)d 8, 75 S 



v t t



 t t

1 2 96, 25

S S S  Giáo viên : LÊ ANH TUẤN

Đáp án bài tập tự luyện môn toán lớp 12 về ứng dụng tích phân | Toán học, Đề thi THPT quốc gia - Ôn Luyện

BÀI TOÁN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ ANH TUẤN

Câu 13. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

Nguồn : Hocmai.vn