I. Lý thuyết
Để tính diện tích đa giác, ta thường chia đa giác đó thành tam giác, các tứ giác tính được diện tích rồi tính tổng các diện tích đó; hoặc tạo ra một đa giác nào đó có chứa đa giác đó rồi tính hiệu các diện tích.
II. Dạng bài tập:
Dạng: Tính diện tích của một đa giác Phương pháp giải:
Bước 1: Chia đa giác đó thành các tam giác, tứ giác tính được diện tích theo công thức hoặc tạo ra một đa giác mới chứa đa giác đó.
Bước 2: Tính diện tích các đa giác đã chia hoặc đa giác đã được tạo ra.
Bước 3: Tính diện tích đa giác cần tìm bằng cách sử dụng tổng hoặc hiệu các đa giác vừa tính được
Ví dụ 1: Tính diện tích đa giác ABCDE trong hình vẽ (mỗi ô vuông nhỏ cạnh bằng 1cm).
Lời giải:
Diện tích hình chữ nhật MNPQ là: SMNPQ MN.NP6.424cm2
Diện tích tam giác AMB là: AMB 1 1 2
S AM.MB .2.4 4cm
2 2
Diện tích tam giác BNC là: BNC 1 1 2
S .BN.NC .2.2 2cm
2 2
Diện tích tam giác CPD là: CPD 1 1 2
S CP.CD .2.3 3cm
2 2
Diện tích tam giác EQA là: EQA 1 1 2
S .EQ.QA .1.2 1cm
2 2
Ta có: SMNPQ SAMBSBNC SCPD SEQA SABCDE
ABCDE
24 4 2 3 1 S
ABCDE
24 10 S
2 ABCDE
S 24 10 14cm
.
Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì?
b) Cho diện tích hình chữ nhật ABCD là S (đơn vị diện tích). Tính diện tích tứ giác MNPQ theo S.
Lời giải:
a) Vì M là trung điểm của AB, N là trung điểm của BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.
MN 1AC
2 (tính chất) (1)
Vì N là trung điểm của BC, P là trung điểm của CD nên NP là đường trung bình của tam giác BCD.
NP 1BD
2 (tính chất) (2)
Vì P là trung điểm của DC, Q là trung điểm của AD nên PQ là đường trung bình của tam giác ACD.
PQ 1AC
2 (tính chất) (3)
Vì Q là trung điểm của AD, M là trung điểm của AB nên QM là đường trung bình của tam giác ABD.
QM 1BD
2 (tính chất) (4)
Mà AC = BD (tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật) (5)
Từ (1); (2); (3); (4); (5) 1 1
MN NP PQ QM AC BD
2 2
Xét tứ giác MNPQ có:
MNNPPQ QM (chứng minh trên)
Tứ giác MNPQ là hình thoi.
b) Vì N là trung điểm của BC, Q là trung điểm của AD nên NQ = AB (do hình chữ nhật cũng là hình thang)
Vì M là trung điểm AB, P là trung điểm của CD nên MP = BC (do hình chữ nhật cũng là hình thang)
Diện tích hình thoi MNPQ là:
MNPQ ABCD
1 1 1 1
S NQ.MP AB.BC S S
2 2 2 2
(đơn vị diện tích)
Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD có diện tích 60cm2. Trên cạnh AB lấy các điểm E, F sao cho AE = EF = FB. Trên cạnh CD lấy các điểm G, H sao cho CG = GH = HD.
a) Tính tổng diện tích tam giác ADH và CBF.
b) Tính diện tích tứ giác EFGH.
Lời giải:
a) Ta có: SABCD SABC SACD 60cm2 Vì AE = EF = FB BF 1AB
3
Xét tam giác BCF và tam giác BCA có:
Chung đường cao hạ từ đỉnh C xuống AB BF 1AB
3
Do đó: SBCF 1SABC
3
Vì DH = HG = GC DH DC
3
Xét tam giác ADH và tam giác ADC có Chung đường cao hạ từ đỉnh A xuống DC
DH 1DC
3
Do đó: SADH 1SADC
3 Ta có:
BCF ADH ABC ADC ABC ADC
1 1 1
S S S S S S
3 3 3
2
BCF ADH ABCD
1 1
S S S .60 20cm
3 3
b) Ta có:
ABCD BCF ADH AFCH
S S S S
60 20 SAFCH
2
SAFCH 40cm
AFCH AEH HEF HFG GFC
S S S S S (1) Xét tam giác AEH và tam giác HEF có AE = EF
Chung đường cao hạ từ H xuống AF Do đó SAEH SHEF (2)
Xét tam giác HFG và tam giác GFC có:
HG = GC
Chung đường cao hạn từ F xuống HC
Do đó SHFG SGFC(3) Thay (2); (3) vào (1) ta có:
AFCH HEF HEF HFG HFG
S S S S S
AFCH HEF HFG
S 2S 2S
AFCH HEF HFG
S 2 S S
AFCH EFGH
S 2S
2
SEFGH 40 : 2 20cm
III. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có CD = 4cm, đường cao vẽ từ A đến cạnh CD bằng 3cm.
a) Tính diện tích hình bình hành ABCD.
b) Gọi M là trung điểm của AB. Tính diện tích tam giác ADM.
c) DM cắt AC tại N. Chứng minh DN = 2MN.
d) Tính diện tích tam giác AMN.
Bài 2: Cho tam giác ABC có diện tích 30cm2. Các điểm D, E theo thứ tự lấy trên cạnh AC, AB sao cho AD = DC; 1
AE EB
2 . Gọi K là giao điểm của BD và CE.
Tính diện tích tứ giác ADKE.
Bài 3: Tính diện tích tứ giác ABCD biết C 60 , CA là tia phân giác của góc C và CA = 4cm, CB = 3cm, CD = 5cm.
Bài 4: Cho tứ giác ABCD, gọi E là trung điểm của AB, gọi F là trung điểm của CD, gọi I là giao điểm của AF và DE, K là giao điểm của BF và CE. Chứng minh:
a) SEDC SADF SBCF b) SEIFK SAID SBKC
Bài 5: Cho tứ giác ABCD. Hãy dựng tam giác ABE
EAD
có diện tích bằng diện tích tứ giác ABCD.ABMD
S 1S
2 .
Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A, có diện tích S. Gọi O là trung điểm của đường cao AH. Gọi D là giao điểm của BO với cạnh AC và E là giao điểm của CO với cạnh AB. Tính diện tích tứ giác ADOE theo S.
Bài 8: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC (AD < DC). Hãy kẻ đường thẳng đi qua D và chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Bài 9: Cho tứ giác ABCD. Hãy kẻ đường thẳng đi qua A và chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Bài 10: Cho G là trọng tâm tam giác ABC. Gọi M là giao điểm của BG và AC.
Chứng minh:
a) SGBC 2SMBC
3
b) SGBC SGAC SGAB
