Ôn tốt nghiệp:cực trị-max,min-tiệm cận

I I . . T T Í Í N N H H Đ Đ Ơ Ơ N N Đ Đ I I Ệ Ệ U U ; ; C C Ự Ự C C T T R R Ị Ị C C Ủ Ủ A A H H À À M M S S Ố Ố ; ; G G T T L L N N - - G G TN T NN N C C Ủ Ủ A A H H À À M M

S S Ố Ố ; ; T T I I Ệ Ệ M M C C Ậ Ậ N N . .

A . T TÍ ÍN NH H Đ ĐƠ Ơ N

N

Đ Đ IỆ

I

Ệ

U

U; ; C CỰ Ự C

C

T TR RỊ Ị C CỦ Ủ A

A

H HÀ ÀM M S SỐ Ố

Bài 1: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a/ y = - x² +4x +1 b/ y = ¹

3x³ – 3 x² + 8x -2 c/ y = - x⁴ +4x² d/ ^{2 1}

2 y x

x

 



Bài 2: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a/ y = 4x+1+ ¹ 1

x b/ y = x+ 1x² c/ y = x. 1x² d/ y =x².e^-x Bài 3:Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số : a/ y x³3x2 e/ ^{2 1}

1 y x

x

 

 b/ ^{1 3} 3 ² 8 2

y3x  x  x f/ yx⁴2x²3 c/ yx²(4x²) g/

2 3 3

1

x x

y x

 

 

d/ y (2 x x)( 1)³ h/ 4 1 ¹ y x 1

  x



Bài 4: Tuỳ theo m hãy tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) = x³ – 3mx² + 4mx

ĐS: .0 ⁴ m 3

  : Khoảng đồng biến là R

. m< 0 hoặc m>4/3: Khoảng đồng biến là (-∞;x₁); (x₂;+∞) và khoảng nghịch biến (x₁; x₂ ) với

2 1,2

3 9 12

3

m m m

x 



Bài 5: Cho hàm số y = f(x) = x³ - 3(2m+1)x² + (12m+5)x + m+1 a/Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên tập xác định.

b/Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên (-∞;0).

ĐS :a/ ^{1 1}

6 m 6

   b/

6

 1 m

Bài 6: Với những giá trị nào của m thì các hàm số sau đây luôn đồng biến trên miền xác định.

a/ y= f(x) = x³ – 3(2m+1)x² +(2m+5)x + 2 b/ y= f(x) = x³ + (m-1)x² + (m² – 4 )x + 9

ĐS: a/ 1 ¹ m 6

   b/ ^{1 3 3}; ^{1 3 3}

2 2

m  m 

Bài 7: Cho hàm số ( ) mx ⁴ y f x

x m

  



a/Tìm m để hàm số nghịch biến trên tập xác định.

b) Tìm m để hàm số đồng biến trên (2; +∞).

ĐS:a/ -2<m<2 b/ m≥2

Bài 8: Tùy theo m, khảo sát sự biến thiên của hàm số y=mx³-3x²+1.

ĐS: . m=0: hs đồng biến trên (-;0) và nghịch biến trên (0;+).

.m>0: hs đồng biến trên (-;0),(²; )

m  và nghịch biến trên (0;²) m . . m<0: hs đồng biến trên (²;0)

m và nghịch biến trên ( ;²), (0; )

 m  . Bài 9: Chứng minh rằng hàm số f(x) = tanx + 2sinx – 3x đồng biến trên nửa khoảng 0;

2

  

 .

Bài 10: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a. cosx >1 -

2

2

x ,  x (0;) b. 1 ^tanx ⁴

x 

  , với 0<x<

4

 .

c. .sin cos 1, 0

2

      Bài 11: Tìm m để hàm số

2 2

( ) 2

x x m y f x

x

  

 

 tăng trên các khoảng xác định.

ĐS : m<-2

Bài 12: Tìm m để hàm số

3

( ) ( 1) 2 2 ( 4) 2

3

y f x  m x  x  m x m nghịch biến trên R.

ĐS : -3 ≤ m ≤ 1

Bài 13: Tìm cực trị của các hàm số sau:

a/y = x³ – 3x² + 5 b/y = 2x² – x⁴ +3 c/y= ^{2 3}

2 x x



  d/y = x³ – x² +x -1 e/y = x⁴ +3x² -2 f/y = -x³ +3x² – 3x +2.

Bài 14:. Tìm cực trị của hàm số : a/ f(x)x32x27x3 b/

3 1 2 2 )

(     x x

x

f c/ f⁽x⁾x⁵



x¹



Bài 15: Tìm cực trị của hàm số :

a/yx. 14x² b/yxcos2x1 c/yx.e2^x d/yx2lnx e/yx2ln(2x1)

Bài 16: Tìm cực trị của các hàm số sau:

a/f(x) = x. 3x b/f(x) =

2 2 3

1

x x

x

 



c/f(x)=sin²x - 3.cosx, x^

 

^0;

.Bài 17: Biện luận theo m số cực trị của hàm số y = f(x) = x⁴ + m x² -2 Bài 18: Định m để hàm số sau có cực đại, cực tiểu :

a/

1 2 2





  x

m mx

y x b/

1 2 2 2

2





 

x

m x m y x

ĐS: a/

3

1



m b/1m1

Bài 19: Định m để hàm số sau có cực trị: yx32x2mx1. ĐS :

3

 4 m

Bài 20: Xác định m để hàm số sau có cực đại tại x = –2 : 3 2 1 2 (3 2 1) 1

3

1       

 x m x m x m

y .

ĐS : m = 3

Bài 21: Tìm m để hàm số y = f(x) = (x-m)³ – 3x đạt cực tiểu tại x = 0 ĐS: m= - 1

Bài 22: Cho hàm số y = f(x) = x³ – 3mx² +(m² – 1 )x + 2. Xác định m để hàm số đạt cực đại tại x = 2.

ĐS: m =11

Bài 23: Tìm m để hàm số y = f(x) =

2 ( 1) 1

1

x m x

x m

  

  đạt cực đại tại x = 2.

ĐS: m = -2

Bài 24: Cho hàm số y = f(x) = ¹

3x³ +mx² +(2m+3)x + 2.

a/Xác đinh m để hàm số có cực trị.

b/Xác định m để hàm số đạt cực trị tại x = 2 Bài 25: Cho hàm số y = ^{( )}

( ) u x

v x . Chứng minh rằng nếu hàm số đạt cực trị tại x₀ và v^’(x₀ )≠ 0 thì

'

0 0

'

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) u x u x v x  v x

Áp dụng : Chứng minh rằng nếu hs y = f(x) =

2 2 3 2

2

x x m

x

  

 đạt cực đại tại x₁, cực tiểu tại x₂ thì y₁y₂ 4 x₁x₂

Bài 26: Cho hàm số y = f(x) =

2 3

4

x x m

x

  

 . Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa y_CDy_CT 4

ĐS: m = 3

Bài 27: Cho hàm số y = f(x) =

2 2

2( 1) 4

2

x m x m m

x

   

 có đồ thị là (C_m)

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị (C_m) cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuộng tại O.

ĐS: m= 4 2 6 )

Bài 28: Cho hàm số y = f(x) = - x³ + 3x² + 3(m² – 1)x – 3m² – 1 có đồ thị là (C_m) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị (C_m)cách đều gốc tọa độ O.

ĐS: m= ¹

2 )

Bài 29: Cho hàm số y = f(x) =

2 2

1 x mx m

x m

  

  . Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu và hai giá trị cực trị cùng dấu.

Bài 30: Tìm các hệ số a, b, c của hàm số f(x)ax3bx2cxd , biết rằng hàm số f(x) đạt cực đại tại x = –1, f(–1) = 3 và đạt cực tiểu tại x = 1, f(1) = –1.

ĐS: a = 1, b = 0, c = -3, d = 1

Bài 31: Cho hàm số y2x33



2a1



x26a(a1)x1. Chứng minh rằng hàm số luôn luôn có cực trị tại x₁, x₂ và x₁ – x₂ không phụ thuộc a.

Bài 32: Cho hàm số yx³



m²



x²⁽¹m⁾x³m¹ . Xác định m để hàm số có cực trị tại x₁, x₂ thỏa điều kiện x1x2 ².

ĐS : m = 1, m = -8

Bài 33: Xác định m để hàm số sau có 3 cực trị : 4 2 2  21





 



mx m m x

y .

ĐS : 0 m2.

Bài 34: Xác định m để hàm số

 

2 1

1 2 2

3 1 3 ) 1

(x  x  m x m

f đạt cực đại, cực tiểu

thỏa x_cđ = 2x_ct. ĐS:m = –1, m = –7

B. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số :

2 1

x x

y x

   , x > 0 ĐS: min y = 3 khi x = 1 ; Không tồn tại max y.

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số :

2 2

2 4 5

1

x x

y x

 

 

ĐS: min y = 1 ; max y = 6

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = 1 + x – x² ĐS: max y = ⁵

4 khi x = ¹

2 ; Không tồn tại min y.

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = sinx + cosx ĐS: max y = ² ; min y = - 2

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : y sinx cosx ĐS: min y = 1 ; max y = ⁴8

Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = sin²⁰x + cos²⁰x ĐS: max y = 1 khi

2 y k

 ; min y = ¹ 512 khi

4 2

y  k

 

HD: Hàm số tuần hoàn chu kỳ 2

 nên xét 0, 2

 

 

 .

Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = cosx + ¹

2cos2x ĐS: max y = ³

2 ; min y = ³

4

Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = lg²x + ₂¹ lg x2 ĐS: min y = ¹

2

Bài 9: Tìm GTLN của hàm số y= 4x³ – 3x⁴ ĐS: max y =y(1)=1

Bài 10: Tìm GTNN của hàm số y x^{2 2}

  x với x>0 ĐS:

(0;min) y y(1) 3

  

Bài 11: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y x 2 4x

Sử dụng kết quả đã tìm được để giải pt : y x 2 4x = x² - 6x + 11 ĐS: max (3) 2

x D y y

   , min (2) 2

x D y y

   nghiệm x = 3.

Bài 12: Tìm GTLN, GTNN của hàm số ysin 2xx trên ; 2 2

  

 

 

ĐS: max ( )

2 2

x D y y  

    , min ( )

2 2

x D y y  

   

Bài 13:. Tìm GTLN, GTNN của hàm số ^sin 2 cos y x

 x

 trên [0; ] ĐS: max (² ) ³

3 3

x D y y 

   , min (0) 0

x D y y

  

Bài 14: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y x 2x² ĐS:max (1) 2

x D y y

   , min ( 2) 2

x D y y

    

Bài 15: Tìm GTLN, GTNN của hàm số

2 cos2 | cos | 1

| cos | 1

x x

y x

 

 

ĐS: ^{max (0) 2}

x D y y

   , min ( ) 1

2

x D y y 

  

Bài 16: Tìm GTLN, GTNN của hàm số

6 6

4 4

sin cos 1

sin cos 1

x x

y x x

 

  

ĐS: ^{max (0) 1}

x D y y

   , min ( ) ⁵

4 6

x D y y 

  

Bài 17: Tìm hai số biết hiệu của chúng bằng 13 và tích của chúng là bé nhất.

ĐS: 1 2

13 13

2 , 2

x   x 

Bài 18: Tìm các cạnh của tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a (a>0).

ĐS: Độ dài các cạnh là: , ^{3 2},

3 3 3

a a a

Bài 19: Tìm các kích thước của hình chữ nhật có diện tích lớn nhất nội tiếp trong đường tròn có bán kính R cho trước.

ĐS: max S = 2R² khi x = R 2

Bài 20: Cho hình cầu bán kính R. Tìm hình nón ngoại tiếp hình cầu sao cho diện tích xung quanh nhỏ nhất.

ĐS: Chiều cao hình nón h = R(2 + 2)

HD: Gọi chiều cao hình nón là h ; Tính bán kính đáy và đường sinh hình nón theo h.

Bài 21:. Trên parabol y = x² lấy 2 điểm A(-1;1) ; B(3;9) và 1 điểm M thuộc cung AB.

Xác định tọa độ M sao cho tam giác ABM có diện tích lớn nhất.

ĐS : M(1;1) .

C. TIỆM CẬN

Bài 1: Tìm phương trình các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị các hàm số:

a/

6 2 5

2





 

x x

y x b/

2 2 2





  x

x

y x

c/

3 2 2

4 2 3







 

x x

x

y x d/

2 4 3 2 2 3



  x

x y x

e/ y x24x3 g/yx x22x ĐS: a/ x = 3 ; y = 0 b/ Không có.

c/ x = 3/2 ; y = 1. d/ x = 3, x = -3 ; y = 2x - 3.

e/ y = x - 2 ; y = - x + 2 g/y = 1 ; y = 2x+1 Bài 2: Tìm tiệm cận: ⁵

2 y x

 x



ĐS: Tiệm cận đứng: x = 2 , tiệm cận ngang: y = -5 Bài 3: Tìm tiệm cận: ²

1 y x

 x



ĐS: Tiệm cận đứng: x = -1 , tiệm cận ngang: y = x -1 Bài 4: Tìm tiệm cận: ²₂ ¹

5 2 2

x x

y x x

  

   ĐS: Tiệm cận đứng: x = -1, x = ³

5 , tiệm cận ngang: y = ¹

5 Bài 5: Cho (C) : ^{y f x}

 

^x2

  x m

 , Xác định m để hàm số có tiệm cận ĐS: m  0

Bài 6: Cho (C_m):^{y f x}

 

^{2x2 3x m}

x m

 

 

 , Với giá trị nào của m (C_m)không có tiệm cận đứng.

ĐS: m = 0 ; m = 1 Bài 7: Tìm tiệm cận: ²

2 1

y x x

 

ĐS: Tiệm cận đứng: x = 1 , tiệm cận xiên: y = x Bài 8: Tìm tiệm cận: y 4x²6x1

ĐS: Tiệm cận xiên: y = 2 ³ y x2 Bài 9: Tìm tiệm cận: ^{2 2 2}

1

x x

y x

 

 

ĐS: Tiệm cận đứng: x = 1 , tiệm cận xiên: y = x 1

Bài 10: Xác định tất cả các giá trị của m để đồ thị các hàm số sau không có tiệm cận a/

1 2 1



  mx

y x b/

m x y x



 21 ĐS : a/ m = 0 ; m = 2; b/ m=- 1 m = 1

Bài 11: Xác định tất cả các giá trị của m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau a/

2 2 1 2





 

mx mx x

y m đi qua điểm M(2; 5).

b/

m x

x m mx

y 



 

 





 2 2 3

vuông góc với đường thẳng

3 5 2 

 x y

c/

 

1 1 2 2







 

x

m x m

y mx cùng với hai trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4.

ĐS:a/m = 4 b/

2

 3

m c/ m2, m64 2 Bài 12: Xác định a để hàm số: ^{y f x}

 

^{x2 x a}

x a

  

 

 có tiệm cận xiên đi qua điểm A(2 , 0).

ĐS: a = 1

Bài 13: Cho hàm số : ^{f x}

 

²

2 ax bx c

y x

 

 

 . Xác định a,b,c để hàm số có cực trị bằng 1 khi x = 1 và có tiệm cận xiên vuông góc với đường thẳng

(d): x + 2y + 1 = 0.

ĐS: a = 2 , b = -3 , c = 0 Bài 14: Cho hs ^{f x}

 

^{2 1}

1 x mx

y x

 

 



Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị tạo với các trục tọa độ 1 tam giác có diện tích bằng 8 đvdt.

ĐS : m=3 ; m=-5