Cực trị của hàm số – Lê Văn Đoàn - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

§ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ



A. KIẾN THỨC CƠ BẢN Khái niệm cực đại, cực tiểu

Cho hàm số y  f x( ) xác định, liên tục trên ( ; ),a b (cĩ thể a_là, b là ) và x_ ( ; ) :a b

 Nếu tồn tại số h 0 sao cho f x( )f x( )_ với mọi x (x_ h x; _ h) và x x_ thì ta nĩi hàm số f x( ) đạt cực đại tại điểm x_.

 Nếu tồn tại số h 0 sao cho f x( )f x( )_ với mọi x (x_ h x; _ h) và x x_ thì ta nĩi hàm số f x( ) đạt cực tiểu tại điểm x_.

Các định lí 1. Định lí 1 (điều kiện cần)

Nếu hàm số y  f x( ) cĩ đạo hàm trên khoảng ( ; )a b và đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại x_ thì f x( )_ 0.

2. Định lí 2 (điều kiện đủ)

Giả sử y  f x( ) liên tục trên khoảng K (x_ h x; _ h) và cĩ đạo hàm trên ^K hoặc trên K \ { },x_ _vớih0._{Khi đĩ:}

 Nếu f x( )0 trên khoảng (x_ h x; )_ và f x( )0 trên khoảng ( ; x_ x_ h) thì x_ là một điểm cực đại của hàm số f x( ).

 Nếu f x( )0 trên khoảng (x_ h x; )_ và f x( )0 trên khoảng ( ; x_ x_ h) thì x_ là một điểm cực tiểu của hàm số f x( ).

x x_h x_ x_ h x x_ h x_ x_ h ( )

f x ^ 0 ^ f x( ) ^ 0 ^ ( )

f x y_CĐ

( )

f x y_CT Điểm

cực đại

Điểm cực tiểu Điểm

cực tiểu

Tiếp tuyến

(2)

Nĩi cách khác:

 Nếu f x( ) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x_ (theo chiều tăng) thì hàm số ( )

y  f x đạt cực tiểu tại điểm x_.

 Nếu f x( ) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x_ (theo chiều tăng) thì hàm số ( )

y  f x đạt cực đại tại điểm x_. 2. Định lí 3

Giả sử y  f x( ) cĩ đạo hàm cấp ² trong khoảng (x_ h x; _ h), với h0. Khi đĩ:

 Nếu y x( )_ 0, ( )y x _ 0 thì x_ là điểm cực tiểu.

 Nếu y x( )_o 0, ( )y x _o 0 thì x_ là điểm cực đại.

Chú ý. Một hàm số chỉ cĩ thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đĩ đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại đĩ hàm số khơng cĩ đạo hàm, chẳng hạn hàm số y  x .

B. CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng toán 1: Tìm điểm cực đại, cực tiểu, giá trị cực đại, giá trị cực tiểu



 Bài tốn: Tìm các điểm cực đại, cực tiểu (nếu cĩ) của hàm số y  f x( ).

 Phương pháp:



Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số.



Bước 2. Tính đạo hàm y f x( ). Tìm các điểm x_i, (i 1,2, 3,..., )n mà tại đĩ đạo hàm bằng ⁰ hoặc khơng xác định.



Bước 3. Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.



Bước 4. Từ bảng biến thiên, suy ra các điểm cực trị (dựa vào nội dung định lý 2).

BÀI TẬP VẬN DỤNG 1. Cho hàm số y  f x( ) cĩ bảng biến thiên:

 Hàm số đạt cực tiểu tại: x  1.

 Hàm số đạt cực đại tại: x 2.

 Giá trị CĐ (cực đại) của hàm số: y_CĐ 1.

 Giá trị CT (cực tiểu) của hàm số: y_CT  3.

 Điểm cực đại của đồ thị hàm số: M(2;1).

 Điểm cực tiểu đồ thị hàm số: N( 1; 3). 

2. Cho hàm số y  f x( ) cĩ bảng biến thiên:

 Hàm số đạt cực tiểu tại: ...

 Hàm số đạt cực đại tại: ...

 Giá trị CĐ (cực đại) của hàm số: ...

 Giá trị CT (cực tiểu) của hàm số: ...

 Điểm cực đại của đồ thị hàm số: ...

 Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số: ...

(3)

3. Cho hàm số y  f x( ) có bảng biến thiên:

x  1 0 1 

y    0  

y

1  

 1 

4. Cho hàm số y  f x( ) có bảng biến thiên:

x  1 0 1 

y _ ₀   0 

y

4  

  4

5. Cho hàm số y  f x( ) có đồ thị:

O

x y

1

 2 2



3

(4)

8. Giá trị cực đại của hàm số y x³ 3x 1 bằng

A. 3. B. 1.

C. 1. D. 4.

Lời giải. Tập xác định D .

2 1 1

3 3, 0

1 3

x y

y x y

x y

    

          Giới hạn: lim

x y

   và lim .

x y

  

x  1 1 

y _ ₀  0 

y

3 

 1

Giá trị cực đại y_CĐ 3. Chọn A.

9. Giá trị cực đại hàm số y x³ 12x 1 bằng

A. 17. B. 2.

C. 45. D. 15.

...

10.Điểm cực đại của đồ thị hàm số:

3 2

3 1

y   x x  là

A. x 0. B. M( 2; 19).  C. N(0;1). D. x  2.

...

11.Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số:

4 2

2 5

y   x x  là

A. A( 1;6). _B.x 0.

C. 5. D. B(0;5).

...

12.Điểm cực đại của đồ thị hàm số:

4 4 2 3

y x  x  là

A. (0; 1). B. (0; 3).

C. ( 2; 1). D. ( 2; 1). ...

...

13.Giá trị của tiểu của đồ thị hàm số

4 2 2 2

y   x x  bằng A. 2. B. (0;2).

C. (1;3). _D.3.

...

(5)

14.Cho hàm số

2 1

1 x x

y x

   

 Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

A. x  1. B. x  2.

C. x 0. D. ( 2; 3). 

...

15.Gọi M n, lần lượt là giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số

2 3 3

2

x x

y x

 

 

 Giá trị của M² 2n_bằng

A. 6. B. 7. C. 8. D. 9.

...

16.Tìm giá trị cực đại y_CĐ (nếu có) của hàm số

3 2 2.

y   x x

A. y_CĐ 0. B. y_CĐ 2.

C. y_CĐ 3. D. y_CĐ  3.

...

17.Tìm cực đại của hàm số y x 1x². A. 2

2  B. 2

 2  C. 1

 2 _D.1 2

...

(6)

BÀI TẬP VỀ NHÀ 1

Câu 1. (Đề thi THPT QG năm 2019 – Mã đề 104) Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên:

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

A. x  2. B. x 1. C. x  3. D. x 2.

Câu 2. (Sở GD & ĐT Tp. HCM năm 2018) Cho hàm số y f x( ) có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào đúng ?

A. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 2.

B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2.

C. Hàm số đạt cực đại tại x 0 và cực tiểu tại x 2.

D. Hàm số có ba điểm cực trị.

Câu 3. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc 2018) Hàm số 1

2 1

y x x

 

 có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 1. B. 0.

C. 2. D. 3.

Câu 4. (Sở GD & ĐT Bạc Liêu 2019) Điểm cực tiểu của hàm số y x³ 3x² 9x 2 là A. x 11. B. x 3.

C. x 7. D. x  1.

Câu 5. (THPT Thăng Long – Hà Nội 2018) Cho hàm số y   x⁴ 2x² 1. Điểm cực tiểu của hàm số là

A. x 1. B. (0; 1). C. x  1. D. x  0.

Câu 6. (THPT Nhân Chính Hà Nội 2019) Cho hàm số y  x²  x 20. Mệnh đề nào sai ? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; 4).

B. Hàm số đạt cực đại tại x 5.

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (5;).

D. Hàm số không có cực trị.

Câu 7. (Sở GD & ĐT Tp. HCM – Cụm 5 năm 2017) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

2 2 1

1

x x

y x

 

  bằng

A. 4 5.

B. 4.

C. 8.

D. 5 2.

(7)

18.Cho hàm số y  f x( ) xác định và liên tục trên , có f x( )x x³( 2) (² x 9). Hàm số y  f x( ) đạt cực tiểu tại điểm

A. x 0. _B.x 2.

C. x 9. D. x 1.

Lời giải. Tập xác định: D . Ta có: f x( )x x³( 2) (² x 9)0

3 2

0 0

( 2) 0 2 .

9 0 9

x x

   

 

      

    

 



Bảng xét dấu f x( ) (mỗi ô thử 1 điểm):

x  0 2 9 

( )

f x _ 0  0  0  ( )

f x

Hàm số đã cho y  f x( ) đạt cực tiểu tại điểm x 9.

Chọn đáp án C.

19.Cho hàm số y  f x( ) xác định và liên tục trên , có f x( )(x 1)(3x)._Hàm số y  f x( ) đạt cực đại tại điểm

A. x 1. B. x 2.

C. x 3. D. x 0.

...

20.Cho hàm f x( ) có f x( )x x²( 1)(x 2)³ .

 x  Điểm cực tiểu của hàm số f x( ) là A. x  2. B. x  0.

C. x 1. D. x  3.

...

21.Cho hàm số y  f x( ) và có đạo hàm

2 3

( ) ( 1) ( 2) (2 3), . f x  x  x  x  x Số điểm cực trị của hàm số y  f x( )_là A. 3. B. 2. C. ^0. D. 1.

...

(8)

22.Cho hàm số f x( ) xác định, liên tục trên  và có đồ thị hàm số y  f x( ) là đường cong như hình vẽ. Hỏi mệnh đề nào đúng ?

A. Hàm số y  f x( ) đạt cực đại tại điểm x  4/3.

B. Hàm số y  f x( ) đạt cực tiểu tại điểm x 0.

C. Hàm số y  f x( ) đạt cực tiểu tại điểm x  2.

D. Hàm số y  f x( ) đạt cực đại tại điểm x 4/3.

Lời giải tham khảo

Đồ thị hàm số y  f x( ) cắt trục Ox y: 0 tại 2

2, 0 ( ) 0 .

0

x x f x x

x

  

 

       

Bảng xét dấu:

x  2 0 2 

( )

f x  0  0  0 

( ) f x

Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số y  f x( ) đạt cực tiểu tại x  2. Chọn đáp án C.

23.Cho hàm số f x( ) xác định, liên tục trên  và có đồ thị hàm số y  f x( ) là đường cong như hình vẽ. Hỏi mệnh đề nào đúng ?

A. Hàm số y  f x( ) đạt cực tiểu tại điểm x  1.

B. Hàm số y  f x( ) đạt cực tiểu tại điểm x 0.

C. Hàm số y  f x( ) đạt cực đại tại điểm x  2.

D. Hàm số y  f x( ) đạt cực đại tại điểm x 2.

...

2.1. Cho hàm số f x( ) có đồ thị f x( ) của nó trên khoảng K như hình vẽ. Khi đó trên K, hàm số y  f x( ) có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 1.

B. 4.

C. 3.

D. 2.

...

(9)

24.Đồ thị hàm số y  f x( ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hàm số y  f x( )3x 2019 có mấy điểm cực trị ?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

...

25.Cho hàm số f x( ) xác định trên  và có đồ thị f x( ) như hình vẽ bên dưới. Hàm số ( ) ( )

g x f x x đạt cực đại tại A. x  1.

B. x  0.

C. x 1.

D. x 2.

...

26.Cho hàm số y f x( ) xác định và liên tục trên , có đồ thị của hàm đạo hàm y  f x( ) như hình vẽ. Xác định giá cực tiểu của hàm số g x( ) f x( )x.

A. f(1) 1. B. x 1.

C. f(0).

D. f(2)2.

...

27.Cho hàm số f x( ) có đồ thị y  f x( ) như hình. Hỏi hàm

3

( ) ( ) 2 2

3

g x  f x x x  x

đạt cực đại tại A. x  1.

B. x  0.

C. x 1.

D. x 2.

...

28.Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm, liên tục trên ^ và có đồ thị y f x( ) như hình vẽ. Xét

hàm số ² 3 ⁴ ²

( ) 3 ( 2) 3 .

g x  f x  2x  x Hàm số g x( ) đạt cực đại tại điểm A. x  1.

B. x 1.

C. x 0.

D. x 2.

...

(10)

O x y

O x

y

2

 2

 

y f x

Câu 8. (THPT Lê Quý Đôn – Đà Nẵng 2019) Cho hàm số y  f x( ) liên tục trên , có đạo hàm f x( )x(1x) (3² x) (³ x 2) .⁴ Điểm cực tiểu của hàm số y  f x( ) là

A. x 2.

B. x 3.

C. x 1.

D. x 0.

Câu 9. (THPT Chuyên Lê Thánh Tông – Quảng Nam 2019) Cho hàm số y  f x( ) liên tục trên  và có đạo hàm f x( )(x 2)(x 1)²⁰¹⁸(x 2)²⁰¹⁹. Khẳng định nào đúng ? A. Hàm số y  f x( ) đạt cực đại tại điểm x 1 và đạt cực tiểu tại các điểm x  2.

B. Hàm số y  f x( ) đồng biến trên mỗi khoảng (1;2)_và(2;).

C. Hàm số y  f x( ) có ba điểm cực trị.

D. Hàm số y  f x( ) nghịch biến trên khoảng ( 2;2).

Câu 10. (THPT HOA LƯ A – Hà Nội năm 2018) Cho hàm số y  f x( ) có đạo hàm trên  và đồ thị hàm số y  f x( )_trên như hình vẽ. Mệnh đề nào đúng ?

A. Hàm số y  f x( ) có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.

B. Hàm số y  f x( ) có 2 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu.

C. Hàm số y  f x( ) có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu.

D. Hàm số y  f x( ) có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.

Câu 11. (Sở GD & ĐT Hâu Giang 2018) Cho hàm số y  f x( ) xác định và liên tục trên _và hàm số y  f x( ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào đúng ?

A. f x( ) đạt cực đại tại x 1.

B. f x( ) đạt cực đại tại x 0.

C. f x( ) đạt cực đại tại x  1.

D. f x( ) đạt cực đại tại x  2.

Câu 12. (THPT Chuyên Lương Văn Chánh – Phúc Yên 2018) Cho hàm số y  f x( )_{có đạo} hàm liên tục trên . Đồ thị hàm số y  f x( ) như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số y  f x( )5x _là

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 1.

Câu 13. (THPT Mộ Đức – Quãng Ngãi năm 2018) Cho hàm số y  f x( ) có đạo hàm trên . Biết hàm số y  f x( ) có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng về cực trị của hàm số g x( ) f x( )x.

A. Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

B. Hàm số không có điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

C. Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

D. Hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

(11)

29.Cho hàm số y  f x( ) có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số y  f x( ) có mấy cực trị ? A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Từ đồ thị hàm số y  f x( ). Hãy nên cách vẽ đồ thị hàm số y  f x( ) .

 ...

30.Cho hàm số y  f x( ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hỏi đồ thị hàm số y  f x( ) có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

...

31.Biết đồ thị hàm số y x³ 3 .x² có dạng như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số y  x³ 3x² có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

...

32.(Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 102 câu 42) Cho hàm số y  f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số y  f x( ) có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

...

33.Cho hàm số y  x⁴ ax² b với a b, là hai số thực dương. Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 3.

B. 7.

C. 6.

D. 5.

...

(12)

34.Cho hàm số y  f x( ) có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị hàm số y  f x( ) có mấy cực trị ? A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Từ đồ thị hàm số y  f x( ). Hãy nên cách vẽ đồ thị hàm số y  f x( ).

 ...

35.Cho hàm số y   x³ 3x² 3x 1 có đồ thị như hình. Đồ thị y  x ³ 3x² 3x 1 có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

...

36.Cho hàm số y x⁵3x² 2x 2 có đồ thị bên. Đồ thị y  x⁵ 3x² 2x 2 có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 5.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

...

37.(THPT Chuyên Đại Học Vinh 2019) Cho hàm số y  f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số y  f x( ) có bao nhiêu điểm cực trị ? A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 1.

...

38. Cho hàm số y  f x( ) có đạo hàm f x( )(x 1) (⁴ x 2) (⁵ x 3) , ³  x . Số điểm cực trị của hàm số ^y ^ ^{f x}

 

^là

A. 2.

B. 3.

C. 5.

D. 1.

...

(13)

O x y

3



x y

1 O

O x

y BÀI TẬP VỀ NHÀ 3

Câu 14. (THPT Hoa Lư A – Ninh Bình năm 2018) Cho hàm số y  f x( ) liên tục trên _{và có} đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số y  f x( ) có tất cả bao nhiêu điểm cực trị ? A. 5.

B. 3.

C. 2.

D. 4.

Câu 15. (Sở GD & ĐT Đồng Tháp 2019) Cho đồ thị hàm số f x( )ax⁴ bx² c_{như hình} vẽ. Hàm số y  ax⁴ bx² c có bao nhiêu cực trị ?

A. 3.

B. 5.

C. 6.

D. 7.

Câu 16. (Sở GD & ĐT Trà Vinh 2019) Cho hàm số f x( )ax³ bx² cx d có bảng biến thiên bên dưới. Hàm số y  f x( ) có mấy cực trị ?

A. 5.

B. 3.

C. 2.

D. 4.

Câu 17. (Sở GD & ĐT Bình Dương 2018) Cho hàm số y x³ 6x² 9x có bảng biến thiên dưới. Hàm số y  x ³6x² 9x có mấy cực trị ?

A. 3.

B. 5.

C. 6.

D. 7.

Câu 18. (Sở GD & ĐT Phú Thọ năm 2017) Cho bảng biến thiên của hàm số y x³ 3x_bên dưới. Hàm số y  x³ 3x có mấy điểm cực trị ?

A. 5.

B. 3.

C. 2.

D. 4.

Câu 19. (Sở GD & ĐT Đồng Nai năm 2018) Cho đồ thị hàm số y (x 2)(x²1) như hình vẽ. Đồ thị hàm số y  x2 (x² 1) có mấy điểm cực trị ?

A. 5.

B. 3.

C. 2.

D. 1.

(14)

39.Gọi A B, lần lượt là hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y x⁴2x² 3 và C _là điểm cực đại. Tính độ dài AB và diện tích tam giác OAB_vớiO là gốc tọa độ. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Lời giải. Tập xác định D .

Có ³ 0 3

4 4 0 .

1 2

x y

y x x

x y

   

         

x  1 0 1 

y  0  0  0 

y

 3 

2 2

Hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là ( 1;2),

A B(1;2) và điểm cực đại là C(0; 3).

2 2

AB  (x_B x_A) (y_B y_A) 2.



 Tính diện tích OAB_vớiO(0;0) :

( 1;2) 1

1.2 1.2 2.

(1;2) ^OAB 2

OA S

OB ^

  

     

 





 Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC :

0 7

3 0;

7 3

3 3

A B C

G

A B C

G

x x x

x G

y y y

y

  

  

  

 

   

  

    

  



Cần nhớ:

AB (x_B x y_A; _B y_A).



AB  (x_B x_A)² (y_B y_A) .²

I là trung điểm 2 . 2

A B

I

A B

I

x x x

AB y y

y

 

 

  

G là trọng tâm 3

3

A B C

G

A B C

G

x x x x

ABC y y y

y

  

 

    

 Diện tích tam giác ABC :

Tính ( ; ) 1

2 . ( ; ) ^ABC AB a b

S ad bc

AC c d ^

 

   

 





40.Gọi A B, lần lượt là hai điểm cực đại của đồ thị hàm số y  x⁴ 8x² 2 và C là điểm cực tiểu. Tính độ dài AB và diện tích tam giác OAB_vớiO là gốc tọa độ.

Tìm tọa độ trọng tâm G _củaABC. ...

...

41.Gọi A B, lần lượt là điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

3 3 2 4.

y  x  x  Tìm tọa độ trọng tâm G và diện tích của OAB._TínhAB. ...

...

(15)

42.Biết M(0;2)_vàN(2; 2) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y ax³ bx² cx d. Tính giá trị của hàm số tại x  2.

Lời giải. Ta có: y  3ax² 2bx c.

 Do điểm M(0;2) là cực trị

3 2

(0) 0 (0;2) y

M y ax bx cx d

 

 

      

0 2 c d

 

   (1)

 Do điểm N(2; 2) là cực trị

3 2

(2) 0 ( 2;2) y

N y ax bx cx d

 

 

       

12 4 0

8 4 2 2

a b c

a b c d

   

       (2)

Từ (1), (2) a 1;b  3;c  0;d 2.

Do đó: y  x³3x²  2 y( 2)  18.

Cần nhớ:

Nếu M x y( ; )_ _ là cực trị của đồ thị hàm số ( )

y  f x ^{( )} ⁰

( ; ) ( )

y x

M x y y f x

 

 

   



 

Nếu là điểm cực đại, bổ sung y x( )_o 0.

Nếu là điểm cực tiểu, bổ sung y x( )_o 0.

43.Đồ thị hàm số y 2x³ bx² cx 1 có (1; 6)

M  là một điểm cực trị. Tìm tọa độ điểm cực trị còn lại của đồ thị hàm số đó.

...

44.Biết 7

1; , (2;3)

A 2 B là các điểm cực trị của đồ thị y ax³ bx² cx d. Tìm y(3).

...

(16)

Câu 20. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc năm 2018) Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

1 3 2

3 3

y   x   x Tọa độ trung điểm của AB_là

A. 2

0; .

3

 

  

 

  ^B.

1 2; . 3 3

 

 

 

  C. (0;1). D. (1;0).

Câu 21. (THPT Hậu Lộc 2 – Thanh Hóa 2018) Cho hàm số y x³3x² 2 có đồ thị là ( ).C Gọi A B, là các điểm cực trị của ( ).C Độ dài đoạn thẳng AB_bằng

A. 2 5. B. 5.

C. 4. _D.5 2.

Câu 22. (THPT Quãng Xương – Thanh Hóa 2018) Đồ thị hàm số y x³ 3x 2 có hai điểm cực trị A, B. Diện tích tam giác OAB_vớiO(0;0) là gốc tọa độ bằng

A. 2. _B.¹.

2

C. 1. D. 3.

Câu 23. (THPT Hoa Lư A – Ninh Bình năm 2018) Gọi A_vàB là các điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y x⁴ 2x² 1. Diện tích của tam giác OAB₍O là gốc tọa độ) bằng

A. 2.

B. 4.

C. 1.

D. 3.

Câu 24. (THPT Thạch Thành – Thanh Hóa 2018) Đồ thị hàm số y x⁴ ax² b có điểm cực tiểu là M( 1; 4). Giá trị của 2ab bằng

A. 1. B. 1.

C. 0. D. 2.

Câu 25. (THPT Kim Liên – Hà Nội 2018) Cho hàm số y x³ 2x² axb có đồ thị ( ).C Biết đồ thị ( )C có điểm cực trị là A(1; 3). Giá trị của 4ab_bằng

A. 3. _B.2.

C. 4. _D.1.

Câu 26. (Sở GD & GD Thanh Hóa năm 2018) Đồ thị hàm số y x³ ax² bx c đi qua điểm A(1;0) và có điểm cực trị M( 2;0). Giá trị của biểu thức a² b² c²_bằng A. 25.

B. 1.

C. 7.

D. 14.

(17)

Dạng toán 2. Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại điểm x = x

o

cho trước.

Phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị



 Bài tốn. Tìm tham số để hàm số y  f x( ) đạt cực trị tại điểm x x_ ?

 Phương pháp:



Bước 1. Tìm tập xác định D. Tính đạo hàm y.



Bước 2. Dựa vào nội dung định lí 1:

Nếu hàm số y  f x( ) cĩ đạo hàm trên khoảng ( ; )a b và đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại x_ thì f x( )_ 0.



Bước 3. Với m vừa tìm, thế vào hàm số và thử lại (dựa vào định lí 2 và 3).

 Lưu ý:

 Đối với hàm số bậc ba nên thử lại bằng nội dung định lý 3 (phù hợp trắc nghiệm).

Giả sử y  f x( ) cĩ đạo hàm cấp ² trong khoảng ( ; ).a b Nếu y x( )_  0, ( )y x _ 0 thì x_ là điểm cực tiểu.

Nếu y x( )_o  0, ( )y x _o 0 thì x_ là điểm cực đại.

 Đối với các hàm khác chẳng hạn như bậc bốn trùng phương (thiếu b),_{hoặc hàm} phân thức,… nên thử lại bằng định lí 2 (tính y và xét dấu, lập bảng biến thiên).

1. Cho hàm 1 ³ ² ²

( 4) 3.

y  3x mx  m  x  Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x  3.

A. m 1. B. m 5.

C. m {1;5}. _D.m 3.

Lời giải. Cĩ

2 2 2 4

2 2 .

y x mx m

y x m

     

 

  



Vì x 3 là cực đại (3) 0 (3) 0 y

y

  

   

2 1

6 5 0

5 5.

6 2 0

3 m m m

m m

 

    

 

 

      

Cần nhớ: Hàm y ax³ bx² cx d

x x_ là cực đại ( ) 0 ( ) 0. y x y x

  

   



x x_ là cực tiểu ( ) 0 ( ) 0. y x y x

 

 

   



2. Cho hàm

3

2 ( 2 1) .

3

y x mx  m m x

Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x 1.

A. m 2. _B.m 3.

C. m 1. D. m 0.

...

(18)

3. Cho 1 ³ ² ²

( 4) 3.

y  3x mx  m  x  Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x 3.

A. m  1. _B.m 5.

C. m 1. _D.m  7.

...

4. Cho hàm số y x⁴ 2(m1)x² m². Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0.

A. m  1. B. m  1.

C. m  1. _D.m \( 1;1).

3

2

4 4( 1) 0 0 .

1

y x m x x

x m

 

        

m   1 0 m  1.

 Khi đó:

x  0 

y  0 

y

HS đạt cực tiểu tại x 0 nên nhận m  1.

m   1 0 m  1

 và có bảng xét dấu:

...

m   1 0 m  1

 và có bảng xét dấu

...

5. Hàm số y  x⁴ 2mx² 1 đạt cực tiểu tại điểm x 0 khi

A. m 0. B.  1 m0.

C. m  1. D. m 0.

...

6. Hàm số y x⁴ 2mx² m⁴ 2m5 đạt cực tiểu tại điểm x  1_khi

A. m  1. _B.m  1.

C. m 1. _D.m 1.

...

(19)

7. Cho hàm số y x³ 3x² 9x 1. Viết phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.

A. y 8x2. B. y  8x2.

C. y  8x2. _D.x3y 1 0.

Lời giải 1. Phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba là đường thẳng y x_vớix là phần dư bậc nhất trong phép chia y cho y.

Chia đa thức:

3 2 2

3 2

2 2

3 9 1 3 6 9

1 1

2 3

3 3

6 1

2 3

8 2

x x x x x

x x x x

x x

x

    

  

  

  

 

Phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị là y  8x2. Chọn đáp án B.

Cách 2. Sử dụng casio bấm MODE 2 và

100

. .

3

CALC x i m

y y y i y x

y  _ ^    

     



8. Biết đồ thị hàm số y x³ 3x 1 có hai điểm cực trị A B, . Khi đó phương trình đường thẳng AB là

A. y   x 2. _B.y  x 2.

C. y  2x1. _D.y 2x1.

...

9. Cho hàm số y x³ 3x²2. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là

A. y  x 4. _B.y 2x 2.

C. y   x 1. _D.y  2x 2.

...

10.Cho hàm số y   x³ 3x² 1. Viết phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho.

A. y 7 0. _B.y 2x 1.

C. y 2x1. _D.y 7x1.

...



(20)

11. Tìm m để đường thẳng nối điểm cực đại với điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

 ³  

y x x m

đi qua điểm M(3; 1). ...

...

12. Tìm m để đường thẳng nối điểm cực đại với điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

3 3 2 2

y x  x mx  qua M(0;1).

...

13.Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng

: (2 1) 3

d y m x m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y  x³3x² 1.

Lời giải.

Sử dụng casio, tìm được đường thẳng nối hai điểm cực trị là d y:  2x1.

Vì d d a a₁. ₂  1 (2m 1).( 2) 1

     3

m 4

  

Cần nhớ: Cho hai đường thẳng d₁ và d₂ có dạng d₁ :y a x₁ b₁ và d₂ :y a x₂ b₂ thì

1 2

a a d d

b b

 

  

 và d₁ d₂ a a_{1 2}  1.

14.Tìm m để đường thẳng d y:  x 2 vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

3 2

2 3( 1) 6 .

y  x  m x  mx

...

15.Tìm giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x³3x² mx 2 song song với đường thẳng d y:  4x 3.

...

16.Tìm giá trị thực của tham số m_{để đường} thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x³ 3x²mx 2 vuông góc với đường thẳng d : 4x   y 3 0.

...

(21)

Câu 27. (Đề thi THPT Quốc Gia năm 2017 – Mã đề 102 câu 32) Tìm giá trị thực của tham số

m để hàm số 1 ³ ² ²

( 4) 3

y  3x mx  m  x  đạt cực đại tại x 3.

A. m 1. B. m 1.

C. m  5. D. m  7.

Câu 28. (THPT Ngô Sĩ Liên – Bắc Giang năm 2018) Biết rằng hàm số y x³ 2x² mx 3 đạt cực tiểu tại x 1. Giá trị của m_bằng

A. 4. _B.3.

C. 2. _D.1.

Câu 29. (THPT Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng năm 2018) Tìm tham số thực m để hàm số

3 3 2 3( 2 1)

y x  mx  m  x đạt cực đại tại điểm x_o 1.

A. m 0, m 2. B. m 2.

C. m 0. D. m 0, m 2.

Câu 30. (THPT Kiến An – Hải Phòng năm 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m_để hàm số y mx³ x² (m² 6)x 1 đạt cực tiểu tại x 1.

A. m 1. _B.m 4.

C. m  2. D. m 2.

Câu 31. (THPT Việt Trì – Phú Thọ 2018) Hàm số y x³ 3(m1)x² 3(m1) .²x Hàm số đạt cực trị tại điểm có hoành độ x 1_khi

A. m 1. B. m 0, m 4.

C. m 4. _D.m 0, m 1.

Câu 32. (THPT Chuyên Biên Hòa – Hà Nam 2018) Hàm số y x³ 2ax² 4bx 2019 đạt cực trị tại x  1. Khi đó hiệu ab_bằng

A. 1. _B.⁴

3 C. 3

4 D. 3

 4

Câu 33. (Sở GD & ĐT Hà Nội 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

4 2

y x mx đạt cực tiểu tại x 0.

A. m 0.

B. m 0.

C. m 0.

D. m0.

Câu 34. (THPT Quảng Xương I – Thanh Hóa 2017) Tìm tất cả các giá trị của tham số m_để

hàm số 1 ⁴

( 1)

y  4 m x đạt cực đại tại x  0.

A. m 1. B. m 1.

C. Không có m. _D.m 1.

(22)

Câu 35. (THPT Ngô Sĩ Liên – Bắc Giang năm 2018) Phương trình đưdờng thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x³ 3x²5x 1 là

A. 16 8

3 3

y   x   B. 16 8

3 3

y  x  

C. 1 8

3 3

y   x   _D. 1 8

3 3

y  x  

Câu 36. (THPT Trần Phú – Tp. Hồ Chí Minh năm 2017) Tìm giá trị thực của tham số

m

_sao

cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x³ 3x²mx 2 song song với đường thẳng d : 4x  y 3 0.

A. m 1. _B.m 2.

C. m  3. D. m 4.

Câu 37. (THPT Lương Văn Chánh Phú Yên 2018) Biết đường thẳng d y: (3m1)x3 vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

3 3 2 1.

y x  x  Giá trị của m bằng A. 1

6 B. 1

 3 C. 1

3 _D. 1

 6

Câu 38. (Tạp Chí Toán Học & Tuổi Trẻ năm 2018) Cho hàm số y   x³ 3x² 4. Biết có hai giá trị m m₁, ₂ của tham số m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tiếp xúc với đường tròn ( ) : (C x m)² (ym1)² 5. Tổng m₁ m₂_bằng A. 0.

B. 10.

C. 6.

D. 6.

Câu 39. (Toán Học Bắc Trung Nam) Đồ thị hàm số

3 2 5

2 x x

y x

  

 có hai điểm cực trị A B, nằm trên đường thẳng d có phương trình d y: axb. Giá trị của ab bằng

A. 1. _B.1.

C. 3. _D.5.

Câu 40. (THPT Chuyên KHTN Hà Nội năm 2017) Cho hàm số

2 2 1

2 1

mx x m

y x

  

 

 ^Tìm

tham số

m

để đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất trong mặt phẳng tọa độ.

A. 1

m   2 B. m 1.

C. m  1.

D. 1

m  2

(23)

Dạng toán 3. Biện luận hoành độ cực trị (Vận dụng & vận dụng cao)



 Cần nhớ:

...

(24)

1. Cho hàm số y x³ 3mx² 3mx m². Tìm m để hàm số có ² điểm cực trị ? Lời giải. Tập xác định D ^ ^^.

Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị 

3 2 6 3 0

y  x  mx  m  có hai nghiệm phân biệt.

2

L

6 3 0 ( )

( m) 36m 0

  a



    



Đ 0

1. m m

 

  

 Cần nhớ. Hàm số có n_{cực trị}y 0_có n nghiệm phân biệt. PT ax² bx  c 0 có hai nghiệm phân biệt 0

0.

 a

  

2. Cho hàm y (1m x) ³ 3x² 3x5.

Tìm m để hàm số có ² điểm cực trị ? ...

...

3. Cho y   x³ (2m1)x² (2m x) 1.

Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị ? ...

...

4. Cho y2x³ (m2)x²  (6 3 )m x 1.

Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị ? ...

...

5. Cho hàm số 1 ³ ² ²

4 .

y  3x mx  x m Tìm m để hàm số không có cực trị ? Lời giải. Tập xác định D  . Hàm số không có cực trị

2 2 4 0

y x mx

     vô nghiệm hoặc

có nghiệm kép

2

L

0 ) 1 0 (

(2 ) 16 a

m

  

     Đ

4m2 16 0 2 m 2.

      

6. Cho 1 ³ ²

(3 2) 1.

y  3x mx  m  x  Tìm m để hàm số không có cực trị ? ...

...

(25)

7. Cho y (m1)x³ (m1)x² x. Tìm m để hàm số có ² điểm cực trị, đồng thời điểm cực đại nằm bên trái điểm cực tiểu.

Lời giải. Tập xác định D ^ ^^.

Hàm số có 2 điểm cực trị, đồng thời điểm cực đại nằm bên trái điểm cực tiểu

3( 1) 2 2( 1) 1 0

y m x m x

       có

2 nghiệm phân biệt thỏa mãn a  0

2

1 0

[2( 1)] 12( 1) 0

a m

m m

   

      

2

1

4 20 16 0

m

m m

 

    

1 1 4.

1 4

m m

m

 

     

 Cần nhớ:

: 0

y 0 N a



  

 

 

0 0

:

y

a



  

 



 И

8. Cho hàm số y mx³3mx² 3x 1.

Tìm m để hàm số có ² điểm cực trị và điểm cực đại nằm bên trái điểm cực tiểu.

...

9. Cho hàm y (m2)x³ 3x² mx 5.

Tìm m để hàm số có ² điểm cực trị và điểm cực tiểu nằm bên trái điểm cực đại.

...

10.Cho y (m6)x³ mx²  x 1. Tìm m để hàm số có ² điểm cực trị và điểm cực đại nằm bên trái điểm cực tiểu.

...