Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2022 - 2023 sở GD&ĐT Bình Định - THCS.TOANMATH.com

(1)

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VẢO LỚP 10 THPT BÌNH ĐỊNH NÃM HỌC 2022-2023

Để chính thức Môn thỉ chuyên: TOÁN (CHUYÊN TOÁN) Ngày thi: 11/6/2022

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thởi gian phát đề) Bài 1: (2,5 điểm)

1. Cho biểu thức: P x ²⁰²² x5x²⁰²⁰ x x ²2017. Tính giá trị của P khi x ³ 2 5 ³ 2 5 .

2. Cho phương trình x³bx² cx 1 0 trong đó

b c ,

là các số nguyên. Biết phương trình có nghiệm ^x₀ ^{ }² ⁵. Tìm

b c ,

và các nghiệm còn lại của phương trình.

Bài 2: (2,5 điểm)

1. Giải hệ phương trình:

2

2 2

( ) 4 1 0

( ) 2 7 2 0

x x y y y

y x y x y

     

     



2. Cho

a b c , ,

là các số nguyên.

Đặt S (a2021)⁵(2b2022)⁵(3c2023)³;P a 2b3c2022 Chứng minh rằng ^S chia hết cho 30 khi và chi khi P chia hết cho 30 . Bài 3: ( 1,0 điểm)

Có tất cả bao nhiêu đa thức ^{P x}^{( )} có bậc không lởn hơn 2 với các hệ số nguyên không âm và thỏa mãn điều kiện ^P^{(3) 100}^ .

Bài 4: (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn ^{(AB AC)}^ nội tiếp đường tròn ^(O), các đường cao AD, BE,CFcắt nhau tại H. Gọi M là trung diểm BC.

a) Chứng minh tứ giác DMEF là tứ giác nội tiếp.

b) Đường tròn tâm I đường kính AH cắt đường tròn ^(O) tại điểm thử hai là P. Kẻ đường kính AK của đường tròn ^(O). Chứng minh bốn điểm ^{P, H, M, K} thẳng hàng.

c) Các tiếp tuyến tại A và P của đường tròn (I) cằt nhau ở ^N. Chứng minh ba đường thẳng ^{MN, EF, AH} đồng quy.

Bài 5: (1,0 điểm)

Cho 2 số

x y ,

thỏa mãn: ₂ ₂² 3 x y

x y xy



 

 





Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biều thức: ^T ^^x²^^y²^^xy

---HẾT---

Đáp án

(2)

Bài 1: (2,5 đi m)ể

1. Cho bi u th c ể ứ P x ²⁰²² x5x²⁰²⁰ x x ²2017. Tính giá tr c a ị ủ P khi

3 2 5 3 2 5

x   

2. Cho phương trình x³bx²cx 1 0 trong đó

b c ,

là các s nguyên. Bi t ố ế

phương trình có nghi m ệ x₀  2 5. Tìm

b c ,

và các nghi m còn l i c a phệ ạ ủ ương trình.

L i gi i.ờ ả

1. Ta có _x_³ ₂_ ₅ _³₂_ ₅

 

3 3 3 3 3

3

2

(2 5) (2 5) 3 2 5 2 5 ( 2 5 2 5 ) 2 5 3

( 5) 5 2 0.

x

x x

x x x

           

  

    

Chú ý r ng ằ

2

2 5 3

5 2 0

2 4

x x x 

       nên t đây ch có th ừ ỉ ể x 5. Th nên ế ^{P x}^ ²⁰²⁰ ^{x x}



²^{ }⁵



^x²^^{2017 2022}^ ^.

2. B ng tính toán tr c ti p, ta tính đằ ự ế ược x³0 38 17 5; x0²  9 4 5. Vì x0 là nghi m c a phệ ủ ương trình x³bx²cx 1 0 nên

3 2

0 0 0 1 0

(38 17 5) (9 4 5) (2 5) 1 0 (39 9 2 ) (17 4 ) 5 0.

x bx cx

b c

b c b c

   

       

      

Ta th y r ng n u ấ ằ ế ^{17 4}^ ^{b c}^{ }⁰ thì ⁵ ^{39 9} ² 17 4

b c b c

 

 

   do

b c ,

là s nguyên, đi u ố ề vô lí. Do đó 17 4 b c 0, kéo theo 39 9 b2c0.

Gi i h phả ệ ương trình ^{  }⁴₉_b^{b c}₂_c^{17 0}_{39 0}^ ^^^b_c^{ }₃⁵.

V i ớ ( ; ) ( 5;3)b c   thì phương trình tr thành ở x³5x²3x 1 0



² ⁴ ^{1 (}



^{1) 0}

2 5

1

x x x

    

  

  

 

V y v i ậ ớ ( ; ) ( 5;3)b c   , ngoài nghi m ệ x₀  2 5 thì PT còn nghi m ệ x₁  2 5 và

2 1

x  .

Bài 2: ( 2,5 đi m)ể

(3)

1. Gi i h phả ệ ương trinh

2

2 2

( ) 4 1 0

( ) 2 7 2 0

x x y y y

y x y x y

     

     

 .

2. Cho

a b c , ,

là các s nguyên. Đ t ố ặ ^S^⁽^a^²⁰²¹⁾⁵^⁽²^b^²⁰²²⁾⁵^⁽³^c^²⁰²³⁾⁵; 2 3 2022

P a  b c . Ch ng minh r ng ứ ằ ^S chia h t cho 30 khi và chi khi ế P chia h tế cho 30 .

1. Xét h phệ ương trình:

 

2

2 2

( ) 4 1 0 1

( ) 2 7 2 0 2

x x y y y

y x y x y

     

     



Nhân hai v phố ương trình (1) v i 2 , ta đớ ược

 

2 2

2x 2xy2y 8y 2 0 3

C ng theo v phộ ế ương trình (2) và (3) ta được

2 2

2

( ) 2 2 15 0

( ) 2( ) 15 0

( 3)( 5) 0

0 3 5

y x y xy y y

y x y x y

y x y x y y

x y

    

 

      

     

 

  

   



- N u ế ^{y 0}^ thay vào phương trình (1) ta được x²  1 0, không có nghi m th c.ệ ự - N u ế ^x^{ }³ ^y, thay vào phương trình (1) ta được ⁽³^{  }^y^{) 3} ^y²^⁴^y^{ }^{1 0}

2 2

7 10 0 ( 2)( 5) 0

5

y y y y y

y

 

           V i ớ ^y^² thì x1; v i ớ ^y^⁵ thì x 2.

- N u ế ^x^{  }⁵ ^y, thay vào phương trình ⁽¹⁾ ta được ^{( 5}^{    }^y^{) ( 5)} ^y²^⁴^y^{ }^{1 0}

2 26 0

y y

    , không có nghi m th c vì ệ ự

2

2 1 103

26 0

2 4

y  y y    . V y h phậ ệ ương trình ban đ u có hai nghi m là ầ ệ ( ; ) (1; 2)x y  và ( ; ) ( 2;5)x y   . 2. Đ t ặ ^{x a}^{ }^2021;^y^²^b^^2022;^z^³^c^²⁰²³ thì S x⁵y⁵z⁵ và ^{P x y z}^{  } . Ta có ^{S P}^{ }



^x⁵^{ }^x

 

^y⁵^^y

 

^ ^z⁵^^z



^.

Xét ^{A x}^ ⁵^{ }^{x x x}⁽ ^¹⁾⁽^x^¹⁾



^x²^^{1 .}



Ta th y ấ ⁽^x^^{1) (}^{x x}^¹⁾ là tích c a ba s nguyên liên ti p nên có tích chia h t cho 6 , ủ ố ế ế do v y ậ A chia h t cho 6. Theo đ nh lý Fermat, ta cũng có ế ị ^x⁵ ^^x^{( mod 5)} nên A chia h t cho 5. Mà CLN ế Ư ^{(5,6) 1}^ nên A x ⁵x chia h t cho 30 .ế

(4)

Hoàn toàn tương t ự



^y⁵^^y



^và



^z⁵^^z



cùng chia h t cho 30 . Do v y ế ậ ⁽^{S P}^ ⁾ chia h t cho 30 . Đi u này cho bi t ế ề ế S chia h t cho 30 khi và chi khi ế P chia h t cho 30ế .

Bài 3: ( 1,0 đi m )ể

Có t t c bao nhiêu đa th c ấ ả ứ ^{P x}^{( )} có b c không l n h n 2 v i các h s nguyên ậ ớ ơ ớ ệ ố không âm và th a mãn đi u ki n ỏ ề ệ ^P^{(3) 100}^ .

- Xét đa th c ứ ^{P x}^{( )}^^C là h ng s thì ch có đa th c ằ ố ỉ ứ ^{P(x) 100}^ th a mãn.ỏ - Xét đa th c ứ ^{P x}^{( )}^^{ax b}^ v i ớ ^a^^0;^b^^{0; ,}^{a b}^ .

Ta có ^{P(3) 100}^ hay 3a b 100, mà a^*;b nên 1 a 33. V i m i ớ ỗ ^a nh v y ư ậ ta tìm được duy nh t ấ ^b^^{100 3}^ ^a th a mãn đi u ki n nên trỏ ề ệ ường h p này có t t ợ ấ c 33 đa th c th a đ bài.ả ứ ỏ ề

Xét đa th c ứ P x( )ax²bx c v i ớ a^*; ,b c . Theo đ bài ta có ề 9a3b c 100, mà

a b c , ,

là các s nguyên nên ố ^c^³^k^¹ v i ớ ^k^ (v i m i giá tr c a ớ ỗ ị ủ ^k thì ta tìm được duy nh t m t giá tr c a ấ ộ ị ủ ^c ).

Khi đó 3a b k  33 hay b k 33 3 a0, suy ra 1 a 11.

V i m i giá tr ớ ỗ ị ^a nh v y, có ư ậ ^{(34 3 )}^ ^a giá tr nguyên c a ị ủ ^b nh n t 0 đ n (ậ ừ ế

33 3 ) a và có duy nh t m t giá tr ấ ộ ị ^k^^{33 3}^ ^{a b}^ tho mãn sau khi đã ch n ả ọ ^a và b. V y trậ ường h p này có ợ ¹¹

1

12 11 (34 3 ) 34 11 3 176

a 2

a



      



^{c p}^ặ ^{( ; ; )}^{a b k} tho mãn, ngả ứ v i 176 c p ớ ặ ^{( ; ; )}^{a b c} tho mãn đ bài. Trả ề ường h p này có 176 đa th c tho mãn.ợ ứ ả T ba trừ ường h p trên, có t t c ợ ấ ả1 33 176 210   đa th c ứ ^{P x}^{( )} v i h s nguyên ớ ệ ố không âm và ^P^{(3) 100}^ .

Bài 4: (3,0 đi m)ể

Cho tam giác ABC nh n (AB<AC) n i ti p đọ ộ ế ường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF c t nhau t i H. G i M là trung đi m BC.ắ ạ ọ ể

a) Ch ng minh t giác DMEF là t giác n i ti p.ứ ứ ứ ộ ế

b) Ðường tròn tâm I đường kính AH c t đắ ường tròn (O) t i đi m th hai là P. Kạ ể ứ ẻ đường kính AK c a đủ ường tròn (O). Ch ng minh b n đi m P, H, M, K th ng ứ ố ể ẳ hàng.

c) Các ti p tuy n t i A và P c a đế ế ạ ủ ường tròn (I) c t nhau N. Ch ng minh ba ắ ở ứ đường th ng MN, EF, AH đ ng quy.ẳ ồ

(5)

L i gi iờ ả .

a) Ta th y các t giác BCEF, ACDF n i ti p đấ ứ ộ ế ường tròn đường kinhh BC, AC. Khi đó

    

  

0 0

0

180 180

180 .

MEF AEF MEC ABC MCE

FBD BFD BDF

     

   

Do v y t giác DMEF n i ti p.ậ ứ ộ ế

b) Theo gi thi t ả ế KBAB và HCAB nên KB HC/ / . Tương t ư KC AC và HB AC nên KC/ /HB. T giác KBHC có hai c p c nh đ i di n song song nhau ứ ặ ạ ố ệ nên là hình bình hành. L i vì ạ M là trung đi m c a BC nên H, M, K th ng hàng.ể ủ ẳ M t khác, ặ APH AFH 90^ APK nên P, H, K th ng hàng.ẳ

Nh v y H, M, K, P th ng hàng.ư ậ ẳ

c) G i R là giao đi m c a AD và EF. Vì các t giác AFDC, AEDB n i ti p nênọ ể ủ ứ ộ ế

 180⁰   180⁰ 2 180⁰  .

EDF  FDB EDC   BAC FIE

Do v y IEDF là t giác n i ti p, suy ra ậ ứ ộ ế RE RF. RI RD. .

M t khác t giác AEHF n i ti p nên ặ ứ ộ ế RE RF RH RA . V y nênậ

 

¹

RA RD RI RD RH RA

RI RH IA HD IA RI RA RI RH HD RH RD

    

    

T ch ng minh câu ừ ứ ở ^b) ta có HM  AP, l i vì ạ ^NI ^^AP (do NI là đường trung tr c c a đo n AP) nên HMự ủ ạ ^{/ /}NI, k t h p ế ợ ^{NA DM}^{/ /} suy ra DMH INA (hai góc

(6)

nh n có c p c nh tọ ặ ạ ương ng song song). T đây ứ ừ DHM∽AIN (tam giác vuông có hai góc nh n b ng nhau)ọ ằ

 

IA AN . 2 HD DM

 

T (1) và (2) suy ra ừ ^RA ^AN

RD  DM . V y nên ậ ARN∽DRM (c.g.c) ARN DRM . Vì NRM NRA ARM  MRD ARM ARD180⁰ nên M, N, R th ng hàng, t c là ẳ ứ MN cũng đi qua đi m ể R. V y MN, AD, EF đ ng quy.ậ ồ

Bài 5: ( 1,0 đi m )ể

Cho hai s ố

x y ,

tho mãn: ả 2 2

2 3 x y

x y xy

  

   

 .

Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a bi u th c: ị ớ ấ ị ỏ ấ ủ ể ứ ^T ^^x²^^y²^^xy. L i gi i.ờ ả Ta có b t đ ng th c ấ ẳ ứ ( )² 0 ⁽ ⁾²

4

x y  xy x y . B i v y t gi thi t,ở ậ ừ ả ế

2 ( )2 2

( ) 3 3 0 ( ) 4.

4

x y xy x y x y

        

L i đ ý đ ng th c ạ ể ẳ ứ ³



^x²^^y²^^xy

 

^ ^x²^^y²^^xy



^²⁽^{x y}^ ⁾²^hay^{0 9}^{  }^T ²⁽^{x y}^ ⁾² ^⁸^,

v y ậ ¹^{ }^T ^9.

Khi ( ; ) (1;1)x y  (tho mãn gi thi t) thì ả ả ế T 1. Khi ( ; ) ( 3;x y   3) (tho mãn gi thi t) thì ả ả ế ^T ^⁹.

K t lu n: Giá tr l n nh t c a ế ậ ị ớ ấ ủ T là 9 ; giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ T là 1 .