Chuyên đề giải hình học không gian bàng phương pháp tọa độ

(1)

1

CHUYÊN ĐỀ

GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN

Để giải được các bài tốn hình khơng gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình.

PHƯƠNG PHÁP:

Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý đến vị trí của gốc O) Bước 2: Xác định toạ độ các điểm có liên quan

(có thể xác định toạ độ tất cả các điểm hoặc một số điểm cần thiết) Khi xác định tọa độ các điểm ta có thể dựa vào :

 Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ).

 Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song ,cùng phương , thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ

 Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng.

 Dưạ vào các quan hệ về góc của đường thẳng, mặt phẳng.

Bước 3: Sử dụng các kiến thức về toạ độ để giải quyết bài toán Các dạng toán thường gặp:

 Độ dài đọan thẳng

 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng

 Góc giữa hai đường thẳng

 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

 Góc giữa hai mặt phẳng

 Thể tích khối đa diện

 Diện tích thiết diện

 Chứng minh các quan hệ song song , vuông góc

 Bài toán cực trị, quỹ tích Bổ sung kiến thức :

1) Nếu một tam giác có diện tích S thì hình chiếu của nó có diện tích S^' bằng tích của S với cosin của góc giữa mặt phẳng của tam giác và mặt phẳng chiếu

S^' S.cos

2) Cho khối chóp S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A^', B^', C^' khác với S Ta luôn có:

SC SC SB SB SA SA V

V

ABC S

C B A S

' ' '

. ' ' . '

.

 . Ta thường gặp các dạng sau

1. Hình chĩp tam giác a. Dạng tam diện vuơng

Ví dụ 1. Cho hình chĩp O.ABC cĩ OA = a, OB = b, OC = c đơi một vuơng gĩc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC cĩ khoảng cách lần lượt đến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

(2)

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta cĩ:

O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c).

d[M, (OAB)] = 3 Þ zM = 3.

Tương tự Þ M(1; 2; 3).

pt(ABC): x y z a + b + c = 1

1 2 3

M (ABC) 1

a b c

Ỵ Þ + + = (1).

O.ABC

V 1abc

= 6 (2).

1 2 3 3 1 2 3

(1) 1 3 . .

a b c a b c

Þ = + + ³

1

abc 27

Þ 6 ³ .

(2) _min 1 2 3 1

V 27

a b c 3

Þ = Û = = = .

Ví dụ:

1) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c.

Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng : ^2S^ ^{abc a b c}



^{ }



(Dự bị 2 – Đại học khối D – 2003) Giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có tọa độ các điểm là :A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a)

   

^ ^

 

     

 

     

     



2 2 2 2 2 2

BCD

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

BC c;b;0 ,BD c;0;a , BC,BD ab;ac;bc

1 1

S BC,BD a b a c b c

2 2

đpcm a b a c b c abc(a b c)

a b a c b c abc(a b c)

Theo BĐT Cauchy ta được : a b +b c 2ab c

b c +c a



      

  

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2bc a Cộng vế : a b a c b c abc(a b c) c a a b 2ca b

b. Dạng khác

Ví dụ 2. Tứ diện S.ABC cĩ cạnh SA vuơng gĩc với đáy và DABC vuơng tại C. Độ dài của các cạnh là SA

= 4, AC = 3, BC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua M.

Tính cosin gĩc phẳng nhị diện [H, SB, C]

Hướng dẫn giải z

y

x A

B

C D

(3)

3 Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có:

A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0), S(0; 0; 4) và H(1; 0; 0).

mp(P) qua H vuông góc với SB tại I cắt đường thẳng SC tại K, dễ thấy

[H, SB, C] =

(

^{IH, IK}^uur ^uur

)

^(1).

SBuur = -( 1; 3; 4)-

, SCuur = (0; 3; 4)-

suy ra:

ptts SB:

x 1 t

y 3 3t

z 4t ìï = - ïïïï = - íïïï = ïïî

, SC:

x 0

y 3 3t

z 4t ìï =ïï ïï = - íïïï = ïïî

và (P): x + 3y – 4z – 1 = 0.

(

⁵ ¹⁵ ³

) (

⁵¹ ³²

)

I ; ; , K 0; ;

8 8 2 25 25

Þ

IH.IK cos[H, SB, C]

IH.IK

Þ =

uur uur = …

Chú ý: Nếu C và H đối xứng qua AB thì C thuộc (P), khi đó ta không cần phải tìm K.

Ví dụ 3 (trích đề thi Đại học khối A – 2002). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a.

Gọi M, N là trung điểm SB, SC. Tính theo a diện tích DAMN, biết (AMN) vuông góc với (SBC).

Hướng dẫn giải Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC), ta suy ra O

là trọng tâm DABC. Gọi I là trung điểm của BC, ta có:

3 a 3

AI BC

2 2

= =

a 3 a 3

OA , OI

3 6

Þ = =

Trong mp(ABC), ta vẽ tia Oy vuông góc với OA.

Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta được:

O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A ^{a 3}; 0; 0 3

æ ö÷

ç ÷

çè ø

I a 3; 0; 0 6

æ ö÷

Þ çççè- ÷÷ø, B ^{a 3}; ^a; 0

6 2

æ ö÷

ç- ÷

ç ÷

çè ø,

a 3 a

C ; ; 0

6 2

æ ö÷

ç- - ÷

ç ÷

çè ø, M ^{a 3}; ^a; ^h 12 4 2

æ ö÷

ç- ÷

ç ÷

çè ø

và N ^{a 3}; ^a; ^h

12 4 2

æ ö÷

ç- - ÷

ç ÷

çè ø.

2 ( AMN)

ah 5a 3

n AM, AN ; 0;

4 24

æ ö

é ù ç ÷

Þ = êë úû= ççè ÷÷ø

uuur uuur

r ,

2 (SBC)

a 3 n SB, SC ah; 0;

6

æ ö÷

é ù ç

= êë úû= ççè- ÷÷ø uur uur

r

2 2

(AMN) (SBC) 2 AMN

5a 1 a 10

(AMN) (SBC) n .n 0 h S AM, AN

12 ^D 2 é ù 16

^ Þ = Þ = Þ = êë úû =

uuur uuur

r r

. 2. Hình chóp tứ giác

a) Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và đáy là hình vuông (hoặc hình chữ nhật). Ta chọn hệ trục tọa độ như dạng tam diện vuông.

(4)

b) Hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh vuụng (hoặc hỡnh thoi) tõm O đường cao SO vuụng gúc với đỏy. Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS lần lượt là Ox, Oy, Oz. Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta cú

O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h).

c) Hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy hỡnh chữ nhật ABCD và AB = b. DSAD đều cạnh a và vuụng gúc với đỏy.

Gọi H là trung điểm AD, trong (ABCD) ta vẽ tia Hy vuụng gúc với AD. Chọn hệ trục tọa độ Hxyz ta cú:

H(0; 0; 0), ^A

(

^a; 0; 0 , B

) (

^a; b; 0

)

2 2 ^{, C}

(

^a; b; 0 , D

) (

^a; 0; 0 , S 0; 0;

)

^{a 3} .

2 2 2

ổ ửữ

- - ỗỗỗố ữữứ

3. Hỡnh lăng trụ đứng

Tựy theo hỡnh dạng của đỏy ta chọn hệ trục như cỏc dạng trờn.

Vớ dụ: Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D'. CMR AC' vuông góc mp’ (A'BD)

Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz

A'

D'

C'

C

B A

B' D

I O I'

Z

Y

X

(5)

5 sao cho O  A; B  Ox; D  Oy

và A'  Oz Giả sử hình lập phơng ABCD A'B'C'D' có cạnh là a đơn vị

 A(0;0;0), B (a;0;0), D(0;a;0), A' (0;0;a) C'(1;1;1) Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (A'BD):

x + y + z = a hay x + y + z –a = 0

 Pháp tuyến của mặt phẳng (A'BC): n (A'BC) = (1;1;1) mà AC' = (1;1;1) Vậy AC' vuông góc (A'BC)

2. Tứ diện ABCD: AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau; AB = 3; AC = AD= 4 Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD)

Lời giải:

+ Chọn hệ trục Oxyz sao cho A  O D Ox; C  Oy và B  Oz

 A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0)

 Phương trình đoạn chắn của (BCD) là:

4  4 3 1 x y z

 3x + 3y + 4z – 12 = 0 Khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) là:

Nhấn mạnh cho học sinh:

II. Ph-ơng pháp giải:

Để giải một bài toán hình học không gian bằng ph-ơng pháp sử dụng tọa độ Đề các trong không gian ta làm nh- sau:

* B-ớc 1: Thiết lập hệ tọa độ thích hợp, từ đó suy ra tọa độ các điểm cần thiết.

* B-ớc 2: Chuyển hẳn bài toán sang hình học giải tích trong không gian. Bằng cách:

+ Thiết lập biểu thức cho giá trị cần xác định.

+ Thiết lập biểu thức cho điều kiện để suy ra kết quả cần

z

O B

y C

x D

A

(6)

chứng minh.

+ Thiết lập biểu thức cho đối t-ợng cần tìm cực trị.

+ Thiết lập biểu thức cho đối t-ợng cần tìm quỹ tích v.v…

III. Luyện tập.

Bài 1: Cho hình chóp SABC, các cạnh đều có độ dài bằng 1, O là tâm của ABC. I là trung điểm của SO.

1. Mặt phẳng (BIC) cắt SA tại M. Tìm tỉ lệ thể tích của tứ diện SBCM và tứ diện SABC.

2. H là chân đ-ờng vuông góc hạ từ I xuống cạnh SB. CMR: IH đi qua trọng tâm G của SAC.

Lời giải:

Chọn hệ trục Oxyz sao cho O là gốc tọa độ AOx, S Oz, BC//Oy

Tọa độ các điểm: ( ³; 0; 0)

A 3 ; ( ³; ¹; 0)

6 2

 

B ; ( ^{3 1}; ; 0)

6 2



C ; (0; 0 ⁶)

S 3 ; (0; 0; ⁶) I 6

Ta cú: BC (0;1;0); ( ^{3 1}; ; ⁶)

6 2 6

  

IC ; , ( ⁶; 0; ³)

6 6

 

BC IC 

 Phương trình mặt phẳng (IBC) là:

6 3 6

( 0) 0( 0) ( ) 0

6 6 6

 x  y  z 

Hay: 2 ⁶ 0

  z 6  mà ta lại cú: ( ³;0; ⁶) // (1;0; 2)

3 3

   SA 

SA SA u

Phương trình đường thẳng SA: 3 3 ;

 

x t y0;z  2t.

+ Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:

3 (1)

3

0 (2)

2 (3)

2 6 0 (4)

6

  



 

  



   



x t

y

y t

x z

Thay (1) (2) (3) vào (4) có:

3 6 3 6

; 0; ( ;0; )

12 4 12 4

 x y z  M ; 3 6

( ; 0; ) 4

12 12

SM   SA SM

 M nằm trên đoạn SA và ¹

 4 SM

SA

( ) 1

( ) 4

 ^SBCM 

SABC

V

V .

2. Do G là trọng tâm của ASC

 SG đi qua trung điểm N của AC

 GI  (SNB)  GI và SB đồng phẳng (1) Ta lại có tọa độ G 3 1 6

( ; ; )

18 6 9

3 1 6

( ; ; )

18 6 18

GI   

3 1 6

( ; ; )

18 6 18

GI    GI SB.  0 GI SB (2) Từ (1) và (2) GI SBH

(7)

7

Bài 2: Cho hình lăng trụ ABCD A1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a. AA1 = 2a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi D là trung điểm của BB1; M di động trên cạnh AA1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của diện tích MC1D.

Lời giải:

+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A  O; B  Oy; A1  Oz. Khi đó.A(0;0;0), B(0;a;0); A1 (0;0;2a)

1

( 3; ; 2 ) 2 2

a a

C a và D(0;a;a)

Do M di động trên AA1, tọa độ M (0;0;t)với t  [0;2a]

Ta có :

1 1

1 ,

^{DC M}  2  

S DC DM

Ta cú: ¹

( 3; ; )

2 2

(0; ; )

 

  

a a

DC a

DM a t a

 , 

DG DM ( 3 ; 3( ); 3) 2

 a   t a t a a

2 2 2

, ( 3 ) 3( ) 3

2

 

  a    

DG DM t a t a a

1

2 2

4 12 15

2

1. . 4 12 15

 2 2

  

DC M

a t at a

S a t at a

z

x

y I

O B

A

C S

M

z

x

y I

O H

A

C S

G N

z

x C

C

₁

M

A

₁

B

₁

B

D

(8)

Gi¸ trÞ lín nhÊt hay nhá nhÊt cña

DC M1

S tïy thuéc vµo gi¸ trÞ hµm sè XÐt f(t) = 4t2 – 12at + 15a2

f(t) = 4t2 – 12at + 15a2 (t [0;2a]) f'(t) = 8t – 12a

'( ) 0 3

   2a

f t t

Lập BBT gi¸ trÞ lín nhÊt cña

1

2 15

 4

DC M

S a khi t =0 hay M A Chú ý

+ Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau, nhưng không nhất thiết phải bằng đáy. Chân đường cao là trọng tâm của đáy.

+ Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng đáy.

+ Hình hộp có đáy là hình bình hành nhưng không nhất thiết phải là hình chữ nhật.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP

1. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TAM GIÁC

Bài 1 (trích đề thi Đại học khối D – 2002). Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD).

Bài 2. Cho DABC vuông tại A có đường cao AD và AB = 2, AC = 4. Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA = 6. Gọi E, F là trung điểm của SB, SC và H là hình chiếu của A trên EF.

1. Chứng minh H là trung điểm của SD.

2. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACE).

3. Tính thể tích hình chóp A.BCFE.

Bài 3. Cho hình chóp O.ABC có các cạnh OA = OB = OC = 3cm và vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi H là hình chiếu của điểm O lên (ABC) và các điểm A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của H lên (OBC), (OCA), (OAB).

1. Tính thể tích tứ diện HA’B’C’.

2. Gọi S là điểm đối xứng của H qua O. Chứng tỏ S.ABC là tứ diện đều.

Bài 4. Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi a, , b g lần lượt là góc nhị diện cạnh AB, BC, CA. Gọi H là hình chiếu của đỉnh O trên (ABC).

1. Chứng minh H là trực tâm của DABC. 2. Chứng minh 1 ₂ 1 ₂ 1₂ 1 ₂

OH = OA + OB + OC . 3. Chứng minh cos²a + cos²b + cos²g = 1.

4. Chứng minh cosa + cosb + cosg £ 3.

Bài 5. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CA, AB.

1. Tính góc j giữa (OMN) và (OAB).

2. Tìm điều kiện a, b, c để hình chiếu của O trên (ABC) là trọng tâm DANP.

3. Chứng minh rằng góc phẳng nhị diện [N, OM, P] vuông khi và chỉ khi 1₂ 1₂ 1₂ a = b + c .

(9)

9

Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có DABC vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy. Biết AB = 2,

· ⁰

(ABC),(SBC) = 60 . 1. Tính độ dài SA.

2. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC).

3. Tính góc phẳng nhị diện [A, SB, C].

Bài 7. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với nhau từng đôi một.

1. Tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp.

2. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bài 8 (trích đề thi Đại học khối D – 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, giao tuyến là đường thẳng (d). Trên (d) lấy hai điểm A và B với AB = a. Trong (P) lấy điểm C, trong (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với (d) và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a.

Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC.

1. Tính diện tích DMAB theo a.

2. Tính khoảng cách giữa MB và AC theo a.

3. Tính góc phẳng nhị diện [A, SC, B].

Bài 10. Cho tứ diện S.ABC có DABC vuông cân tại B, AB = SA = 6. Cạnh SA vuông góc với đáy. Vẽ AH vuông góc với SB tại H, AK vuông góc với SC tại K.

1. Chứng minh HK vuông góc với CS.

2. Gọi I là giao điểm của HK và BC. Chứng minh B là trung điểm của CI.

3. Tính sin của góc giữa SB và (AHK).

4. Xác định tâm J và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp S.ABC.

Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có DABC vuông tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên SA = 5 và vuông góc với đáy. Gọi D là trung điểm cạnh AB.

1. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AC và SD.

2. Tính khoảng cách giữa BC và SD.

3. Tính cosin góc phẳng nhị diện [B, SD, C].

Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với đáy và SA = a 3. 1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC).

2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.

Bài 13. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a, đường cao SH = h. Mặt phẳng ( )a đi qua AB và vuông góc với SC.

1. Tìm điều kiện của h theo a để ( )a cắt cạnh SC tại K.

2. Tính diện tích ABKD .

3. Tính h theo a để ( )a chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Chứng tỏ rằng khi đó tâm mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau.

2. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TỨ GIÁC

Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Gọi E là trung điểm CD.

1. Tính diện tích D SBE.

2. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE).

3. (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần đó.

Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 3. 1. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD).

2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC.

3. Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D].

Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 3cm. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 3 2cm. Mp( )a đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K.

1. Chứng minh AH vuông góc với SB, AK vuông góc với SD.

(10)

2. Chứng minh BD song song với ( )a .

3. Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của DSAC. 4. Tính thể tích hình khối ABCDKMH.

Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = b. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N là trung điểm cạnh SA, SD.

1. Tính khoảng cách từ A đến (BCN).

2. Tính khoảng cách giữa SB và CN.

3. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC).

4. Tìm điều kiện của a và b để cos CMN^· ³

= 3 . Trong trường hợp đó tính thể tích hình chóp S.BCNM.

Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. DSAD đều và vuông góc với (ABCD). Gọi H là trung điểm của AD.

1. Tính d(D, (SBC)), d(HC, SD).

2. Mặt phẳng ( )a qua H và vuông góc với SC tại I. Chứng tỏ ( )a cắt các cạnh SB, SD.

3. Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D].

Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O. SO vuông góc với đáy và SO= 2a 3, AC = 4a, BD = 2a. Mặt phẳng ( )a qua A vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD tại B ', C', D' .

1. Chứng minh DB ' C ' D ' đều.

2. Tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD.

Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. Đường cao SA = 2a. Trên cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m (0£ m £ a).

1. Tìm vị trí điểm M để diện tích DSBM lớn nhất, nhỏ nhất.

2. Cho a

m = 3, gọi K là giao điểm của BM và AD. Tính góc phẳng nhị diện [A, SK, B].

3. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG

Bài 21. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I, K, M, N lần lượt là trung điểm của A’D’, BB’, CD, BC.

1. Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng.

2. Tính khoảng cách giữa IK và AD.

3. Tính diện tích tứ giác IKNM.

Bài 22 (trích đề thi Đại học khối A – 2003). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc phẳng nhị diện [B, A’C, D].

Bài 23. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tìm điểm M trên cạnh AA’ sao cho (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ nhất.

Bài 24. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.

1. Chứng minh A’C vuông góc với (AB’D’).

2. Tính góc giữa (DA’C) và (ABB’A’).

3. Trên cạnh AD’, DB lấy lần lượt các điểm M, N thỏa AM = DN = k (0 < k < a 2).

a. Chứng minh MN song song (A’D’BC).

b. Tìm k để MN nhỏ nhất. Chứng tỏ khi đó MN là đoạn vuông góc chung của AD’ và DB.

Bài 25. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 2, AD = 4, AA’ = 6. Các điểm M, N thỏa AM = mAD, BN = mBB' (0£ m £ 1).

uuur uuur uuur uuur

Gọi I, K là trung điểm của AB, C’D’.

1. Tính khoảng cách từ điểm A đến (A’BD).

2. Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng.

3. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp DA ' BD. 4. Tính m để diện tích tứ giác MINK lớn nhất, nhỏ nhất.

Bài 26. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh là 2cm. Gọi M là trung điểm AB, N là tâm hình vuông ADD’A’.

1. Tính bán kính R của mặt cầu (S) qua C, D’, M, N.

(11)

11

2. Tính bán kính r của đường trịn (C) là giao của (S) và mặt cầu (S’) qua A’, B, C’, D.

3. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (CMN) và hình lập phương.

Bài 27 (trích đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ cĩ đáy hình thoi cạnh a, BAD^· = 60 .⁰ Gọi M, N là trung điểm cạnh AA’, CC’.

1. Chứng minh B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng.

2. Tính AA’ theo a để B’MDN là hình vuơng.

Bài 28. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ cĩ đáy là tam giác vuơng tại A. Cho AB = a, AC = b, AA’ = c. Mặt phẳng ( )a qua B và vuơng gĩc với B’C.

1. Tìm điều kiện của a, b, c để ( )a cắt cạnh CC’ tại I (I khơng trùng với C và C’).

2. Cho ( )a cắt CC’ tại I.

a. Xác định và tính diện tích của thiết diện.

b. Tính gĩc phẳng nhị diện giữa thiết diện và đáy.

Bài tập :

MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA

Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA=a 3 và vuông góc với đáy 1) Tính khỏang cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

2) Tính khỏang cách từ tâm O hình vuông ABCD đến mặt phẳng (SBC).

3) Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC).

Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SO vuông góc với đáy.Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm SA và BC. Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) bằng 60⁰

1) Tính MN và SO.

2) Tính góc giữa MN và mặt phẳng (SBD) .

Bài 3: Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng a và AC=a, Từ trung điểm H của cạnh AB dựng SH(ABCD) với SH=a

1) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD).

2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

Bài 4: Cho góc tam diện Oxyz, trên Ox, Oy, Oz lấy các điểm A,B,C

1) Hãy tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo OA=a, OB=b, OC=c

2) Giả sử A cố định còn B, C thay đổi nhưng luôn thỏa mãn OA=OB+OC . Hãy xác định vị trí của B và C sao cho thể tích tứ diện OABC là lớn nhất.

Bài 5: Cho tứ diện OABC (vuông tại O), biết rằng OA,OB,OC lần lượt hợp với mặt phẳng (ABC) các góc ,, . Chứng minh rằng:

1) cos²cos² cos² 2 2) S_²_OAB S_²_OBC S_²_OCA S_²_ABC

Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, sa vuông góc với đáy. Gọi M,N là hai điểm theo thứ tự thuộc BC,DC sao cho

4 , 3

2 DN a

BM  a  . CMR hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau.

Bài 7: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho

2 6

SD a , CMR hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau.

Bài 8: Trong không gian cho các điểm A,B,C theo thứ tự thuộc các tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một sao cho OA=a , OB=a 2. OC=c (a,c>0). Gọi D là điểm đối diện với O của hình chữ nhật AOBD và M là trung điểm của đọan BC. (P) là mặt phẳng qua A,M và cắt mặt phẳng (OCD) theo một đường thẳng vuông góc với AM.

(12)

a) Gọi E là giao điểm của (P) với OC , tính độ dài đọan OE.

b) Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp C.AOBD bởi mặt phẳng (P).

c) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (P).

Bài 9: Cho tứ diện SABC có SC=CA=AB=a 2, SC(ABC), ABC vuông tại A, các điểm M thuộc SA và N thuộc BC sao cho AM=CN=t (0<t<2a)

1) Tính độ dài đoạn MN. Tìm giá trị của t để MN ngắn nhất.

2) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA.

Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi có AC=4, BD=2 và tâm O.SO=1 vuông góc với đáy. Tìm điểm M thuộc đoạn SO cách đều hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD).

Bài 11: Cho hình lập phương ABCD.A^'B^'C^'D^' cạnh bằng a. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AD,CD. Lấy PBB^'sao cho BP=3PB^'. Tính diện tích thiết diện do (MNP) cắt hình lập phương .

Bài 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A^'B^'C^'D^' có AB=a, AD=2a, AA^'=a 1) Tính theo a khoảng cách giữa AD^' và B^'C.

2) Gọi M là điểm chia đọan AD theo tỷ số 3 MD

AM . Hãy tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB^'C).

3) Tính thể tích tứ diện AB^'D^'C.

Bài 13: Cho hình lập phương ABCD.A^'B^'C^'D^' cạnh bằng a..Gọi M, N là trung điểm của BC và DD^' 1) CMR AC^' (A^'BD).

2) CMR MN//(A^'BD).

3) Tính khoảng cách giữa BD nà MN theo a

Bài 14: Cho lăng trụ ABCD.A^'B^'C^'D^' có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh bằng a, góc A=60⁰ . B^'O vuông góc với đáy ABCD, cho BB^'=a

1) Tính góc giữa cạnh bên và đáy.

2) Tính khoảng cách từ B, B^' đến mặt phẳng (ACD^').

Bài 15: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a tâm I . Trên hai tia Ax, By cùng chiều và cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lần lượt lấy hai điểm M,N . Đặt AM=x, CN=y

1) Tính thể tích hình chóp ABCMN.

2) CMR điều kiện cần và đủ để góc MIN=90⁰ là 2xy=a² .

Bài 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân ABC với cạnh huyền AB = 4 2 Cạnh bên SC (ABC) và SC = 2 .Gọi M là trung điểm của AC, N là trung điểm AB 1) Tính góc của hai đường thẳng SM và CN

2) Tính độ dài đọan vuông góc chung của SM và CN.

Bài 17: Cho hình lập phương ABCD.A^'B^'C^'D^' có cạnh bằng 1

1) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BB^' .Chứng minh rằng A C MN^'  . Tính độ dài đọan MN

2) Gọi P là tâm của mặt CDD^'C^' . Tính diện tích MNP.

Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) . Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a, biết rằng SA=a 6

2

Bài 19: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA;OB;OC đôi một vuông góc . Gọi   ; ; lần lượt là các góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC);(OCA) và (OAB).Chứng minh rằng :

(13)

13

cos cos cos  3

Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a . Gọi E là trung điểm của cạnh CD . Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE.

Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB=AC=a và góc

BAC = 120⁰, cạnh bên BB' = a. Gọi I là trung điểm CC'. Chứng minh rằng tam giác AB'I vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I).

www.daythem.com.vn