Xem thêm tại: estudy.edu.vn
____________________________________________________________________________________
GIẢI NHANH GTLN-GTNN MÔ ĐUN SỐ PHỨC VỚI ELIP
Thầy Lục Trí Tuyên – ĐT: 0972177717
Bồi dưỡng KT và LTĐH Cầu Giấy – Hồ Tùng Mậu HN
Khi thấy giả thiết là Elip không chính tắc: zz1 z z2 2a với (z1z2 2 )a và
1,z2 ; ci
z c . Tìm Min, Max của P z z0 :
Tính z1z2 2c và b2 a2c2
(2) Nếu thấy 0 1 2 0 2
z z z
max
Pa; minPb(3.1) Nếu thấy
1 2
0
0 1 0 2
2 z
z
z z a
z k z z
1 2
max 0
2
P z z z a
1 2
min 0
2
P z z z a
(3.2) Nếu thấy
1 2
0
0 1 0 2
2 z
z
z z a
z k z z
1 2
max 0
2
P z z z a
(3.3) Nếu thấy z0z1 z0z2 min 0 1 2 2
P z z z b
GIẢI THÍCH CỤ THỂ
1. Hình dạng và thông số của Elip
- Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F F1, 2 với độ dài F F1 2 2c. Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng thoả mãn
1 MF2 2
MF a
Với a c
0
là số dương không đổi.- Hình dạng:
Xem thêm tại: estudy.edu.vn
_____________________________________________________________________________________
- Mối quan hệ của a b c
, ,
: a2 b2c22. Bài toán liên quan
Bài toán chung: Cho M chuyển động trên Elip
( )
E và một điểm A cố định. Tìm GTLN, GTNN của AM .Bài toán số phức tương ứng: Cho số phức z thoả mãn zz1 z z2 2a với
1 2
2a z z . Tìm GTLN, GTNN của P z z0 .
Sự tương ứng ở đây gồm:
- M là điểm biểu diễn z
- F F1, 2 tương ứng là điểm biểu diễn z z1, 2. - A là điểm biểu diễn z0
3. Các dạng giải được
Bài toán 1. Phương trình
( )
E dạng chính tắc:2 2
2 2 1
x y
a b
Bài toán số phức tương ứng: Cho số phức z thoả mãn z c z c 2a hoặc
2
z ci z ci a (Elip đứng). Tìm GTLN, GTNN của P z z0
Giải:
- Tính b2 a2c2
Xem thêm tại: estudy.edu.vn
_____________________________________________________________________________________
- Lập phương trình chính tắc của Elip:
2 2
2 2 1
x y
a b với z c z c 2a. Hoặc
2 2
2 2 1
x y
b a
với z ci z ci 2a
- Rút y theo x dạng: b 2 2 a a
y x đối với
2 2
2 2 1
x y
a b (tương tự đối với
2 2
2 2 1
x y
b a ) - Thay vào P được 2 ( 0)2 b 2 2 0 2,
;
a x y a
P xx a x a với z0 x0y0i - Dùng chức năng TABLE của máy tính cầm tay Casio tìm ra GTLN, GTNN của hàm P2 từ đó có P.
Ví dụ minh hoạ:
Cho số phức z thoả mãn z 2 z 2 6. Tìm GTLN và GTNN của P z 1 3i
Giải:
- Có a3,c2 b2
9 4
5
- Phương trình chính tắc của Elip:
2 2
9 5 1
x y 5 2
3 9 x y
- Vậy
2
2 2 2
1,2
5 3
1 9
3 x
P x f x
- Bấm TABLE các hàm f1,2
x với x
3;3
được GTLN, GTNN của P2Bài toán 2. Elip không chính tắc nhưng A là trung điểm của F F1 2 tức A là tâm Elip.
Bài toán số phức tương ứng: Cho số phức z thoả mãn zz1 z z2 2a với 2a z1z2 . Tìm GTLN, GTNN của P z z0 . Với đặc điểm nhận dạng 0 1 2
2 z z z
Xem thêm tại: estudy.edu.vn
_____________________________________________________________________________________
Giải:
- Tính 2c z1z2 1 2 2 z z
c
- Tính b2 a2c2 b a2c2
- Vì A là tâm Elip và M di chuyển trên Elip nên:
+ AM lớn nhất bằng a hay
max
Pa + AM nhỏ nhất bằng b hay minPbVí dụ minh hoạ:
Cho số phức z thoả mãn z 1 3i z 2 i 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
2 1 2 P z i .
Giải:
Ta có P 2z 1 2i 1
2 2
P z i
. Ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN của 1
' 2
P z i
Ta thấy z1 1 3i, z2 2 i và 0 1
z 2 i. Do đó 0 1 2
2 z z z
- Tính 2c z1z2 5 5 c 2
;
2
a 8
a4
. Vậy 25 3916 4 2
b
Xem thêm tại: estudy.edu.vn
_____________________________________________________________________________________
Vậy
max '
P 4
; 39 min 'P 2 . Do đó
max
P8
và minP 39Bài toán 3. Elip không có dạng chính tắc, A không là trung điểm của F F1 2 nhưng A nằm trên các trục của Elip
Bài toán 3.1. A nằm trên trục lớn và phía ngoài Elip:
- Dấu hiệu nhận biết: 0 1
0 2
0 1 0 2 2
z z
z z
z k z
z z a
- Thì max 0 1 2
2 z z
P z a và min 0 1 2 2 z z P z a
Bài toán 3.2. A nằm trên trục lớn và ở phía trong Elip:
- Dấu hiệu nhận biết: 0 1
0 2
0 1 0 2 2
z z
z z
z k z
z z a
- Thì max 0 1 2
2 z z
P z a. Còn GTNN không xác định nhanh được.
Bài toán 3.3. A nằm trên trục nhỏ (bất kể trong hay ngoài) Elip:
- Dấu hiệu nhận biết: z0z1 z0z2
Xem thêm tại: estudy.edu.vn
_____________________________________________________________________________________
- Thì min 0 1 2
2 z z
P z b . Còn GTLN không xác định nhanh được.
Ví dụ minh hoạ:
Cho số phức z thoả mãn: z i z 3 3i 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
6 7 P z i
Giải:
z1 i F1(0;1); z2 3 3i F2(3; 3) ; z0 6 7i A
(6; 7)
. I là trung điểm của1 2
F F thì 1 2 3
( ; 1)
2 2
I z z
Có z0 z1 6 8i; z0 z2 3 4i z0z12
z0z2
. Vậy A thuộc F F1 2 Mặt khác z0z1 z0z2 10 5 6. Vậy A nằm ngoài Elip.Vậy
max
P AIa 0 1 2 2z z z a
21
2 ; minPAI a 0 1 2 2
z z z a
9
2
Bấm máy: Thấy ngay a
3
- Gán z0 vào A; z1 vào B và z2 vào C - Kiểm tra A, B, C thẳng hàng: A B
A C k
- Kiểm tra A nằm ngoài Elip: A B A C 6
- Bấm max 3
2
P A B C ; max 3
2 B C P A
ELIP SUY BIẾN
Bài toán: Cho số phức z thoả mãn: zz1 z z2 2a nhưng có z1z2 2a. Tìm GTLN, GTNN của T z z0
Giải:
Xem thêm tại: estudy.edu.vn
_____________________________________________________________________________________
- Bài toán tương đương với bài toán hình học: MF1MF2 F F1 2. Tìm GTLN, GTNN của T AM .
- Giả thiết MF1MF2 F F1 2tương đương với M di chuyển trong đoạn thẳng F F1 2. Do đó:
+ Viết phương trình đường thẳng F F1 2 với x[x ;1 x2] (ở đây x x1, 2 lần lượt là hoành độ của F F1, 2)
+ Rút y theo x từ phương trình F F1 2 vào T được T f x
( )
với x[x ;1 x2]. + Tìm GTLN, GTNN của f x( )
trên đoạn x[x ;1 x2].Ví dụ minh hoạ
Cho số phức z thoả mãn z 2 i z 4 7i 10. Tìm GTLN, GTNN của P z 1 4i
Giải
Với các quy ước từ ban đầu, có F1( 2;1) , F2(4; 7) và A
(1;4)
. M là điểm biểu diễn z. Có F F1 2 10 do đó z 2 i z 4 7i 10 M thuộc đoạn thẳng F F1 2.Có F F1 2 (6; 8) nên phương trình tham số của F F1 2: 2 3 1 4
x t
y t
. Với x [ 2; 4]
[0; 2]
t .
Có P2
x1
2 y4
2
3t3
2 4t3
2 25
t2 6
t18
với t [0; 2].Khảo sát hàm f t( )25t2 6t 18 trên [0; 2] được GTNN của f t
( )
bằng 18, GTLN bằng 130.Vậy minP3 2 và maxP 130
GTLN-GTNN CỦA MÔ ĐUN SỐ PHỨC KHÔNG ELIP
Thầy Lục Trí Tuyên – ĐT: 0972177717 Ngõ 20, Hồ Tùng Mậu, Cầu Giấy, Hà Nội
Website: https://estudy.edu.vn
1. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA
Cho số phức z a bi, mô đun của z ký hiệu là z được tính bởi | |z a2b2
Mỗi số phức z a bi được biểu diễn bởi điểm M a b( ; ) hay OM
Mỗi số phức z a bi có thể coi là một vecto u( ; )a b
Tổng (hiệu) hai số phức bằng tổng (hiệu) hai vecto
| | |z u|
2. TÍNH CHẤT:
z2 z.z ; z2 u2; z z1. 2 z z1 2 ;
1 1
2 2
z z
z z ; z z ; zn zn;
z1 z2 z1z2 . Dấu “=” xảy ra khi z1 k z. 2 (k 0)
z1z2 z1 z2 . Dấu “=” xảy ra khi z1k z. 2 (k 0)
Cho M N, lần lượt biểu diễn hai số phức z z1, 2, thì MN z1z2
M biểu diễn z và I biểu diễn z0 thì zz0 R M thuộc đường tròn tâm I bán kính R.
M biểu diễn z, F1 biểu diễn z1 và F2 biểu diễn z2 thì zz1 z z2 M thuộc đường trung trực của F F1 2.
3. MỘT SỐ DẠNG TOÁN ÁP DỤNG
Dạng 1: Tìm z hoặc z thoả mãn phương trình z f. (| |)z g z(| |) nghĩa là phương trình bậc nhất ẩn z chứa z .
Cách giải
+ Nhận biết: Phương trình đã cho chỉ có bậc nhất với z nhưng có thể đứng nhiều nơi, còn lại là các biểu thức chứa z .
+ Nhóm z sang một vế đưa về dạng: z f. (| |)z g z(| |) (*)
+ Lấy mô đun hai vế của (*) sử dụng tính chất z z1. 2 z z1 2 được phương trình ẩn là z . + Giải phương trình được z .
+ Thế z trở lại (*) giải ra z
VÍ DỤ MINH HOẠ
Ví dụ 1: Cho số phức z khác 0 thỏa mãn z 3z.z 1 z
26iz
Hướng dẫn: Ta thấy trong phương trình chỉ có bậc nhất với z, còn lại là z (chú ý là z z. z2).
Vậy đây là dạng toán đang tìm hiểu!.
Chuyển hết z sang một vế ta được: z
3z216 z i
2z (*).Lấy mô đun 2 vế của (*) ta được: z (3 z21) 36 z2 2z 39 z2 1 2 (do z
0
) 1z 13
.
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn 10
(2 i z) 1 2i
z . Tìm z
Hướng dẫn: Điều kiện z
0
, quy đồng ta được (2i z z) 10 z 2iz
2 z 1 z 2 i z
10
2 z 1
2 z 2 .
2 z 10 5z45 z2 10 z 1Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z 4 (1 i z) (4 3 )z i . Tìm z 2
z
z z
1 3 i
z 4
z 4
iLấy mô đun 2 vế, suy ra z 10
z 4
2 z 4
2 10z2 2 z232 z 2Ví dụ 4: Tìm z biết 1
(1 i z) i 2
z Đáp số:
Hướng dẫn: Dồn về một vế ta được
Đáp số: z 1
Hướng dẫn: Quy đồng và dồn z về một vế ta được (1i z z)
1 2 z
z i . Lấy mô đun 2 vế ta được 2 z2
1 2 z
2 z2 2z4 5 z24 z 1 (chú ý z 0 )Nhẩm thấy phương trình có nghiệm z 1, phương trình bậc 3 còn lại vô nghiệm với z 0.
Dạng 2: Cho |z1|m, |z2|n và |az1bz2 | p tính q|cz1dz2|. Cách giải
Coi z1u và z2 v thì u2 | |u 2m2, v2 | |v 2n2 và (aubv)2 p2 ; (cudv)2 p2. Khai triển:
2 2 2 2 2
2 .
a b n
p m ab uv (1)
2 2 2 2 2
2 .
c d n
q m cd uv (1) uv
cd ab
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
. .
cd p ab q cd a m b n ab c m d n
2 2 2 2
. . ( ) ( )
cd p ab q acm ad bc bdn bc ad
cd p. 2ab q. 2 (adbc acm)( 2bdn2) Đặc biệt: Khi a b 1 và c d 1, ta có công thức hình bình hành
12 22
1 22 1 222 z z z z z z
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: cho các số phức thỏa mãn z1 1 ; z2 3 và z13z2 2. Tính P 2z13z2 241
P
1, 2
z z là các vector u v
,
ta có:2
1 3 2
4 z z z129 z2 26u.v (1) Bây giờ khử là xong:
Nhân (1) với và nhân (2) với rồi trừ đi, được:
Đáp số:
Hướng dẫn: coi các số phức
2 2 2 2
1 2 1 2
2 3 4 9 12 .
P z z z z u v (2)
Nhân (1) với 2 rồi cộng với (2) ta được: 8P2 6 z1227 z2 2 P2
241
P 241 Ví dụ 2: Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1z2 5 và z1z2 3. Tìm GTLN của1 2
P z z
Đáp số : maxP 34
Hướng dẫn: coi các số phức z z1, 2 là các vector u v
,
ta có:2 2
1 2
25 z z 2 .uv (1) và 9 z12 z222u.v (2). Cộng (1) với (2) được 342
z12 z22
. Mặt khác, theo bất đẳng thức BNC, ta có P2
z1 z2
2 2
z12 z22
P2 34
34
P .
Ví dụ 3: Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z12z2 5 và 3z1z2 3. Tìm GTLN của
1 2
P z z
Đáp số: 155
maxP 14
Hướng dẫn: coi các số phức z z1, 2 là các vector u v
,
ta có:2 2
1 2
25 z 4 z 4u.v (1) và 99 z12 z226u v. (2). Nhân (1) với 3 và nhân (2) với 2 rồi cộng lại ta có: 9321 2 2 .
Bây giờ áp dụng bất đẳng thức BNC cho P2 :
22
1 2
P z z 1
21 1
1
14 2
221 z 14 z
21 141 1
21z1214 z22
15514155 P 14
.
Dạng 3. Cho số phức z thỏa mãn zz0 R. Tìm GTLN của Pa zz1 b zz2 biết rằng
0 z1 0 z2
z k z , k 0 và a b
,
.1 14 2
z z
Cách giải
Ý nghĩa hình học: Cho điểm M chuyển động trên đường tròn tâm I bán kính R. Cho A, B là 2 điểm cố định thỏa mãn I nằm trong đoạn thẳng AB. Tìm giá trị lớn nhất của PaMA bMB .
Trừ khi I là trung điểm của AB, nếu không sử dụng hình học để giải bài này là nhiệm vụ không hề dễ dàng. Ta sẽ dùng các tính chất về mô đun của số phức để giải quyết bài toán.
Ta có:
2 2
1 0 0 1
zz z z z z
2 2
0 0 z1 2 .( )
z z u
z kv
(1)
2 2
0
2 0 2
zz z z z z z z02 z0z222u v. (2)
với u là vector biểu diễn zz0 và v là vector biểu diễn z0z2 với lưu ý z0z1 k z
0z2
Nhân (2) với k rồi cộng với
(1)
ta được:2 2
1 2
zz k zz (1k)
R2k z0z22
(không đổi) Ap dụng bất đẳng thức BNC cho P2, ta có:
22
1 2
P a zz b zz
2
1 2
a z z b k z z k
a2bk2
zz12k zz22
P2 a2bk2(1k)
R2k z0z22
.Vậy, với công thức cồng kềnh như vậy rất khó nhớ, cho nên các em nên nhớ cách làm của nó.
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2. Tìm GTLN của T z i z 2 i Đáp số:
max
T 4
Hướng dẫn: Tâm I đường tròn trong giải thiết là z0 1, bán kính r 2. Điểm A và B ứng với hai số phức z1 i và z2 2 i. Dễ thấy rằng z0z1
z0z2
. Vậy thậm chí I là trung điểm của AB. Ta có:2 2
1 1
zi z i z 12 1 i2 2u v. (1)
2 2
2 1 1
z i z i z 12 1 i2 2u v. (2). Với u v
,
biểu diễn z1 và1
i. Cộng (1) với (2) ta được:2 2 2
2 2 1 4
z i z i z
8
(không đổi) Áp dụng BNC:
22 2
T z i z i 2
zi2 z 2 i2
16
T4
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 2. Tìm GTLN của T z z 3 6i Đáp số: maxT 3 7
Hướng dẫn: Ta có
2 2
1 2 1 2
z z i i z 1 2i2 1 2i22u.v (1)
2 2
3 6 1 2 2 4
z i z i i z 1 2i24 1 2 i24u.v (2). Với u v
,
biểu diễn z 1 2
i1 2i
2 2
2 z z 3 6i 3 z 1 2i26 1 2 i2
12 30
42
Áp dụng bất đẳng thức BNC:
22 3 6
T z z i
1 2
2 3 6
2 z z i
121 2
z2 z 3 6 i2
63
T 3 7và .
Nhân (1) với 2 rồi cộng với (2) được:
Dạng 4. Cho số phức z thõa mãn z z0 k
z , (k 0) hay dạng tương đương z2z0 k z , ( 0
k ). Tìm GTLN, GTNN của T z .
Cách giải
Áp dụng bất đẳng thức z1 z2 z1z2 , ta có z2 z0 z2z0 . Mặt khác, z2z0 k z
2
z z0 k z
k z z2 z0 k z
2
0 2
0
0 0 z k z z
k z
z z
2 2
0 0
4 4
2 2
k k z k
z k z
. Đánh giá 1 lần đối với hàm 2 biến đảm bảo dấu “=”
xảy ra. Tôi không giải chi tiết ở đây.
Vậy
2
min 4 0
2
k k z
T
và
2
max 4 0
2
k z
T k
VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn 4
i 2
z z . Gọi M m, lần lượt là GTLN và GTNN của z . Tính T Mm
Đáp số: T 2 5 Hướng dẫn: 4
i 2
z z z24i 2z . Áp dụng bất đẳng thức z1 z2 z1z2 , ta có
2 2
4 z 4
z i 2 z z2 4 2 z 1 5 z 1 5. Vậy M 1 5 và m 1 5 . Do đó T 2 5
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn (1i z) 21 2 i 2 z . Tìm GTLN, GTNN của T z . Hướng dẫn: Ta có thể đưa về dạng quen thuộc bằng cách chia cả hai vế cho 1i , ta được
2 1 2
1
i z
z i
.
Áp dụng bất đẳng thức z1 z2 z1z2 , ta có 2 5 2 1 2 2 1
z i
z i z
2 10
z 2 z
z 1 1 2 10 z 1 1 2 10 . Vậy maxT 1 1 2 10 và minT 1 1 2 10
Dạng 5. Cho số phức z thỏa mãn z z1. z2 k 0. Tìm GTLN, GTNN của T z z0 Cách giải
Ý nghĩa hình học: Gọi M là điểm biểu diễn z, có z z1. z2 k 2
1 1
z k
z z z
IM R với
I biểu diễn 2
1
z
z và 1 R k
z . Vậy M chuyển động trên đường tròn tâm I bán kính R. Gọi A là điểm biểu diễn z0 thì T AM . Bài toán trở thành: “cho M di chuyển trên đường tròn tâm I bán kính R và A là điểm cố định. Tìm GTLN, GTNN của AM”
Như vậy, nhìn vào hình vẽ ta thấy ngay:
minT AI R 0 2
1 1
z k
z z z
1 0 2
1
.
z z z k
z
2 0
1 1
z k
z z z
1 0 2
1
.
z z z k
z
z0 vào phương trình đường tròn Lưu ý: Không phải phương trình đường tròn nào cũng có dạng z z1. z2 k 0, mà đôi khi nó ở dạng
1 2 1 3
z zz z zz với z1 z2 . Do đó, để kiểm tra điều kiện giả thiết là phương trình đường tròn hay đường
thẳng trong trường hợp lạ, cách tốt nhất là gọi z x yi rồi thay vào giả thiết để biết
( ; )
x y thỏa mãn phương trình nào.maxT
AIR(tử số như là thay vậy)
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 4. Tìm GTLN. GTNN của T z 1 i Đáp số: minP 4 13 và maxP 4 13
Hướng dẫn: Viết T dạng T z z0 thì z0 1 i. Thay vào phương trình đầu ta được
0 1 2 2 3
z i i .
Vậy minP 4 13 và maxP 4 13
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn 2iz 1 3i 1. Tính GTLN, GTNN của T z 2 3i Đáp số: 5 2 1
minP 2 và 5
m x 1
a 22
P
.
Hướng dẫn: Viết T dạng T z z0 thì z0 2 3i. Thay z0 vào 2iz 1 3i ta được 2iz0 1 3i 7 i 5 2.
Vậy 5 2 1
minP 2 và 5
m x 1
a 22
P
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn 2z 1 z 2i . Tìm GTLN, GTNN của T z 1 2i Đáp số:
min
T 65 113 3
và
maxT
65 113 3
Hướng dẫn: Gọi z x yi (x y, ), và M x y
( ; )
biểu diễn z thì 2z 1 z 2i
2x 1
2 2y 2 x2
y 2
2 3x23y24x4y 3 0 2 2 2 2
1 0
3 3
x y x y
. Vậy M nằm trên đường tròn tâm 1 1
3 3; I
bán kính
11 R 3 . Có T z 1 2i AM với A
( 1; 2)
.Vậy
minT
AIR 65 113 3
và
maxT
AIR 65 113 3
Dạng 6. Cho số phức z thỏa mãn zz1 z z2 . Tìm GTNN của T z z0 . Cách giải
Ý nghĩa hình học: Điều kiện zz1 z z2 thực chất là phương trình đường thẳng.
Nếu ta gọi M là điểm biểu diễn z, A là điểm biểu diễn z1 và B biểu diễn z2 thì giả thiết tương đương với
MAMA hay M nằm trên trung trực của AB. Gọi I là điểm biểu diễn z0 thì T IM .
Vậy IM nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của I lên d . Giá trị nhỏ nhất bằng minT d I d
, .Lưu ý: Không phải phương trình đường thẳng nào cũng có dạng zz1 z z2 , cho nên khi gặp giả thiết lạ, cách tốt nhất để nhận biết giả thiết là đường thẳng hay đường tròn là gọi
z x yi rồi thay vào phương trình.
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z i 1 z 2i . Tìm GTNN của z .
Đáp số: 1
min z 2 .
Hướng dẫn: Gọi z x yi thì M x y
( ; )
là điểm biểu diễn z. Từ z i 1 z 2i2 2
(x 1) (y 1)
x2(y2)2 x y 1 0 (d). Vậy M di chuyển trên (d).
Có z OM , do đó z nhỏ nhất bằng 1 ( ; )
d O d 2 . z 3
z 1 3 i
1 T z i
Đáp số: minT 3 2
z i
Ví dụ 2: Cho số phức thỏa mãn là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Hướng dẫn: Gọi z x yi, ta có 3
z 1 3 i
(x 3) (y1)i
(x 1) ( y 3)i
. Tích này có phần ảo là
x3
y 3
y1
x1
. Phần ảo bằng 03x 3y 9 x y 1 0
x y 4 0 (d). Vậy nếu gọi M là điểm biểu diễn z thì M chạy trên đường thẳng (d).
Gọi A
(1; 1)
là điểm biểu diễn 1
i thì T AM . Giá trị T nhỏ nhất bằng khoảng cách từ A đến (d). Vậy 1 1 4min 3 2
T 2
Dạng 7. Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1z1* R và z2z2* z2z*3 , với z z z1*, *2, 3* cho trước. Tìm GTNN của T z1z2
Cách giải
Ý nghĩa hình học: Gọi M, N là các điểm biểu diễn z z1, 2. Giả thiết z1z1* Rtương đương với M thuộc đường tròn tâm I bán kính R (gọi là đường tròn (C)). Giả thiết z2z*2 z2z3* tương đương với N thuộc đường thẳng (d).
Bài toán trở thành tìm M thuộc (C) và N thuộc (d) sao cho T MN ngắn nhất.
Từ hình vẽ ta thấy ngay giá trị nhỏ nhất của MN bằng d I d
( ,( ))
RVậy minT d I d
,( )
R.VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1 5 5 và z2 1 3i z2 3 6i . Tìm giá trị nhỏ nhất của T z1z2 .
Đáp số: 5
minMN 2.
Hướng dẫn: : Gọi M, N là các điểm biểu diễn z z1, 2. Giả thiết z1 5 5 tương đương M thuộc đường tròn tâm I
( 5;0)
bán kính R5
. Giả thiết z2 1 3i z2 3 6i N thuộc đường thẳng (d): 8x6y350. Vậymin
MN d I d( ,( ))
R 15 5 52 2
.
Ví dụ 2: Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1 4 3i 2 và z2 2 3i z2 1 2i . Tìm giá trị nhỏ nhất của T z1z2 .
Đáp số: 23 34
min 2
MN 34
Hướng dẫn: Gọi M, N là các điểm biểu diễn z z1, 2. Giả thiết z1 4 3i 2 tương đương M thuộc đường tròn tâm I
( 4;3)
bán kính R2. Giả thiết z2 2 3i z2 1 2i N thuộc đường thẳng (d): 3x5y 4 0. Vậymin
MN d I d( ,( ))
R 23 2 34 23 34 34 2
.
Lời kết:
( )
T f x( )
f x f x
( )
Các bài toán trên có thể giải bằng phương pháp đại số bằng cách rút một ẩn theo ẩn còn lại từ giả thiết để thay vào biểu thức cần đánh giá thành hàm số dạng . Sau đó tìm GTLN, GTNN của trên miền xác định của .
Các đánh giá đảm bảo chặt chẽ cần chứng tỏ có đẳng thức (dấu “=”) xảy ra. Để tránh phức tạp vấn đề tôi không trình bày ở đây. Tuy nhiên các bài toán tổng quát đã nêu đều đảm bảo điều đó.