TRẮC NGHIỆM CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN
GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG
Câu 1 : Người ta muốn xây một nhà kho hình chữ nhật có diện tích mặt sàn là 648 (m2) và chiều cao cố định bằng các bức tường xung quanh và bên trong để ngăn nhà kho thành 3 phòng hình chữ nhật có kích thước như nhau. Giá mỗi mét tường là 600.000 (VNĐ). Vậy cần phải xây các phòng theo kích thước nào để tiết kiệm chi phí nhất ?
A. Theo kích thước 12 18 B. Theo kích thước 9 24
C. Theo kích thước 8 27 D. Theo kích thước 3 72
Câu 2 : Thầy A có một tờ giấy hình tròn với bán kính bằng 12. Sau đó thầy cắt ra một hình quạt với góc ở tâm là 120o và phần còn lại cũng là một hình quạt. Lúc này thầy A tạo ra hai hình nón với hai hình quạt này.
Tỉ số thể tích của khối nón nhỏ so với khối nón lớn là bao nhiêu ?
A. 81 B.
41 C.
10
10 D.
5 10
Câu 3 : Cho tam giác OAB vuông tại O và OA = OB = 4. Lấy một điểm M thuộc cạnh AB và gọi H là hình chiếu của M trên OA. Thể tích của khối tròn xoay được tạo nên khi quay OMH quanh OA lớn nhất là bao nhiêu ?
A.
256 81 B.
256
81 C.
81
128 D.
3 8
Câu 4 : Một hình hộp chữ nhật kích thước 44h chứa một khối cầu lớn có bán kính bằng 2 và 8 khối cầu nhỏ bán kính bằng 1. Biết rằng các khối cầu đều tiếp xúc nhau và tiếp xúc với các mặt của hình hộp (như hình vẽ). Hãy cho biết thể tích của khối hộp.
A. 3232 5 B. 4832 5
C. 3264 2 D. 3232 7
Câu 5 : Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A có khoảng cách đến bờ biển là AB = 5 km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng 7 km. Người canh hải đăng có thể chèo đò từ vị trí A đến vị trí điểm M trên bờ biển với vận tốc 4 km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 6 km/h. Hỏi vị trí điểm M cách vị trí điểm B một khoảng bao nhiêu để người đó đi đến kho là nhanh nhất ?
A. 0 km B. 7 km
C. 2 5 km D.
12 5 5
14 km
Câu 6 : Một cái phễu đựng nước có dạng hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Đổ nước vào phễu sao cho chiều cao của mực nước bằng 23 98 cm. Sau đó ta đậy nắp phễu và lật úp lại (lấy ABCD làm mặt đáy phễu) thì lúc này chiều cao của mực nước là 4 cm. Hỏi chiều cao của cái phễu là bao nhiêu ?
A. 12 cm B. 10 cm
C. 14 cm D. 16 cm
Câu 7 : Được sự hỗ trợ từ Ngân hàng Chính sách xã hội địa phương, nhằm giúp đỡ các sinh viên có hoàn cảnh khó khăn hoàn thành việc đóng học phí học tập, một bạn sinh viên A đã vay của ngân hàng 20 triệu đồng với lãi suất 12 %/năm, và ngân hàng chỉ bắt đầu tính lãi sau khi bạn A kết thúc khóa học. Bạn A đã hoàn thành khóa học và đi làm với mức lương là 5,5 triệu đồng/tháng. Bạn A dự tính sẽ trả hết nợ gốc lẫn lãi suất cho ngân hàng trong 36 tháng. Hỏi số tiền m mỗi tháng mà bạn A phải trả cho ngân hàng là bao nhiêu ?
A. m = 1,
121,123201
012,123
triệu B. m = 1,
121,122201
012,122
triệu
C. m = 1,
121,123361
012,123
triệu D. m =
1,12 1
1212 , 0 36 12 , 1
2 2
triệu
Câu 8 : Hình dưới mô tả một cái ao chứa nước nuôi cá tra được tạo thành bởi chóp cụt ABCD.EFGH và hình chóp I.EFGH, các đáy của hình chóp cụt là các hình chữ nhật và hình chiếu của I trên các đáy chính là tâm của các đáy, biết độ dài các đoạn thẳng như trong hình vẽ. Cứ 10 ngày thì thay
21 nước cũ. Hỏi lượng nước một lần thay là bao nhiêu ?
A. 1827 m3 B. 1890 m3 C. 1773 m3 D. 1882 m3
Câu 9 : Một màn hình chữ nhật cao 1,4 m được đặt ở độ cao 1,8 m so với tầm mắt (tính từ đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho “góc nhìn” lớn nhất. Hãy xác định vị trí đứng đó. (Góc BOC được gọi là “góc nhìn”).
A. AO = 2,4 m B. AO = 2 m
C. AO = 2,6 m D. AO = 3m
Câu 10 : Một xe ô tô đi từ A đến B, cùng lúc có người đi xe đạp từ B đến A. Ba phút sau khi hai xe gặp nhau, ô tô quay ngay lại đuổi theo xe đạp, khi đuổi kịp lại quay ngay để chạy về B. Nếu sau khi gặp lần đầu một phút ô tô quay lại còn xe đạp sau khi gặp tăng vận tốc
15 lần thì ô tô cũng chỉ mất từng ấy thời gian. 7 Tìm tỷ số vận tốc của xe ô tô và xe đạp.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Câu 11 : Trong trận đá bóng Việt Nam gặp Thái Lan tại sân vận động quốc gia Mỹ Đình, đơn vị Thai Ticket phân phối hơn 1000 vé cho cổ động viên xứ Chùa Vàng. Nếu giá bán 100.000 đơn vị tiền tệ/ vé thì tất cả số vé đều được bán hết và giá vé nếu cứ tăng thêm 2.000 đơn vị tiền tệ thì sẽ có 10 vé không được mua nữa.
Hỏi đơn vị Thai Ticket muốn có lợi nhuận cao nhất thì phải bán vé với giá bao nhiêu?
A. 130.000 B. 140.000 C. 150.000 D. 160.000
Câu 12 : Trên một chiếc xe khách tuyến đường cố định 1 ngày có khoảng 100 khách lên xe với giá vé là 70.000đ/vé. Chủ xe nhận thấy rằng cứ tăng giá vé thêm 5.000đ thì số hành khách lại giảm 6 người/ngày.
Hỏi chủ xe nên tăng giá vé thêm bao nhiêu để có được lợi nhuận là cao nhất?
A. 7.053.000 B. 7.053.333 C. 7.050.000 D. 7.100.000
Câu 13 : Một cửa hàng bánh sinh nhật vừa khai trương định bán bánh với giá 100.000đ/cái thì sẽ bán được 50 cái/ngày. Theo thống kê chủ quán phải trả 1 triệu rưỡi tiền nhiên liệu và 1 triệu tiền nhân công mỗi ngày. Qua khỏa sát chủ quán thấy rằng cứ tăng thêm 10.000 đồng thì lại mất 4 vị khách mỗi ngày. Hỏi chủ quán nên bán bánh với giá bao nhiêu để thu thập là cao nhất? Khi đó ông lời được bao nhiêu tiền mỗi ngày?
A. 2.562.500 B. 2.562.000 C. 2.560.500 D. 2.560.000
Câu 14 : Một công ty khai thác thủy lợi cho biết đã kết thúc đợt xả nước đẩy mặn xuống sông Hương. Gíup người dân Huế đảm bảo nước sinh hoạt, phục vụ nông nghiệp. Đợt xả nước có công suất 800x2 (m2/s).
Sau đợt xả đó trữ lượng nước còn lại khoảng 500 triệu m3. Gỉa sử việc xả nước chống mặn diễn ra liên tục x (ngày). Nếu tiếp tục xả 20% lượng nước còn lại với khả năng xả lớn nhất (ứng với x tương ứng) đó thì công việc này sẽ mất bao nhiêu thời gian (ngày). Chọn đáp án gần đúng nhất
A. 35 ngày B. 43 ngày C.58 ngày D. 67 ngày
Câu 15 : Một người nông dân nuôi cá trê trong một cái hồ cho rằng. Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có x con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng được tính theo công thức: P(x) = 7500 – 75x (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?
A. 30 con cá B. 50 con cá C. 40 con cá D. 60 con cá
Câu 16 : Một bác sĩ ở bệnh viện đa khoa đã tính độ giảm huyết áp của bệnh nhân A theo công thức:
F(x) = 0,02x2(30 – x) trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng miligam).
Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân A để huyết áp giảm nhiều nhất
A. 20 mg B. 60 mg C. 80 mg D. 40 mg
Câu 17 : Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ hộp (sắt tây) là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất, lúc đó chiều cao của lon sữa gần giá trị nào nhất sau đây? Biết thể tích thực ghi trên lon bằng 314 cm3.
A. 7,37 cm B. 3,68 cm C. 7,3 cm D. 5,56 cm
Câu 18 : Một công ty mỹ phẩm vừa cho ra mắt sản phẩm mới là lọ kem dưỡng da chống lão hóa. Vỏ ngoài sản phẩm có dạng hình cầu bán kính R, bên trong là bình dựng kem có dạng hình trụ bán kính r nội tiếp hình cầu (như hình vẽ). Theo dự kiến nhà sản xuất dự định để khối cầu có bán kính R3 2(cm). Tìm bán kính r để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất ( nhằm thu hút khách hàng)
A. 2 6
3 B. 2 2 C. 2 3 D.
2 2 3
Câu 19 : Người ta muốn sơn một cái hộp không nắp, đáy hộp là hình vuông và có thể tích là 4 (đơn vị thể tích) ? Tìm kích thước của hộp để dùng lượng sơn tiết kiệm nhất. Giả sử độ dày của lớp sơn tại mọi nơi trên hộp là như nhau.
A. Cạnh ở đáy là 2 (đơn vị chiều dài), chiều cao của hộp là 1 (đơn vị chiều dài).
B. Cạnh ở đáy là 2 (đơn vị chiều dài), chiều cao của hộp là 2 (đơn vị chiều dài).
C. Cạnh ở đáy là 2 2 (đơn vị chiều dài), chiều cao của hộp là 0,5 (đơn vị chiều dài).
D. Cạnh ở đáy là 1 (đơn vị chiều dài), chiều cao của hộp là 2 (đơn vị chiều dài).
Câu 20 : Anh Bách vay ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 1,1%/tháng. Anh Bách muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách : sau đúng một tháng kể từ ngày vay, anh bắt đầu hoàn nợ, và những lần tiếp theo cách nhau đúng một tháng. Số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết nợ sau đúng 18 tháng kể từ ngày vay. Hỏi theo cách đó, tổng số tiền lãi mà anh Bách phải trả là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng nghìn)? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong suốt thời gian anh Bách vay.
A. 10773700 (đồng) B. 10773000 (đồng) C. 10774000 (đồng) D. 10773800 (đồng) Câu 21 : Một vật chuyển động với vận tốc
3 t
4 2 t
, 1 t
v 2
(m/s). Tìm quãng đường S vật đó đi được trong 20 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
A. 190(m) B. 191(m) C. 190,5(m) D. 190,4(m)
Câu 22 : Anh A mua nhà trị giá 500 triệu đồng theo phương thức trả góp. Nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh A trả 10,5 triệu đồng và chịu lãi số tiền chưa trả là 0,5%/tháng thì sau bao nhiêu tháng anh trả hết số tiền trên ?
A. 53 tháng B. 54 tháng C. 55 tháng D. 56 tháng
Câu 23 : Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng P(n) = 480 – 20n (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sai một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất ?
A. 10 B. 12 C. 16 D. 24
Câu 24 : Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái tivi mỗi năm. Chi phí gửi trong kho là 10$ một cái mỗi năm. Để đặt hàng chi phí cố định cho mỗi lần đặt là 20$ cộng thêm 9$ mỗi cái. Cửa hàng nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất ?
A. Đặt hàng 25 lần, mỗi lần 100 cái tivi. B. Đặt hàng 20 lần, mỗi lần 100 cái tivi.
C. Đặt hàng 25 lần, mỗi lần 90 cái tivi. D. Đặt hàng 20 lần, mỗi lần 90 cái tivi.
Câu 25 : Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kỳ hạn 3 tháng, lãi suất 2% một quý theo hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ hạn và lãi suất như trước đó.
Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi thêm tiền gần nhất với kết quả nào sau đây?
A. 210 triệu B. 220 triệu C. 212 triệu D. 216 triệu
Câu 26 : Năm 1994, tỉ lệ khí CO2 trong không khí là 6 10
358. Biết rằng tỉ lệ thể tích khí CO2 trong không khí tăng 0,4% hằng năm. Hỏi năm 2016, tỉ lệ thể tích khí CO2 trong không khí là bao nhiêu ? Giả sử tỉ lệ tăng hằng năm không đổi. Kết quả thu được gần với số nào sau đây nhất ?
A. 6 10
391 B. 6
10
390 C. 6
10
7907 D. 6
10 7908
Câu 27 : Cần phải đặt một ngọn đèn điện ở phía trên và chính giữa một cái bàn hình tròn có bán kính a. Hỏi phải treo ở độ cao bao nhiêu để mép bàn được nhiều ánh sáng nhất. Biết rằng cường độ sáng C được biểu thị bởi công thức 2
r ksin
C ( là góc nghiêng giữa tia sáng và mép bàn, k là hằng số tỉ lệ chỉ phụ thuộc vào nguồn sáng).
A. 2
a
h3 B.
2 2 ha
C.
2
ha D.
2 3 ha
Câu 28 : Bạn An gửi tiết kiệm số tiền 58000000 đồng trong 8 tháng tại một ngân hàng thì nhận được 61329000 đồng. Khi đó, lãi suất hàng tháng là :
A. 0,6% B. 6% C. 0,7% D. 7%
Câu 29 : Chiều dài bé nhất của cái thang AB để nó có thể tựa vào tường AC và mặt đất BC, ngang qua cột đỡ DH cao 4m song song và cách tường CH = 0,5m là :
A. Xấp xỉ 5,4902 B. Xấp xỉ 5,602
C. Xấp xỉ 5,5902 D. Xấp xỉ 6,5902
Câu 30 : Một con cá hồi bơi ngược dòng (từ nơi sinh sống) để vượt khoảng 300km (tới nơi sinh sản). Vận tốc dòng nước là 6km/h. Giả sử tốc độ bơi của cá khi nước đứng yên là vkm/h thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ cho bởi công thức E(v) = cv3t trong đó c là hằng số cho trước. E tính bằng Jun. Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng của cá tiêu hao ít nhất bằng :
A. 9km/h B. 8km/h C. 10km/h D. 12km/h
Câu 31 : Người ta cần làm một cái bồn chứa dạng hình trụ có thể tích 1000 lít bằng inox để chứa nước, tính bán kính R của hình trụ đó sao cho diện tích toàn phần của bồn chứa đạt giá trị nhỏ nhất:
A. 3
2 r 3
B. r 3 1
C. 3
2 r 1
D. r 3 2
Câu 32 : Giả sử tỉ lệ lạm phát của Việt Nam trong 10 năm qua là 5%. Hỏi nếu năm 2007, giá xăng là 12000VND/lít. Hỏi năm 2016 giá tiền xăng là bao nhiêu tiền một lít?
A. 11340,00 VND/lít B. 113400 VND/lít
C. 18615,94 VND/lít D. 186160,94 VND/lít
Câu 33 : Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức S = A.ert, trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r > 0), t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi sau 10 giờ có bao nhiêu con vi khuẩn ?
A. 900 con B. 800 con C. 700 con D. 1000 con
Câu 34 : Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức G(x) = 0,025x2(30 – x), trong đó x > 0 (mi-li-gam) là liều thuốc cần tiêm cho bệnh nhân. Để huyết áp giảm nhiều nhất thì cần tiêm cho bệnh nhân một liều lượng bằng :
A. 20 mg B. 15 mg C. 30 mg D. Một kết quả khác
Câu 35 : Một người cần thanh toán các khoản nợ sau : 30 triệu đồng thanh toán sau 1 năm (khoản nợ 1).
40 triệu đồng thanh toán sau 1 năm 6 tháng (khoản nợ 2).
20 triệu đồng thanh toán sau 3 năm 3 tháng (khoản nợ 3).
Chủ nợ của người này đồng ý cho thanh toán một lần duy nhất A triệu đồng sau 3 năm (khoản nợ này có tiền nợ ban đầu bằng tổng tiền nợ ban đầu của ba khoản nợ trên). Biết rằng lãi suất là 4% năm, giá trị của A gần với con số nào sau đây nhất :
A. 95 triệu B. 94 triệu C. 96 triệu D. 97 triệu
Câu 36 : Anh Phong có một cái ao với diện tích 50 m2 để nuôi cá diêu hồng. Vụ vừa qua, anh nuôi với mật độ 28 con/m2 và thu được 1,4 tấn cá thành phẩm. Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình, anh thấy cứ thả giảm đi 8 con/m2 thì mỗi con cá thành phẩm thu được tăng thêm 0,5 kg. Để tổng năng suất cao nhất thì vụ tới anh nên mua bao nhiêu cá giống để thả? (giả sử không có hao hụt trong quá trình nuôi).
A. 488 con B. 658 con C. 342 con D. 700 con
Câu 37 : Hai năm sau bạn Kita sẽ vào đại học, dự kiến chi phí cho mỗi năm học đại học của bạn Kita là 10 triệu đồng, ngay từ lúc này ba mẹ Kita cần phải có kế hoạch gửi tiền vào ngân hàng để có đủ số tiền cho năm học đầu tiên của Kita, nếu biết rằng lãi suất ngân hàng là 7,6 %/năm, thì số tiền ba mẹ bạn Kita phải gửi là số nào gần với các số sau nhất?
A. 8.637 B. 7.637 C. 8.737 D. 7.937
Câu 38 : Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật có chiều cao là 60 cm, thể tích 96000 cm3. Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70000 VNĐ/m2 và loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100000 VNĐ/m2. Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá.
A. 320000 VNĐ B. 32000 VNĐ C. 832000 VNĐ D. 83200 VNĐ
Câu 39 : Anh Bách có 400 triệu đồng vì không đủ tiền để mua nhà, nên anh ta quyết định gửi tiền vào ngân hàng vào ngày 1/1/2017 để sau đó mua nhà với giá 700 triệu đồng. Hỏi nhanh nhất đến năm nào anh Bách đủ tiền mua nhà. Biết rằng anh Bách chọn hình thức gửi theo năm với lãi suất 7,5% một năm (lãi suất này không đổi trong các năm gửi), tiền lãi sau một năm được nhập vào vốn tính thành vốn gửi mới nếu anh Bách không đến rút và ngân hàng chỉ trả tiền cho anh Bách vào ngày 1/1 hằng năm nếu anh Bách muốn rút tiền.
A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026
Câu 40 : Một người cần đi từ khách sạn A bên bờ biển đến hòn đảo C.
Biết rằng khoảng cách từ đảo C đến bờ biển là 10 km, khoảng cách từ khách sạn A đến điểm B trên bờ gần đảo C là 40 km. Người đó có thể đi đường thủy hoặc đi đường bộ rồi đi đường thủy (như hình vẽ). Biết kinh phí
đi đường thủy là 5 USD/km, đi đường bộ là 3 USD/km. Hỏi người đó phải đi đường bộ một khoảng bao nhiêu để kinh phí nhỏ nhất ? (AB = 40 km, BC = 10 km).
A. 15 km 2 B.
65 km 2 C. 10 km D. 40 km
ĐÁP ÁN ĐỀ TOÁN THỰC TIỄN
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Đáp án A C A D C B A A A B
Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Đáp án C B A C B A A C A C
Câu 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Đáp án A C B A B A B C C A
Câu 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Đáp án C C A A A D A D C B
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1 : Người ta muốn xây một nhà kho hình chữ nhật có diện tích mặt sàn là 648 (m2) và chiều cao cố định bằng các bức tường xung quanh và bên trong để ngăn nhà kho thành 3 phòng hình chữ nhật có kích thước như nhau. Giá mỗi mét tường là 600.000 (VNĐ). Vậy cần phải xây các phòng theo kích thước nào để tiết kiệm chi phí nhất ?
A. Theo kích thước 12 18 B. Theo kích thước 9 24
C. Theo kích thước 8 27 D. Theo kích thước 3 72
Hướng dẫn : chọn A
TH1 : Gọi chiều rộng của một phòng là x ( x > 0), chiều dài của một phòng là y (y > 0).
(hình 1)
Khi đó diện tích của một phòng là xy. Diện tích của nhà kho là 3xy.
Theo giả thiết ta có : 3xy = 648 y = 216 x
Tổng chiều dài các bức tường cần phải xây dựng là : l = 6x + 4y = 6x + x
4216 = 6x + 864 x Để chi phí xây dựng thấp nhất thì tổng chiều dài của các bức tường phải nhỏ nhất.
Xét hàm số f(x) = 6x +
864 , với x > 0. x Ta có : f ’(x) = 6 – 2
864 , f ’(x) = 0 x = 12 x
Từ bảng biến thiên ta thấy rằng tổng chiều dài các bức tường nhỏ nhất bằng 144 m khi chiều rộng căn phòng là 12 m, suy ra chiều dài căn phòng là 18 m.
TH2 : Xây nhà kho như 2 hình vẽ sau : hình 2 và hình 3 Ta thấy ở hình 2 kết quả như TH1, ở hình 3 kết quả tổng chiều dài các bức tường là 84 3 (m) > 144 (m).
Vậy ta phải xây mỗi căn phòng theo kích thước 12 18 để chi phí xây dựng là nhỏ nhất.
Câu 2 : Thầy A có một tờ giấy hình tròn với bán kính bằng 12. Sau đó thầy cắt ra một hình quạt với góc ở tâm là 120o và phần còn lại cũng là một hình quạt. Lúc này thầy A tạo ra hai hình nón với hai hình quạt này.
Tỉ số thể tích của khối nón nhỏ so với khối nón lớn là bao nhiêu ?
A. 81 B.
41 C.
10
10 D.
5 10
Hướng dẫn : chọn C
Ta có diện tích hình tròn là : S = r2 = .122 = 144
Gọi diện tích hình quạt nhỏ là S1, diện tích hình quạt lớn là S2. Theo giả thiết ta có : S48
3
S1 1 , S96
3 S2 2
Gọi r1 là bán kính đường tròn đáy của hình nón nhỏ, r2 là bán kính đường tròn đáy của hình nón lớn.
Vì bán kính hình tròn là 12 nên độ dài đường sinh mỗi hình nón là l = 12.
Ta có : S1 = r1l r1.12 = 48 r1 = 4 ; S2 = r2l r2.12 = 96 r2 = 8 Gọi h1 là đường cao của hình nón nhỏ, h2 là đường cao của hình nón lớn.
Khi đó : h1 l2r12 12242 128 ; h2 l2r22 122 82 80 Thể tích của khối nón nhỏ là : 4 128
3 h 1 3 r
V1 112 1 2 Thể tích của khối nón lớn là : 8 80
3 h 1 3 r
V2 122 2 2
x 0 12
f’(x) 0
f(x)
144
Ta có tỉ số thể tích của khối nón nhỏ so với khối nón lớn là :
10 10 80
3 8 1
128 3 4
1 V V
2 2
2
1
Câu 3 : Cho tam giác OAB vuông tại O và OA = OB = 4. Lấy một điểm M thuộc cạnh AB và gọi H là hình chiếu của M trên OA. Thể tích của khối tròn xoay được tạo nên khi quay OMH quanh OA lớn nhất là bao nhiêu ?
A.
256 81 B.
256
81 C.
81
128 D.
3 8
Hướng dẫn : chọn A
Đặt OH = x, thì AH = 4 – x. Do tam giác AHM vuông cân tại H nên HM = 4 – x.
Khi tam giác OMH quay quanh trục OA tạo thành khối nón tròn xoay có chiều cao là OH = x, bán kính đường tròn đáy là r = HM = 4 – x.
Thể tích khối nón tròn xoay là :
x 8x 16x
3 x 1 x 3 4
h 1 3 r
V1 2 2 3 2
Xét hàm số
x 8x 16x
3 x 1
f 3 2 với 0 x 4.
Ta có :
3x 16x 16
3 x 1 '
f 2 , f ’(x) = 0
4 x 4 x 3
Bảng biến thiên :
x 0
34 4
f’(x) 0
f(x)
81 256
Từ bảng biến thiên ta thấy rằng thể tích khối nón tròn xoay lớn nhất là :
81 V256.
Câu 4 : Một hình hộp chữ nhật kích thước 44h chứa một khối cầu lớn có bán kính bằng 2 và 8 khối cầu nhỏ bán kính bằng 1. Biết rằng các khối cầu đều tiếp xúc nhau và tiếp xúc với các mặt của hình hộp (như hình vẽ). Hãy cho biết thể tích của khối hộp.
A. 3232 5 B. 4832 5 C. 3264 2 D. 3232 7
Hướng dẫn : chọn D
Giả sử bốn quả cầu nhỏ tiếp xúc nhau như hình vẽ.
Gọi tâm các quả cầu lần lượt là A, B, C, D. Khi đó ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2.
Gọi H là giao điểm của AC và BD thì AH 2.
Gọi O là tâm quả cầu lớn. Xét các quả cầu (1), (3) và quả cầu lớn (như hình vẽ).
Khi đó ta có : AO = 3, AH 2 nên OH AO2 AH2 7 Suy ra khoảng cách từ tâm O đến mặt đáy là 71.
Do đó, h2
71
22 7.Vậy thể tích của khối hộp chữ nhật là :
2 2 7
32 32 7. 4 . 4
V .
Câu 5 : Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A có khoảng cách đến bờ biển là AB = 5 km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng 7 km. Người canh hải đăng có thể chèo đò từ vị trí A đến vị trí điểm M
trên bờ biển với vận tốc 4 km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 6 km/h. Hỏi vị trí điểm M cách vị trí điểm B một khoảng bao nhiêu để người đó đi đến kho là nhanh nhất ?
A. 0 km B. 7 km C. 2 5 km D.
12 5 5
14 km
Hướng dẫn : chọn C
Ta đặt khoảng cách BM = x (km), với 0 x 7 thì MC = 7 – x và AM = 25x2 . Thời gian để người canh hải đăng chèo đò từ vị trí A đến vị trí M trên bờ biển là :
4 x h1 25 2
Thời gian để người canh hải đăng đi bộ từ vị trí M đến vị trí kho C là :
6 x h2 7 Tổng thời gian để người canh hải đăng di chuyển từ vị trí A đến vị trí kho C là :
6 x 7 4
x h 25
h
h 1 2 2
Xét hàm số f(x) =
6 x 7 4
x
25 2 với 0 x 7.
Ta có : f ’(x) =
6 1 x 25 4
x
2
, f’(x) = 0 x2 5
Từ bảng biến thiên ta thấy rằng để người canh hải đăng di chuyển từ vị trí A đến vị trí kho C là nhanh nhất thì vị trí điểm M cách vị trí điểm B một khoảng là 2 5 km.
Câu 6 : Một cái phễu đựng nước có dạng hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Đổ nước vào phễu sao cho chiều cao của mực nước bằng 23 98 cm. Sau đó ta đậy nắp phễu và lật úp lại (lấy ABCD làm mặt đáy phễu) thì lúc này chiều cao của mực nước là 4 cm. Hỏi chiều cao của cái phễu là bao nhiêu ?
A. 12 cm B. 10 cm C. 14 cm D. 16
cm
Hướng dẫn : chọn B
Giả sử mực nước ban đầu tạo thành mặt A’B’C’D’.
Sau khi lật úp phễu lại thì mực nước tạo thành mặt MNPQ.
Gọi H = MP NQ, SO’ = d(S, (A’B’C’D’)), SH = d(S, (MNPQ)), SO = d(S, (ABCD)).
MNPQ . S ABCD . S ABCD . MNPQ '
D ' C ' B ' A .
S V V V
V A'B'C'D' ABCD SH.SMNPQ
3 S 1
. 3SO S 1
'.
3SO
1
ABCD MNPQ ABCD
' D ' C ' B ' A
S SH S S SO
'.S
SO 2 2 SO'3 SO3
SO OH
3SO SH SH SO SO
' '. SO
SO
Đặt SO = x, ta được phương trình :
23 98
3 x3
x4
3 xSO10Vậy chiều cao của cái phễu là 10 cm.
Câu 7 : Được sự hỗ trợ từ Ngân hàng Chính sách xã hội địa phương, nhằm giúp đỡ các sinh viên có hoàn cảnh khó khăn hoàn thành việc đóng học phí học tập, một bạn sinh viên A đã vay của ngân hàng 20 triệu đồng với lãi suất 12 %/năm, và ngân hàng chỉ bắt đầu tính lãi sau khi bạn A kết thúc khóa học. Bạn A đã hoàn thành khóa học và đi làm với mức lương là 5,5 triệu đồng/tháng. Bạn A dự tính sẽ trả hết nợ gốc lẫn lãi suất cho ngân hàng trong 36 tháng. Hỏi số tiền m mỗi tháng mà bạn A phải trả cho ngân hàng là bao nhiêu ?
A. m = 1,
121,123201
012,123
triệu B. m = 1,
121,122201
012,122
triệu
C. m = 1,
121,123361
012,123
triệu D. m =
1,12 1
1212 , 0 36 12 , 1
2 2
triệu
x 0 2 5 7
f’(x) 0
f(x)
2 5f
Hướng dẫn : chọn A
Năm thứ nhất trả gốc và lãi, số tiền còn lại là : (1 + 0,12).20 – 12.m = (1,12).20 – 12.m Năm thứ hai, số tiền còn lại : [(1,12).20 – 12.m].(1,12) – 12.m
Năm thứ ba, số tiền còn lại : {[(1,12).20 – 12.m].(1,12) – 12.m}.(1,12) – 12.m = 0
20.(1,12)3 – 12.m.(1,12)2 – 12.m.(1,12) – 12.m = 0 12.m.[1 + (1,12) + (1,12)2] = 20.(1,12)3
1,.121,12 1.0
.,1212m 20 12
, 1 . 1 20 12 , 1
1 12 , m 1
12 3 3 3 3
Vậy bạn A mỗi tháng phải trả cho ngân hàng
1,.121,12 1.0
.,121220
3 3
triệu đồng.
Câu 8 : Hình dưới mô tả một cái ao chứa nước nuôi cá tra được tạo thành bởi chóp cụt ABCD.EFGH và hình chóp I.EFGH, các đáy của hình chóp cụt là các hình chữ nhật và hình chiếu của I trên các đáy chính là tâm của các đáy, biết độ dài các đoạn thẳng như trong hình vẽ. Cứ 10 ngày thì thay
21 nước cũ. Hỏi lượng nước một lần thay là bao nhiêu ?
A. 1827 m3 B. 1890 m3 C. 1773 m3 D. 1882 m3
Hướng dẫn : chọn A
Gọi S là diện tích hình chữ nhật ABCD, S’ là diện tích hình chữ nhật EFGH.
Thể tích của khối chóp cụt ABCD.EFGH là :
S S.S' S'
13,5
30.80 30.80.28.78 28.78
3436,727m33
V h
Thể tích của khối chóp I.EFGH là : S'h' 3 ' 1
V với h’ = IJ – FK = 1,8 – 1,5 = 0,3 Vậy 28 78 0,3 218,4m3
3 ' 1
V
Thể tích của hồ nuôi cá là : V1 = V + V’ 3436,727 + 218,4 = 3655,127 m3 Vậy lượng nước một lần thay là V1
21 1827,5635 m3.
Câu 9 : Một màn hình chữ nhật cao 1,4 m được đặt ở độ cao 1,8 m so với tầm mắt (tính từ đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho “góc nhìn” lớn nhất. Hãy xác định vị trí đứng đó. (Góc BOC được gọi là “góc nhìn”).
A. AO = 2,4 m B. AO = 2 m C. AO = 2,6 m D. AO = 3m
Hướng dẫn : chọn A
Góc BOC lớn nhất khi tanBOC
lớn nhất. Đặt OA = x, x > 0. Ta có :
76 , 5 x
x 4 , 1 x
8 , 1 x
2 , 1 3
x 4 , 1
OA AB OA 1 AC
OA AB OA AC B
O A tan . C O A tan 1
B O A tan C O A B tan
O A C O A tan C O B
tan 2
Xét hàm số f(x) =
76 , 5 x
x 4 , 1
2 với x > 0. Ta có : f’(x) =
2
22
76 , 5 x
064 , 8 x 4 , 1
, f’(x) = 0 x = 2,4
Bảng biến thiên :
x 0 2,4
f’(x) 0
f(x)
24 7
Vậy để nhì rõ nhất thì ta đứng cách màn hình 2,4m.
Câu 10 : Một xe ô tô đi từ A đến B, cùng lúc có người đi xe đạp từ B đến A. Ba phút sau khi hai xe gặp nhau, ô tô quay ngay lại đuổi theo xe đạp, khi đuổi kịp lại quay ngay để chạy về B. Nếu sau khi gặp lần đầu
một phút ô tô quay lại còn xe đạp sau khi gặp tăng vận tốc
15 lần thì ô tô cũng chỉ mất từng ấy thời gian. 7 Tìm tỷ số vận tốc của xe ô tô và xe đạp.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Hướng dẫn : chọn B
Gọi x (km/phút) là vận tốc của ô tô, y (km/phút) là vận tốc của xe đạp.
Theo bài ra ta nhận thấy rằng chuyển động của ô tô từ A đến chổ gặp lần thứ nhất trong cả hai trường hợp đều mất một số thời gian như nhau và chuyển động của ô tô từ chỗ gặp lần thứ nhất đến B trong cả hai trường hợp cũng đều mất thời gian như nhau. Như vậy ta chỉ quan tâm tới quãng thời gian : ô tô gặp xe đạp lần thứ nhất, tiếp tục chạy, rồi quay lại gặp xe đạp lần thứ 2, và quay lại chỗ gặp xe đạp lần thứ nhất.
Ta hãy tính thời gian trong mỗi trường hợp. Trường hợp thứ nhất, sau khi gặp xe đạp lần thứ nhất, ô tô chạy thêm 3 phút theo chiều đến B. Trên đường ngược lại tới chỗ gặp lần thứ nhất cần 3 phút. Trong thời gian này xe đạp đã đi được 6y km tính từ chỗ gặp nhau lần thứ nhất. Ô tô gặp xe đạp lần thứ hai với vận tốc chênh lệch (x – y) km/phút và cần thời gian
y x
y 6
phút. Trên đường ngược lại từ chỗ gặp lần thứ hai tới chỗ gặp nhau lần thứ nhất cũng bị mất
y x
y 6
phút, nghĩa là mất
y x
y 6 12 y x
y 6 y x
y 3 6
3
phút.
Tương tự, trường hợp thứ hai mất
y 15 x 7
y 2 60
7 y x 15
7 y 2 15 7 y
x 15 7 y 2 15 1
1
phút.
Hai thời gian này bằng nhau vì vậy ta được phương trình :
y 15 x 7
y 2 60
y x
y 6 12
Bài toán dẫn đến phương trình thuần nhất bậc hai : 7x2 – 16xy – 15y2 = 0 Đặt
y
t x, ta được phương trình 7t2 – 16t – 15 = 0.
Giải phương trình trên ta được t = 3.
Vậy tỉ số vận tốc của xe ô tô và xe đạp là 3.
Câu 11 : Trong trận đá bóng Việt Nam gặp Thái Lan tại sân vận động quốc gia Mỹ Đình, đơn vị Thai Ticket phân phối hơn 1000 vé cho cổ động viên xứ Chùa Vàng. Nếu giá bán 100.000 đơn vị tiền tệ/ vé thì tất cả số vé đều được bán hết và giá vé nếu cứ tăng thêm 2.000 đơn vị tiền tệ thì sẽ có 10 vé không được mua nữa.
Hỏi đơn vị Thai Ticket muốn có lợi nhuận cao nhất thì phải bán vé với giá bao nhiêu?
A. 130.000 B. 140.000 C. 150.000 D. 160.000
Hướng dẫn : Chọn C
Gọi giá vé để đơn vị Thai Ticket muốn có lợi nhuận cao nhất là: 100.000 + x (đơn vị tiền tệ) Suy ra số vé không bán được là:
000 . 2
10x (vé), ở đây 200
x là số nguyên
Suy ra lợi nhuận của đơn vị Thai Ticket là:
x
x
x
x
100.000 200.000
200 1 000 200
. 1 000 . 100
Aùp dụng BĐT
4 b ab a
2
ta có:
4 000 . x 300 000 . 200 x 000 . 100
2
Dấu bằng có khi và chỉ khi 100.000 + x = 200.000 x = 50.000 Vậy đơn vị Thai Ticket nên bán vé với giá 150.000 đơn vị tiền tệ/vé
Câu 12 : Trên một chiếc xe khách tuyến đường cố định 1 ngày có khoảng 100 khách lên xe với giá vé là 70.000đ/vé. Chủ xe nhận thấy rằng cứ tăng giá vé thêm 5.000đ thì số hành khách lại giảm 6 người/ngày.
Hỏi chủ xe nên tăng giá vé thêm bao nhiêu để có được lợi nhuận là cao nhất?
A. 7.053.000 B. 7.053.333 C. 7.050.000 D. 7.100.000
Hướng dẫn : Chọn B
Gọi giá vé để chủ xe có lợi nhuận cao nhất là: (70.000 + x)đ Suy ra số người không đi xe buýt nữa mỗi ngày là:
000 . 5
6x (với 000 . 5
6x nguyên) Số tiền chủ xe thu được 1 ngày là:
5.000
100 6 000
.
70 x
x S
Aùp dụng BĐT
4 b 2
ab a
ta có:
x x x
x
S 3
000 . 000 250
. 000 70 . 5
6 000
. 5 100 6 000
. 70
333 . 053 . 4 7
3 000 . 000 250
. 70 000 . 5
6
2
(đồng)
Dấu bằng có khi và chỉ khi 6.667
3 000 . 000 250
.
70 x x x (đồng)
Vậy tổng lợi nhuận lớn nhất có thể của công ty là: 7.053.333 (đồng)
Câu 13 : Một cửa hàng bánh sinh nhật vừa khai trương định bán bánh với giá 100.000đ/cái thì sẽ bán được 50 cái/ngày. Theo thống kê chủ quán phải trả 1 triệu rưỡi tiền nhiên liệu và 1 triệu tiền nhân công mỗi ngày. Qua khỏa sát chủ quán thấy rằng cứ tăng thêm 10.000 đồng thì lại mất 4 vị khách mỗi ngày. Hỏi chủ quán nên bán bánh với giá bao nhiêu để thu thập là cao nhất? Khi đó ông lời được bao nhiêu tiền mỗi ngày?
A. 2.562.500 B. 2.562.000 C. 2.560.500 D. 2.560.000
Hướng dẫn : Chọn A
Gọi giá bánh để chủ quán có được thu nhập cao nhất (100.000 + x)đ Số tiền chủ quán thu về từ việc bán bánh 1 ngày là:
x
x
x
x
S
100.000 125.000
500 . 2
1 000
. 10 50 4 000
. 100
Aùp dụng BĐT
4 b ab a
2
ta có: 5.062.500
4 000 . 225 500 . 2
1 2
S (đồng)
Dấu bằng có khi và chỉ khi 100.000 + x = 125.000 – x x = 12.500 (đồng) Vậy tổng lợi nhuận chủ quán có thể thu được là:
5.062.500 – 1.500.000 – 1.000.000 = 2.562.500 (đồng)
Câu 14 : Một công ty khai thác thủy lợi cho biết đã kết thúc đợt xả nước đẩy mặn xuống sông Hương. Gíup người dân Huế đảm bảo nước sinh hoạt, phục vụ nông nghiệp. Đợt xả nước có công suất 800x2 (m2/s).
Sau đợt xả đó trữ lượng nước còn lại khoảng 500 triệu m3. Gỉa sử việc xả nước chống mặn diễn ra liên tục x (ngày). Nếu tiếp tục xả 20% lượng nước còn lại với khả năng xả lớn nhất (ứng với x tương ứng) đó thì công việc này sẽ mất bao nhiêu thời gian (ngày). Chọn đáp án gần đúng nhất
A. 35 ngày B. 43 ngày C.58 ngày D. 67 ngày
Hướng dẫn : Chọn C
Lượng nước xả ra trong một ngày là: 86.400 800x2 (m3) Lượng nước xả ra trong x ngày là: 86.400x 800x2 (m3) Xét hàm f(x) = 86.400x 800x2 , x
0;20 2
Ta có: 86.400x 34.560.000
2 400 800
. 86 800
2 2
2
x x
x (m3)
Vậy max f(x) = 34.560.000 m3 đạt được khi x = 800 – x2 x = 20
Điều này có nghĩa là khi x = 20 ngày thì lưu lượng nước được xả ra là lớn nhất 20% lượng nước hiện có là:
500 000 000 .20% = 100 000 000 (m3)
Lượng nước xả ra trong một ngày ứng với điều kiện x để xả nước lớn nhất là:
86.400 800202 = 1.728.000(m3)
Thời gian hoàn thành công việc là: 58 000 728 1
000 000
100
t (ngày)
Câu 15 : Một người nông dân nuôi cá trê trong một cái hồ cho rằng. Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có x con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng được tính theo công thức: P(x) = 7500 – 75x (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?
A. 30 con cá B. 50 con cá C. 40 con cá D. 60 con cá
Hướng dẫn : Chọn B
Cân nặng của một con cá trê là: P(x) = 7500 – 75x
Cân nặng của x con cá trê là: x.P(x) = 7500x – 75x2 , x
0;100
Xét hàm số F(x) = 7500x – 75x2 , x
0;100
. Để thu hoạch được nhiều cá nhất thì cân nặng của x con cá trê phải lớn nhất hay F(x) đạt giá trị lớn nhất. F’(x) = 7500 – 150x = 0 x = 50Bảng biến thiên :
x 0 50 100
F ’(x) 0
F(x)
187500
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy nên F(x) đạt giá trị lớn nhất khi x = 50 con cá
Vậy phải thả 50 con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất Câu 16 : Một bác sĩ ở bệnh viện đa khoa đã tính độ giảm huyết áp của bệnh nhân A theo công thức:
F(x) = 0,02x2(30 – x) trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng miligam).
Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân A để huyết áp giảm nhiều nhất
A. 20 mg B. 60 mg C. 80 mg D. 40 mg
Hướng dẫn : Chọn A
Thực chất đây là bài toán tìm cực trị của hàm F(x) mà cụ thể là giá trị lớn nhất của F(x) với điều kiện x0 Xét hàm F(x) = 0,02x2(30 – x) , x
0;
F’(x) = 0,04.30x – 0,06.x2 = 0
20 0 x
x Bảng biến thiên :
x 0 20 +
F ’(x) 0
F(x)
80
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy F(x) 80 do đó max F(x) khi x = 20
Vậy liều thuốc cần tiêm cho bệnh nhân A để huyết áp giảm nhiều nhất là 20mg
Câu 17 : Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ hộp (sắt tây) là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất, lúc đó chiều cao của lon sữa gần giá trị nào nhất sau đây? Biết thể tích thực ghi trên lon bằng 314 cm3.
A. 7,37 cm B. 3,68 cm C. 7,3 cm D. 5,56 cm
Hướng dẫn : Chọn A
Gọi r và h lần lượt là bán kính và chiều cao của lon sữa Thể tích của hộp sữa: 2 314 3142
h r h
r
V
Diện tích vỏ hộp:
r r
S 628
2 2
Xét hàm 2 6282 0 3 157
4 ) ( '
; 0 628,
2 )
( r
r r r
S r r
r r
S
Từ bảng biến thiên ta có:
3 3 157
) ( 157 min
)
(r S S r S
S
Đạt được khi 157 7,37
3
h
r cm
Câu 18 : Một công ty mỹ phẩm vừa cho ra mắt sản phẩm mới là lọ kem dưỡng da chống lão hóa. Vỏ ngoài sản phẩm có dạng hình cầu bán kính R, bên trong là bình dựng kem có dạng hình trụ bán kính r nội tiếp hình cầu (như hình vẽ). Theo dự kiến nhà sản xuất dự định để khối cầu có bán kính R3 2(cm). Tìm bán kính r để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất ( nhằm thu hút khách hàng)
A. 2 6
3 B. 2 2 C. 2 3 D.
2 2 3
Hướng dẫn : Chọn C
Ký hiệu chiều cao, bán kinh đáy và thể tích của hình trụ nội tiếp hình cầu lần lượt là h, r và V.
Khi đó V = r2h. Vì
4
2 2
2 h
R
r nên
( ) 4 4
3 2 2
2 h
h R h h
R h
V
V
Bài toán quy về tìm h để hàm số V(h) đạt GTLN, với h
0;2R
Ta có:
4
) 3 ( '
2
2 h
R h
V ,
3 0 2
) (
' R
h h
V . Suy ra bảng biến thiên:
Bảng biến thiên :
x 0 3
2R 2R
V’(h) 0
V(h)
3 3 4R3
0 0
Vậy hình trụ nội tiếp hình cầu có bán kính R có thể tích lớn nhất khi chiều cao của nó bằng 3
2R. Khi đó, thể tích của hình trụ là
3 3 4R3
Do đó
2 34 6 2 2
4 3
2 2 2
2
h
R
r
Câu 19 : Người ta muốn sơn một cái hộp không nắp, đáy hộp là hình vuông và có thể tích là 4 (đơn vị thể tích) ? Tìm kích thước của hộp để dùng lượng sơn tiết kiệm nhất. Giả sử độ dày của lớp sơn tại mọi nơi trên hộp là như nhau.
A. Cạnh ở đáy là 2 (đơn vị chiều dài), chiều cao của hộp là 1 (đơn vị chiều dài).
B. Cạnh ở đáy là 2 (đơn vị chiều dài), chiều cao của hộp là 2 (đơn vị chiều dài).
C. Cạnh ở đáy là 2 2 (đơn vị chiều dài), chiều cao của hộp là 0,5 (đơn vị chiều dài).
D. Cạnh ở đáy là 1 (đơn vị chiều dài), chiều cao của hộp là 2 (đơn vị chiều dài).
Hướng dẫn : chọn A
Gọi x, l lần lượt là độ dài cạnh ở đáy và chiều cao của hộp : x > 0, l > 0 Khi đó tổng diện tích cần sơn là : S(x) = 4xl + x2 (1)
Thể tích của hộp là : V = x2l = 4, suy ra : 2 x
l 4 (2)
Từ (1) và (2) suy ra :
2
3 2x 16 x x 2 ' x S x 16 x
S
; S’(x) = 0 2x3 – 16 = 0 x = 2
Lập bảng biến thiên suy ra MinS(x) = S(2).
Vậy cạnh ở đáy là 2 (đơn vị chiều dài) và chiều cao của hộp là 1 (đơn vị chiều dài).
Câu 20 : Anh Bách vay ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 1,1%/tháng. Anh Bách muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách : sau đúng một tháng kể từ ngày vay, anh bắt đầu hoàn nợ, và những lần tiếp theo cách nhau đúng một tháng. Số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết nợ sau đúng 18 tháng kể từ ngày vay. Hỏi theo cách đó, tổng số tiền lãi mà anh Bách phải trả là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng nghìn)? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong suốt thời gian anh Bách vay.
A. 10773700 (đồng) B. 10773000 (đồng) C. 10774000 (đồng) D. 10773800 (đồng)
Hướng dẫn : chọn C
Bài toán này người vay trả cuối tháng nên ta có :
Số tiền mà anh Bách phải trả hàng tháng là :
18 618
1 10 011
, 1
011 , 1 . 011 , 0 .
m 100
Tổng số tiền lãi anh Bách phải trả là : (m.18 – 100).106 10774000 (đồng) Câu 21 : Một vật chuyển động với vận tốc
3 t
4 2 t
, 1 t
v 2
(m/s). Tìm quãng đường S vật đó đi được trong 20 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
A. 190(m) B. 191(m) C. 190,5(m) D. 190,4(m)
Hướng dẫn : chọn A
Đạo hàm của quãng đường theo biến t là vận tốc. Vậy khi có vận tốc, muốn tìm quãng đường chỉ cần lấy nguyên hàm của vận tốc, do đó : dt 190
3 t
4 2 t
, 1 S 20
0
2
(m)Câu 22 : Anh A mua nhà trị giá 500 triệu đồng theo phương thức trả góp. Nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh A trả 10,5 triệu đồng và chịu lãi số tiền chưa trả là 0,5%/tháng thì sau bao nhiêu tháng anh trả hết số tiền trên ?
A. 53 tháng B. 54 tháng C. 55 tháng D. 56 tháng
Hướng dẫn : chọn C Đặt x = 1.005 ; y = 10.5
Cuối tháng thứ 1, số tiền còn lại (tính bằng triệu đồng) là 500x – y.
Cuối tháng thứ 2, số tiền còn lại là (500x – y)x – y = 500x2 – (x + 1)y
Cuối tháng thứ 2, số tiền còn lại là 500x3 – (x2 + x + 1)y
Cuối tháng thứ n, số tiền còn lại là 500xn + 1 – (xn + ... + x + 1)y
Giải phương trình 500xn + 1 – (xn + ... + x + 1)y = 0 thu được n = 54,836 nên chọn C.
Câu 23 : Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng P(n) = 480 – 20n (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sai một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất ?
A. 10 B. 12 C. 16 D. 24
Hướng dẫn : chọn B
Gọi n là số con cá trên một đơn vị diện tích hồ n > 0. Khi đó : Cân nặng của một con cá là : P(n) = 480 – 20n (gam)
Cân nặng của n con cá là : n.P(n) = 480n – 20n2 (gam) Xét hàm số : f(n) = 480n – 20n2, n (0 ; )
Ta có : f’(n) = 480 – 40n, cho f’(n) = 0 n = 12
Lập bảng biến thiên ta thấy số cá phải thả trên một đơn vị diện tích hồ để có thu hoạch nhiều nhất là 12 con.
Câu 24 : Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái tivi mỗi năm. Chi phí gửi trong kho là 10$ một cái mỗi năm. Để đặt hàng chi phí cố định cho mỗi lần đặt là 20$ cộng thêm 9$ mỗi cái. Cửa hàng nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất ?
A. Đặt hàng 25 lần, mỗi lần 100 cái tivi. B. Đặt hàng 20 lần, mỗi lần 100 cái tivi.
C. Đặt hàng 25 lần, mỗi lần 90 cái tivi. D. Đặt hàng 20 lần, mỗi lần 90 cái tivi.
Hướng dẫn : chọn A
Gọi x là số ti-vi mà cửa hàng đặt mỗi lần (x [1 ; 2500], đơn vị : cái) Số lượng ti-vi trung bình gửi trong kho là
2
x nên chi phí lưu kho tương ứng là : 5x 2 10x Số lần đặt hàng mỗi năm là
x
2500 và chi phí đặt hàng là :
20 9x
x
2500
Khi đó chi phí mà cửa hàng phải trả là :
22500x 50000 x
5 x 5 x 9 x 20
x 2500
C
x 100( )
) ( 100 100 x
x 0 ) x ( ' C x ; 50000 5
x '
C 2 2 2
loại nhận
0, x [1;2500] x100000 x
''
C 3
Lập bảng biến thiên ta được : Cmin = C(100) = 23500.
Kết luận : đặt hàng 25 lần, mỗi lần 100 cái ti-vi.
Câu 25 : Một người lần đầu gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kỳ hạn 3 tháng, lãi suất 2% một quý theo hình thức lãi kép. Sau đúng 6 tháng, người đó gửi thêm 100 triệu đồng với kỳ hạn và lãi suất như trước đó.
Tổng số tiền người đó nhận được 1 năm sau khi gửi thêm tiền gần nhất với kết quả nào sau đây?
A. 210 triệu B. 220 triệu C. 212 triệu D. 216 triệu
Hướng dẫn : chọn B
3 tháng là 1 quý nên 6 tháng bằng 2 quý và 1 năm ứng với 4 quý.
Sau 6 tháng người đó có tổng số tiền là : 100.(1 + 2%)2 = 104,04 triệu
Người đó gửi thêm 100 triệu nên sau tổng số tiền khi đó là : 104,04 + 100 = 204,04 triệu Suy ra số tiền sau 1 năm nữa là : 204,04(1 + 2%)4 220 triệu
Câu 26 : Năm 1994, tỉ lệ khí CO2 trong không khí là 6 10
358. Biết rằng tỉ lệ thể tích khí CO2 trong không khí tăng 0,4% hằng năm. Hỏi năm 2016, tỉ lệ thể tích khí CO2 trong không khí là bao nhiêu ? Giả sử tỉ lệ tăng hằng năm không đổi. Kết quả thu được gần với số nào sau đây nhất ?
A. 6 10
391 B. 6
10
390 C. 6
10
7907 D. 6
10 7908
Hướng dẫn : chọn A
Từ 1994 đến 2016 là 22 năm. Vậy tỉ lệ thể tích khí CO2 năm 2016 trong không khí là : 6 22 6 10
391 10
004 , 1 .
358
Câu 27 : Cần phải đặt một ngọn đèn điện ở phía trên và chính giữa một cái bàn hình tròn có bán kính a. Hỏi phải treo ở độ cao bao nhiêu để mép bàn được nhiều ánh sáng nhất. Biết rằng cường độ sáng C được biểu thị bởi công thức 2
r ksin
C ( là góc nghiêng giữa tia sáng và mép bàn, k là hằng số tỉ lệ chỉ phụ thuộc vào nguồn sáng).
A. 2
a
h3 B.
2 2 ha
C.
2
ha D.
2 3 ha
Hướng dẫn : chọn B
Ta có: r = a2 + h2 (định lý Py-ta-go)
2
2 h
a h R
sin h
CksinR2k a2 h2h
a2 h2
Xét hàm
a2 hh2
3h f
(h > 0), ta có :
2 2
32 2 3 2
2 2
h a
h 2 a
h 3 2 a h h
'f
h 0
h a
3.h . a h h a 3h h a22'f 2 2 3 2 2 2 2 2 2 Bảng biến thiên :
h 0
2 2
a
f ’(h)
f(h)
Từ bảng biến thiên suy ra :
2 2 h a h
f.
k 2 C
2 h a h
f max max
Câu 28 : Bạn An gửi tiết kiệm số tiền 58000000 đồng trong 8 tháng tại một ngân hàng thì nhận được 61329000 đồng. Khi đó, lãi suất hàng tháng là :
A. 0,6% B. 6% C. 0,7% D. 7%
Hướng dẫn : chọn C
Lãi được tính theo công thức lãi kép, vì 8 tháng sau bạn An mới rút tiền.
Ta có công thức tính lãi :
58000000(1 + x)8 = 61329000
58000 61329 x
1 8 8
58000 61329 x
1 1 0,007 0,7%
58000 61329
x8
Câu 29 : Chiều dài bé nhất của cái thang AB để nó có thể tựa vào tường AC và mặt đất BC, ngang qua cột đỡ DH cao 4m song song và cách tường CH = 0,5m là :
A. Xấp xỉ 5,4902 B. Xấp xỉ 5,602
C. Xấp xỉ 5,5902 D. Xấp xỉ 6,5902
Hướng dẫn : chọn C
Đặt CB = x, CA = y khi đó ta có hệ thức :
1 x 2
x y 8 x 2
1 x 2 y 1 4 y 4 x 2
1
Ta có : AB2 = x2 + y2. Bài toán quy về tìm min của
2 2
2 2
1 x 2
x x 8
y x
A
.
Khảo sát hàm số và lập bảng biến thiên ta thấy giá trị nhỏ nhất đạt tại 2
x 5 ; y = 5 hay
2 5 AB 5
min .
Câu 30 : Một con cá hồi bơi ngược dòng (từ nơi sinh sống) để vượt khoảng 300km (tới nơi sinh sản). Vận tốc dòng nước là 6km/h. Giả sử tốc độ bơi của cá khi nước đứng yên là vkm/h thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ cho bởi công thức E(v) = cv3t trong đó c là hằng số cho trước. E tính bằng Jun. Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng của cá tiêu hao ít nhất bằng :
A. 9km/h B. 8km/h C. 10km/h D. 12km/h
Hướng dẫn : chọn A Thời gian cá bơi :
6 v t 300
6 v cv 300 t cv
E 3 3
Xét hàm số :
6 v cv 300
E 3
, v (6 ; )
v 6
900v c.6v 0 v 9v . c ' 300
E 23 2
Bảng biến thiên :
v 6 9
E’ 0
min
Emin v = 9
Câu 31 : Người ta cần làm một cái bồn chứa dạng hình trụ có thể tích 1000 lít bằng inox để chứa nước, tính bán kính R của hình trụ đó sao cho diện tích toàn phần của bồn chứa đạt giá trị nhỏ nhất:
A. 3
2 r 3
B. r 3 1
C. 3
2 r 1
D. r 3 2
Hướng dẫn : chọn C
Gọi h và R lần lượt là chiều cao và bán kính đáy (đơn v
