Bổ đề chặn tích trong chứng minh Bất đẳng thức

BỔ ĐỀ CHẶN TÍCH TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

*******

https://thuvientoan.net/

Bất đẳng thức là vấn đề luôn được các học sinh yêu thích, đây cũng là câu hỏi phân loại trong một số kỳ thi học sinh các cấp. Trong bài viết, thuvientoan.net xin giới thiệu đến bạn đọc một tính chất thú vị của biểu thức ba biến đối xứng được thầy Võ Quốc Bá Cẩn phát hiện. Đó là “bổ đề chặn tích”– một công cụ rất mạnh để chứng mính bất đẳng thức với các bài toán ba biến đối xứng. Mỗi công cụ phương pháp đều có ưu và nhược điểm riêng.

Bổ đề chặn tích cũng không thể tránh khỏi một số hạn chế như tính toán phức tạp và chỉ áp dụng được trong một phạm vi nhất đinh. Hi vọng với bài toán nho nhỏ này, các bạn sẽ học tập thêm được nhiều điều bổ ích. Chúc các bạn học tốt!

I. Giới thiệu bổ đề Bổ đề 1.

Cho các số thực không âm x x₁, ₂,..., x_n có tổng bằng .n

a) Chứng minh rằng tồn tại t0 sao cho x1²x2² ... x_n² n n n



1



t². b) Chứng minh rằng ¹ 



n ¹



t   xi ¹



n ¹



t với i1, 2,..., .n

Chứng minh a) Áp dung bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:



x1  x2 ... x_n



²



1² ... 1²



x1²x2² ... x_n²



.

Suy ra

2

2 2 2

1 2 ... _n n .

x x x n

    n 

Mặt khác với 1 i n, ta có: x xi



i  n



⁰ xi²nxi^.

Suy ra x1²x2² ... x_n²n x



1  x2 ... x_n



n². Do đó nx₁²x₂² ... x_n²n².

Suy ra tồn tại ^t

 

^0;1 sao cho x1²x2² ... x_n²  n n n



1



t². b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:

 

   

2

2 2 2 2 2

1 2 1

2 2

1

... ...

1

1 1

n n

i

x x

x x x x

n n x

n n n t x

n

      



     

 Giải bất phương trình này ta thu được: 1 



n 1



t   x1 1



n 1 .



t

Bổ đề 2.

Với a b c, , không âm thỏa mãn a  b c 3. Giả sử tồn tại ^t

 

^0;1 sao cho a²b²c²  3 6 .t² a) Tính abbcca theo .t

b) Chứng minh rằng



^1t

 

^{2 12t}



^{abc }



^{1 t}

 

^{2 12 .t}



Chứng minh

a) Ta có

 

²



^{2 2 2}



2

3 3 . 2

a b c a b c

ab bc ca      t

    

b) Cho n3 ta được 1 2t a b c, ,  1 2 .t Suy ra:

   

  

³

  

²

 

1 2 1 2 1 2 0

1 2 1 2 1 2 .

t a t b t c

abc t a b c t ab bc ca t

      

          

Thay a  b c 3 và abbcca 3 3t² vào vế phải bất đẳng thức và thu gọn, ta được:



¹

 

^{2 1 2 .}



abc t  t

Xét



1 2 t a



1 2 t b



1 2  t c



0, ta được:



¹^t

 

^{2 1}^2t



^abc.

Từ đó suy ra



^1t

 

^{2 12t}



^{abc }



^{1 t}

 

^{2 12 .t}



Tóm lại:

Với a b c, , không âm và a  b c 3, ^t

 

^{0;1 thì}

 a²b²c² 3 6 .t²

 abbcca 3 3 .t²





^1t

 

^{2 12t}



^{abc }



^{1 t}

 

^{2 12 .t}



II. Các bài toán áp dụng

Bài 1. Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a  b c 3. Chứng minh rằng:

 

3abc125 abbcca . Lời giải

Đặt a²b²c² 3 6t² với ^t

 

^0;1 thì abbcca 3 3 .t²

Ta có ^{abc }



^{1 t}

 

^{2 1 2 . t}



Do đó bất đẳng thức đúng khi ta chứng minh được:



²

   

²



3 1t 1 2 t 125 33t .

Thật vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

 

3 2 2

2t 2t  0 t t 1 0.

Do ^t

 

^0;1 nên bất đẳng thức cuối đúng. Suy ra điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t0 hay a  b c 1.

Bài 2. Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a  b c 3. Chứng minh rằng:

2 2 2

2 2 2

1 1 1

.

a b c

a b c   

Lời giải Đặt a²b²c² 3 6t² với ^t

 

^0;1 thì abbcca 3 3 .t² Kết hợp với a  b c 3, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:



^abbcca



^{2a b c a2 2 2}



^2b2c2



^6abc.

Hay



^33t2



^{2a b c2 2 2}



^36t2



^{6abc. Do abc }



^{1 t}

 

^{2 12 ,t}



nên ta có:

    

⁴



²

    

²



2 2 2 2 2

3 6 6 1 1 2 3 6 6 1 1 2 .

a b c  t  abc t  t  t  t  t

Do đó ta cần chứng minh



^1t

 

^{4 12t}



²



^36t2



^{6 1}



^t

 

^{2 12t}



^{ }



^{3 3t2}



^2.

Thật vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

 

^{2 2}



^{4 3 2}



6 1t t 4t 4t   t 2 0 Mà ^t

 

^0;1 nên bất đẳng thức cuối đúng. Suy ra điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chi khi t0 hay a  b c 1.

Bài 3. Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a  b c 3. Chứng minh rằng:



^{2 2 2}



1 1 1

8 9 10 a b c

a b c

 

      

 

 

Lời giải Đặt a²b²c² 3 6t² với ^t

 

^{0;1 thì ab}^bc^ca ^{3 3 .t2} Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

       

   

2

2 2 2 2

2

2

8 24 1

9 10 9 30 1 2

8 1 3 10 1 2 .

ab bc ca t

a b c t

abc abc

t t

abc

  

       

    

Do abc 



1 t

 

² 12t



nên ta có

   

   

 

  

2 2

2

8 1 8 1 8 1

1 1 2 .

1 1 2

t t t

abc t t t t

  

 

 

 

Ta cần chứng mnh

 



^{8 1}

 

^{3 10 1}



^{2 2}



^.

1 1 2

t t

t t

   

 

Thật vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:



^2t1



²



^{10t2  5t 1}



^0.

Do ^t

 

^0;1 nên bất đẳng thức cuối đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ¹

t2 hay 2, ¹. a b c 2 Suy ra điều phải chứng minh.

Bài 4. Cho a b c, , là các số thực đương thỏa mãn a  b c 3. Chứng minh rằng:

2 2 2

3

2 2 2

a b c

a b c ab bc ca

    

Lời giải

Ta có

  

       

2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 .

a b c

a a a bc a b a c

a a b c a b c

    

 

      

  

Mà:

   

         

   

2 2 2

2 2 2 2 4 2 2 2

4 2 2

2 2 2 8 4 2

a b c abc a b c ab a b bc c a ca c a

a a bc a b a c

a b c a b c ab bc ca abc

          

  

          



Ta có ^{2ab a}



 ^b



^2ab



³ ^c



^6ab^2abc nên:

   

 

2 2 2

2 4 6 3

2 20 2 .

a b c ab bc ca abc

a

a ab bc ca abc

     

     



Đặt a²b²c² 3 6t² với ^t

 

^{0;1 thì abbcca 3 3 .t2} Do đó ta cần chứng minh:

   

 

2 2

2 2

4 3 6 6 3 3 3 3

3 3 20 2 3 3

t t abc

t abc t

   

 

  

Ngoài ra ^{abc }



^{1 t}

 

^{2 1 2 t}



nên bất đẳng thức cần chứng minh đúng nếu ta chỉ ra được:

       

     

2 2 2

2 2

2

4 3 6 6 3 3 3 1 1 2 3

3 3 .

20 2 3 3 1 1 2

t t t t

t t t t

     

 

     Khai triển và thu gọn biểu thức thức này ta được:

   

5 4 3 2 2 2

15 8 3 0 3 6 3 1 0

t  t  t  t  t t t   t

Do ^t

 

^0;1 nên bất đẳng thức cuối đúng. Suy ra điều phải chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t0 hay a  b c 1.

Bài 5. Cho a b c, , là các số thực không âm thỏa mãn abbcca0. Chứng minh rằng:

   

2 2 2

8 2.

a b c abc

ab bc ca a b b c c a

   

    

Khi thay



^{a b c; ;}



^bởi



^{ma mb mc; ;}



thì bất đẳng thức vẫn không đổi nên không mất tính tổng quát, giả sử:

3.

a  b c

Khi đó tồn tại ^t

 

^0;1 sao cho a²b²c² 3 6t² và abbcca 3 3 .t² Ta có



^{ab b}



^{c c}



^a

 

^{ a b c ab}



^bcca



^{abc3 3}



^3t2



^abc.

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

 

2

2 2

3 6 8

3 3 3 3 3 2.

t abc

t t abc

  

  

Mà ^{abc }



^{1 t}

 

^{2 1 2 t}



nên ta cần chứng minh:

   

     

2 2

2

2 2

8 1 1 2

3 6

3 3 3 3 3 1 1 2 2.

t t

t

t t t t

 

  

    

Bằng biên đổi tương đương ta thu được: ^3t2



^2t¹



²^0.

Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh. Đ ẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t0 hoặc ¹

t2 hay a b c hoặc a0,bc và các hoán vị.

III. Bài tập rèn luyện

Bài 1. Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a  b c 1. Chứng minh rằng:

 

1 1 1

48 ab bc ca 25.

a  b c   

Bài 2. Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn abc1. Chứng minh rằng:

2 2 2 1 1 1

3 2 .

a b c

a b c

 

       

Bài 3. Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn a b c ^{1 1 1}.

a b c

     Chứng minh rằng:

3 4

ab bc ca

a b c

   

 