Đề thi thử môn Toán 2018 lần 2 Chuyên Thái Bình-Thái Bình

(1)

Đề thi: THPT Chuyên Thái Bình-Thái Bình-Lần 2

Câu 1. Giả sử k là số thực lớn nhất sao cho bất đẳng thức 1₂ 1₂ k₂ sin x x  1

 đúng với x 0; . 2

 

   Khi đó giá trị của k là

A. 5 B. 2 C. 4 D. 6

Lời giải Đáp án C

Câu 2. Cho hàm số ^{y f x}^

 

xác định trên  ^{\ 0 ,}

 

liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau

Chọn khẳng định đúng

A. Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.

C. Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng.

D. Đồ thị hàm số không có tiệm đứng và tiệm cận ngang.

Do _xlim y ; lim y_x

      nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. Do _{x 0}lim y_ 1 x 0

     là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Câu 3. Cho hàm số y a ^x với 0 a 1  có đồ thị

 

^{C .} Chọn khẳng định sai

A. Đồ thị

 

^C đối xứng với đồ thị hàm số y log x a qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

B. Đồ thị

 

^C không có tiệm cận.

C. Đồ thị

 

^C đi lên từ trái sang phải khia 1 . D. Đồ thị

 

^C luôn đi qua điểm có tọa độ

 

^{0;1 .}

Lời giải Đáp án B

Đồ thị hàm số y a ^x luôn nhận trục hoành là tiệm cận ngang.

Câu 4. Cho hình thang cân ABCD; AB / /CD; AB 2; CD 4.  Khi quay hình thang quanh trục CD thu được một khối tròn xoay có thể tích bằng 6 . Diện tích hình thang ABCD bằng:

A. 9

2 B. 9

4 C. 6 D. 3

Lời giải Đáp án A

Ta có: ^V ^{AH .AB}² ¹ ^{AH BH CK}²

 

^{2 AH}² ² ^AH²

3 3

        

2 2

ABCD

2 3 AB CD 9

6 2AH AH 6 AH S .AH

3 2 2 2

          

Câu 5. Cho 6 ²

2

log 5 b

log 45 a ,a, b,c . log 3 c

   

  Tính tổng a b c 

A. 1 B. 0 C. 2 D. 4

Lời giải

(2)

Đáp án A

Ta có:

 

²

 

2 2 2

6

2 2 2 2

log 3 .5 2 1 log 3 log 5 2

log 45 2log 3 log 5

log 45

log 6 log 2.3 1 log 3 log 3 1

  

    

 

2 2

log 5 2 a 2

2 b 2 a b c 1.

log 3 1

c 1

 

 

          

Câu 6. Cho phương trình:



cosx 1 cos2x mcosx

 





msin x.² Phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn 2

0; 3

 

 

  khi:

A. m 1 B. m 1 C.  1 m 1 D. 1 1 m 2

    Lời giải

Đáp án D

Ta có: ^PT 



1 cos x cos2x mcosx

 





m 1 cos x



 ²



m 1 cos x 1 cos x





 





1 cos x 0 cos x 1

cos2x m cos x m m cos x cos2x m

   

 

     

Với ^x ^0; ^{cos x} ^{1 vn}

 

2

 

   

Với 2 4

x 0; 2x 0;

2 3

 

   

   dựa vào đường tròn lượng giác suy ra PT có đúng hai nghiệm khi

4 1

1 m cos 1 m .

3 2

 

      

Câu 7. Tìm tất cả các giá trị của ^m để hàm số ^{y log}^ ³



^{ }^x² ^{mx 2m 1}^ ^



xác định với mọi ^x^

 

^{l; 2 .}

A. 1

m 3 B. 3

m4 C. 3

m4 D. 1

m 3 Lời giải

Đáp án B

Hàm số xác định với mọi ^x

 

^{1; 2}   ^x² mx 2m 1 0 x    

 

1; 2 .

     

_{ }

 

2

1;2

x 1

m g x x 1; 2 m Max g x

x 2

       



Xét

   

     

2

x 1 3 3

g x x 2 g ' x 1 0 x 1; 2

x 2 x 2 x 2

          

  

Do đó ^{lim f x}_{x 2}

 

³^.

4

  Vậy 3

m4 là giá trị cần tìm.

Câu 8. Giá trị lớn nhất của hàm số y 5 x ² x là

(3)

A. ^ B. 41

2 C. 10 D. 89

3 Lời giải

Đáp án C

TXĐ: D  5; 5 ta có: x ₂ ² x 0₂ ₂ 5

y ' 1 0 5 x x x

5 x x 2 5 x

 

         

 

  Lại có:

   

⁵

f 5 5;f 5 5;f 10

2

 

     

  Do đó Max y_D  10.

Câu 9. Nếu ^{f x dx}

 

¹ ^{ln 2x C}

 x 



^với^x^



^0;^



thì hàm số ^{f x}

 

là A.

 

2

1 1

f x  x x B. ^{f x}

 

^x ¹

 2x C. ^{f x}

 

¹₂ ^{ln 2x}

 

x  D. ^{f x}

 

¹₂ ¹

x 2x

   Lời giải

Đáp án A

Ta có:

 

2

1 1 1

f x ln 2x C ' .

x x x

  

     

Câu 10. Cho hình lập phương ABCD.A 'B'C'D ' có tất cả các cạnh bằng 2. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng



AB'D ' và BC'D

  

bằng:

A. 3

3 B. 2

3 C. 3

2 D. 3

Ta có: AB 2

CO 2.

 2  Dựng CHC'O (hình vẽ).

Do AB'/ /C'D; AD'/ /BD



AB'D' / / BC'D

  

Khi đó d AB'D ' ; BC 'D

     

d A; C 'BD

   

d C; BDC'

   

CH ^{CO.CC '}₂ ₂ ² . CO CC ' 3

    



Câu 11. Một hình trụ có bán kính đáy bằng a, chu vi thiết diện qua trục bằng 10a. Thể tích của khối trụ đã cho bằng:

A. a³ B. 5 a ³ C. 4 a ³ D. 3 a ³

Lời giải Đáp án D

Chu vi thiết diện qua trục là: ^{C 2 2r h}^



^



^^10a^^{4a 2h 10a}^ ^ ^{ }^{h 3a}. Khi đó

2 3

V r h 3 a . 

Câu 12. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:

A. Khối tứ diện là khối đa diện lồi

(4)

B. Lắp ghép hai khối hộp sẽ được một khối đa diện lồi.

C. Khối lập phương là khối đa diện lồi D. Khối lăng trụ tam giác là khối đa diện lồi.

Câu 13. Biết đường thẳng y x 2  cắt đồ thị 2x 1 y x 1

 

 tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ lần lượt

A B

x , x Khi đó xAxB là

A. xAxB 5 B. xA xB1 C. xA xB 2 D. xAxB 3 Lời giải

Đáp án A

PT hoành độ giao điểm là 2 2 A B

x 1 x 1

x 2 2x 1 x x 5.

x 1 x 3x 2 2x 1 x 5x 3 0

 

 

              

Câu 14. Cho phương trìnhcos x sin 2x cos3x 1 0.

   Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. Phương trình đã cho vô nghiệm.

B. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình là x 2

 

C. Phương trình tương đương với phương trình



sinx 1 2sin x 1

 

 



0.

D. Điều kiện xác định của phương trình là cosx(3 4cos x) 0. ²  Lời giải

Đáp án A

 

         

2

cos 4cos x 3 0

cos3x 0 cos3x 0

PT cos x sin 2x cos3x 0 2cos2x cos x 2sin x cos x 0 2cos x cos2x sinx 0

cos 4 4sin x 3 0 cos x 1 2sin x 1 2sin x 0 cos x 2sin x 1 sinx 1 0 PTVN 2cos x 2sin x sin x 1 0

  

 

  

         

       

 

  

  

    

 



Câu 15. Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?

A. y x ⁴4x²2 B. y x ⁴4x²2 C. y x ⁴4x²2 D. y  x⁴ 4x²2 Lời giải

Đáp án B

Câu 16. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sau 3^{2x 8}^ 4.3^{x 5}^ 27 0.

A. 5 B. 5 C. 4

27 D. 4

27 Lời giải

Đáp án A

 

^{x 5} ² x 5 ^{x 5}

1 2

x 5

3 3 27 x 2

PT 4.3 27 0 x x 5.

x 3

9 3 9

 



    

            

(5)

Câu 17. Tính ^{F X}

 

^



^{x c}^os^{x x}^d ta được kết quả

A. ^{F X}

 

^^{x sin x}^^cos^{x C}^ B. ^{F X}

 

^{ }^{x sin x}^^{c x}^os ^^C

C. ^{F X}

 

^^{x sin x}^^cos^{x C}^ D. ^{F X}

 

^{ }^{x sin x}^^{c x}^os ^^C

Đặt ^{u x} ^{du dx} ^{F x}

 

^{x sin x} sin xdx x sin x cos x C.

dv cos xdx v sinx

 

 

      

   

 



Câu 18. Cho a 1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. ³a²

a 1 B. ³ 1₅

a a

  C. _a¹³ _ _a D. ₂₀₁₆1 ₂₀₁₇1

a a Lời giải

Đáp án B

Câu 19. Cho hàm số ^{y f x}^

 

xác định, liên tục trên _ và có bảng biến thiên

Hỏi phương trình ^{f x}

 

²

 e có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

A. 4 B. 2 C. 3 D. 1

Câu 20. Một người gửi tiết kiệm số tiền 80 000 000 đồng với lãi suất là6,9% / năm. Biết rằng tiền lãi hàng năm được nhập vào tiền gốc, hỏi sau đúng 5 năm người đó có rút được cả gốc và lãi số tiền gần với con số nào nhất sau đây?

A. 116570000đồng B. 107 667 000đồng C. 105370000đồng D. 111680000đồng Lời giải

Đáp án D

Số tiền thu được là 8.10 1 6,9%⁷







⁵ 111680000 đồng.

Câu 21. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A 1; 1; 2 ; B 2;1;1





  

và mặt phẳng

 

P : x y z 1 0    . Mặt phẳng

 

^Q chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng

 

^P . Mặt phẳng

 

^Q có phương trình là:

A.   x y 0 B. 3x 2y x 3 0    C. x y z 2 0    D. 3x 2y x 3 0    Lời giải

Đáp án D

Ta có: nP 



1;1;1 ; AB







1; 2; 1



Do mặt phẳng

 

^Q chứa A B, và vuông góc với mặt phẳng

 

P nQn ; AB P  



3;2;1 .



Do đó

 

Q : 3x 2y z 3 0.   

Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật tâm O; AB a, AD a 3,SA 3a,   SO vuông góc với mặt đáy



^{ABCD .}



Thể tích khối chop S ABC. bằng:

(6)

A. a³ 6 B.

2a3 6

3 C.

a3 6

3 D. 2a³ 6

Ta có: _ABCD ² BD AB² AD² ² ²

S a 3;OA a SO SA OA 2a 2

2 2

        

Do đó:

3 2

S.ABC S.ABCD

1 1 1 a 6

V V . 2a 2.a 3

2 2 2 3

  

Câu 23. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A , mặt phẳng



^SBC



vuông góc với mặt phẳng



^ABC



và SA SB AB AC a;SC a 2.     Diện tích xung quanh mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC. bằng:

A. 2 a ² B. a² C. 8 a ² D. 4 a ²

Gọi H là trung điểm của BC ta có: AHBC. Do



^ABC

 

^ ^SBC



^^AH^



^SBC



Đặt AH x HC a²x² HB SH  SBC vuông tại S (do đường trùng tuyến bằng 1

2 cạnh đối diện). Suy ra BC SB²SC² a 3. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC O AHOA OB OC OS   .Ta có:

ABC

R R AC ,

2sin B

  trong đó AH AS² SH² 1

sin B

AB AB 2

    Do đó

2 2

C xq C

R  a S  4 R  4 a .

Câu 24. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của ^m để hàm số x m y mx 4

 

 đồng biến trên từng khoảng xác định?

A. 2 B. 4 C. 3 D. 5

Ta có:

 

2 2

y ' 4 m . mx 4

 

 Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

 

y ' 0  4 m2    0 2 m 2, m     m 1;0;1 .

Câu 25. Lăng trụ đứng ABC.A 'B'C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A; AB AC a 5;  ; A B' tạo với mặt đáy lăng trụ góc60^. Thể tích khối lăng trụ bằng:

A. a³ 6 B. 5a 15³

2 C. 5a 3³

3 D. 4a³ 6

Lời giải

(7)

Đáp án B

Ta có: ^{A A '}^



^ABC



^^{A 'BA}^ ^



^^{A 'B; ABC}

  

^⁶⁰^

Do đó

2 2

ABC

AB 5a A A ' AB tan 60 a 15;S

2 2

 ^   

Suy ra

2 3

ABC.A'B'C'

5a 5a 15

V Sh .a 15 .

2 2

  

Câu 26. Tìm điểm cực tiểu của hàm số 1 ³ ²

y x 2x 3x 1.

3   

A. x 1 B. x 3 C. x 3 D. x 1

Ta có ² x 1

y ' x 4x 3 y ' 0

x 3

 

        .Mặt khác

 

^CT

y '' 1 2

y '' 2x 4 x 3.

y '' 3 2

  

    

 

Câu 27. Biết ^{F x}

 

là một nguyên hàm của hàm số ^{f x}

 

^^{sin x} và đồ thị hàm số ^{y F x}^

 

đi qua điểm

 

M 0;1 .Tính F 2

 

  .

A. F 0

2

  

   B. F 1 2

  

   C. F 2 2

  

   D. F 1 2

   

   Lời giải

Đáp án C

Ta có ² ₀²

 

0

sin xdx cos x 1 F F 0 F 1 F 2.

2 2 2



      

              



Câu 28. Cho hình chóp S.ABC có SA x; BC y; AB AC SB SC 1      . Thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất khi tổng ^{x y}^ bằng:

A. 3 B. 2

3 C. 4

3 D. 4 3

Gọi H là trung điểm cuả BC khi đó ^SH ^BC ^BC



^SAH



AH BC

   

 



(8)

 

S.ABC B.AHS C.AHS AHS AHS

1 1

V V V S HB HC S .BC

3 3

    

Ta có:

2

2 y

AH SH 1 HB 1

     4 Khi đó

2 2

2 2 y x

HE AH AE 1

4 4

     Do đó

2 2

AHS

x y x 1

S 1 . V .xy 4 x y

4 2 12

      

Theo BĐT Cosi ta có:

3

2 2 2 2

a b c

abc 3

   

  

 

Do đó

3

2 2 4 2

xy 4 x y .

3

       Dấu bằng xảy ra ² ² ² ² 2

x y 4 x y x y .

        3

Câu 29. Cho các hàm số y a , y log x, y log x ^x  b  c có đồ thị như hình vẽ. Chọn khẳng định đúng.

A. c b a  B. b a c  C. a b c  D. b c a  Lời giải

Đáp án A

Câu 30. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực ^m để hàm số ^{y ln x}^



²^{ }¹



^{mx 1}^ đồng biến trên khoảng



^{ }^;



^.

A.



^{ }^{; 1 .}



B.



^^{1;1 .}



C.



^^1;1



D.



^{ }^{; 1}



Ta có: 2x₂

D , y ' m.

x 1

  

  Hàm số đồng biến trên

   

2

 

R

   

y ' 0 x f x 2x m x Min f x m * .

x 1

          

   

Xét

     

 

2 2

2

2 2

2 x 1 2x

f x 2x f ' x 0 x 1

x 1 x 1

        

 

Lại có: _x^{lim f x}_

 

^^0;f

 

^{  }¹ ^{1;f 1}

 

^{ }¹

 

^* ^{  }^{1 m.}

(9)

Câu 31. Hình chóp S.ABCDđáy hình vuông cạnh ^a, ^SA



ABCD ; SA a 3.



 Khoảng cách từ B đến mặt phẳng



^SCD



bằng:

A. a 3 B. a 3

2 C. 2a 3 D. a 3

4 Lời giải

Đáp án

Do ^{AB / /CD}^^{d B; SCD}

   

^^{d A; SCD}

   

Dựng ^{AH SD,do} ^{CD SA} ^CD ^AH ^AH



^SCD



CD AD

 

      

Lại có: SA.AD₂ ₂ a 3 AH SA AD  2



Do đó ^{d B; SCD}

   

^AH ^{a 3}^.

  2 Câu 32. Chọn khẳng định đúng

A.

2x

2x 3

3 dx C

ln 3



^B.



^{3 dx}^2x ^_{ln 3}⁹^x ^^C

C.

2x

2x 3

3 dx C

ln 9



^D.



^{3 dx}^2x ^_{2x 1}³^{2x 1}_^ ^^C

2x

2x 1 2x 3

3 dx 3 d2x C.

2 2ln 3

  

 

Câu 33. Cho hình nón có độ dài đường sinh l 4a và bán kính đáy r a 3. Diện tích xung quanh của hình nón bằng:

A. 2 a ² 3 B. 4 a² 3 3

 C. 8 a ² 3 D. 4 a ² 3 Lời giải

Đáp án D

Ta có: Sxq   rl 4a² 3.

Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho mặt cầu có phương trình:

2 2 2

x y z 2x 4y 6z 9 0.    Mặt cầu có tâm I và bán kính R là:

A. ^{I 1; 2;}



^ ^^{3 và}



^R^ ⁵ ^B.I 1; 2;3 và R







 5 C. I 1; 2;3 và R 5







 D. ^{I 1; 2;}



^ ^^{3 và}



^{R 5}^

Tâm I 1; 2;3 ; R







 1 4 9 9    5.

(10)

Câu 35. Giả sử ^m là giá trị thực thỏa mãn đồ thị của hàm số y x ³3x²2m 1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt cách đều nhau. Chọn khẳng định đúng

A. 3

m 2 B. 1

1 m 2

   C. 3 1

2 m 2

    D. 0 m 1  Lời giải

Đáp án D

Điều kiện x ; x ; x1 2 3 lập thành cấp số cộng  điểm uốn thuộc trục hoành

b

 

1

f f 1 0 2m 1 0 m

3a 2

 

         .

Thử lại với ³ ²

 

x 1 3

m 1 x 3x 2 0 x 1 t / m .

2 x 1 3

  

      

  



Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho I 1;0; 1 ; A 2; 2; 3





 





. Mặt cầu

 

^S tâm I và đi qua điểm A có phương trình là:

A.



^{x 1}^



²^^y²^{ }



^{z 1}



² ^³ ^B.



^{x 1}^



²^^y²^{ }



^{z 1}



² ^³

C.



^{x 1}^



²^^y²^{ }



^{z 1}



² ^⁹ ^D.



^{x 1}^



²^^y²^{ }



^{z 1}



² ^⁹

Bán kính mặt cầu R IA  1 4 4 3.  

Câu 37. Trong một đợt kiểm tra vệ sinh an toàn thực phẩm của ngành y tế tại chợ X, ban quản lý chợ lấy ra 15 mẫu thịt lợn trong đó có 4 mẫu ở quầy A, 5 mẫu ở quầy B, 6 mẫu ở quầy C. Đoàn kiểm tra lấy ngẫu nhiên 4 mẫu để phân tích xem trong thịt lợn có chứa hóa chất tạo nạc hay không. Xác suất để mẫu thịt của cả 3 quầy A B C, , đều được chọn bằng:

A. 43

91 B. 4

91 C. 48

91 D. 87

91 Lời giải

Đáp án C

Lấy ngẫu nhiên 4 mẫu có:  C15⁴

Gọi X là biến cố:”mẫu thịt của cả 3 quầy A B C, , đều được chọn”

TH1: 2 mẫu quầy A,1 mẫu quầy B và 1 mẫu quầy C có: C .C .C²4 ¹5 ¹6cách.

TH2: 1 mẫu quầy A,2 mẫu quầy B và 1 mẫu quầy C có: C .C .C¹₄ ²₅ ¹₆cách TH3: 1 mẫu quầy A, 1 mẫu quầy B và 2 mẫu quầy C có: C .C .C¹4 ¹5 ²6cách Vậy xác suất cần tìm là:

2 1 1 1 2 1 1 1 2

4 5 6 4 5 6 4 5 6

X 4

15

C .C .C C .C .C C .C .C 48

p .

C 91

 

 

Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho ^{H 2;1;1 .}

 

Gọi

 

^P là mặt phẳng đi qua H và cắt các trục tọa độ tại A B C; ; sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng

 

^P là:

A. 2x y z 6 0    B. x 2y z 6 0    C. x 2y 2z 6 0    D. 2x y z 6 0    Lời giải

Đáp án A

(11)

Ta có: AB OC

AB OH, AB CH

   

 

 tương tự BC OH .

Do đó OH



ABC



n ABC OH



2;1;1



Do đó

 

P : 2x y z 6 0.    Câu 39. Phương trình c os4x

tan 2x

c os2x  có số nghiệm thuộc khoảng 0;

2

 

 

  là:

A. 1 B. 3 C. 4 D. 2

ĐK: cos2x 0. Khi đó

 

2

sin 2x 1 cos4x sin 2x

2

PT 1 2sin 2x sin 2x

cos2x cos2x sin 2x 1 cos2x 0 loai

 

      

   



Do đó

2x k2 x k

1 6 12

PT sin 2x

5 5

2 2x k2 x k

6 12

 

       

 

   

 

       

 



Do đó PT có 2 nghiệm thuộc khoảng 0; . 2

 

 

  Câu 40. Khẳng định nào sau đây đúng:

A. c osx     1 x k2 ; k  B. c osx 0 x k2 ; k 2

     

C. sin x 0  x k2 ;k  D. tan x 0  x k2 ; k  Lời giải

Đáp án A

Câu 41. Bất phương trình log x 74







log x 12







có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A. 1 B. 2 C. 4 D. 3

Điều kiện: x 1. Ta có

     

 

4 2 2 2

2 2

log x 7 log x 1 log x 7 log x 1

x 1 0 x 1

x 7 x 1 1 x 2.

x x 6 0 x 7 x 1

      

     

         

  

  

 

 Kết hợp với ^x^{  } ^x

 

^0;1 là hai giá trị cần tìm.

Câu 42. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: ^{sin x}



m 1 c osx 2m 1



 

A. 1

m 2 B.

m 1 m 1

3

 

  



C. 1 1

2 m 3

   D. 1

3 m 1

  

Lời giải

(12)

Đáp án D

Để phương trình ^sinx



m 1 cos x 2m 1



  có nghiệm

  

²



²

2 2 2 2

1 m 1 2m 1 1 m 2m 1 4m 4m 1 3m 2m 1 0

1 m 1.

3

               

   

Câu 43. Thể tích khối tứ diện đều cạnh a 3bằng:

A. a³ 6

8 B. a³ 6

6 C. 3a³ 6

8 D. a³ 6

4 Lời giải

Đáp án D

Thể tích khối tứ diện đều cạnh a 3 là

 

^{a 3 . 2}³ a³ 6

V .

12 4

 

Chú ý: Tứ diện đều cạnh ^xcó thể tích là x³ 2

V .

 12

Câu 44. Cho đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp trong đường tròn tâm O. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác.

Xác suất để 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của một hình chữ nhật bằng:

A. 7

216 B. 2

969 C. 3

323 D. 4

9 Lời giải

Đáp án C

Mỗi hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 20 đỉnh nội tiếp trong đường tròn tâm O có các đường chéo lớn. Ngược lại, với mỗi cặp đường chéo lớn ta có các đầu mút của chúng là 4 đỉnh của một hình chữ nhật. Suy ra số hình chữ nhật nói trên bằng số cặp đường chéo bằng C .10² Vậy xác suất cần tính là

2 10 4 20

C 3

P .

C 323

 

Câu 45. Biết ⁿ là số nguyên dương thỏa mãn A³n2A²n 100. Hệ số của _x⁵trong khai triển



^{1 3x}^



²ⁿ^bằng:

A. 3 C⁵ 10⁵ B. 3 C⁵ ⁵12 C. 3 C⁵ 10⁵ D. 6 C⁵ ⁵10

Điều kiện: n 3. Ta có ^A³ⁿ ^^2A²ⁿ ^¹⁰⁰^



^{n 3 !}^n!^



^^2.



^{n 2 !}^n!^



^¹⁰⁰

     

³ ²

n n 1 n 2 2n n 1 100 n n 100 0 n 5

            (điều kiện : n 3 ).

Với n 5, xét khai triển

 

¹⁰ ¹⁰ 10^k ^{10 k}

 

^k ¹⁰ 10^k

 

^k ^k

k 0 k 0

1 3x C .1 ^ . 3x C . 3 .x .

 

 



 





Hệ số của _x⁵ ứng với x^k x⁵ k 5. Vậy hệ số cần tìm là C . 310⁵

 

 ⁵  3 .C .⁵ 10⁵

Câu 46. Cho tổng S C ¹2017C²2017 ... C2017²⁰¹⁷. Giá trị tổng S bằng:

A. ₂²⁰¹⁸ B. ₂²⁰¹⁷ C. ₂²⁰¹⁷_₁ D. ₂²⁰¹⁶

Xét khai triển



1 x



ⁿ C⁰nx.C¹nx .C² ²n ... x .Cⁿ ⁿn

 

* Thay x 1

n 2017

 

  vào (*), ta được 2²⁰¹⁷ C⁰2017C¹2017C²2017 ... C²⁰¹⁷2017  S 2²⁰¹⁷1.

(13)

Câu 47. Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 5; 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 3.

A. 108số B. 228số C. 36số D. 144số Lời giải

Đáp án A

Gọi a a a a_{1 2 3 4} là số lẻ có 4 chữ số khác nhau, với a , a ,a ,a1 2 3 4



0;1; 2;3;5;8



a₄ có 3 cách chọn, a1 có 4 cách chọn, a2 có 4 cách chọn và a3 có 3 cách chọn. Khi đó, có 3.4.4.3 144 số thỏa mãn yêu cầu trên.

Gọi b b b b_{1 2 3 4} là số lẻ có 4 chữ số khác nhau, với b , b , b , b1 2 3 4



0;1; 2;5;8



b₄có 2 cách chọn, b1

có 3 cách chọn, b2 có 3 cách chọn và b3 có 2 cách chọn. Do đó, có 2.3.3.2 36 số thỏa mãn yêu cầu trên.

Vậy có tất cả 144 36 108  số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 48. Biết



f x dx 2x ln 3x 1

 





 



C^với^x^^^_¹₉^;^^^_. Khẳng định nào sau đây đúng ? A.



f 3x dx 2x ln 9x 1

 





 



C ^B.



f 3x dx 6x ln 3x 1

 





 



C C.



f 3x dx 6x ln 9x 1

 





 



C ^D.



f 3x dx 3x ln 9x 1

 





 



C

Đặt x 3t dx 3dt  Nguyên hàm bài cho 3x f 3t dt 6t.ln 9t 1

  





 



C. Mà nguyên không phụ thuộc vào biến số 



f 3x dx 2x ln 9x 1

 





 



C.

Câu 49. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình ³ 2²

 

² ²

x 3x 3x 5

log x 1 x 6x 7

x 1

       



A.  2 3 B. 2 C. 0 D.  2 3

Ta có



^{x 1}^



³^^x²^^{6x 7}^{ }



^x³^^3x²^^{3x 5}^{ }

 

^x²^^{1 .}



Khi đó, phương trình trở thành:



³ ²



³ ²



²



²

 

log x 3x 3x 5 x 3x 3x 5 log x   1 x 1 * .

Xét hàm số ^{f t}

 

^^{log t t}^ trên



^0;^{ }



^{f t}

 

là hàm số đồng biến trên



^0;^



.

Mà (*) ^^{f x}



³^^3x²^^{3x 5}^{ }

 

^{f x}²^{ }¹



^x³^^3x²^^{3x 5 x}^{ } ²^{ }¹ ^x³^^2x²^^{3x 6 0.}^{ }

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 2.

Câu 50. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a 3. Gọi M là trung điểm của AC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM bằng:

A. 2a 39

13 B. a 39

13 C. 2a 3

13 D. 2a

13 Lời giải

Đáp án A

(14)

Qua M kẻ đường thẳng d / /ABvà cắt BC tại I .

       

AB / / SMH d AB;SM d AB; SMH .

  

Kẻ AH vuông góc với ^{d H d ,}



^



kẻ AH SH K SH .







Suy ra ^{d AB;SM}

 

^{d A; SMH}

   

^AK ^SA.AH₂ ₂

SA AH

  



Mà BC 2a 39

SA 2a 3, AH a AK .

2 13

    