Đề kiểm tra học kỳ 2 có đáp án môn toán lớp 12 trường THPT lê hồng phong | Toán học, Đề thi THPT quốc gia - Ôn Luyện

(1)

HKII-LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH

Câu 1: [1D1-1] Tập xác định của hàm số là?

A. . B. .

C. . D. .

Câu 2: [2D2-2] Tìm tập nghiệm của bất phương trình

A. . B. . C. . D. .

Câu 3: [2H1-1] Khối bát diện đều là khối đa diện đều loại nào ?

A. . B. . C. . D. .

Câu 4: [2D2-2] Họ nguyên hàm của hàm số là

A. . B. . C. . D. .

Câu 5: [2D1-1] Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng .

A. . B. . C. . D. .

Câu 6: [2D2-2] Giải phương trình .

A. . B. . C. . D. .

Câu 7: [1D4-1] bằng.

A. . B. . C. . D. .

Câu 8: [2D3-2] Một vật chuyển động vận tốc tăng liên tục được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol có hình bên dưới.

tan 2 y x

\ ,

D 4k k  

 

  \ ,

4 2

D  k k 

 

 

\ ,

D k2 k 

 

  \ ,

D 2k k  

 

 

S log 32



x 2



log 6 52



 x



0 1;6

S  5

  

2;1 S 3 

   ^S ^



^1;^



S ^1;⁶5

   

 

^5;3

 

^{3; 4}

 

^4;3

 

^3;5

 

³^x ¹

f x   3

ln 3

x

C 3

ln 3

x

 x C

3^x x C 3 ln^x x x C 

 

⁵ ¹

f x x

  x



^0;^



 

min0; f x 3

  

 

min0; f x 5

  

 

min0; f x 2

 

 

min0; f x 3

 

 

4 2

2log xlog x 3 2 16

x x1 x4 x3

lim 2

1

x

x x

 

 1  0

(2)

Biết rằng sau s thì vật đó đạt đến vận tốc cao nhất và bắt đầu giảm tốc. Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao nhất thì vật đó đi được quãng đường bao nhiêu mét?

A. m. B. m. C. m. D. m.

Câu 9: [2H2-2] Cho hình trụ có bán kính đáy bằng cm. Một mặt phẳng qua trục của hình trụ và cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông. Tính thể tích của khối trụ đã cho.

A. . B. . C. . D. .

Câu 10: [2D1-2] Đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. . B. . C. . D. .

Câu 11: [2D1-1] Hàm số đồng biến trong các khoảng nào trong các khoảng sau?

A. . B. . C. . D. .

Câu 12: [2H2-2] Hình trụ có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A. Vô số. B. . C. . D. .

Câu 13: [2D2-3] Tính đạo hàm của hàm số .

A. . B. .

C. . D. .

Câu 14: [2H1-1] Thể tích khối lăng trụ có chiều cao bằng , diện tích đáy bằng là

A. . B. . C. . D. .

Câu 15: [2D1-2] Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. . B. . C. . D. .

Câu 16: [1D2-2] Một nhóm có học sinh gồm nam và nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra học sinh trong đó có cả nam và nữ.

A. . B. . C. . D. .

Câu 17: [2D1-1] Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

10

300

1400 3

1100 3

1000 3 2

8 cm 3 16 cm ³ 16 ³

3 cm



16 cm3

1 1

y x

  x



3 0 1 2

3 3

y x  x



^^2;0

  

^0;1



^^{2018; 2}^

 

^^1;0



2 0 1

2 1

8^x y ^ 2 .8^x2

y  x ^y^{ }^{2 .}^{x x}



²^^{1 .8 .ln 8}



^x²



² ^{1 .8}



^x²

y  x  y 6 .8x ^x²^¹.ln 2

h B

1 .

2B h 1

3B h.

. B h

1 . 6B h

2 1

1 y x

x

 



2 1

1 y x

x

 



1

2 1

y x x

 



1

2 1

y x x

 



6 4 2 3

32 20 6 16

 

y f x

O 1

2

1

1 x

1

(3)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm nào trong các điểm sau?

A. . B. . C. . D. .

Câu 18: [2D4-2] Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thoả .

A. Đường tròn tâm , bán kính . B. Đường tròn tâm , bán kính . C. Đường tròn tâm , bán kính . D. Đường tròn tâm , bán kính .

Câu 19: [2D2-3] Cho hàm số . Tính tổng .

A. . B. . C. . D. .

Câu 20: [2H1-2] Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , , cạnh bên tạo với mặt đáy góc . Tính thể tích của khối chóp theo .

A. . B. . C. . D. .

Câu 21: [2D3-2] Giá trị của trong đó và là phân số tối giản. Tính giá trị

của biểu thức .

A. . B. . C. . D. .

Câu 22: [2D4-2] Trong mặt phẳng phức, cho điểm trong hình vẽ bên là

điểm biểu diễn số phức . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào là

sai?

A. . B. Số phức có phần ảo bằng .

C. . D. .

Câu 23: [2H3-2] Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng

và đường thẳng . Viết phương

trình đường thẳng đi qua , đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng và .

A. . B. .

 

y f x 5

x x0 x2 x1

z z 1 2i 3



^{1; 2}



I  r9 ^I

 

^1;2 _r _₉



^{1; 2}



I  r3 ^I



^^1;2



_r_₃

 

^ln²⁰¹⁸

1 f x x

 x

 ^S^ ^f^

 

¹ ^ ^f^

 

² ^{ }^... ^f^



²⁰¹⁸



2018 S 2019

1

S  S ln 2018 S 2018

.

S ABCD a ^SA^



^ABCD



_SC

45 V S ABCD. a

3 2

V a

3 3

3

V a ³ 2

3

V a ³ 2

6 V a

3

2 0

9 d a

x x b

 



_{a b}_, __ ^a

b T ab

35

T  T 24 T 12 T 36

M z

6

z z  z 4

5

z  z  3 4i

Oxyz

1: 1 4

6 6 x t

d y t

z t

 

   

  

 ²

1 2

:2 1 5

x y z

d  

 





^{1; 1;2}



A  d₁ d₂

1 1 2

14 17 9

x  y  z 1 1 2

2 1 4

x  y  z



(4)

C. . D. .

Câu 24: [2D3-2] Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng là giao tuyến của hai mặt

phẳng và và đường thẳng có phương trình

cắt nhau. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng và .

A. . B. . C. . D. .

Câu 25: [2H1-2] Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại và . Hình chiếu vuông góc của trên mặt đáy trùng với trung điểm . Biết

Góc giữa hai mặt phẳng và mặt phẳng đáy là . Tính thể tích của khối chóp

A. . B. . C. . D. .

Câu 26: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

^{P x}^: ^²^{y z}^{  }^{1 0}. Véc-tơ nào dưới đây là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng

 

^P _?

A. ⁿ^^



^{1; 2; 1}^



_B.ⁿ^ ^



^{1; 2; 1}^{ }



C. ⁿ^^



^1;0;1



_D.ⁿ^ ^



^{1; 2;1}^



Câu 27: Cho hàm số

 

³²²₄

7

x

f x x



 

. Hỏi mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai?

A. ^{f x}

 

^{ }¹



^x^^{2 log 3}



^



^x²^^{4 log 7 0}



^

B. ^{f x}

 

^{ }¹



^x^^{2 log 3}



^0.3 ^



^x²^^{4 log 7 0}



^0.3 ^

C. ^{f x}

 

^{ }¹



^x^^{2 ln 3}



^



^x²^^{4 ln 7 0}



^

D. ^{f x}

 

^{ }¹



^x^{ }²

 

^x²^^{4 log 7 0}



³ ^

Câu 28: Gọi z z¹, ² là hai nghiệm phức của phương trình z²3z 5 0. Tính |z¹z²|_.

A. 3 B.

3

2 C. 5 D. 3

Câu 29: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển của biểu thức

7

2 2

x x

  

 

  .

A. 8.C⁷⁵ B. 8.C⁷³

C. C⁷³ D. C⁷²

1 1 2

3 2 4

x  y  z



1 1 2

1 2 3

x  y  z

Oxyz d

 

^ ^:^{x y}^{ }⁰

 

^ ^{: 2}^{x y z}^{  }^{15 0}^ _d_

1 2 2 3

x t

y t

z

  

  

 

 I d d



^{4; 4;3}



I  ^I



^{0;0; 2}



^I



^1;2;3



^I



^{0;0; 1}^



.

S ABCD A B

S



^ABCD



_AB AB1, BC2, BD 10.



^SBD



_60 _V

. .

S BCD 30

V  4 30

V  12 30

V  20 3 30

V  8

(5)

Câu 30: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 

P x: 2y2z 2 0, và điểm



^{1; 2; 3}



I  . Mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng P có bán kính là

A.

1

3 B.

11 3

C. 1 D. 3

Câu 31: Trong không gianOxyz, cho ba điểm ^M



^2;0;0



_,^N



^0;1;0



_và^P



^{0;0; 2}



. Mặt phẳng



^MNP



có phương trình là

A. 0

2 1 2

x y  z

 B. 1

2 1 2

x y  z



C. 1

2 1 2

x y z

  

D. 1

2 1 2

x y z

   



Câu 32: Tìm điểm cực tiểu của hàm số y  x³ 3x²4

A. x2 B. ^M



^{0; 4}



_C._x_₀ _D.^M



^2;0



Câu 33: Tìm tham số m để đồ thị hàm số

1 y mx

x m

 

 đi qua ^A



^{1; 3}^



A. m 2 B. m 1 C. m2 D. m0

Câu 34: Cho hàm ^{f x}

 

có bảng biến thiên như hình vẽ sau

Hàm số ^{f x}

 

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A.

 

^0;3 _B.



^2;^



C.



^^;0



_D.

 

^0;2

Câu 35: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC 2a. Mặt bên



^SAB



_vuông

góc với mặt đáy, biết ASB 60 _,SB a . Gọi

 

^S là mặt cầu tâm B và tiếp xúc với mặt phẳng



^SAC



. Tính bán kính r của mặt cầu

 

^S _.

(6)

A. r2a B.

2 . 3 r a 19

C. r2a 3 _D.

. 3 a 19

Câu 36: [2D3-3] Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn ^f

 

^{ }² ¹_,

 

2

1

2 4 d 1

f x x



. Tính ⁰

 

2

. d

I x f x x









.

A. I 1. B. I 0. C. I  4. D. I 4. Câu 37: [2D2-2] Tìm tập xác định Dcủa hàm số ^y^^_^{x x}²



^³



^_ ³_.

A. ^D^{   }



^;



_. _B.^D^{   }



^3;

  

^{\ 0} _._C.^D^



^0;^{ }



_. _D.^D^{   }



^3;



_.

Câu 38: [1D3-3] Cho cấp số cộng

 

un có các số hạng đều dương, số hạng đầu u¹ 1 và tổng của 100 số hạng đầu tiên bằng 14950 . Tính giá trị của tổng

2 1 1 2 3 2 2 3 2018 2017 2017 2018

1 1 1

...

S u u u u u u u u  u u u u

   .

A.

1 1

3 1 6052

  

 

 . B.

1 1

 6052

. C. 2018 . D. 1.

Câu 39: [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ ^Oxyz, cho mặt cầu

  

S1 : x1

 

² y1

 

² z 2



² 16

và

  

S2 : x1

 

² y2

 

²  z 1



² 9

cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn

 

^C . Tìm tọa độ tâm J của đường tròn

 

^C _.

A.

1 7 1 2 4 4; ;

J . B.

1 7 1 3 4 4; ; J 

 

 . C.

1 7 1

3 4; ; 4

J  . D.

1 7 1

2 4; ; 4 J  .

Câu 40: [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ ^Oxyz, cho các điểm ^A



^{4; 2;5}



_,^B



^{0;4; 3}^



_,



^{2; 3;7}



C  . Biết điểm M x y z



0; ;0 0



nằm trên mặt phẳng ⁽^Oxy⁾sao cho MA MB MC    đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng P x ⁰y⁰z⁰.

A. P 3. B. P0. C. P3. D. P6.

Câu 41: [2D1-3] Biết đồ thị hàm số ^y^



^m^⁴



^x³^⁶



^m^⁴



^x²^¹²^mx^⁷^m^¹⁸_(với_m là tham số

thực) có ba điểm cố định thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua ba điểm cố định đó.

A. ^y^{ }⁴⁸^x^¹⁰. B. y 3x1. C. ^y^{ }^x ². D. ^y^²^x^¹.

Câu 42: [1D2-3] Cho một tập hợp có 2018 phần tử. Hỏi tập đó có bao nhiêu tập con mà mỗi tập con đó có số phần tử là một số lẻ.

A. 1009 . B. 2²⁰¹⁸1. C. T 2i. D. 2²⁰¹⁷.

Câu 43: [2D2-3] Số nghiệm thực của phương trình

1 1

2018 2018

1 2018

x

 x x 

  là

(7)

A. 3 . B. 0 . C. 2018 . D. 1.

Câu 44: [2D4-3] Cho phương trình ^z⁴^²^z³^⁶^z²^⁸^z^{ }^{9 0} có bốn nghiệm phức phân biệt là z¹, z², z3, z⁴. Tính giá trị của biểu thức T 



z1²4

 

z2²4

 

z3²4

 

z4²4



.

A. T 2i. B. T 1. C. T  2i. D. T 0.

Câu 45: [1H2-3] Từ các chữ số 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 8 chữ số sao cho trong mỗi số đó có đúng ba chữ số 1, các chữ số còn lại đôi một khác nhau và hai chữ số chẵn không đứng cạnh nhau?

A. 2612 . B. 2400 . C. 1376 . D. 2530 .

Câu 46: [2D1-3] Cho hàm số ^{f x}

 

^^x³^^mx²^^nx^¹ _với_m_,_n là các tham số thực thỏa mãn

 

0

7 2 2 0

m n

  

   

 . Tìm số điểm cực trị của hàm số ^y^ ^{f x}

 

_.

A. 2 . B. 9 . C. 11. D. 5 .

Câu 47: [2D3-3] Tính diện tích hình phẳng giới han bởi các đường y x ²2 và y  x A.

13

3 . B.

7

3 . C. 3 . D.

11 3 .

Câu 48: [2D1-3] Cho hàm số ^y^



^{x a}^

 

³^ ^{x b}^



³^^x³_với_a_,_b là tham số thực. Khi hàm số đồng biến trên



^{  }^;



, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ^A^⁴



^a²^^b²



^



^{a b}^{ }



^ab_.

A. MinA 2. B.

Min 1 A 16

. C.

Min 1 A 4

. D. MinA0. Câu 49: [2H3-3] Trong không gian với hệ tọa độ ^Oxyz, cho đường thẳng

1 2

: 2 1 1

x y z

  

 và hai điểm ^A



^{0; 1;3}^



_,^B



^{1; 2;1}^



. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho MA²2MB² đạt giá trị nhỏ nhất.

A. ^M



^{5;2; 4}^



_. _B.^M



^{  }^{1; 1; 1}



_. _C.^M



^{1;0; 2}^



_. _D.^M



^{3;1; 3}^



_.

Câu 50: [2H1-4] Cho tứ diện ABCD, trên các cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy các điểm M, N , P sao cho BC3BM,

3 BD 2BN

, AC2AP. Mặt phẳng



^MNP



chia khối tứ diện ABCD

thành hai phần có thể tích là V¹, V². Tính tỉ số

1 2

V V .

A.

1 2

26 13 V V 

. B.

1 2

26 19 V V 

. C.

1 2

3 19 V V 

. D.

1 2

15 19 V V 

. ---HẾT---

(8)

GIẢI CÁC CÂU VD-VDC

Câu 19. [2D2-3] [Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định năm 2018]Cho hàm số

( ) ln2018 1 f x x

 x

 . Tính tổng ^S^ ^f^

 

¹ ^ ^f^

 

² ^{ }^... ^f^



²⁰¹⁸



A.

2018 S 2019

. B. S 1. C. S ln 2018. D. S 2018.

Lời giải Chọn A.

Ta có:

 

²⁰¹⁸ ^. ¹

1 2018

x x

f x x x

 

 

    

 

²

2018 1

.2018 1

x x x

 

 ^ ^{x x}



¹^¹



Khi đó:

 

¹ ¹

f 1.2

;

 

² ¹

f  2.3

; …;



²⁰¹⁸



¹

2018.2019 f 

. S

1 1 1

1.2 2.3 ... 2018.2019

    1 1 1 1 1

1 ....

2 2 3 2018 2019

       1

1 2019

  2018

2019 .

Chọn phương án A.

2018 S 2019

. Bài toán tương tự:

Câu 1. [2D2-3] Cho hàm số ( ) 2018.f x  e^x . Tính tổng ^S ^ ^f^

 

⁰ ^ ^f^

 

^{1 ...}^{ } ^f^



²⁰¹⁸



A.

1 2019

2018.

1 S e

e

 

 . B.

1 2018

2018.

1 S e

e

 

 . C.

1 2018

1 S e

e

 

 . D.

21 2019

2018 . 1 S e

e

 

 .

Ta có: ^{f x}^

 

^^2018.^e^x_.

^f^

 

^x ^^2018.^e^x

Khi đó : ^f^

 

⁰ ^²⁰¹⁸_; ^f^

 

¹ ^^2018.^e_;…; ^f^



²⁰¹⁸



^^2018.^e²⁰¹⁸_.

S 2018 2018. e ... 2018.e²⁰¹⁸ ^^{2018 1}



^{  }^e ^... ^e²⁰¹⁸



^^2018.¹^₁_^e²⁰¹⁹_e _.

Chọn phương án A.

1 2019

2018.

1 S e

e

 

 .

Câu 2. [2D2-3] Cho hàm số

( ) ln1 f x  x

. Tính tổng ^S^_n^lim_



^f^

 

¹ ^ ^f^

 

² ^ ^f^

 

^{2 ...}² ^ ^f^

 

²ⁿ ^^...



A. S  2. B. S 2. C.

3 S 2

. D.

3 S  2

.

(9)

Ta có: ^{f x}

 

^x^. ¹ ¹

x x

 

       .

Khi đó: ^f^

 

¹ ^{ }¹_; ^f^

 

² ^{ }¹₂_;

 

² 2

2 1 f  2

; …; f

 

²ⁿ  ₂¹n

.

S ²

1 1 1

lim 1 ... ...

2 2 2ⁿ

n

 

        ²

1 1 1

lim 1 ... ...

2 2 2ⁿ

n

 

          2. Chọn phương án A. S  2.

Câu 25. [2H1-2] [Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định năm 2018] Cho hình chóp .S ABCD có đáy là

hình thang vuông tại A và .B Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy (ABCD) trùng với trung điểmAB. Biết AB1,BC2,BD 10. Góc giữa hai mặt phẳng



^SBD



và mặt phẳng đáy là 60 . Tính thể tích ⁰ V của khối chóp .S BCD.

A.

30

4 . B.

30

12 . C.

30

20 . D.

3 30 8 Lời giải

Chọn C.

Gọi H là trung điểm của AB ^^SH ^



^ABCD



_kẻ_HI __BD_tại_I_{suy ra}_SI vuông góc với BD

Suy ra góc giữa ^{mp SBD}

 

và mặt phẳng ^{mp ABCD}

 

chính là góc



^{SI IH}^,



^{ }^SIH ^⁶⁰⁰

Ta có ABD đồng dạng với IBH

. 3 10

20

BD AD AD BH

BH IH IH BD

    

Trong SHI vuông tại H có

0 3 30

tan 60 SH IH  20

A

B C

D S

H I

(10)

Do ^ ^, ^

/ / 1 .

BCD 2 D BC

AD BCS_  d BC

 ^, 

1 1

. . 1

2d ^{A BC} BC 2 AB BC

  

1 30

3 . 20

SBCD BCD

V SH S

  

Câu phát triển :[2H1-2 -PT] Cho khối chóp .S ABCD có SAvuông góc với đáy, SA4,AB6, 10

BC  và CA8. Biết BD cắt AC tại trung điểm I của AC sao cho DI 3BI

Tính thể tích khối chóp .S ABCD.

A. V 128. B. V 192. C. V 32. D. V 24. Lời giải

Chọn A.

Ta có AB²AC² 6²8² 10² BC² suy ra tam giác ABC vuông tại A, Do DI 3IBd^_{D AC}^; ^ 3d^_{B AC}^; ^ 18

Diện

tích ABCD là: ^ ^, ^

1 1

. .

2 2

ABCD BAC DAC D AC

S S S  AB AC d AC

1 1

.6.8 18.8 96

2 2

  

Vậy

1 1

. . .4.96 128

3 3

SABCD ABCD

V  SA S  

.

Câu 35. [2H2-3] (Đề thi HK2-Lê Hồng Phong-Nam Định) Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là

tam giác vuông tại B, BC2a Mặt bên



^SAB



vuông góc với đáy, ASB60^o, SB a . Gọi

 

^S là mặt cầu tâm B và tiếp xúc với



^SAC



 

^S _.

A. r2a. B.

2 3 r a 19

. C. r2a 3. D.

3 r a 19

. Lời giải

Chọn B.

(11)

Ta có



^SAB

 

^ ^ABC



_,



^SAB

 

^ ^ABC



^ ^AB_,_BC_ _AB^^BC^



^SAB



_.

Vẽ BM SA tại M ^^SA^



^BMC



^



^SAC

 

^ ^BMC



_{, vẽ}_BH __MC_tại_H

 

BH SAC

   r BH.

Ta có BM sin 60 .^oSB

3 2 BM a

 

, ² ²

. BC BM BH  BC BM



2 2

2 . 3 2 4 3

4 a a a a



 3

2a 19



. Vậy bán kính của mặt cầu

 

^S _bằng²^a ₁₉³ _.

Phân tích: Để giải quyết bài toán trên, học sinh phải nắm vững 2 vấn đề:

1. Cách xác định chân đường cao của hình chóp: Ở bài này sử dụng định lý “Cho 2 mặt phẳng vuông góc với nhau, đường thẳng nằm trong mặt này vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt kia’’.

2. Cách xác định khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng.

Bài toán phát triển:

Bài 01: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, biết AB BC a  3,

  90⁰

SAB SCB  , SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 45 . Gọi ⁰

 

^S là mặt cầu tâm B và tiếp xúc với



^SAC



 

^S _.

A. r2a. B. a 2. C. r2a 3. D. r a 6. Lời giải

Chọn B.

(12)

O B

H C

A

S

K

+ Gọi ^H là hình chiếu vuông góc của ^S trên mp



^ABC



Ta có:

( )

(gt) SH ABC

HA AB SA AB

 

 

  .

Tương tự ^HC^^BC. Suy ra tứ giác ^HABClà một hình vuông + Do ^SH ^



^ABCH



^



^{SB ABC}^,

  

^^^SBH ^⁴⁵⁰SH HB a 6 + Dựng ^HK ^^SO tại ^K (1). (với ^O là tâm của hình vuông HABC) Do ^O

SH AC H AC

 

 

 ^^AC^



^SHO



^^AC^^HK

 

²

Từ (1) và (2) suy ra ^HK ^⁽^SAC⁾, nên

[ ,( )]

d H SAC HK ² ² . SH HO SH HO

  ² ²

6. 3

6 3

a a

  a 2

Lại có: ^HB^⁽^SAC⁾^^O^^{d B SAC}



^,( ⁾



^^{d H SAC}



^{, (} ⁾



__a ₂

Vậy bán kính của mặt cầu

 

^S _bằng_a ₂_.

Câu 38: [1D3-3] [Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định năm 2018]Cho cấp số cộng

 

un có các số

hạng đều dương, số hạng đầu u¹1 và tổng của 100 số hạng đầu tiên bằng 14950 . Tính giá trị

của tổng

2 1 1 2 3 2 2 3 2018 2017 2017 2018

1 1 1

...

S u u u u u u u u  u u u u

   .

A.

1 1

3 1 6052

  

 

 . B.

1 1

 6052

. C. 2018 . D. 1.

Giải Chọn A.

Gọi d là công sai của cấp số cộng. Khi đó:

100 1

100.99

100 100 4950 14950 3

S  u  2 d   d   d . Do đó u²⁰¹⁸ u¹ 2017d 6052.

(13)

Ta có: û^k^¹ û^k ¹^^{u u}^k ^k^¹ ^ û^k^. û^k^¹^.



¹^u^k ^ ^u^k^¹



^^d¹^. ûû^k^k^¹^.^û^k^û¹^k ^^d¹^.^^^^ ¹û^k ^ û¹^k^¹ ^^^^_.

Do đó:

1 2 2 3 2017 2018 1 2018

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

. . ... . .

S d u u d u u d u u d u u

     

 

             

       

1 1

3 1 6052

 

   

 .

Phân tích bài toán:

- Bài toán kết hợp giữa cấp số nhân và bài toán tính tổng S của một biểu thức liên quan đến n số hạng cách đều.

- Để giải bài toán trên ta cần xác định được công sai của cấp số cộng, sau đó biến đổi tổng về theo công sai, số hạng đầu và số hạng thứ n. Từ đó, tính được tổng S _.

BÀI TOÁN PHÁT TRIỂN:

Câu 1: [1D3-3] Cho một cấp số cộng ( )uⁿ có số hạng đầu u¹ 1 và số hạng thứ 100 bằng 1090 . Tính

tổng ^{1 2} ^{2 3} ^{2017 2018}

1 1 1

...

Su u u u  u u

A.

22187 22188 S 

. B. S 22188. C.

2017 22188 S 

. D.

1 22188 S 

. Giải

Chọn C.

Gọi d là công sai của cấp số cộng

 

un _.

Từ giả thiết suy ra u¹99d 1090  d 11 u201822188 Ta có:

1 2 2 3 2017 2018 1 2 2 3 2017 2018

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

... ...

S u u u u u u d u u d u u d u u

   

 

              

     

1 2018

1 1 1 2017

22188 d u u

 

   

 

Câu 39. [2H3-3](HK2 Lê Hồng Phong – Nam Định – 2018): Trong không gian với hệ tọa độ ^Oxyz, cho mặt cầu

  

S1 : x1

 

² y1

 

² z 2



²16 và

  

S2 : x1

 

² y2

 

² z 1



² 9 cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn ( )C . Tìm tọa độ tâm ^J của đường tròn ( )C .

A.

1 7 1 2 4 4; ;

J  B.

1 7 1 3 4 4; ;

J 

 

  C.

1 7 1 3 4; ; 4

J   D.

1 7 1 2 4; ; 4 J   Lời giải

(14)

Chọn D.

Các điểm thuộc đường tròn ( )C có tọa độ thỏa mãn hệ:

     

2 2 2

1 1 2 16

1 2 1 9

x y z

      



     

 4x2y6z 7 0

Hay ( )C luôn nằm trên mặt phẳng ( ) : 4P x2y6z 7 0 . Suy ra tâm ^J của đường tròn ( )C hình chiếu vuông góc của I ( là tâm của mặt cầu (S )¹ nên mặt phẳng (P)

+ Phương trình đường thẳng ^IJ là:

1 2 1 2 3

x t

y t

z t

  

  

  

 . Suy ra, tọa độ của ^Jlà nghiệm của hệ

1 2 1 2 3

4 2 6 7 0

x t

y t

t x y z

  

  

 

    



3 4 1 2 7 4 1 4 t x y z

  



  

 

 

  



1 7 1

2 4 4; ; J  

  . Chọn D

Phân tích:Bài toán trên có thể giải quyết bằng cách khác : Tìm tâm ^Jbằng cách tính tỉ lệ ^J chia đoạn thẳng nối tâm hai mặt cầu. Ở lời giải trên, ta sử dụng một kỹ thuật quen thuộc trong việc tìm phương trình của « phần chung » của các đường, mặt bậc 2 : Ta thường khéo léo kết hợp hai phương trình để tạo ra phương trình của phần tương giao (Ở bài này (hoặc các bài về tương giao của hai đường tròn trong phẳng) thì ta trừ hai phương trình cho nhau, ta sẽ thu được phương trình một mặt phẳng ( hoặc một đường thẳng))

Bài tập phát triển: Ta có thể đưa ra một bài toán tương tự

Câu 1: [2H3-3-PT1] Trong không gian với hệ tọa độ ^Oxyz cho mặt cầu

  

^S ^: ^x^¹

 

²^ ^y^¹

 

²^{ }^z ²



² ^⁹_{và điểm}^M



^{1;3; 1}^



. Biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M tới mặt cầu đã cho luôn thuộc vào đường tròn ( )C . Tìm tâm ^J và bán kính r của đường tròn ( )C

A.

12 11 23 , 1; ; 25 25 25

r J  B.

12 41 11 23

, ; ;

5 25 25 25 r J 

C.

12, 1;11 23;

5 25 25

r J  D.

12 11 73 , 1; ; 25 25 25 r J  Lời giải

Chọn C.

(15)

Cách 1: Ta có

  

^S ^: ^x^¹

 

²^ ^y^¹

 

²^{ }^z ²



² ^⁹

có tâm (1; 1;2)I  , bán kính ^R^³ ^IM ^ ⁰²^⁴² ^³² ^⁵. GọiA là một tiếp điểm. Sử dụng định lý Pytago, ta dễ dàng tính được MA IM²IA² 4.

+ Do ^AJ ^^IM nên ta có: AJ MA .sin AMJ

. 12 5 MA IA

 IM 

r_.

+ MJ MA .cos AMJ

. 16 5 MA MA

 IM  . Vậy

16 25 MJ

MI  16

MJ 25MI

  _1;^{11 23}_; 25 25

J 

  

Cách 2: Gọi A x



; y;z



là một tiếp điểm,

2 2 4

MA IM IA  ^



^x^¹

 

²^ ^y^³

 

²^{ }^z ¹



² ^¹⁶. Vậy tọa độ của A là nghiệm của hệ

     

2 2 2

1 3 1 16

1 1 2 9

x y z

      



     

 4y3z 1 0. Hay A( ) : 4P y3z 1 0

Vậy:

2 2 12

( ,( )) r R d I P  5

, J là hình chiếu vuông góc của I lên ( ) : 4P y  3z 1 0. Tọa

độ của J là nghiệm của hệ:

4 3 1 0

1 1 4 2 3 y z x

y t

z t

  

 

   

  



1 11 25 23 25 x y z

 



 

 



Câu 40: [2H3-3] [Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định năm 2018]Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm ^A



^{4; 2;5}



_,^B



^{0;4; 3}^



_,^C



^{2; 3;7}^



. Biết điểm M x y z



0; ;0 0



nằm trên mặt phẳng Oxysao cho MA MB MC   

đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng P x ⁰y⁰z⁰.

A.^P^{ }³. B.^P^⁰. C.^P^³. D.^P^⁶.

Lời giải Chọn C.

(16)

Gọi ^G



^2;1;3



là trọng tâm ^^ABC MA MB MC     3MG 3MG . Do đó MA MB MC   

nhỏ nhất khi ^MG nhỏ nhất.

Mà ^{MG d G Oxy}^ ^_ ^,

 

^_^^GH _nên_MG nhỏ nhất khi M H khi đóM là hình chiếu vuông góc của ^G lên



^Oxy



^^M



^2;1;0



x₀y₀z₀ 3.

Câu 49: [2H3-3][Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định năm 2018]Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

1 2

: 2 1 1

x y z

  

 và hai điểm ^A



^{0; 1;3}^



_,^B



^{1; 2;1}^



. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho MA²2MB² đạt giá trị nhỏ nhất.

A.^M



^{5;2; 4}^



_. _B.^M



^{  }^{1; 1; 1}



_. _C.^M



^{1;0; 2}^



_. _D.^M



^{3;1; 3}^



_.

Lời giải Chọn B.

Vì M thuộc đường thẳng  nên ^M



^{1 2 ; ; 2}^ ^{t t} ^{ }^t



_.

Ta có MA² 2MB² ^



^{2 1}^t^

 

²^{ }^t ¹

 

²^{ }^t ⁵



²^^{2 2}^_

  

^t ²^{ }^t ²

 

²^{ }^t ³



²^_ _₁₈_t²_₃₆_t_₅₃

 MA²2MB² ^¹⁸



^t^¹



² ^³⁵ _₃₅_,_{ }_t _ _.

Vậy ^min



^MA²^²^MB²



^³⁵ _{  }_t ₁_hay^M



^{  }^{1; 1; 1}



_.

Bài phát triển

Hai bài ở trên là bài toán cực trị hình học tìm ^{M a b c}



^{, ,}



nằm trên đường thẳng hay mặt phẳng, dạng này ra rất nhiều trong các đề thi thử gần đây và cũng đã có khá phong phú bài tập. Bên dưới, em phát triển một bài tìm ^{M a b c}



^{, ,}



nằm trên mặt cầu. Kỹ thuật dùng là hình học kết hợp với biến đổi tí về đại số. Ý tưởng tạo ra bài đó là khi ^{MA kMB}^ (với ^k là một số thích hợp) thì M sẽ di động trên mặt cầu.

Bài 1. [2H3-4]Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

  

^S ^: ^x^³

 

²^ ^y^²

 

²^{ }^z ¹



² ^⁴_,^A



^^1;2;1



_và^B



^2,5,1



_{. Cho}^{M a b c}



^{, ,}



là điểm di động trên mặt cầu

 

^S _{sao cho}_MA_₂_MB đạt giá trị nhỏ nhất. Tính ^{a b c}^{ } ^.

A.5 3. B.5 3. C.4 3. D.4 3.

Lời giải

(17)

Chọn A.

  

^S ^: ^x^¹

 

²^ ^y^²

 

²^{ }^z ¹



² ^⁴_{có tâm}^I



^{3;2;1 ,}



^R^²_.

Ta có ^IA^{  }⁴ ^R A nằm ngoài khối cầu.

10

IB  R B nằm ngoài khối cầu.

Ta có ^MA^



^x^¹

 

²^ ^y^²

 

²^{ }^z ¹



²



^x ¹

 

² ^y ²

 

² ^z ¹



² ³^



^x ³

 

² ^y ²

 

² ^z ¹



² ⁴^

              

 

²

 

²

 

²

4 x 2 4 y 2 4 z 1 2MC

      

với ^C



^2;2;1



_.

Ta có ^IC ^{  }¹ ^R ^C nằm bên trong khối cầu.

Ta có ^MA^²^MB^²^MC^²^MB^²^BC.



²



²

Min MA MB  BC M là giao điểm của đoạn thẳng ^BC và mặt cầu

 

^S (nghĩa là M nằm giữa ,B C).

Phương trình đường thẳng ^BC là

 

2

2 3 2;2 3 ,1 1

x

y t M t

z

 

    

 

 .



^{2;2 3 ,1}

  

M  t  S 



^{2 3}

 

² ^{2 3} ²

 

² ^{1 1}



² ⁴ ¹

t t 3

          .

Vậy

 

2;2 3;1 2;2 3;1 M

M

 

 

 .

Do M nằm giữa ,B C nên ^M



^2;2^ ^3;1



_(do_MC^{} cùng hướng BC

).

Câu 41: [2D1-3] Câu 41 [LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH – HK2 ]Biết đồ thị hàm số



⁴



³ ⁶



⁴



² ¹² ⁷ ¹⁸

y m x  m x  mx m (với m là tham số thực) có ba điểm cố định thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua ba điểm cố định đó.

A.y 48x10. B.y 3x1. C. y x 2. D.y2x1. Lời giải

Chọn A.

Gọi M x y



0; 0



là điểm cố định của đồ thị hàm số đã cho.

Khi đó: y0 



m4



x0³6



m4



x0²12mx07m18 luôn đúng  m 





x³06x0²12x07



m y 04x0³24x0²18

luôn đúng  m 

(18)



3 2

0 0 0

3 2

0 0 0

6 12 7 0

4 24 18 0

x x x

y x x

    



   



3 2

0 0 0

3 2

0 0 0

6 12 7

4 24 18 0

x x x

y x x

   

 

   



 y04 12



x0 7



18 0  y₀  48x₀10.

Vậy phương trình đường thẳng đi qua ba điểm cố định là y 48x10. Câu thêm :

Câu 1. Biết đồ thị

 

Cm của hàm số ^y ⁽^m ¹⁾^{x m}



^m ⁰



x m

 

 

 luôn đi qua một điểm M cố định khi m thay đổi. Tọa độ điểm M khi đó là

A.

1; 1 2

  

 

 

M

. B. ^M

 

^0;1 _. _C.^M



^^1;1



_. _D.^M



^{0; 1}^



_.

Lời giải Chọn B.

Gọi M x y( ; )⁰ ⁰ là điểm cố định cần tìm.

Ta có

0 0

0

( 1) m x m,

y x m

 

   m 0 x y0 0my0 mx0 x0 m, m 0, x⁰  m

0 0 0 0 0

( 1) 0

m y x x y x

      ,  m 0

0 0

0 0 0

1 0 0

  

  

 y x x y x

0 0

0 1

 

   x

y M(0;1).

Câu 2. Hỏi khi m thay đổi đồ thị (C_m) của hàm số y x ³3mx² x 3m đi qua bao nhiêu điểm cố

định ?

A.1. B.3 . C.2. D.4 .

Lời giải Chọn C.

Gọi M x y( ; )⁰ ⁰ là điểm cố định cần tìm.

Ta có: y⁰ x⁰³3mx⁰² x⁰ 3 ,m m .

2 3

0 0 0 0

3(1 x m x) x y 0, m

 �