Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc | Hay nhất Giải bài tập Toán lớp 11

Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc A. Các câu hỏi hoạt động trong bài

Hoạt động 1 trang 93 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm của cạnh AB. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây:

a) AB và BC ; b) CH và AC . Lời giải:

Tứ diện ABCD đều có các mặt là tam giác đều.

a) Góc giữa AB và BC là góc α và α = 180^o – 60^o = 120^o b) Góc giữa CH và AC là góc β

H là trung điểm cạnh AB của tam giác đều ABC nên CH vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên CH⊥AB

Xét tam giác vuông ACH tại H có ACH CAH 90+ = 

ACH 90 60 30

 =  −  =  Nên β = 180^o – 30^o = 150^o

Hoạt động 2 trang 94 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.

a) Hãy phân tích các vectơ AC' và BD theo ba vectơ AB , AD , AA'.

b) Tính cos AC', BD

( )

và từ đó suy ra AC' và BD vuông góc với nhau.

Lời giải:

a)

AC'=AC+AA'=AB+AD+AA' BD=AD−AB

b) cos AC', BD

( )

^AC'.BD

AC' . BD

=

( ) ( )

AC'.BD= AB+AD+AA ' . AD−AB

(

^{AB AD AA ' .AD}

) (

^{AB AD AA ' .AB}

)

= + + − + +

AB.AD AD.AD AA'.AD AB.AB AD.AB AA'.AB

= + + − − −

Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ nên AB, AD, AA’ đôi một vuông góc với nhau

( )

²

( )

²

AC'.BD 0 AD 0 AB 0 0 0

 = + + − − − = (vì AB = AD)

( )

^AC'.BD

cos AC , BD 0

AC' . BD

 ' = =

(

^{AC , B' D}

)

^90

 =

Vậy hai vectơ AC' và BD vuông góc với nhau.

Hoạt động 3 trang 95 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau đây:

a) AB và B’C’;

b) AC và B’C’;

c) A’C’ và B’C.

a) Góc giữa AB và B’C’ là góc giữa AB và BC (vì B’C’//BC) Suy ra góc giữa AB và B’C’ là: ABC 90= 

b) Góc giữa AC và B’C’ là góc giữa AC và BC (vì B’C’//BC) Suy ra góc giữa AC và B’C’ là: ACB 45= 

c) Góc giữa A’C’ và B’C là góc giữa AC và B’C (vì A’C’//AC)

ACB' đều vì AC = B’C = AB’ (đường chéo của các hình vuông bằng nhau) Suy ra góc giữa A’C’ và B’C là: ACB' 60= 

Hoạt động 4 trang 97 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình lập phương

ABCD.A’B’C’D’. Hãy nêu tên các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương đã cho và vuông góc với:

a) Đường thẳng AB;

b) Đường thẳng AC.

Lời giải:

a) Đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương đã cho và vuông góc với đường thẳng AB là AD, A’D’, BC, B’C’, AA’, BB’, CC’, DD’.

b) Đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương đã cho và vuông góc với đường thẳng AC là BD, B’D’, AA’, BB’, CC’, DD’.

Hoạt động 5 trang 97 SGK Toán lớp 11 Hình học: Tìm những hình ảnh trong thực tế minh họa cho sự vuông góc của hai đường thẳng trong không gian (trường hợp cắt nhau và trường hợp chéo nhau).

Lời giải:

Trường hợp cắt nhau: hai cạnh liền nhau của bàn, hai cạnh liền nhau của cửa số.

Trường hợp chéo nhau: bóng đèn tuyp trên tường tạo ra 1 đường thẳng vuông góc với cạnh của mặt tường bên cạnh.

B. Bài tập

Bài tập 1 trang 97 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình lập phương ABCD.EFGH.

Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây:

a) AB và EG ; b) AF và EG ; c) AB và DH . Lời giải:

a) Vì ABCD.EFGH là hình lập phương nên EG=AC Do đó:

(

^{AB, EG}

) (

^{= AB, AC}

)

^=45

b) Ta có:

(

^{AF, EG}

) (

^{= AF, AC}

)

^{= 60}

Do tam giác AFC có ba cạnh là ba đường chéo của ba mặt bên nên AFC là tam giác đều.

c) Vì ABCD.EFGH là hình lập phương nên DH=AE Do đó:

(

^{AB, DH}

) (

^{= AB, AE}

)

^{= 90}

Bài tập 2 trang 97 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD.

a) Chứng minh rằng AB.CD AC.DB AD.BC 0+ + = .

b) Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện ABCD có AB⊥CD và AC⊥BD thì AD⊥BC.

Lời giải:

a) ^{AB.CD=AB. AD}

(

^−AC

)

( )

AC.DB=AC. AB−AD

( )

AD.BC=AD. AC−AB

Cộng từng vế ba đẳng thức trên ta được:

AB.CD+AC.DB+AD.BC

( ) ( ) ( )

AB AD AC AC. AB AD AD AC AB

= − + − + −

AB.AD AB.AC AC.AB AC.AD AD.AC AD.AB

= − + − + −

AB.AD AD.AB AC.AB AB.AC AD.AC AC.AD

= − + − + −

0 0 0 0

= + + =

b) AB⊥CDAB.CD=0 AC⊥DBAC.DB=0

Từ đẳng thức câu a ta có: AB.CD+AC.DB+AD.BC=0 AD.BC 0

 =

AD BC

 ⊥

Bài tập 3 trang 97 SGK Toán lớp 11 Hình học:

a) Trong không gian nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c thì a và b có song song với nhau không?

b) Trong không gian nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a có vuông góc với c không?

Lời giải:

a) Trong không gian nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c thì nói chung a và b chưa chắc song song với nhau vì a và b có thể cắt nhau hoặc có thể chéo nhau.

Ví dụ. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có AB và BC cùng vuông góc với BB’

nhưng AB và BC cắt nhau tại B, nghĩa là chúng không song song.

b) Trong không gian nếu a⊥b và b⊥c thì a và c vẫn có thể cắt nhau hoặc chéo nhau, do đó nói chung a và c chưa chắc vuông góc với nhau.

Ví dụ. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có AB và A’B’ cùng vuông góc với AA’ nhưng AB//A’B’ chứ không vuông góc.

Bài tập 4 trang 98 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC’ và C’A. Chứng minh rằng:

a) AB⊥CC';

b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Lời giải:

a) ^{AB.CC'=AB. AC'}

(

^−AC

)

AB.AC' AB.AC

= −

AB.AC'.cos BAC' AB.AC.cos BAC

= −

1 1

a.a. a.a. 0

2 2

= − =

AB CC'

 ⊥

b) Theo giả thiết Q, P là trung điểm của AC’, BC’ do đó QP là đường trung bình của tam giác ABC’

Suy ra: QP // AB, 1 QP AB

=2 (1) Chứng minh tương tự ta có:

PB // CC’, PN 1 ' 2CC

= MN // AB, 1

MN AB

= 2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MN // QP, MN = QP.

Do đó MNPQ là hình bình hành.

Ta có: MN // AB, PN // CC’ mà AB⊥CC' do đó MN⊥NP

Hình bình hành MNPQ có một góc vuông nên MNPQ là hình chữ nhật.

Bài tập 5 trang 98 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho hình chóp tam giác

S.ABC có SA = SB = SC và có ASB=BSC=CSA. Chứng minh rằng SA⊥BC, SB⊥AC, SC⊥AB.

Lời giải:

a) ^{SA.BC=SA. SC SB}

(

⁻

)

=SA.SC SA.SB− =SA.SC.cos ASC SA.SB.cos ASB− =0 Vậy SA⊥BC.

b) ^{SB.AC=SB. SC SA}

(

⁻

)

=SB.SC SB.SA− =SB.SC.cos BSC SB.SA.cos ASB− =0 Vậy SB⊥AC.

c) ^{SC.AB=SC. SB SA}

(

⁻

)

=SC.SB SC.SA− =SC.SB.cos BSC SC.SA.cos ASC− =0 Vậy SC⊥AB.

Bài tập 6 trang 98 SGK Toán lớp 11 Hình học: Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABC’D’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O’. Chứng minh rằng AB⊥OO' và tứ giác CDD’C’ là hình chữ nhật.

Lời giải:

Ta có: AO=AO';

(

^{AO, AB}

) (

^{= AO ', AB}

)

^=45

Do vậy:

O O'

C D'

D A

C'

B

( )

AB.OO '=AB AO '−AO AB.AO' AB.AO

= −

o o

AB . AO' .cos45 – AB . AO .cos45

=

= AB.AO’.cos45^o–AB.AO.cos45^o = 0 Suy ra: AB⊥OO'

Ta có: CD AB;CD AB C'D' AB;C'D' AB

 =

 =



∥

∥

CD C'D' CD C'D'

  =

∥ Vậy CDD’C’ là hình bình hành.

Mặt khác ta có:

CC' OO ' C'D ' AB OO ' AB



 ⊥



∥

∥ CC'⊥C D' ' Vậy CDD’C’ là hình chữ nhật.

Bài tập 7 trang 98 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho S là diện tích của tam giác ABC. Chứng minh rằng ^S=1₂ ^{AB .AC2 2 −}

(

^AB.AC

)

^{2 .}

Lời giải:

2 ABC

1 1

S AB.AC.sin A AB.AC. 1 cos A

2 2

= = −

Ta lại có: AB.AC cos A

AB . AC

=

2

2 AB.AC

cos A

AB . AC

 

 

 =

 

 

Nên

2

2 AB.AC

1 cos A 1

AB . AC

 

 

− = −

 

 

2

2 AB.AC

1 cos A 1

AB . AC

 

 

 − = −

 

 

Do đó:

2

ABC

S 1

A AB.AC.

2

AB.AC 1

B . AC

 

 

− 

=

( )

²

2 2 2 2

2 2

AB.AC 1 AB .AC AB AC .

2 . AC

.

AB

= −

( )

²

2 2 2

2 2

AB.AC 1 AB.AC AB .AC .

2 AB .AC

= −

( )

²

2 2

1 AB .AC AB.AC

=2 − (điều phải chứng minh).

Bài tập 8 trang 98 SGK Toán lớp 11 Hình học: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và BAC=BAD=60. Chứng minh rằng:

a) AB⊥CD ;

b) Nếu M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD thì MN⊥ABvà MN⊥CD. Lời giải:

a) ^{AB.CD=AB AD}

(

^−AC

)

AB.AD AB.AC= − AB.AD.cos BAD AB.AC.cos BAC 0

= − =

Vậy AB⊥CD

b) MN=MA+AD+DN (1) MN=MB+BC+CN (2)

Cộng (1) với (2) theo vế với vế ta được:

MN ⁼

(

^MA+MB

) (

^{+ AD+BC}

) (

^{+ DN+CN}

)

^{= +0}

(

^AD+BC

)

^{+0 =AD+BC}

( ) ( )

1 1

MN AD BC AD AC AB

2 2

 = + = + −

Ta có: ^AB.MN=1₂^{AB. AD}

(

^{+AC AB−}

)

(

²

)

1. AB.AD AB.AC AB

=2 + −

(

²

)

1. AB.AD.cos BAD AB.AC.cos BAC AB

=2 + −

(

²

)

1. AB.AD.cos60 AB.AC.cos60 AB

=2  +  −

2 2 2

1 1 1

AB AB AB 0

2 2 2

 

=  + − = Vậy AB⊥MN.

Lại có:

( ) ( )

MN.CD 1 AD AC AB . AD AC

= 2 + − −

(

^{2 2}

)

1 AD AC.AD AB.AD AC.AD AC AB.AC

=2 + − − − +

(

^{2 2}

)

1 AD AB.AD AC AB.AC

= 2 − − +

(

^{2 2}

)

1 AD AB.AC.cos BAD AC AB.AC.cos BAC

=2 − − +

(

^{2 2 2 2}

)

1 AB AB cos60 AB AB cos6

2 .  . 0

= − − +

1 0 0

=  =2

Vậy MN⊥CD.