Bài 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG BÌNH CHÁNH

TỔ TOÁN

Khối 11

Bài 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Tiết 2

Tích vô hướng của hai vecto trong không gian

Góc giữa hai vecto trong không gian

Tích vô hướng của hai vecto trong

không gian

Vecto chỉ phương của đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng vuông góc

0 0

0 ( , ) 180u v 

. .cos( , )

u v = u v u v

Khác veto không và có giá song song

hoặc trùng với đường thẳng

0 0

0  ( , )a b  90 a b⊥  ( , ) 90a b = ⁰

Nội dung đã học

VD1: Cho |𝒂| = 𝟑, |𝒃| = 𝟓 góc giữa 𝒂 và 𝒃 bằng 𝟏𝟐𝟎°.

Tính tích vô hướng của hai véctơ 𝒂 và 𝒃

𝒂. 𝒃 = |𝒂|. |𝒃|. 𝒄𝒐𝒔 𝒂, 𝒃

= 𝟑. 𝟓. 𝐜𝐨𝐬𝟏𝟐𝟎^𝟎

= −𝟏𝟓 𝟐

Một số bài tập áp dụng

VD2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, 𝑺𝑨 = 𝒂 𝟑 và tam giác ABC vuông tại A. Khi đó 𝑪𝑨. 𝑪𝑺 =?

B

D C

A S

𝑨. 𝟐𝒂^𝟐 𝟏𝟓

𝟓 𝑩. 𝟐𝒂 𝟏𝟓

𝟓 𝑪.𝒂^𝟐 𝟔

𝟐 𝑫. 𝒂^𝟐 𝟑

𝑨𝑪 = 𝒂 𝟐; 𝑺𝑪 = 𝒂 𝟑 ^𝟐 + 𝒂 𝟐 ^𝟐 = 𝒂 𝟓 𝑪𝑨; 𝑪𝑺 = ෣𝑺𝑪𝑨  cos𝑺𝑪𝑨 =෣ 𝑨𝑪

𝑺𝑪 = 𝟏𝟎 𝟓 𝑪𝑨. 𝑪𝑺 = 𝒂 𝟐. 𝒂 𝟑. 𝟏𝟎

𝟓 = 𝟐𝒂^𝟐 𝟏𝟓 𝟓 .

VD3: Cho hình lập phương 𝐀𝐁𝐂𝐃. 𝐀′𝐁′𝐂′𝐃′ có cạnh 𝐚. Gọi 𝐌 là trung điểm 𝐀𝐃. Giá trị 𝐁′𝐌. 𝐁𝐃′ là:

A. ^𝟏

𝟐 𝐚^𝟐. B. 𝐚^𝟐. C. ^𝟑

𝟒 𝐚^𝟐. D. ^𝟑

𝟐 𝐚^𝟐.

Ta có: 𝐁′𝐌. 𝐁𝐃′ = 𝐁′𝐁 + 𝐁𝐀 + 𝐀𝐌 𝐁𝐀 + 𝐀𝐃 + 𝐃𝐃′

= 𝑩′𝑩. 𝑫𝑫′ + 𝑩𝑨^𝟐 + 𝑨𝑴. 𝑨𝑫

= −𝒂^𝟐 + 𝒂^𝟐 + 𝒂^𝟐

𝟐 = 𝒂^𝟐 𝟐

M

B'

C' A'

A

D C

B D'

VD4: Cho hình lập phương 𝑨𝑩𝑪𝑫. 𝑬𝑭𝑮𝑯.

Hãy tính góc giữa cặp vectơ 𝑨𝑩 và 𝑬𝑮?

A. 𝟗𝟎°. B. 𝟔𝟎°. C. 𝟒𝟓°. D. 𝟏𝟐𝟎°.

Ta có: 𝐄𝐆 = 𝐀𝐂 (do 𝐀𝐂𝐆𝐄 là hình chữ nhật)

⇒ 𝐀𝐁, 𝐄𝐆 = 𝐀𝐁, 𝐀𝐂 = ෣𝐁𝐀𝐂 = 𝟒𝟓°.

(Vì 𝑨𝑩𝑪𝑫 là hình vuông)

M

B'

C' A'

A

D C

B D'

VD5: Cho hình chóp 𝐒. 𝐀𝐁𝐂 có 𝐁𝐂 = 𝐚 𝟐, các cạnh còn lại đều bằng 𝐚.

Góc giữa hai vectơ 𝐒𝐁 và 𝐀𝐂 bằng

A. 𝟔𝟎°. B. 𝟏𝟐𝟎°. C. 𝟑𝟎°. D. 𝟗𝟎°.

Ta có 𝒄𝒐𝒔 𝑺𝑩, 𝑨𝑪 = 𝑺𝑩. 𝑨𝑪

𝑺𝑩 . 𝑨𝑪 = 𝑺𝑨 + 𝑨𝑩 . 𝑨𝑪

𝒂^𝟐 = 𝑺𝑨. 𝑨𝑪 + 𝑨𝑩. 𝑨𝑪 𝒂^𝟐

= − 𝒂^𝟐

𝟐 + 𝟎

𝒂^𝟐 = −𝟏 𝟐 .

Suy ra 𝐒𝐁, 𝐀𝐂 = 𝟏𝟐𝟎^𝟎.

A C

B

S

VD6: Cho hình lập phương 𝐀𝐁𝐂𝐃. 𝐄𝐅𝐆𝐇. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ 𝐀𝐅 và 𝐄𝐆?

A. 𝟗𝟎° B. 𝟔𝟎° C. 𝟒𝟓° D. 𝟏𝟐𝟎°

𝐜𝐨𝐬 𝐀𝐅; 𝐄𝐆 = 𝐀𝐅. 𝐄𝐆

𝐀𝐅. 𝐄𝐆 = 𝑬𝑭 − 𝑬𝑨 . 𝑬𝑮

𝑨𝑭. 𝑬𝑮 = 𝑬𝑭. 𝑬𝑮 − 𝑬𝑨. 𝑬𝑮 𝑨𝑭. 𝑬𝑮

= 𝑬𝑭. 𝑬𝑮

𝑨𝑭. 𝑬𝑮 = 𝒂. 𝒂 𝟐. 𝒄os𝟒𝟓^𝟎

𝒂 𝟐. 𝒂 𝟐 = 𝟏 𝟐

⇒ 𝐀𝐅; 𝐄𝐆 = 𝟔𝟎^𝟎

F

G E

A

D C

B H

VD7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ . Véctơ chỉ phương của đường thẳng AC là

𝑨. 𝑨𝑩 𝑩. 𝑨𝑩 𝑪. 𝑨^′𝑪′ 𝑫. 𝑨^′𝑪

Vì A’C’//AC

D'

C'

A'

A

B

C

D B'

VD8: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ AC và AB ⊥ BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng hai đường thẳng AB và PQ vuông góc nhau.

Ta co: PQ = PA+ AC + CQ :

Va PQ = PB + BD + DQ Do do: 2PQ = AC + BD

Vay: 2PQ AB. = (BD + AC) + AB = AC AB. + BD AB. = 0 Hay: PQ AB. = 0

Suy ra: PQ ⊥ AB

VD9: Cho hình chóp 𝑺. 𝑨𝑩𝑪𝑫 có đáy là hình vuông cạnh là 𝟐𝒂; cạnh 𝑺𝑨 = 𝒂 và vuông góc với đáy. Gọi 𝑴 là trung điểm của 𝑪𝑫. Tính 𝒄𝒐𝒔 𝜶 với 𝜶 là góc tạo bởi hai đường thẳng 𝑺𝑩 và 𝑨𝑴.

A. ^𝟐

𝟓. B. ^𝟏

𝟐. C. ^𝟒

𝟓. D. − ^𝟐

𝟓. Gọi 𝑵,𝑷 lần lượt là trung điểm 𝑨𝑩và 𝑺𝑨.

Ta có ቊ𝑺𝑩//𝑵𝑷

𝑨𝑴//𝑵𝑪 Suy ra : (𝑺𝑩, 𝑨𝑴) = (෣ 𝑵𝑷, 𝑵𝑪)෣ Xét 𝜟𝑵𝑷𝑪 có 𝑵𝑷 = ^{𝒂 𝟓}

𝟐 , 𝑷𝑪 = ^{𝒂 𝟑𝟑}

𝟐 , 𝑵𝑪 = 𝒂 𝟓.

Khi đó 𝒄𝒐𝒔 𝜶 = 𝒄𝒐𝒔 ෣𝑷𝑵𝑪 = ^{𝑵𝑷𝟐+𝑵𝑪𝟐−𝑷𝑪𝟐}

𝟐𝑵𝑷.𝑵𝑪 = ^𝟐

𝟓.

P

N

M D

C B

A S

BÀI HỌC KẾT THÚC

CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE