Dấu hiệu hai đường thẳng vuông góc I. Lý thuyết
1. Khái niệm hai đường thẳng vuông góc
- Hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt nhau và trong các góc tạo thành có một góc vuông được gọi là hai đường thẳng vuông góc.
Kí hiệu: xx’⊥yy’
2. Tính chất
Có một và chỉ một đường thẳng đi qua một điểm cho trước vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Đường thẳng a và điểm O cho trước, khi đó tồn tại duy nhất một đường thẳng b qua O và vuông góc với a
3. Đường trung trực của một đoạn thẳng
Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
Cho đoạn thẳng AB đường thẳng d đi qua trung điểm của AB và vuông góc với AB (hình vẽ trên) thì ta nói d là đường trung trực của AB.
4. Dấu hiệu nhận biết hai đườngthẳng vuông góc:
Dấu hiệu 1: Dựa vào định nghĩa
Dấu hiệu 2: Dựa vào quan hệ từ vuông góc đến song song.
Cho hai đường thẳng phân biệt a và b song song với nhau. Khi đó đường thẳng c vuông góc với đường thẳng a thì đường thẳng c cũng vuông góc vói đường thẳng b.
Ta có công thức:
a / /b
a c
⊥
⊥c b II. Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho xOy 120= . Vẽ các tia Oz và Ot nằm trong góc xOy sao cho Oz vuông góc với Ox, Ot vuông góc với Oy
a) Tính số đo góc zOt
b) Gọi Om và On lần lượt là tia phân giác của hai góc xOt và yOz . Chứng minh tia Om ⊥On
Lời giải:
a) Vì Oz vuông góc với Ox nên xOz 90= Vì Oz nằm giữa Ox và Oy ta có:
xOy=yOz+zOx=120 Thay số:
yOz+ =90 120 yOz 120= − 90 yOz = 30
Lại có Ot vuông góc với Oy nên yOt= 90
Vì yOt > yOz (90> 30) nên Oz nằm giữa Oy và Ot.
Ta có:
yOt =yOz+zOt = 90 30 +zOt = 90
zOt = − 90 30 zOt= 60
b) Xét mOt+tOz+zOn=mOn
Vì On là tia phân giác của góc yOz nên ta có:
yOn nOz yOz
= = 2
yOn nOz 30 15 2
= = =
Vì Ot vuông góc với Oy nên tOy 90= Vì Ot nằm giữa Ox và Oy nên ta có:
xOy=yOt+tOx=120 tOx+ =90 120
tOx 120= − 90 tOx= 30
Vì Om là tia phân giác của tOx nên ta có:
xOm mOt tOx
= = 2
xOm mOt 30 15
2
= = =
Ta có: mOn= mOt+tOz+zOn 15= + + = 60 15 90
Om⊥On
Ví dụ 2: Cho xOy 100= . Vẽ về phía ngoài của góc hai tia Oz và Ot sao cho Oz và Ot lần lượt vuông góc với Ox và Oy. Gọi Om là tia phân giác của góc xOy và Om’ là tia đối của tia Om.
Chứng minh Om’ là tia phân giác của góc zOt Lời giải:
Vì Om là tia phân giác của góc xOy nên ta có : xOm mOy xOy
= = 2
xOm mOy 100 50
2
= = =
Vì Ot ⊥Oy nên yOt 90=
Vì Om và Om’ là hai tia đối nhau nên ta có:
mOy+yOt+tOm ' 180= 50 + +90 tOm' 180=
tOm' 40
=
Chứng minh tương tự ta có: zOm'= 40
Vì Om’ nằm giữa Oz và Ot, lại có zOm' tOm' 40= =
Om’ là tia phân giác của góc tOz .
