Giải Toán 10 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo

(1)

Bài tập cuối chương V Bài 1 trang 102 sgk Toán 10 tập 1:

Cho ba vectơ a, b, c đều khác vectơ 0. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Nếu hai vectơ a, b cùng phương với vectơ c thì a và b cùng phương.

b) Nếu hai vectơ a, b cùng ngược hướng với c thì a và b cùng hướng.

Lời giải:

a) Hai vectơ a và c cùng phương nên a =k .c₁ (k1 ≠ 0).

Hai vectơ b và c cùng phương nên b= k .c₂ (k2 ≠ 0).

Khi đó ¹ ¹ ¹

2 2

2

a k .c k k

a .b

k k

b = k .c =  = . Do đó hai vectơ a và b cùng phương.

Vậy khẳng định a đúng.

b) Hai vectơ a và c ngược hướng nên a = −k .c₁ (k1 > 0).

Hai vectơ b và c ngược hướng nên b= −k .c₂ (k2 > 0).

Khi đó ¹ ¹ ¹

2 2

2

a k .c k k

a .b

k k

b k .c

= − =  =

− với ¹

2

k 0

k  . Do đó hai vectơ a và b cùng hướng.

Vậy khẳng định b đúng.

Bài 2 trang 102 sgk Toán 10 tập 1:

(2)

Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và AB = a, BC = 3a.

a) Tính độ dài của các vectơ AC, BD.

b) Tìm trong hình các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng a 10 2 . Lời giải:

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B:

AC² = AB² + BC²

 AC² = a² + (3a)²

 AC² = 10a²

 AC = 10a (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0) Do ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD = 10a.

Vậy AC = BD =10 a.

b) Ta thấy a 10 2 = 1

.10 a

2 .

(3)

Do đó độ dài các vectơ đó bằng 1

2 độ dài của AC và BD.

Vậy các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng a 10

2 là: OB và OD; OA và OC. Bài 3 trang 102 sgk Toán 10 tập 1:

Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và có góc A bằng 60^o. Tìm độ dài các vectơ sau:

p=AB+AD; u=AB−AD; v=2AB−AC. Lời giải:

+) Tính p :

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có AB+AD=AC. Do đó p = AB+AD = AC.

Hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD nên AC là tia phân giác của BAD.

(4)

Do đó BAC= 30 .

Tam giác ABC cân tại B nên BAC=BCA= 30 . Khi đó ABC 180=  −2.30 =120.

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có:

AC² = AB² + BC² − 2.AB.BC.cos ABC

 AC² = a² + a² − 2.a.a.cos 120^o

 AC² = 2a² + a²

 AC² = 3a²

 AC = 3a (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0) Do đó p = 3a.

+) Tính u :

Ta có u =AB−AD=DB. Do đó u = DB .

Tam giác ABD cân tại A có BAD= 60 nên tam giác ABD đều.

Do đó BD = AB = a.

Do đó u = DB = a.

+) Tính v :

Gọi H là giao điểm của AC và BD.

(5)

H là giao điểm hai đường chéo của hình thoi ABCD nên AC=2AH. Do đó ^2AB⁻^AC⁼^2AB⁻^2AH⁼^{2 AB}

(

⁻^AH

)

⁼^2HB^.

Khi đó 2AB−AC = 2HB = DB =a. Do đó v =a.

Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD.

Vẽ điểm E sao cho CE=AN (Hình 1).

a) Tìm tổng của các vectơ NC và MC; AM và CD; AD và NC. b) Tìm các vectơ hiệu: NC−MC; AC−BC; AB−ME.

c) Chứng minh AM+AN=AB+AD. Lời giải:

M là trung điểm của BC nên BM = MC = 1 2BC.

(6)

N là trung điểm của AD nên AN = ND = 1 2AD.

Do ABCD là hình bình hành nên BC = AD.

Do đó BM = MC = AN = ND.

Do CE=AN nên CE = AN.

Do đó BM = MC = AN = ND = CE.

Khi đó ta có AMCN, NCED là các hình bình hành.

a) +) Tính NC+MC:

Ta có MC=CE nên NC+MC=NC+CE=NE. +) Tính AM+CD:

Ta có AM = NC nên AM+CD=NC+CD=ND. +) Tính AD+NC:

Ta có NC=AM nên AD+NC=AD+AM=AE. b) +) Tính NC−MC:

Ta có NC−MC=NM. +) Tính AC−BC: Ta có AC−BC=AB. +) Tính AB−ME:

Ta có ME=AD nên AB ME− =AB AD− =DB.

(7)

c) Ta có AM+AN=AC và AB+AD=AC. Do đó AM+AN=AB+AD.

Cho a, b là hai vectơ khác vectơ 0. Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng?

a) a+ = +b a b ; b) a + = −b a b . Lời giải:

a) a+ = +b a b thì ^a⁺^b² ⁼

(

^a ⁺ ^b

)

²^.

2 2 2 2

a 2.a.b b a 2 a . b b

 + + = + +

a .b a . b

 =

Mà ^a.b= a . b .cos a , b

( )

nên ^{cos a, b}

( )

⁼¹^.

Do đó

( )

^{a, b} ^{= }⁰ ^.

Vậy hai vectơ a và b cùng hướng.

b) a + = −b a b thì a+b² = −a b².

2 2 2 2

a 2a.b b a 2a.b b

 + + = − +

4a .b 0

 =

(8)

( )

4 a . b .cos a, b 0

 =

Do a, b là hai vectơ khác vectơ 0 nên ^{cos a, b}

( )

⁼⁰^.

Do đó

( )

^{a, b} ^{= }⁹⁰ ^.

Vậy hai vectơ a và b vuông góc với nhau.

Cho a+b = 0. So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ a và b. Lời giải:

Do a+b = 0 nên a+ =b 0.

Trường hợp 1. Cả hai vectơ a và b đều là vectơ 0.

Khi đó hai vectơ a và b cùng hướng và có độ dài bằng nhau.

Trường hợp 2. Cả hai vectơ a và b đều khác vectơ 0. Khi đó a = −  = − =b a b b .

Do đó hai vectơ a và b cùng phương, ngược hướng và có độ dài bằng nhau.

Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng AB=CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Lời giải:

Phần thuận: AB=CD thì trung điểm hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

(9)

Do AB=CD nên hai vectơ AB, CD cùng hướng và AB = CD.

Do hai vectơ AB, CD cùng hướng nên ta có 2 trường hợp:

Trường hợp 1. Đường thẳng AB và CD trùng nhau, lại có AB = CD nên trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Trường hợp 2. Đường thẳng AB và CD song song với nhau.

Đường thẳng AB và CD song song với nhau, lại có AB = CD nên ABDC là hình bình hành.

Khi đó tâm O của hình bình hành ABCD là giao điểm hai đường chéo AD và BC nên O là trung điểm của AD và BC tức trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Phần đảo: Trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau thì AB=CD. Trường hợp 1. Hai đường thẳng AD và BC trùng nhau.

Gọi trung điểm của AD và BC là O.

Do O là trung điểm của AD nên OA = OD.

(10)

Do O là trung điểm của BC nên OB = OC.

Do đó OB − OA = OC − OD hay AB = CD.

Ta thấy hai vectơ AB và CD cùng hướng và AB = CD nên AB=CD. Trường hợp 2. Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau.

Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại điểm O, điểm O là trung điểm của AD và BC nên ABDC là hình bình hành.

Do đó AB // CD và AB = CD.

Ta thấy hai vectơ AB và CD cùng hướng và AB = CD nên AB=CD. Bài 8 trang 103 sgk Toán 10 tập 1:

Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS.

Chứng minh rằng RJ+IQ+PS=0. Lời giải:

(11)

Ta có RJ+IQ+PS=RA+AJ+IB+BQ+PC+CS. Do ABIJ là hình bình hành nên AJ= −IB.

Do CARS là hình bình hành nên RA= −CS. Do BCPQ là hình bình hành nên BQ= −PC.

Do đó RA+AJ+IB+BQ+PC+CS= −CS IB− +IB−PC+PC+CS

(

^{CS CS}

) (

^IB ^IB

) (

^PC ^PC

)

⁰

= − + + − + + − + = . Vậy RJ+IQ+PS=0.

(12)

Một chiếc máy bay được biết là đang bay về phía bắc với tốc độ 45 m/s, mặc dù vận tốc của nó so với mặt đất là 38 m/s theo hướng nghiêng một góc 20^o về phía tây bắc (Hình 2). Tính tốc độ của gió.

Lời giải:

Trong hình trên ta có vectơ v₁ là tốc độ của máy bay bay về phía bắc, vectơ v là tộc độ của máy bay so với mặt đất, vectơ v₂ là tốc độ của gió.

Khi đó độ dài ba vectơ v, v₁ và v₂ tạo thành độ dài ba cạnh của tam giác vuông.

Khi đó sin 20^o = ²

1

v v .

2 1

v v .sin 20

 = 

v2

 = 45 . sin 20^o

v2

 ≈ 15.

(13)

Vậy tốc độ của gió khoảng 15 m/s.

Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác.

Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng

minh rằng 3

MD ME MF MO

+ + = 2 . Lời giải:

Tam giác ABC đều nên ABC=ACB=BAC= 60 . Qua M kẻ NS // AB, PT // AC, RQ // BC.

Do NS //AB nên MNT=ABC= 60 và MSR =BAC= 60 . Do PT // AC nên MTN=ACB= 60 và MPQ=BAC= 60 .

(14)

Do RQ // BC nên MRS=ACB= 60 và MQP=ABC= 60 . Khi đó các tam giác MNT, MRS và MPQ là các tam giác đều.

Tam giác MNT đều có MD ⊥ NT nên D là trung điểm của NT.

Tam giác MRS đều có ME ⊥ RS nên E là trung điểm của RS.

Tam giác MPQ đều có MF ⊥PQ nên F là trung điểm của PQ.

Do D là trung điểm của NT nên MN+MT=2MD. Do E là trung điểm của RS nên MR+MS=2ME. Do F là trung điểm của PQ nên MP+MQ=2MF.

Do đó 2MD+2ME+2MF=MN+MT+MR+MS+MP+MQ

(

^MN ^MQ

) (

^MT ^MR

) (

^MS ^MP

)

= + + + + +

Tứ giác MNBQ có MN // BQ và MQ // BN nên MNBQ là hình bình hành.

Tứ giác MTCR có MT // CR và MR // CT nên MTCR là hình bình hành.

Tứ giác MSAP có MP // AS và MS // AP nên MSAP là hình bình hành.

Khi đó áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:

MN+MQ=MB; MT+MR=MC; MS+MP =MA.

Do đó

(

^MN⁺^MQ

) (

⁺ ^MT⁺^MR

) (

⁺ ^MS⁺^MP

)

⁼^MA⁺^MB⁺^MC^.

Do O là trọng tâm của tam giác ABC nên MA+MB+MC=3MO hay 2MD+2ME+2MF=3MO.

(15)

Do đó 3

MD ME MF MO

+ + = 2 . Bài 11 trang 103 sgk Toán 10 tập 1:

Một xe goòng được kéo bởi một lực F có độ lớn là 50 N, di chuyển theo quãng đường từ A đến B có chiều dài 200 m. Cho biết góc giữa F và AB là 30^o và F được phân tích thành hai lực F , F₁ ₂ (Hình 3). Tính công sinh bởi các lực F, F₁ và F₂.

Lời giải:

Đặt tên điểm đầu và điểm cuối của các vectơ như hình trên.

Tam giác ADE vuông tại E nên cos 30^o = AE AD

 AE = AD . cos 30^o = 50 . 3

2 = 25 3 N.

(16)

Ta thấy F₁⊥AB nên ^{F .AB}¹ = F . AB .cos F , AB¹

(

¹

)

= F . AB .cos90¹  =0 J.

F2 và AB là hai vectơ cùng hướng nên

(

^{F , AB}²

)

^{= }⁰ ^.

Khi đó ^{F .AB}² = F . AB .cos F , AB²

(

²

)

= F . AB .cos 0²  = 25 3 . 200 = 5000 3 J.

( )

F.AB= F . AB .cos F, AB = F . AB .cos30 = 50 . 200 . 3

2 = 5000 3 J.

Vậy công sinh bởi các lực F, F₁ và F₂ lần lượt là 5000 3 J, 5000 3 J, 0 J.

Một chiếc thuyền cố gắng đi thẳng qua một con sông với tốc độ 0,75 m/s. Tuy nhiên dòng chảy của nước trên con sông đó chảy với tốc độ 1,20 m/s về hướng bên phải.

Gọi v , v , v₁ ₂ lần lượt là tốc độ của thuyền so với dòng nước, vận tốc của dòng nước so với bờ và vận tốc của thuyền so với bờ.

a) Tính độ dài của các vectơ v , v , v₁ ₂ .

b) Tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là bao nhiêu?

(17)

c) Hướng di chuyển của thuyền lệch một góc bao nhiêu so với bờ?

Lời giải:

Đặt tên điểm đầu và điểm cuối của các vectơ như hình trên.

a) Ta có v₁ =0,75; v₂ =1, 2.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B có:

AC² = AB² + BC²

 AC = 0,75² +1, 2² ≈ 1,4 (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0)

 v ≈ 1,4.

b) Khi đó tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ khoảng 1,4 m/s.

c) Tam giác ABC vuông tại B nên AB 0,75 5 tan ACB

AC 1, 2 8

= = = .

ACB ≈ 32^o

Ta có ACB=  nên ≈ 32^o.

Vậy hướng di chuyển của thuyền lệch một góc khoảng 32^o so với bờ.