http s://www .fa ceboo k.com /viet gold h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

http s://www .fa ceboo k.com /viet gold h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

“Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường.”

MỤC LỤC

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ... 1

DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM ... 1

DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN ... 10

DẠNG 3 : TÍCH PHÂN HÀM ẨN - PP ĐỔI BIẾN ... 12

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1: Ta gặp ở bài toán đơn giản loại ... 12

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2: Bài tập thường cho ở dạng ... 18

MỘT SỐ CHÚ Ý ĐẶC SẮC VỚI TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN ... 20

CHÚ Ý 1: Với những hàm số có tính chẵn lẻ ta cần nhớ ... 20

CHÚ Ý 2: Cách đổi biến ngược đối với hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến. ... 22

CHÚ Ý 3: Bài toán tích phân có dạng sau: ... 23

CHÚ Ý 4: Một số bài toán không theo khuôn mẫu sẵn thì yêu cầu học sinh phải có tư duy, có kĩ năng biến đổi để đưa về dạng quen thuộc. ... 26

DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN ... 31

BÀI TẬP ... 46

h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps://www .fa ceboo k.com /viet gold

TÍCH PHÂN HÀM ẨN

DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT NGUYÊN HÀM Ví dụ 1: Cho



⁵

 

^

2

d 10

f x x . Kết quả



^2_ ^

 

^_

5

2 4f x dx bằng

A. 34 . B. 36 . C. 40 . D. 32 .

Lời giải Chọn A

Tacó



^2_ ^

 

^_ ^



^{2 }



²

 

5 5 5

2 4f x dx 2 dx 4 f x dx^{  5}2^



⁵

 

^{ }



^{ }



^

2

2x 4 f x dx 2. 5 2 4.10 34.

Ví dụ 2: Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên và ^{F x}

 

là nguyên hàm của ^{f x}

 

^{, biết}



⁹

 

^

0

d 9

f x x và ^F

 

^{0 3. Tính F}

 

^{9 .}

A. ^F

 

^{9  6. B. F}

 

^{9 6. C. F}

 

^{9 12. D. F}

 

^{9  12.}

Lời giải Chọn C

Ta có: ^



⁹

 

^

 

⁹0 0

d

I f x x F x ^F

   

^{9 F 0 9 F}

 

^{9 12.}

Nhận xét 1: Trong hai ví dụ trên ta thấy tích phân cần tính có cùng cận với tích phân ở giả thiết bài toán nên học sinh có thể dễ dàng nhận thấy và có thể làm được ngay. Trong một số trường hợp thì học sinh cần phải dùng tính chất để biến đổi cận tích phân hoặc phải dùng đến tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ.

Ví dụ 3: Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên đoạn [0; 6] thỏa mãn



⁶

 

^

0

10

f x dx và



⁴

 

^

2

6

f x dx . Tính giá trị của biểu thức ^



²

 

^



⁶

 

0 4

P f x dx f x dx.

A. P4.` B. P16. C. P8. D. P10. Lời giải

Chọn A

Ta có



⁶

 

^



²

 

^



⁴

 

^



⁶

 

0 0 2 4

f x dx f x dx f x dx f x dx

http s://www .fa ceboo k.com /viet gold h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

       

 



² 



⁶ 



⁶ 



⁴   

0 4 0 2

10 6 4

P f x dx f x dx f x dx f x dx .

Ví dụ 4: Cho hàm số ^{f x}

 

xác định trên \ 0 , thỏa mãn

 

^

 

^



3 5

f x 1

x x , ^f

 

^{1 a và}

 

^{ 2}

f b. Tính ^f

   

^{ 1 f 2 .}

A. ^f

   

^{ 1 f 2   a b. B. f}

   

^{ 1 f 2  a b.}

C. ^f

   

^{ 1 f 2  a b. D. f}

   

^{ 1 f 2  b a.}

Lời giải Chọn C

Ta có

 

   

  

 ³  ⁵ f x 1

x x

  ³ ⁵ 1

x x ^{ f x}

 

^{nên f x}

 

là hàm số lẻ.

Do đó

 

^

   

 

      



²



¹



²

2 2 1

d 0 d d

f x x f x x f x x.

Suy ra ^f

   

^{ 1 f   2 f}

   

^{2  f 1  f}

       

^{ 1 f 2  f  2 f 1  a b.}

Nhận xét 2: Trong một số trường hợp đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng phân tích, tổng hợp, kĩ năng biến đổi và phải có cái nhìn sâu hơn về bài toán.

Ví dụ 5: Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên



^0;



^{và thỏa}

  

^{ }

2

0

.cos

x

f t dt x x. Tính ^f

 

^{4 .}

A. ^f

 

^{4 123. B.}

 

^{4  2}

f 3. C.

 

^{4  3}

f 4. D.

 

^{4  1}

f 4. Lời giải

Chọn D

Ta có: ^{F t}

 

^



^{f t dt}

 

^{F t'}

   

^{ f t}

Đặt

 

^

  

^

 

^

 

2

2 0

0

x

G x f t dt F x F

 

^

 

^

 

   

2 / 2

' 2 .

G x F x x f x (Tính chất đạo hàm hợp: ^{f u x'}_

 

^{ }_ ^{f u u x'}

   

^{. ' )}

Mặt khác, từ gt:

 

^

  

^{ }

2

0

.cos

x

G x f t dt x x

  

^



^{  }

G x'  x.cos x ' x sin xcos x

h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps://www .fa ceboo k.com /viet gold

 

^{  }

2 .x f x²  x sin xcos x (1) Tính ^f

 

^{4  ứng với x2}

Thay x2 vào (1) ^4.f

 

^{4  2 sin 2 cos 2 1}

 

^{4  1}

f 4 Ví dụ 6: Cho hàm số

 

^

 

^



0

.cos .

x

G x t x t dt. Tính  

   ' 2

G .

A.      '  1

G 2 . B.     '  1

G 2 . C.     '  0

G 2 . D.     '  2

G 2 .

Lời giải:

Chọn B

Cách 1: Ta có: ^{F t}

 

^



^t.cos



^{x t dt}



^{F t'}

 

^t.cos



^{x t}



Đặt

 

^

 

^



^

   

^

0

.cos 0

x

G x t x t dt F x F

 

^

   

^

   

^

 

^

G x' F x F 0 ^/ F x' F' 0 xcos x x 0^/ x' 1      '  1 G 2

Cách 2: Ta có

 

^

 

^



0

.cos

x

G x t x t dt. Đặt u t du dt , ^dvcos



^{x t dx}



^chọn

 

 sin 

v x t

         

    0 



 



   0    

0 0

.sin sin sin cos cos 0 cos 1 cos

x x

x x

G x t x t x t dt x t dt x t x x

 

^{  }

     

' sin '  sin 1

2 2

G x x G

Ví dụ 7: Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm trên thỏa

   

       

   



       



0 0 1;

3 1, x,y .

f f

f x y f x f y xy x y . Tính



¹



^



0

1 d f x x.

A. ¹

2. B. 1

4. C. ¹

4. D. ⁷

4 . Lời giải

Chọn C

http s://www .fa ceboo k.com /viet gold h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

Lấy đạo hàm theo hàm số y

   

    3 ²6

f x y f y x xy,  x .

Cho ^{y 0 f x}

 

^{ f}

 

^{0 3x2  f x}

 

^{ 1 3x2}

Vậy ^{f x}

 

^



^{f x dx x}

 

^{ 3  x C mà f}

 

^{0 1 C 1 suy ra f x}

 

^{x3 x 1.}



^



^



¹

0

1 d

f x x

 





⁰ 

1

f x dx

 





^{0 3} 

1

1

x x dx



 

   

 

4 2 0

4 2 1

x x

x    1 1 4 2 1 1

4.

DẠNG SAU:  

 

 

'( ) ( ), '( ) ( ) ( ) ⁿ

f x g x f x g x

f x

(Trong đó g x( ) là hàm số đã biết, n là số dương).

Ví dụ 8: Cho hàm số ^{f x}

 

xác định trên \ 1 thỏa mãn

 

^

 

^{ 1}_

f x 1

x , ^f

 

^{0 2017,}

 

^{2 2018}

f . Tính ^{S f}

   

^{3  f 1 .}

A. S1. B. Sln 2. C. Sln 4035. D. S4. Lời giải

Chọn A

Cách 1: Ta có

  

^{d }



_^{1 d ln}



^1



^

f x x 1 x x C

x .

Theo giả thiết ^f

 

^{0 2017, f}

 

^{2 2018 nên}

   

   

    



   



ln 1 2017 khi 1

ln 1 2018 khi 1

f x x x

f x x x .

Do đó ^{S f}

   

^{3  f 1 }ln 2 2018 ln 2 2017 1. ^{   } Cách 2:

Ta có:



 

       

 



      

 



 

 

0 0

0 1

1 1

3 3

3 2

2 2

(0) ( 1) '( ) ln 1 | ln1 (1)

1 2

(3) (2) '( ) ln 1 | ln 2 (2)

1

f f f x dx dx x

x

f f f x dx dx x

x

Lấy (1)+(2), ta được f(3) f(2) f(0)    f( 1) 0 S 1. Ví dụ 9: Cho hàm số f x( ) xác định trên  

  

\ 1

3 thỏa mãn ^

 

^{ 3}_ ^,

 

^{0 1}

3 1

f x f

x và  

 

 

2 2

f 3 . Giá trị của biểu thức ^f

   

^{ 1 f 3 bằng}

A. 3 5ln 2 .  B.  2 5ln 2 . C. 4 5ln 2 .  D. 2 5ln 2 .  Lời giải

Chọn A

h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps://www .fa ceboo k.com /viet gold

Cách 1: Từ

   

     

  

  

          



¹

1

ln 3 1 khi x ;1

3 3 3

3 1 3 1dx= 1

ln 3 1 khi x ;

3

x C

f x f x

x x

x C

.

Ta có:

 

 

    

  

       

  

  

1 1

2 2

0 1

0 1 1

2 2 0 2 2

3

f C C

C C

f

 

     

  

  

  

 

    

  



ln 3 1 1 khi x ;1 3 ln 3 1 2 khi x 1;

3 x

f x

x

.

Khi đó: f

   

^{ 1} f ^{3 }ln 4 1 ln 8 2 3 ln 32 3 5ln 2^{      } .

Cách 2: Ta có

         

       

 

 

         

 

   

         

  



 

 

0 0

0 0

1 1

1 1

3 3

3 3

2 2

3 2 2 3

3 3

3 1

0 1 dx dx ln 3 1 ln 1

3 1 4

2 3

3 dx dx ln 3 1 ln 8 2

3 3 1

f f f x f x x

x

f f f x f x x

x

Lấy

   

^{2 } 1 , ta được:

     

^{     } ^{ }

   

^{   }

 

3 1 0 2 ln 32 1 3 3 5ln 2

f f f f 3 f f .

Ví dụ 10: Cho hàm số ^{f x}

 

xác định trên  

  

\ 1

2 thỏa mãn ^

 

^{ 2}_

2 1

f x x và ^f

 

^{0 1. Giá trị}

của biểu thức ^f

   

^{ 1 f 3 bằng}

A. 4 ln15 .  B. 3 ln15 .  C. 2 ln15 .  D. ln15 . Lời giải

Chọn C

Ta có

    

^



      

 

  

2.1 2 1

2 2 ln 2 1

2 1 2 1

d x

f x f x dx dx x c

x x .

 

^{0 1}

f  c 1 ^{ f x}

 

^{ln 2x 1 1.}

   

   



 



1 ln 3 1 3 ln 5 1 f

f ^{ f}

   

^{ 1 f 3  2 ln15.}

Ví dụ 11: Cho hàm số f x( ) xác định trên  

  

\ 1

2 thỏa mãn ^ 

 ( ) 2

2 1

f x x , f(0) 1^ và f(1) 2^ . Giá trị của biểu thức f( 1)^{ } f(3) bằng

A. 4 ln 5 .  B. 2 ln15 .  C. 3 ln15 .  D. ln15.

Lời giải

http s://www .fa ceboo k.com /viet gold h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

Chọn C

Cách 1: • Trên khoảng  

 

1;

2 :    



² ¹

( ) ln(2 1) .

2 1

f x dx x C

x Lại có f(1) 2 C₁ 2.

• Trên khoảng  

 

 

;1

2 :    



² ²

( ) ln(1 2 ) .

2 1

f x dx x C

x Lại có f(0) 1 C₂ 1.

Vậy

   

 

   



ln(2 1) 2 1 ( ) 2

ln(1 2 ) 1 1

2

x khi x

f x

x khi x .

Suy ra f( 1)  f(3) 3 ln15.  Cách 2:

Ta có:



 

       

 



      

 



 

 

0 0

0 1

1 1

3 3

3 1

1 1

2 1

(0) ( 1) '( ) ln 2 1 | ln (1)

2 1 3

(3) (1) '( ) 2 ln 2 1 | ln 5 (2)

2 1

f f f x dx dx x

x

f f f x dx dx x

x

Lấy (2)-(1), ta được f(3) f(1) f(0)  f( 1) ln15  f( 1) f(3) 3 ln15  . Ví dụ 12: Cho hàm số f x( ) xác định trên  

  

\ 1

3 thỏa mãn ^

 

^{ 3}_ ^,

 

^{0 1}

3 1

f x f

x và

 

  

2 2

f 3 . Giá trị của biểu thức ^f

   

^{ 1 f 3 bằng}

A. 3 5ln 2 .  B.  2 5ln 2 . C. 4 5ln 2 .  D. 2 5ln 2 .  Lời giải

Chọn A

Cách 1: Từ

   

  

   

  

  

          



¹

1

ln 3 1 khi x ;1

3 3 3

3 1 3 1dx= 1

ln 3 1 khi x ;

3

x C

f x f x

x x

x C

.

Ta có:

 

 

    

  

       

  

  

1 1

2 2

0 1

0 1 1

2 2 0 2 2

3

f C C

C C

f

 

  

   

  

  

  

 

    

  



ln 3 1 1 khi x ;1 3 ln 3 1 2 khi x 1;

3 x

f x

x

.

Khi đó: f

   

^{ 1} f ^{3 }ln 4 1 ln 8 2 3 ln 32 3 5ln 2^{      } .

h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps://www .fa ceboo k.com /viet gold

Cách 2: Ta có

         

       

 

 

         

 

   

         

  



 

 

0 0

0 0

1 1

1 1

3 3

3 3

2 2

3 2 2 3

3 3

3 1

0 1 dx dx ln 3 1 ln 1

3 1 4

2 3

3 dx dx ln 3 1 ln 8 2

3 3 1

f f f x f x x

x

f f f x f x x

x

Lấy

   

^{2 } 1 , ta được:

     

^{     } ^{ }

   

^{   }

 

3 1 0 2 ln 32 1 3 3 5ln 2

f f f f 3 f f .

Ví dụ 13: Cho hàm số ^{f x}

 

xác định trên \ 2; 2 và thỏa mãn



^



^

 

^ ₂⁴_ ^;

 

^{ 3 0}

f x 4 f

x ;

 

^{0 1}

f và ^f

 

^{3 2}. Tính giá trị biểu thức ^{P f}

     

^{ 4 f  1 f 4 .}

A.   3

3 ln25

P . B. P 3 ln 3. C.   5

2 ln3

P . D.   5

2 ln3

P .

Lời giải Chọn B

Từ ^

 

^ ₂⁴_

f x 4

x ^{ f x}

 

^



_x^42dx_4 ^

 

_x^₂⁴



^dx_x^₂



 

 

 

     

 

 

    

 

  

 



1

2

3

ln 2 ; 2

2

ln 2 2; 2

2

ln 2 2;

2

x C khi x x

x C khi x x

x C khi x x

Ta có

   

 

  

 

 



3 0

0 1

2 2

f f f

  

  

  



1 2

3

ln 5 0

0 1

ln1 2

5 C C

C

  

 

  



1 2 3

ln 5 1 2 ln 5 C

C C

 

 f x

 

 

 

    

 

 

    

 

   

 



ln 2 -ln5 ; 2

2

ln 2 1 2; 2

2

ln 2 2 ln 5 2;

2

x khi x

x

x khi x

x

x khi x

x

.

Khi đó ^{P f}

     

^{ 4 f  1 f 4 }ln 3 ln 5 ln 3 1 ln^{    1 }2 ln 5

3  3 ln 3 .

Nhận xét 3: Những bài tập kiểu này học sinh cần chú ý, nếu làm theo cách một thì hằng số ở nguyên hàm trên mỗi khoảng có thể khác nhau. Nếu làm theo cách hai thì việc chọn cận khi lấy tích phân có làm học sinh khó khăn, chắc chắn cần sự hướng dẫn tỷ mỉ của người thầy khi học.

http s://www .fa ceboo k.com /viet gold h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

Ví dụ 13: Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm và liên tục trên đoạn  1;1 , thỏa mãn 

 

^{  0,}

f x x và ^{f x'}

 

^{2f x}

 

^{0. Biết f}

 

^{1 1, tính f}

 

^{1 .}

A. ^f

 

^{ 1 e2. B. f}

 

^{ 1 e3. C. f}

 

^{ 1 e4. D. f}

 

^{ 1 3.}

Lời giải Chọn C

Biến đổi:

     

   

   

   



  

     



¹  



¹ 



¹    ¹¹ 

1 1 1

' '

' 2 0 f x 2 f x 2 df x 4 ln 4

f x f x dx dx f x

f x f x f x

     

 

^

   

       

 

4 4 4

1 1

ln 4 1 1 .

1 1

f f

e f f e e

f f .

Ví dụ 15: Cho hàm số ^{f x}

 

^0 thỏa mãn điều kiện ^{f x}

  

^{ 2x3}

  

^{f2 x và}

 

^{0  1}

f 2. Biết rằng tổng ^f

     

^{1  f 2  f 3  ... f}



²⁰¹⁷

 

^{ f 2018}



^a

b với



^{a ,b }



^và _b^a là phân số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. a 1

b . B. a1

b . C. a b 1010. D. b a 3029. Lời giải

Chọn D

Ta có ^{f x}

  

^{ 2x3}

  

^{f2 x}

 

 

 f x₂ 2 3 f x x

     





_f^{f x2} _x ^dx



^2x^{3 dx  } _{f x}

 

^{1 x2 3x C .}

Vì

 

^{0    1 2}

f 2 C .

Vậy ^{f x}

    

^{  x11x2  x12x11.}

Do đó

     

^{1  2  3  ...}



²⁰¹⁷

 

^{ 2018}



^{ 1   1 1009}

2020 2 2020

f f f f f .

Vậy a 1009; b2020. Do đó b a 3029.

h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps://www .fa ceboo k.com /viet gold

Ví dụ 16: Cho hàm số ^{y f x}

 

^0 xác định, có đạo hàm trên đoạn 0;1 và thỏa mãn: 

 

^{ }

  

0

1 2018 dt

x

g x f t , ^{g x}

 

^{ f2}

 

^{x . Tính}



¹

 

0

d g x x.

A. ¹⁰¹¹

2 . B. ¹⁰⁰⁹

2 . C. ²⁰¹⁹

2 . D. 505 .

Lời giải Chọn A

Ta có

 

^{ }

  

0

1 2018 dt

x

g x f t ^{g x}

 

^{2018f x}

 

^{2018 g x}

 

 

 

 g x 2018 g x

 

 





 



0 0

d 2018 d

t g x t

x x

g x ^

   

0 ^ 0

2 2018

t t

g x x

   

2 g t  1 2018t (do ^g

 

^{0 1)}

 

 g t 1009t1

 

^{ }

    

 



1 1

2

0 0

1009 1011

dt 2 2

g t t t .

Ví dụ 17: Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 đồng thời thỏa mãn  ^f

 

^{0 9}

và ^9f

 

^{x }_^{f x}

 

^x_^{2 9. Tính T f}

   

^{1  f 0 .}

A. T 2 9ln 2. B. T9. C.  1 9 ln 2

T 2 . D. T 2 9ln 2. Lời giải

Chọn C

Ta có ^9f

 

^{x }_^{f x}

 

^x_^{2 99}



^f

 

^{x   1}



^_^{f x}

 

^x_²

 

 

 

  

   

 ²

1 1

9 f x

f x x

.

Lấy nguyên hàm hai vế

 

 

 

 

  

 



^12d



¹₉^d

' f x

x x

f x x ^{ f x}

 

^{1 x  9x C.}

Do ^f

 

^{0 9 nên  1}

C 9 suy ra ^

 

^{  9}_

f x x 1

x ^{ }

 

^{ 9}_ ^

f x 1 x

x

Vậy ^

   

^{ }



^1  ^{ }

0

1 0 9 d

T f f 1 x x

x

 

   

 

2 1

0

9 ln 1 2

x x  1

9 ln 2 2.

http s://www .fa ceboo k.com /viet gold h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

Nhận xét 4: ở ba ví dụ sau ta nhận thấy bài toán đã có vẻ phức tạp hơn và yêu cầu học sinh phải nhớ dạng toán và cách biến đổi để đưa về dạng này. Bài tập ở mức vận dụng.

DẠNG 2: ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT, GIẢI HỆ TÍCH PHÂN

Ví dụ 18: Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên và ^{F x}

 

là nguyên hàm của ^{f x}

 

^{, biết}



⁹

 

^

0

d 9

f x x và ^F

 

^{0 3. Tính F}

 

^{9 .}

A. ^F

 

^{9  6. B. F}

 

^{9 6. C. F}

 

^{9 12. D. F}

 

^{9  12.}

Lời giải Chọn C

Ta có: ^



⁹

 

^

 

⁹0 0

d

I f x x F x ^F

   

^{9 F 0 9 F}

 

^{9 12.}

Ví dụ 19: Cho ^



²

 

^

0

d 3

I f x x . Khi đó ^



^2_

 

^{ }_

0

4 3 d

J f x x bằng:

A. 2. B. 6 . C. 8 . D. 4.

Lời giải Chọn B

Ta có ^



^2_

 

^{ }_ ^



²

 

^



^{2   2}0 ^

0 0 0

4 3 d 4 d 3 d 4.3 3 6

J f x x f x x x x .

Ví dụ 20: Cho



⁴

 

^

2

d 10

f x x và



⁴

 

^

2

d 5

g x x . Tính ^



^4_

 

^

 

^_

2

3 5 d

I f x g x x

A. I5. B. I15. C. I 5. D. I10. Lời giải

Chọn A

Có: ^



^4_

 

^

 

^_

2

3 5 d

I f x g x x^



⁴

 

^



⁴

 

^

2 2

3 f x dx 5 g x dx 5.

Ví dụ 21: Cho



⁵

 

^

2

d 10

f x x . Kết quả



^2_ ^

 

^_

5

2 4f x dx bằng:

A. 34 . B. 36 . C. 40 . D. 32 .

Lời giải Chọn A

Tacó



^2_^{2 4 f x}

 

^_^{dx2 d}



^{2 x4}



^{2 f x}

 

^{dx  }2x⁵2^4



⁵ f x

 

dx^{ }2. 5 2



^{ }



4.10 34^ .

h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps://www .fa ceboo k.com /viet gold

Ví dụ 22: Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên đoạn 0;10 và  ¹⁰

  

^

0

d 7

f x x và



⁶

 

^

2

d 3

f x x . Tính

   





² ¹⁰



0 6

d d

P f x x f x x.

A. P7. B. P 4. C. P4. D. P10. Lời giải

Chọn C

Ta có ¹⁰

  

^

0

d 7

f x x ^



²

 

^



⁶

 

^10

  

^

0 2 6

d d d 7

f x x f x x f x x

   





² ¹⁰



  

0 6

d d 7 3 4

f x x f x x .

Vậy P4.

Ví dụ 23: Cho^{y f x}

 

^{, y g x}

 

là các hàm số có đạo hàm liên tục trên 0; 2 và 

   

^{ }



²

0

. d 2

g x f x x ,



^{2 }

   

^

0

. d 3

g x f x x . Tính tích phân _{ }



^2

   

^_^

0

. d

I f x g x x. A. I ^{ }1. B. I6. C. I5. D. I^1.

Lời giải Chọn C

Xét tích phân ^



^2_

   

^_^{ }



^2_ ^

       

^{  }_

0 0

. d . . d

I f x g x x f x g x f x g x x

       





²  



²  

0 0

. d . d 5

g x f x x g x f x x .

Ví dụ 24: Cho



^2_

 

^

 

^_ ^

1

3f x 2g x dx 1,



^2_

   

^{ }_ ^{ }

1

2f x g x dx 3. Khi đó,



²

 

1

d

f x x bằng

A. ¹¹

7 . B. 5

7. C. ⁶

7 . D. ¹⁶

7 . Lời giải

Chọn B

Đặt ^



²

 

1

d

a f x x, ^



²

 

1

d

b f x x, ta có hệ phương trình   

   



3 2 1

2 3

a b a b

  

 

 

5 7 11

7 a b

http s://www .fa ceboo k.com /viet gold h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

Vậy



²

 

^{ }

1

d 5

f x x 7.

DẠNG 3 : TÍCH PHÂN HÀM ẨN - PP ĐỔI BIẾN

TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1: Ta gặp ở bài toán đơn giản loại Cho



^{b '( ).}  ^{( ) .}

a

u x f u x dx, tính



^{b ( ).}

a

f x dx. Hoặc cho



^{b ( ).}

a

f x dx, tính



^{b '( ).}  ^{( ) .}

a

u x f u x dx. Đối với loại bài tập này chúng ta sẽ đổi biến t u x ( ) và lưu ý cho học sinh tích phân của hàm số thì không phụ thuộc vào biến số.

Ví dụ 25: Cho



⁴

 

^

0

d 16

f x x . Tính



²

 

0

2 d f x x

A. 16 . B. 4. C. 32 . D. 8 .

Lời giải Chọn D

Xét tích phân



²

 

0

2 d f x x

ta có Đặt 2x t   1

d dt

x 2 . Khi x0 thì t0; khi x2 thì t4. Do đó



²

 

^



⁴

 

0 0

2 d 1 dt

f x x 2 f t ^



⁴

 

0

1 d

2 f x x  1

2.168 . Ví dụ 26: Nếu



⁶

 

^

0

d 12

f x x thì



²

 

0

3 d

f x x bằng

A. 6. B. 36. C. 2. D. 4.

Lời giải Chọn D

Đặt t3xdt3dx. Đổi cận: x  0 t 0, x  2 t 6 Khi đó:



²

 

^



⁶

 

^{ }

0 0

1 1

3 d d .12 4

3 3

f x x f t t .

Ví dụ 27: Cho



²



^2



^

1

1 d 2

f x x x . Khi đó ^



⁵

 

2

d

I f x x bằng:

A. 2. B. 1. C. 1. D. 4.

Lời giải Chọn D

Đặt t^x^{2 }1 dt^2xdx.

Đổi cận: x  1 t 2, x  2 t 5.

h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps://www .fa ceboo k.com /viet gold

Khi đó:



²



^2



^



⁵

 

1 2

1 d 1 d

f x x x 2 f t t ^



⁵

 

^



²



^2



^

2 1

d 2 1 d 4

f t t f x x x .

Mà tích phân không phụ thuộc vào biến nên: ^



⁵

 

^



⁵

 

^

2 2

d d 4

I f x x f t t .

Ví dụ 28: Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên và thỏa mãn

 





¹ 

5

d 9

f x x . Tính tích phân

 

   

 



²

0

1 3 9 d

f x x.

A. 27. B. 21. C. 15 . D. 75 .

Lời giải Chọn B

Đặt t 1 3xdt 3dx.

Với x  0 t 1 và x   2 t 5. Ta có



^2_



^



^{ }_

0

1 3 9 d

f x x ^



²



^



^



²

0 0

1 3 d 9d

f x x x ^



^5_

 

^_{ } ^{ 20}

1

d 9

3

f t t x

 



 





¹   

5

1 d 18

3 f x x  1  

.9 18 21

3 .

Ví dụ 29: Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên thỏa



¹

 

^

0

d 10

f x x . Tính  

  



²

0

2 d f x x.

A.  

  



²  

0

d 5

2 2

f x x . B.  

  



²  

0

d 20

2

f x x . C.  

  



²  

0

d 10

2

f x x . D.  

  



²  

0

d 5

2

f x x . Lời giải

Chọn B

Đặt  2

t x  1

d d

t 2 x.

Đổi cận: x0 t 0; x2 t 1. Ta có:  

  



²

0

2 d

f x x^



¹

 

0

2. f t dt 2.1020 .

Ví dụ 30: Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên ^{ }_^1;



^và



³



^



^

0

1 d 8

f x x . Tích phân ^



²

 

1

d I xf x x bằng:

A. I16. B. I^2. C. I8. D. I^4

http s://www .fa ceboo k.com /viet gold h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

Lời giải Chọn D

 





³  

0

1 d 8

I f x x . Đặt t x    1 t² x 1 2 dt tdx;

đổi cận: x  0 t 1; x  3 t 2. Khi đó ^



²

 

^

1

2 d 8

I tf t t ^



²

 

^

1

d 4

tf t t . Vậy ^



²

 

^

1

d 4

I xf x x .

Ví dụ 31: Cho



²

 

^

1

d 2

f x x . Tính _

 



⁴

1

d f x

I x

x bằng

A. I ^1. B. I^2. C. I^4. D.  1

I 2. Lời giải

Chọn C

Đặt    1

d d

t x t 2 x

x ; đổi cận: x  1 t 1, x  4 t 2

     





⁴ 



² 



²  

1 1 1

d 2d 2 d 2.2 4

f x

I x f t t f t t

x .

Ví dụ 32: Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên thỏa mãn

 

_

16



1

d 6

f x

x x và

 





² 

0

sin cos d 3

f x x x .

Tính tích phân ^



⁴

 

0

d I f x x.

A. I 2. B. I6. C. I9. D. I2. Lời giải

Chọn B

Xét _

 

_

16



1

d 6

f x

I x

x , đặt   d 

2 d

x t x t

x

Đổi cận: x  1 t 1; x16 t 4 nên ^



⁴

 

^

1

2 d 6

I f t t ^



⁴

 

^{ }

1

d 6 3

f t t 2 .



 







² 

0

sin cos d 3

J f x x x , đặt sinx u cos dx xdu

h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn ht tps://www .fa ceboo k.com /viet gold

Đổi cận: x  0 u 0; _{  } 2 1

x u ^{ }



¹

 

^

0

d 3

J f u u

Vậy ^



⁴

 

^



¹

 

^



⁴

 

^{  }

0 0 1

d d d 3 3 6

I f x x f x x f x x .

Ví dụ 33: Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên thỏa



¹

 

^

0

2 d 2

f x x và



²

 

^

0

6 d 14

f x x . Tính

 





² 

2

5 2 d

f x x.

A. 30 . B. 32 . C. 34 . D. 36 .

Lời giải Chọn B

+ Xét



¹

 

^

0

2 d 2

f x x . Đặt u2xdu2dx; x  0 u 0; x  1 u 2.

Nên ^



¹

 

0

2 f 2x dx^



²

 

0

1 d

2 f u u^



²

 

^

0

d 4

f u u .

+ Xét



²

 

^

0

6 d 14

f x x . Đặt v6xdv6dx; x  0 v 0; x  2 v 12.

Nên ^



²

 

0

14 f 6x dx ^{ 12}

  

0

1 d

6 f v v^12

  

^

0

d 84

f v v .

+ Xét

 





² 

2

5 2 d

f x x

   







⁰  



² 

2 0

5 2 d 5 2 d

f x x f x x.

* Tính

 







⁰ 

1 2

5 2 d

I f x x.

Đặt t5 x 2.Khi   2 x 0, t  5x 2dt 5dx; x   2 t 12; x  0 t 2.



 





²

1

12

1 d

I 5 f t t ^{ }

 

^

 

^

¹²

 

² 

0 0

1 d d

5 f t t f t t ^{ 1}



^{84 4}



^16

5 .

* Tính 1 ^



²



^



0

5 2 d

I f x x.

Đặt t5 x 2.Khi 0 x 2, t5x2dt5dx; x  2 t 12; x  0 t 2.

http s://www .fa ceboo k.com /viet gold h ttp s:// lu ye n th it ra cn gh ie m.vn

 

 ¹²



2 2

1 d

I 5 f t t ^{ }

 

^

 

^

¹²

 

² 

0 0

1 d d

5 f t t f t t ^{ 1}



^{84 4}



^16

5 .

Vậy

 



 



²

2

5 2 d 32

f x x .

Hoặc: Do hàm ^f



^{5 x 2}



^{là hàm số chẵn nên}

   

 

    



²



⁰

2 2

5 2 d 2 5 2 d 2.16 32

f x x f x x .

Ví dụ 34: Biết

 







11

1

d 18

f x x . Tính ^



²



^



^2

 

0

2 3 1 d

I x f x x.

A. I5. B. I7. C. I8 D. I10. Lời giải

Chọn B

Đặt t^3x^21dt6 dx x. Đổi cận x   0 t 1, x  2 t 11

 

     







²  ² 



² 



^{2 2}   ¹¹



  

0 0 0 1

1 1

2 3 1 d 2 d 3 1 d 4 d 4 .18 7

6 6

I x f x x x x xf x x f t t

Ví dụ 35: Cho hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên và



¹

 

^

0

2 d 8