BÀI TẬP DÃY SỐ
Các dạng toán
Dạng 1. Dự đoán công thức và chứng minh quy nạp công thức tổng quát của dãy số Phương pháp:
• Tìm vài số hạng đầu(u1, u2, u3, u4).
• Từ các giá trị u1, u2, u3, u4 dự đoán công thức tính un.
• Chứng minhun đúng∀n ≥1bằng phương pháp quy nạp.
Ví dụ 1. Cho dãy số(un)xác định bởi:
u1 = 1
un= 2un−1+ 3 ∀n ≥2 .
a) Viết năm số hạng đầu của dãy.
b) Chứng minh rằng un= 2n+1−3;
Lời giải.
a) Ta có 5 số hạng đầu của dãy là: u1 = 1; u2 = 2u1 + 3 = 5; u3 = 2u2 + 3 = 13;
u4 = 2u3+ 3 = 29;u5 = 2u4+ 3 = 61.
b) Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp
• Với n = 1⇒u1 = 21+1−3 = 1⇒ bài toán đúng vớin = 1.
• Giả sử uk = 2k+1−3, ta chứng minh uk+1 = 2k+2−3.
Thật vậy, theo công thức truy hồi ta có:uk+1 = 2uk+3 = 2(2k+1−3)+3 = 2k+2−3.
Ví dụ 2. Cho dãy số
u1 = 4
un+1 = un(n+ 4)
n+ 3 , n ≥1
. Tìm công thức tổng quát của dãy số.
Lời giải.
Ta có: u2 = u1(1 + 4)
1 + 3 = 5, u3 = u2(2 + 4)
2 + 3 = 6,u4 = u3(3 + 4) 3 + 3 = 7.
Dự đoán:un =n+ 3 (*).
Ta chứng minh (*) bằng quy nạp. Trước hết, u1 = 4 = 1 + 3. Vậy (*) đúng khi n= 1.
Giả sử (*) đúng khin =k, k ∈N∗. Khi đó uk =k+ 3. Ta có:
uk+1 = uk(k+ 4)
k+ 3 = (k+ 3)(k+ 4)
k+ 3 =k+ 4 = (k+ 1) + 3
Vậy (*) đúng khi n=k+ 1. Theo nguyên lý quy nạp, ta có điều phải chứng minh.
Kết luận: un=n+ 3,∀n ∈N∗.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho dãy số(un)xác định bởi:
u1 =−1, u2 = 3
un+1 = 5un−6un−1∀n≥2 . a) Viết 4 số hạng tiếp theo của dãy.
b) Chứng minh rằng: un= 5.3n−1−6.2n−1, ∀n≥1.
Bài 2. Cho dãy số
u1 = 2 un+1 =p3
2 +u3n, n≥1
. Tìm công thức tổng quát của dãy số.
Bài 3. Người ta nuôi cấy 5 con vi khuẩn ecoli trong môi trường nhân tạo. Cứ 30 phút thì vi khuẩn ecoli sẽ nhân đôi 1 lần.
a) Tính số lượng vi khuẩn thu được sau 1,2,3 lần nhân đôi.
b) Dự đoán công thức tính số lượng vi khuẩn saun giờ và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.
Dạng 2. Xét sự tăng giảm của dãy số
a) Phương pháp 1: Xét dấu của hiệu số un+1−un.
• Nếuun+1−un>0,∀n∈N∗ thì (un) là dãy số tăng.
• Nếuun+1−un<0,∀n∈N∗ thì (un) là dãy số giảm.
b) Phương pháp 2: Nếu un>0,∀n ∈N∗ thì ta có thể so sánh thương un+1
un với 1.
• Nếu un+1
un >1 thì (un) là dãy số tăng.
• Nếu un+1
un <1 thì (un) là dãy số giảm.
Nếu un<0,∀n ∈N∗ thì ta có thể so sánh thương un+1 un với 1.
• Nếu un+1
un <1 thì (un) là dãy số tăng.
• Nếu un+1 un
>1 thì (un) là dãy số giảm.
c) Phương pháp 3: Nếu dãy số(un)cho bởi hệ thức truy hồi thì thường dùng phương pháp quy nạp để chứng minh un+1 > un,∀n ∈N∗ (hoặcun+1 < un∀n ∈N∗).
Ví dụ 1. Xét tính tăng giảm của dãy số sau (un) với un= 2n+ 1 n+ 1 . Lời giải.
Ta có: un= 2n+ 1
n+ 1 = 2− 1 n+ 1. un+1−un =
2− 1
n+ 1 + 1
−
2− 1 n+ 1
= 1
n+ 1 − 1
n+ 2 >0,∀n∈N∗. Vậy dãy số (un) là dãy số tăng.
Ví dụ 2. Xét tính tăng giảm của dãy số(un) với un = n 3n. Lời giải.
Ta có un= n
3n >0,∀n∈N∗. Xét thương un+1
un
= n+ 1 3n+1 : n
3n = n+ 1
3.n <1,∀n∈N∗. Vậy (un) là dãy số giảm.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Xét tính tăng giảm của dãy số (un) với
u1 = 5 un+1 =√
5 +un, n ∈N∗.
Bài 2. Xét tính tăng giảm của dãy số (un) với un = 1
n+ 1 + 1
n+ 2 +. . .+ 1 2n. Bài 3. Xét tính tăng giảm của dãy số (un) với un =√
2n+ 2 +√ 2n.
Dạng 3. Xét tính bị chặn của dãy số
• Để chứng minh dãy số(un)bị chặn trên bởiM, ta chứng minhun ≤M,∀n ∈N∗.
• Để chứng minh dãy số(un)bị chặn dưới bởi m, ta chứng minhun≥m,∀n ∈N∗.
• Để chứng minh dãy số bị chặn ta chứng minh nó bị chặn trên và bị chặn dưới.
• Nếu dãy số (un) tăng thì bị chặn dưới bởi u1.
• Nếu dãy số (un) giảm thì bị chặn trên bởi u1.
Ví dụ 1. Chứng minh rằng dãy số (un) xác đinh bởiun = 8n+ 3
3n+ 5 là một dãy số bị chặn.
Lời giải.
Ta có un>0,∀n≥1. Suy ra dãy số bị chặn dưới.
Mặt khácun= 8n+ 3
3n+ 5 < 8n+ 3 3n = 8
3+1 n < 8
3+ 1 = 11
3 . Do đó dãy số bị chặn trên bởi 11 3 . Vậy dãy số đã cho bị chặn.
Ví dụ 2. Cho dãy số(un)xác định bởi u1 = 0 và un+1 = 1
2un+ 4,∀n ≥1.
a) Chứng minh dãy (un) bị chặn trên bởi số 8.
b) Chứng minh dãy (un) tăng, từ đó suy ra dãy (un) bị chặn.
Lời giải.
a) Ta chứng minhun≤8 với mọin ≥1.
+ Khin = 1, ta có u1 = 0<8.
+ Giả sử un≤8 với n =k ≥1, tức làuk ≤8. Ta cần chứng minhuk+1 ≤8.
Thật vậy, uk+1 = 1
2uk+ 4 ≤ 1
2.8 + 4≤8.
Vậy un≤8 với mọin ≥1, hay (un) bị chặn trên bởi 8.
b) Với mọin ≥1, ta có un+1−un= 4−1
2un. Mà un≤8 nên un+1−un ≥0.
Suy ra un là dãy số tăng. Do đó (un) bị chặn dưới bởiu1 = 0.
Kết hợp với câu a, ta được dãy số (un) bị chặn.
Ví dụ 3. Cho dãy số(un)xác định bởi u1 = 1 vàun+1 = un+ 2
un+ 1,∀n≥1. Chứng minh rằng dãy (un) bị chặn trên bởi số 3
2 và bị chặn dưới bởi số 1.
Lời giải.
Ta chứng minh 1≤un ≤ 3
2,∀n≥1 bằng phương pháp quy nạp.
+ Vớin = 1 ta có 1≤u1 ≤ 3 2 + Giả sử 1 ≤ un ≤ 3
2 với mọi n = k ≥ 1, tức là 1 ≤ uk ≤ 3
2. Ta cần chứng minh 1≤uk+1 ≤ 3
2. Thật vậy uk+1 = 1 + 1
uk+ 1
Vì uk+ 1 >0 nên uk+1 = 1 + 1
uk+ 1 >1.
Vì uk+ 1≥2nên uk+1 = 1 + 1
uk+ 1 ≤1 + 1 2 = 3
2. Vậy 1≤un≤ 3
2,∀n ≥1 hay dãy (un) bị chặn trên bởi số 3
2 và bị chặn dưới bởi số 1.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Trong các dãy số (un) sau, dãy số nào bị chặn trên, bị chặn dưới và bị chặn?
a) un=n2+ 5.
b) un= 3n+ 1 2n+ 5. c) un= (−1)ncos π
2n.
Bài 2. Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = √
2 và un+1 = √
2 +un,∀n ≥ 1. Chứng minh rằng dãy số(un)bị chặn.
BÀI TẬP CHO LỚP CHUYÊN TOÁN Bài 3. Cho dãy số (un) : un = 4−2√
3n
+ 4 + 2√ 3n
, ∀n ∈ N∗. Chứng minh rằng tất cả các số hạng của dãy đều là số nguyên.
Bài 4. Cho dãy số(un)xác định bởi :
u1 = 1 2 un+1 = 1 +
run
2 , ∀n∈N∗
. Tìm số hạng tổng quát của dãy số.
Bài 5. Cho dãy số
u1 = −1 2 un+1 =
run+ 1
2 , n≥1
. Tìm công thức tổng quát của dãy số.
Bài 6. Cho dãy số(un)xác định bởi :
u1 = 1;u2 = 1
un= u2n−1+ 2 un−2
; n = 3; 4;· · ·
. Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số nguyên.
BÀI TẬP CẤP SỐ CỘNG
Các dạng toán
Dạng 1. Sử dụng định nghĩa cấp số cộng Nếu (un) là một cấp số cộng với công sai d thì
un+1 =un+d với n∈N∗.
Ví dụ 1. Cho dãy số (un)với un = 2nư3. Chứng minh rằng(un)là một cấp số cộng. Tìm u1 và d.
Lời giải.
Ta có u1 =ư1.
Xét hiệuun+1ưun= 2(n+ 1)ư3ư(2nư3) = 2, suy ra un+1 =un+ 2.
Vậy (un) là cấp số cộng với công sai d= 2.
Ví dụ 2. Trong các dãy số (un) sau, dãy số nào là cấp số cộng?
a) un= 3n+ 2 b) un= 3nư1
c) un= (n+ 2)2ưn2
d)
u1 = 2
un+1 = 3ưun, với n ≥1.
Lời giải.
a) Ta có: un+1ưun = 3(n+ 1) + 2ư(3n+ 2) = 3. Vậy (un) là cấp số cộng.
b) Ta có: u1 = 2, u2 = 8, u3 = 26.
Khi đóu2ưu1 = 6, u3ưu2 = 186=u2 ưu1. Vậy (un) không là cấp số cộng.
c) Ta có un= (n+ 2)2ưn2 = 4n+ 4. Khi đó un+1ưun = 4(n+ 1) + 4ư(4n+ 4) = 4.
Vậy (un) là cấp số cộng.
d) Ta có: u1 = 2, u2 = 1, u3 = 2.
Khi đóu2ưu1 =ư1, u3 ưu2 = 16=u2ưu1. Vậy (un) không là cấp số cộng.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Trong các dãy số (un)sau, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai nếu dãy số là cấp số cộng.
a) un = 2−3n b) un = 2n+ 4.
Dạng 2. Tính chất của các số hạng trong cấp số cộng
Cho ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Khi đó a+c= 2b.
Đôi khi ta cũng viết b−a=c−b sẽ thuận lợi hơn trong việc giải toán.
Ví dụ 3. Ba số lập thành một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng2và tổng bình phương của chúng bằng 14
9 . Tìm ba số hạng đó.
Lời giải.
Gọi 3số hạng cần tìm là u1, u2, u3. Theo đề bài ta có hệ phương trình:
u1+u2+u3 = 2 u21+u22+u23 = 14
9
⇔
3u2 = 2
u21+u23+ 2
3 2
= 14 9
⇔
u1+u3 = 2.u2 = 4 3 (u1+u3)2−2u1.u3 = 10
9
⇔
u1 +u3 = 4 3 u1.u3 = 1
3
⇔
u1 = 1;u3 = 1 3 u1 = 1
3;u3 = 1.
Vậy bộ ba số cần tìm là
1;2 3;1
3
; 1
3;2 3; 1
.
Ví dụ 4. Tìm x biết ba số 10−3x,3x2 + 5,5−4x theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
Lời giải.
Đặt a = 10−3x, b = 3x2+ 5, c = 5−4x. Vì a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên a+c= 2b. Do đó ta có:
a+c= 2b ⇔10−3x+ 5−4x= 2(3x2+ 5)⇔6x2+ 7x−5 = 0 ⇔
x= 1
2 x=−5
3.
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC có số đo ba góc lập thành một cấp số cộng và một góc có số đo bằng 25◦. Tính số đo hai góc còn lại.
Lời giải.
Giả sửx, y, z là số đo ba góc của tam giác trên và theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng với x≤y≤z. Ta có:
x+y+z = 180◦ x+z = 2y
⇒3y= 180◦ ⇒y= 60◦.
Từ đó dễ dàng suy ra x= 25◦ và z = 95◦.
Ví dụ 6. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2x3−18x2 +mx−6 = 0 có ba nghiệm phân biệt tạo thành một cấp số cộng.
Lời giải.
Giả sử phương trình có ba nghiệmx1, x2, x3 với x1 < x2 < x3.
Ba nghiệm theo thứ tự trên lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi x1+x3 = 2x2. (1) Mặt khác, theo định lí Vi-ét,x1 +x2+x3 =−−18
2 = 9. (2)
Từ (1) và (2) suy ra x2 = 9 3 = 3.
Thay x= 3 vào phương trình ban đầu ta được 2·33−18·32+m·3−6 = 0⇔m= 38.
Thử lại thấym = 38 thỏa yêu cầu.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 2. Tìm tất cả các số thựcxsao cho ba số2x2, x4,24theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
Bài 3. Cho ba số dương a, b, c. Đặt A = 1
b+c, B = 1
c+a, C = 1
a+b. Chứng minh rằng C, A, B theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi c2, a2, b2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
Bài 4. Cho tam giácABC cócotA,cotB,cotC theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng a2, b2, c2 cũng lập thành cấp số cộng.
Dạng 3. Số hạng tổng quát
Dựa vào định lý về số hạng tổng quát
Ví dụ 7. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un), biết:
u1+u5−u3 = 10 u1+u6 = 17
. (1)
Lời giải.
(1)⇔
u1+u1+ 4d−(u1+ 2d) = 10 u1 +u1+ 5d= 17
⇔
u1+ 2d= 10 2u1+ 5d= 17
⇔
u1 = 16 d=−3
.
Ví dụ 8. Giữa các số 7và 35hãy đặt thêm 6số nữa để được một cấp số cộng.
Lời giải.
Ta có:
u1 = 7 u8 = 35
⇔
u1 = 7 u1+ 7d = 35
⇔
u1 = 7
d= 4 .
Vậy 6số đặt thêm giữa các số 7và 35 để được một cấp số cộng là: 11,15,19,23,27,31.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 5. Giữa các số 10 và 64hãy đặt thêm 17 số nữa để được một cấp số cộng.
Bài 6. Tổng ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng bằng 2và tổng các bình phương của ba số đó bằng 14
9 . Xác định ba số đó và tính công sai của cấp số cộng.
Dạng 4. Tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
Tìm u1, d hoặc u1, un và tính Sn theo một trong hai công thức sau:
• Sn= n(u1+un)
2 .
• Sn=nu1+ n(n−1) 2 d.
Ví dụ 9. Cho dãy số(un), với un= 2n−3.
a) Chứng minh rằng (un) là cấp số cộng.
b) Tính tổng của 30số hạng đầu.
c) Biết Sn= 195, tìm n.
Lời giải.
a) Vì un = 2n−3nên u1 =−1.
Vớin ≥1, xét hiệunn+1−un= 2(n+1)−3−(2n−3) = 2. Suy raun+1 =un+2,∀n ≥1.
Vậy (un) là cấp số cộng với công said= 2.
b) Vì u1 =−1, d= 2, n = 30 nên ta có S30= 30·(−1) + 30(30−1)
2 ·2 = 840.
c) Vì u1 =−1, d= 2, Sn= 195 nên ta có:
n·(−1) + n(n−1)
2 ·2 = 195⇔n2−2n−195 = 0⇔
n= 15 n=−13.
Do n∈N∗ nên n = 15.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 7. Tính tổng S= 1002−992+ 982−972+· · ·+ 22−12. Bài 8. Cho cấp số cộng (un) có
u7+u15= 60 u24+u212= 1170
và công sai d > 0. Tính tổng S2017 của 2020 số hạng đầu.
Bài 9. Người ta trồng 3003 cây theo hình một tam giác sao cho hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ 3 có 3 cây,v.v... Hỏi có bao nhiêu hàng?
