CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG

CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG

A.LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa.

( )

un là cấp số cộng u_n+1 =u_n+d, với n *, d là hằng số.d :Công sai.

Hệ quả: Công sai d =u_n+1−u_n.

2. Số hạng tổng quát. u_n= + −u1

(

n 1

) (

d n2

)

. 3. Tính chất. ^{1 1}

2

− + +

= ^{k k}

k

u u

u với k2. Hay ^{uk−1+uk+1=2uk}.

4. Tổng n số hạng đầu.S_n = + + +u₁ u₂ ... u_n.

(

1

)

, *

2

= + ⁿ 

n

u u n

S n

Hoặc 2 1

(

1

)

2 + −

 

 

n =

u n d n

S .

*Lưu ý : khi giải các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp 5 đại lượng. Đó là u d u₁, , _n, ,n S_n. Cần phải biết ít nhất 3 trong 5 đại lượng đó thì sẽ tính được các đại lượng còn lại

B.CÁC DẠNG BÀI TẬP.

I. DẠNG 1: CHỨNG MINH DÃY SỐ LÀ CẤP SỐ CỘNG

1. Phương pháp * Dãy số

( )

un là cấp số cộng u_n+1−u_n =d

(

^{ n 2}

)

^{, d} là hằng số.

* Dãy số

( )

un là cấp số cộng ^{1 1}, 2 2

k k

k

u u

u ⁻ + ⁺ k

 =   .

2. Ví dụ. Cho dãy số

( )

un có số hạng tổng quát là u_n =6n+5. Chứng minh

( )

un là một cấp số cộng.Xác định công sai và số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

Lời giải :Ta có u_n+1−u_n⁼⁶

(

^{n+ + −1}

)

⁵

(

^{6n+ =5}

)

^6.

Vậy

( )

un là một cấp số cộng với công sai là 6 và số hạng đầu là u₁ =11. II. DẠNG 2: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG

1.Phương pháp:Cho cấp số cộng

( )

un với công sai d. Để xác định các yếu tố : u₁(số hạng đầu tiên của cấp số cộng), d, u_n(số hạng thứ n của cấp số cộng), S_n(tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng), n .

2. Các ví dụ :1.Cho cấp số cộng

( )

un có u₄= −12,u₁₄=18. Tìm u₉.

Lời giải :Ta có : ^{4 1}

1

14 1

12 3 12 3

21

18 13 18

= − + = − =

  

 

 =  + =  = −

 

u u d d

u

u u d .u₉= +u₁ 8d = − +21 8.3=3.Vậy u₉=3. 2.Cho cấp số cộng

( )

un có u₂+u₃ =20, u₅+u₇= −29. Tìm S₁₂.

Lời giải: Ta có : ^{2 3}

5 7

20 29 + =

 + = −

 u u u u

1 1

1

2 3 20 41

2 10 29 2

7

+ =  =

 

 + = −  = −

u d u

u d

d

(

⁺

)

 ₁₂ =12 2 ¹ 11 = 2

u d

S

 +

( )

− 

 

 

= = −

12 2.41 11. 7

2 216.

2 .

Vậy S₁₂ = −216..

III. DẠNG 3: ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LÀ CẤP SỐ CỘNG

1. Phương pháp: Ba số , ,a b ctheo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khia c+ =2b hoặc b a− = −c b. Ba số lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi chúng có dạng ,a a+d a, +2d với d là công sai của cấp số cộng đó.

HOẶC

Ba số lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi chúng có dạng a d a a d− , , + với d là công sai của cấp số cộng đó.

Bốn số lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi chúng có dạng a−3 ,d a d a− , +d a, +3d với 2d là công sai của cấp số cộng đó.

2. Các ví dụ.1.Xác định xđể 3 số: 1 2x+ , 2x²−1, −2x theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Lời giải : Ba số: 1 2x+ , 2x²−1, −2x theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi

(

^{2x2− − +1}

) (

^{1 2x}

) (

^{= −2x}

)

⁻

(

^2x2−1

)

^.

2 3

4 3

x x 2

 =  =  . Vậy ³ x=  2 .

2.Ba góc của một tam góc vuông lập thành cấp số cộng. Tìm 3 góc đó.

Lời giải:Giả sử A, B, C là 3 góc của tam giác vuông ABC vuông tại A và BC. Ta có :

A₌2

và A B C+ + =.Mặt khác : A, B, C lập thành cấp số cộng nên 2 2

B= A C+  B= +A C.

Suy ra : 3

3 6

B=  =  = B  C  .

IV. DẠNG 4: ỨNG DỤNG CỦA CẤP SỐ CỘNG

1. Phương pháp: B1: Phân tích bài toán để xem thử các giả thiết đã cho có tạo được thành cấp số cộng ? B2: Xác định các yếu tố của cấp số cộng đó

(

u u S d n1, _n, _n, , ...

)

B3: Tính các yếu tố mà bài toán yêu câu theo các công thức đã cho B4: Kết luận

2. Ví dụ.Thành phố X muốn thi công xây dựng cây thông noel đặt ở trung tâm thành phố. Giá thi công tầng thứ nhất là 2 triệu đồng, tầng tiếp theo tăng 500 ngàn đồng và cứ tiếp tục như vậy cho đến tầng 81. Hỏi thành phố X phải trả chi phí thi công là bao nhiêu?

Lời giải : Gọi u_n (triệu) là số tiền thi công tầng thứ n. Khi đó, ta có u₁=2 và u_n+1 =u_n+0,5,n1.

Dãy số

( )

un là cấp số cộng với u₁=2 và công sai d =0,5 nên có Vậy tổng số tiền thành phố X phải trả là:

( ) ( )

1 81

81 2 81 1 81. 2.2 80.0,5

2 2 1782

u d

S =  + −  = + = (triệu).

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

1. Chứng minh rằng dãy số

( )

un là một cấp số cộng khi và chỉ khi u_n =an b+ với a b, là các số thực.

2.Cho dãy số

( )

an xác định bởi: a₁=5, a_n =a_n−1+3 ,n  n 2. Chứng minh dãy số b_n =a_n+1−a_n, n 2 là một cấp số cộng.

3. Xác định u1 và d của các cấp số cộng sau:

a) 

= +

= +

17 u u

10 u - u u

6 1

3 5

2 b)





=

= 75 .u u

8 u - u

7 2

3

7 c)







= +

= +

70 11 u u

60 u u

2 12 2

15 7

4

d) 

=

= +

129 S

14 u u

12 3

5 e)









= +

=

− 10 S 1

10 u 1 S - S

7 4

5 2 5

u

f)





=

= 35 S

130 u

. u

5 4 5

4.Cho cấp số cộng

( )

un biết u₅=18 và 4S_n =S_2n. Tìm số hạng đầu u₁ và công sai dcủa cấp số cộng.

5.Giữa các số 7 và 35. Hãy đặt thêm 6 số để được cấp số cộng.

6.Cho cấp số cộng có số hạng tổng quát u_n =5n−7, biết tổng n số hạng đầu của cấp số cộng là S_n =817. Tìm n. 7.Cho dãy số

( )

un là một cấp số cộng có u₁ =3 và công sai d=4. Hỏi số 83 là số hạng thứ mấy?

8.Cho cấp số cộng

( )

un có u₃+u₂₈ =100.Hãy tính tổng của 30 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

9.Cho 1 cấp số cộng tăng có 6 số hạng.Tổng của số hạng cuối và số hạng thứ 2 bằng 18.Tìm cấp số cộng biết hiệu của số hạng thứ ba và thứ 5 bằng 4.

10.Cho cấp số cộng

( )

un gồm bốn số nguyên. Biết tổng của chúng bằng 20, tổng các nghịch đảo của chúng bằng 25

24. Tìm bốn số đó.

11.Tìmx biết x²+1, x−2, 1 3− xlập thành mộtcấp số cộng.

12.a. Cho cấp số cộng

( )

un có S₇ =77 và S₁₂ =192. Hãy tính tổng của 23 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

b. Cho cấp số cộng

( )

un có u₃+u₂₈=100.Hãy tính tổng của 30 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

13.Tính tổng S =100²−99²+98²−97²+ +... 2²−1².

14.Ở thành phố X muốn thiết kế một cây thông khổng lồ để chào mừng ngày lễ Giáng sinh năm 2020. Cứ mỗi tầng cây người ta treo các quả pha lê theo quy tắc tầng trên cùng đặt 1 quả tầng tiếp theo nhiều hơn tầng trên 3 quả tiếp tục như vậy cho hết 10045 quả cầu. Hỏi cây thông được thiết kế bao nhiêu tầng?

15.Ông X trồng cây cao su trên một khu đất hình tam giác đều có diện tích 2019

( )

^m2 . Hàng thứ nhất ông trồng 1 cây ở đỉnh, hàng thứ hai cách đỉnh 1m ông trồng nhiều hơn hàng thứ nhất 2 cây và cứ tiếp tục như vậy đến hàng cuối cùng (mỗi hàng cách đều nhau và song song với cạnh của khu đất). Hỏi ông X trồng được bao nhiêu cây cao su?

……….

CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ NHÂN A.LÝ THUYẾT

1. ĐỊNH NGHĨA:

( )

un là một cấp số nhân  u_n+1=u q_n. ,  n ^* , với n *, q là hằng số, với công bội q. Đặc biệt:

Khi q=1 thì cấp số nhân là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).

Khi q=0 thì cấp số nhân có dạng u₁, 0, 0, 0, , 0,

Khi u₁=0 thì với mọi q cấp số nhân có dạng 0, 0, 0, 0, , 0, 2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT : u_n =u q₁. ⁿ⁻¹ với n2 , nN 3.TÍNH CHẤT : u_k² =u_k−1.u_k+1 với k2 ,kN

4 – Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhânĐặt S_n = +u₁ u₂+ +... u ._n

( ) ( )

1 1 1 1

n n

u q

S , q

q

= − 

−

Chú ý: Nếu q=1 thì cấp số nhân là u , u , u , ..., u , ..._{1 1 1 1} khi đó S_n =nu .₁ B.CÁC DẠNG BÀI TẬP.

I. DẠNG 1: CHỨNG MINH DÃY SỐ LÀ CẤP SỐ NHÂN

1. Phương pháp: 1. Chứng minh một dãy

( )

un là cấp số nhân = ^{n 1+}

n

q u ,q lµh»ng sè.

u

2. Để chứng minh a ,b ,c theo thứ tự đó lập thành CSN, ta chứng minh ac=b². 2. Ví dụ.Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân? a. a_n =n²+ +n 1 . b.dn = −

( )

^{4 2n+1} . Lời giải:

a. Xét

2 1

2

3 3 1

n * n

a n n

a n n , n

+ = + +  

+ + , không phải là hằng số. Vậy

( )

an không phải là cấp số nhân . b. Xét

( )

^{( )}

( )

2 1 1 1

2 1

4 16

4

n n *

n n

d , n

d

+ + +

+

= − =  

− ^{. Vậy}

( )

dn là một cấp số nhân công bội q=16.

II. DẠNG 2: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ NHÂN

Ví dụ.1.Cho cấp số nhân

( )

un có u₁ =1,u₂ = −2. Tính số hạng thứ 2019 của cấp số nhân?

Lời giải : Ta có: ¹

2 1

1 2

. 2

u q

u u q

 =

 = −

 = = −

 . Vậy u2019 =u q1. ²⁰¹⁸=1.

( )

−2 ²⁰¹⁸ =2²⁰¹⁸.

2.Tìm số hạng đầu u₁ của cấp số nhân

( )

un biết rằng u₁+ + =u₂ u₃ 168 và u₄+ +u₅ u₆ =21 . Lời giải :

Ta có :

2

1 2 3 1 1 1

3 4 5

4 5 6 1 1 1

168 . . 168

21 . . . 21

u u u u u q u q

u u u u q u q u q



+ + = + + =

 

 + + =  + + =

 

( )

( )

2 1

3 2

1

1 168

1 21

u q q

u q q q

 + + =

 

+ + =



1 2

3

168 1

1 8

u q q

q

 = + +

 

 =

1 96

1 2 u q

 =

 

 = .Vậy u₁=96.

III. DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CẤP SỐ NHÂN Ví dụ.Xác định x dương để 1; x ; 4x+5theo thứ tự lập thành cấp số nhân.

Lời giải

Ta có 1; x ; 4x+5theo thứ tự lập thành cấp số nhân ^{x2 =1. 4}

(

^x+5

)

^{2 4 5 0 1}

5 x x x

x

 = −

 − − =   = . Vì x dương nên x=5.

IV. DẠNG 4: TOÁN TỔNG HỢP CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN.

Ví dụ.Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng có tổng bằng 21. Nếu thêm lần lượt các số 2 , 3 , 9 vào ba số x, y, z ta được ba số theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính giá trị biểu thức P=x³+y³+z³. Lời giải

Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng có tổng bằng 21 nên ta có hệ 21

2 x y z x z y

+ + =

 + =

 ^{3y=21 =y 7}

Ta viết lại 3 số x, y, z lần lượt bằng 7−d, 7, 7+d ( d là công sai của cấp số cộng) Nếu thêm lần lượt các số 2 , 3 , 9 vào ba số x, y, z ta được ba số là 9−d, 10 , 16+d. Vì ba số này theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có phương trình

(

^9−d

)(

^16+d

)

⁼¹⁰²

2 7 144 0

d d

 + − = 4

11 d d

 =

  = −

Với d=4 ta có ba số x, y, z lần lượt bằng 3; 7;11

Suy ra P=x³+y³+z³= 3³+7³+11³ =1701.

Với d= −11 ta có x, y, z lần lượt bằng 18, 7, −4. Suy ra P=x³+y³+z³= ^{183+73+ −}

( )

^{4 3 =6111.}

V. DẠNG 5:CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN CẤP SỐ NHÂN Ví dụ.Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và có diện tích S₁. Nối 4 trung

điểm A₁, B₁, C₁, D₁ theo thứ tự của 4 cạnh AB, BC, CD, DA ta được hình vuông thứ hai có diện tích S₂. Tiếp tục làm như thế, ta được hình vuông thứ ba là

2 2 2 2

A B C D có diện tích S₃, …và cứ tiếp tục làm như thế, ta tính được các hình vuông lần lượt có diện tích S₄, S₅,…,S₁₀₀ (tham khảo hình bên). Tính tổng

1 2 3 ... 100

S = +S S +S + +S

Lời giải Ta có S₁=a²; ₂ ^{1 2}

S = 2a ; ₃ ^{1 2} S =4a ,…

Do đó S₁, S₂, S₃,…, S₁₀₀ là cấp số nhân với số hạng đầu u₁=S₁=a² và công bội ¹ q= 2. Suy ra S = +S₁ S₂+S₃+ +... S_{100 1}1

.1 qn

S q

= −

−

( )

2 100 99

2 1

2

a −

= .

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

1.Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân?Hãy xác định công bội của cấp số nhân đó.

a. bn =

(

n+^{2 3}

)

. ⁿ

b.

1

n n 1

c 1 c c

+

7

 =

 

 =

c,

1

n 1 n

d 2 d 6

+

d

 =

  =

 

2.Cho cấp số nhân

( )

un có số hạng đầu u₁= −1 và công bội q= −3. Viết năm số hạng đầu của cấp sốnhân.

3.Xác định u1 và q của các cấp số nhân sau:

a)





=

−

= 144 u

u

72 u - u

3 5

2

4 b)





−

=

= 72 u

- u

216 - u - u

4 5

4

7 c)





−

= +

= +

325 u

u

65 - u u - u

7 1

5 3 1

4.Cho cấp số nhân (un) biết : ^{1 5 51}₁₀₂ 2 6 u u u u





+ =+ = a) Tìm u1 và q

b) Tổng mấy số hạng bằng 3069 c) Số hạng thứ mấy bằng 12288

5.Cho CSN (un) có công bội q(0;1) tìm S25 biết u1+u3=3 và ^{2 2} 5

1 3

u +u = 6.Xen giữa 2 số 5 và 160 bốn số để được CSN. Tìm CSN đó.

7.Cho cấp số nhân

( )

un có tổng n số hạng đầu tiên là S_n =5ⁿ −1. Tìm số hạng đầu u₁ và công bội q của cấp số nhân đó.

8.Tính tổng a, = + + + +

100 9

9 99 999 ... 999...9

sè

S . b. = + + + +

2019 2

2 22 222 ... 222...2

sè

S

9..Tìm các giá trị x y, để−3; ; 12; x − ytheo thứ tự đó lập thành cấp số nhân.

10.Số đo 4 góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số nhân.Hãy tìm 4 góc đó,biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp 8 lần số đo của góc nhỏ nhất.

11.Ba số x y z, , theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời các số ;2 ;3x y z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0 . Tìm q?

12. Tìm các số dương a và b sao cho a, a + 2b, 2a + b lập thành một cấp số cộng và (b + 1)², ab + 5, (a + 1)² lập thành một cấp số nhân.

13- Một quả bóng siêu nẩy rơi từ độ cao 30 mét so với mặt đất, khi chạm đất nó nẩy lên cao với độ cao bằng ² 3 lần so với độ cao của lần rơi ngay trước đó. Hỏi ở lần nảy lên thứ 11 quả bóng đạt độ cao tối đa bao nhiêu mét so với mặt đất (kết quả làm tròn 2 chữ số sau dấu phẩy)

14.Tìm 4 số trong đó ba số đầu là ba số hạng kế tiếp của một cấp số nhân, còn ba số sau là ba số hạng kế tiếp của một cấp số cộng; tổng hai số đầu và cuối bằng 32, tổng hai số giữa bằng 24.

15- Cho dãy số tănga, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Đồng thờia, b+8, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng vàa, b+8, c+64 theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tìm ba sốa, b và c.

16.Một CSC và CSN có số hạng đầu tiên bằng 5, số hạng thứ hai của CSC lớn hơn số hạng thứ hai của CSN là 10, còn số hạng thứ ba của hai cấp số thì bằng nhau. Tìm tổng bình phương ba số hạng đầu của CSC biết công bội của CSN không âm.

Bài tập trắc nghiệm:

1.Cho cấp số cộng

( )

un có u₁ = −2 và công sai d=3. Tìm số hạng u₁₀.

A. u₁₀ = −2.3⁹. B. u₁₀ =25. C. u₁₀ =28. D. u₁₀= −29. 2.Cho một cấp số cộng

( )

un có ₁ ¹

u =3, u₈ =26. Tìm công sai d

A. ¹¹

d = 3 . B. ¹⁰

d= 3 . C. ³

d =10. D. ³ d =11. 3.Trong các dãy số sau đây dãy số nào là cấp số nhân?

A. Dãy số −2, 2, −2, 2, …, −2, 2, −2, 2, …

B. Dãy số

( )

un , xác định bởi công thức u_n =3ⁿ+1 với n ^*. C. Dãy số

( )

un , xác định bởi hệ: ^{1 1}

(

^*

)

1

2 : 2

n n

u

u u ₋ n n

 =

 = +  

 .

D. Dãy số các số tự nhiên 1, 2, 3 , ….

4. Cho cấp số nhân có số hạng đầu và công bội . Số hạng thứ sáu của là:

A. . B. . C. . D. .

5.Cho cấp số cộng

( )

un có số hạng tổng quát là u_n =3n−2. Tìm công sai d của cấp số cộng.

A. d=3. B. d=2. C. d= −2. D. d= −3.

6.Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là sai?

A. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số nhân.

B. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số dương.

C. Một cấp số cộng có công sai dương là một dãy số tăng.

D. Dãy số có tất cả các số hạng bằng nhau là một cấp số cộng.

7.Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng ?

A.

( )

¹

1

: 1

2, 1

n

n n

u u

u ₊ u n

 =

 = +  

 . B.

( )

¹

1

: 3

2 1, 1

n

n n

u u

u ₊ u n

 =

 = +  

 .

C.

( )

un ^:1; 3 ; 6 ; 10 ; 15 ; . D.

( )

un ^: −1; 1; −1; 1; −1; . 8.Một cấp số nhân có số hạng đầu u₁ =3, công bội q=2. Biết S_n =765. Tìm n?

A. n=7. B. n=6. C. n=8. D. n=9.

9.Cho dãy số

( )

un là một cấp số cộng có u₁ =3 và công sai d=4. Biết tổng n số hạng đầu của dãy số

( )

un là

n 253

S = . Tìm n.

A. 9 . B. 11. C. 12. D. 10 . 10.Cho cấp số nhân

( )

un , biết u₁=12, ³

8

u 243

u = . Tìm u₉.

A. ₉ ²

u =2187. B. ₉ ⁴

u =6563. C. u₉ =78732. D. ₉ ⁴ u =2187. ĐÁP ÁN:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

B A A C A B A C B D

( )

un u₁ =5 q= −2

( )

un

6 160

u = u₆ = −320 u₆ = −160 u₆ =320