Biết rằng bán kính của khối cầu này là 10m

CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ ĐƯỜNG TRÒN Nhắc lại các kiến thức về đường tròn :

Hình 1 Hình 2 - Đường tròn tâm O , bán kính R ( R > 0 )

Hình 1 : AB là đường kính , OA là bán kính , MN là dây cung ,𝑀𝑁⏜ cung

• H là trung điểm của dây MN ⇔ OH ⊥ MN

• Trong (O , R ) : OH > OK ⇔ MN < DE Hình 2 : ( SMN ) là cát tuyến

SA , SB là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại S ( A , B là tiếp điểm ) Định lí : SA = SB và SO là đường phân giác của 𝐴𝑆̂𝐵 và của 𝐴𝑂̂𝐵

Bài 1:Khí cầu là một túi đựng không khí nóng, thường có khối lượng riêng nhỏ hơn không khí xung quanh và nhờ vào lực đẩy Ác-si-mét có thể bay lên cao. Giả sử có thể xem khinh khí cầu là một khối cầu và các dây nối sẽ tiếp xúc với khối cầu này. Hãy tính chiều dài của các dây nối để khoảng cách từ buồng lái đến điểm thấp nhất của khí cầu là 8m. Biết rằng bán kính của khối cầu này là 10m.

Giải : ( Hình vẽ minh hoạ bằng hình học )

Điểm thấp nhất của khí cầu là D và buồng lái của khí cầu là A Dây nối là AB , AC

⇒

⇒

Xét ∆ABO vuông tại B (vì AB là tiếp tuyến của (O)) ⇒ OA² = OB² + AB² ( Định lí PITAGO ) ⇒ 𝐴𝐵² = 𝑂𝐴²− 𝑂𝐵² = 18²− 10² = 224 ⇒ 𝐴𝐵 = √224 = 4√14 ≈ 15𝑚

Vậy chiều dài của các dây nối thỏa yêu cầu bài toán là 15m.

Bài 2: Người ta muốn xây dựng một cây cầu bắc qua một hồ nước hình tròn có bán kính 2km. Hãy tính chiều dài của cây cầu để khoảng cách từ cây cầu đến tâm của hồ nước là 1732m.

( Hình ảnh minh hoạ bằng hình học )

AB là cây cầu cần dựng , OH là khoảng cách từ cây cầu đến tâm hồ nước OA = OB là bán kính hồ nước

Giải :

Ta có: OA = OB = 2km (gt)

Gọi H là trung điểm của AB, dây AB không qua tâm O

⇒

⇒

Xét ∆OHA vuông tại H

⇒

⇒

⇒

Ta có AB = 2AH = 2 . 1 = 2 km ( Vì H là trung điểm của AB ) Vậy chiều dài cây cầu là khoảng 2 km

Bài 3: Một bánh xe có dạng hình tròn bán kính 20cm lăn đến bức tường hợp với mặt đất một góc 60⁰ . Hãy tính khoảng cách ngắn nhất từ tâm bánh xe đến góc tường.

Khi bánh xe chạm tới bức tường thì không thể di chuyển vào thêm được nữa.

Nghĩa là khoảng cách của tâm bánh xe đến góc tường ngắn nhất là khi bánh xe tiếp xúc với bức tường và mặt đất.

Giải : ( Hình ảnh minh hoạ bằng hình học )

Ta có: OB = OC = 20cm (gt) 𝐵𝐴̂𝐶 = 60⁰

AO là tia phân giác của 𝐵𝐴̂𝐶 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ 𝑂𝐴̂𝐵 = ¹

2𝐵𝐴̂𝐶 = ¹

2. 60⁰ = 30⁰

Xét ∆OAB vuông tại B (vì AB tiếp tuyến của (O) nên AB ⊥ OB) ⇒ 𝑠𝑖𝑛 𝑂 𝐴̂𝐵 = ^𝑂𝐵

𝑂𝐴 (tỉ số lượng giác góc nhọn)

⇒ 𝑂𝐴 =

𝑠𝑖𝑛 𝑂𝐴̂𝐵

=

𝑠𝑖𝑛 30⁰

= 40𝑐𝑚

Vậy khoảng cách ngắn nhất từ tâm bánh xe đến góc tường là 40cm.

Bài 4: Một chiếc cầu được thiết kế như hình bên dưới có độ dài AB = 40m, chiều cao MK = 3m. Hãy tính bán kính của đường tròn chứa cung AMB, (MK đi qua tâm của đường tròn chứa cung AMB)

Giải : ( Hình minh hoạ bằng hình học )

Biết AB = 40 m , MK = 3 m . Tính OM ?

OA = OM = OB = bán kính của đường tròn chứa cung AMB

Ta có OM ⊥ AB tại K => KA = KB ( tính chất đường kính và dây cung ) ⇒ 𝐾𝐴 = 𝐾𝐵 = ^𝐴𝐵

2 =⁴⁰

2 = 20 m

Xét 𝛥𝐴𝐾𝑀 vuông tại K 𝑡𝑔𝐴𝑀̂𝐾 = ^𝐴𝐾

𝑀𝐾 = ²⁰

3 ⇒ 𝐴𝑀̂𝐾 ≈ 81⁰ ( tỉ số lượng giác )

⇒ 𝑀𝐴̂𝐾 = 90⁰− 𝐴𝑀̂𝐾 = 90⁰− 81⁰ = 9⁰ ( 2 góc nhọn tam giác vuông ) Ta có 𝛥𝐴𝑂𝑀 cân tại O ( OA = OM = bán kính )

⇒ 𝑀𝐴̂𝐾 = 𝐴𝑀̂𝐾 = 81⁰ ( t/c tam giác cân ) 𝑀𝐴̂𝐾 = 𝑀𝐴̂𝐾 + 𝑂𝐴̂𝐾 ⇒ 81⁰ = 9⁰+ 𝑂𝐴̂𝐾 ⇒ 𝑂𝐴̂𝐾 = 81⁰− 9⁰ = 72⁰

Xét 𝛥𝐴𝑂𝐾 vuông tại K 𝑐𝑜𝑠 𝑂 𝐴̂𝐾 = ^𝐴𝐾

𝑂𝐴 ⇒ 𝑂𝐴 = ^𝐴𝐾

𝑐𝑜𝑠 𝑂𝐴̂𝐾 = ²⁰

𝑐𝑜𝑠 72⁰ ≈ 65𝑚

Vậy bán kính đường tròn chứa cung AMB khoảng 65 m BÀI TẬP NHÀ

Ở các nước xứ lạnh, vào mùa Đông thường có tuyết , trẻ em tại đây rất thích đắp hình dạng của người tuyết. Có thể xem phần thân dưới và thân trên của người tuyết là hai hình cầu tiếp xúc nhau. Em hãy tính kích thước của hai viên tuyết cần đắp để được một người tuyết cao 1,6 m biết rằng đường kính của phần thân dưới phải gấp ba đường kính của phần thân trên người tuyết.

Gợi ý : Đường kính trên là AB , Đường kính dưới là BC Hình ảnh minh hoạ bằng hình học

Người tuyết cao 1,6 m

Đường kính dưới gấp 3 lần đường kính trên