SBT Toán 9 Bài 2: Đường kính và dây của đường tròn | Hay nhất Giải sách bài tập Toán lớp 9

Bài 2: Đường kính và dây của đường tròn

Bài 15 trang 158 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CK. Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn b) HK < BC

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của BC.

Xét tam giác BCH vuông tại H

HI là trung tuyến do I là trung điểm của BC HI CI BI BC

 = = = 2 (1) (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) Xét tam giác BCK vuông tại K

KI là trung tuyến do I là trung điểm của BC KI CI BI BC

 = = = 2 (2) (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông) Từ (1) và (2) ta có: KI HI CI BI ^BC

= = = = 2

Do đó, K, H, C, B cùng nằm trên đường tròn tâm I bán kính R ^BC

= 2 b)

Trong đường tròn tâm I ta có KH là dây cung không đi qua tâm, BC là đường kính nên: KH < BC

Bài 16 trang 159 SBT Toán lớp 9 tập 1: Tứ giác ABCD có B= =D 90^o. a) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn b) So sánh độ dài AC và BD. Nếu AC = BD thì tứ giác ABCD là hình gì?

Lời giải:

a)

Gọi I là trung điểm của AC Xét tam giác ABC vuông tại B

BI là đường trung tuyến do I là trung điểm của AC BI AI CI AC

 = = = 2 (1) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) Xét tam giác ADC vuông tại D

DI là đường trung tuyến do I là trung điểm của AC

DI AI CI AC

 = = = 2 (2) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) Từ (1) và (2) ta có: BI DI CI AI ^AC

= = = = 2

Do đó, bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn tâm I bán kính R ^AC

= 2 b)

Trong đường tròn tâm M ta có BD là dây cung không đi qua tâm, AC là đường kính nên: BD < AC.

AC = BD khi và chỉ khi BD là đường kính.

I BD

 

IA IB IC ID

 = = = Xét tứ giác ABCD có AC giao BD tại I

IA=IB=IC=ID

Khi đó, ABCD là hình chữ nhật.

Bài 17 trang 159 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và dây EF không cắt đường kính. Gọi I và K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến EF. Chứng minh rằng IE = KF.

Lời giải:

Xét tứ giác IKBA có:

AI vuông góc với IK BK vuông góc với IK

 AI // BK

Do đó, IKBA là hình thang Kẻ OH vuông góc với IK tại H

Nên OH // AI // BK (cùng vuông góc với IK)

Mà O là trung điểm của AB do AB là đường kính và O là tâm của nửa đường tròn.

Do đó, H là trung điểm của IK IH KH

 =

IE EH HF FK

 + = + (1)

Mặt khác, ta có:

OH là một phần của đường kính do đi qua tâm O OH vuông góc với dây cung EF

Do đó, H là trung điểm của EF HE HF

 = (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra IE = KF

Bài 18 trang 159 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho đường tròn (O) bán kính OA = 3cm. Dây BC của đường tròn vuông góc với OA tại trung điểm của OA. Tính độ dài BC.

Lời giải:

Gọi giao điểm của OA và BC là H

Xét tam giác ABH vuông tại H (do BC vuông góc với OA tại H) B nằm trên đường tròn (O) nên OB = OA = 3cm

H là trung điểm của OA nên OH AH ^{OA 3} 1,5 2 2

= = = = cm Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

2 2 2

OB =BH +OH

( )

2 2 2 2

BH OB OH 3 1,5 6,75

 = − = − =

BH 6.75 3 3

 = = 2 (cm)

Mặt khác, OA là bán kính và là một phần của đường kính, OA vuông góc với dây cung BC tại H.

Do đó, H là trung điểm của BC

BC 3 3

HB HC BC 2HB 2. 3 3

2 2

 = =  = = = (cm)

Bài 19 trang 159 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho đường tròn (O), đường kính AD = 2R. Vẽ cung tâm D bán kính R, cung này cắt đường tròn (O) ở B và C.

a) Tứ giác OBDC là hình gì? Vì sao?

b) Tính số đo các góc CBD, CBO, OBA

c) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.

Lời giải:

Xét đường tròn tâm O đường kính AD = 2R

Ta có: OA = OC = OB = OD = R (1) (do bán kính bằng một nửa đường kính) Xét cung tròn tâm D bán kính R

Do cung tròn tâm D cắt đường tròn tâm O tại B và C nên DB = DC = R (2) Từ (1) và (2) ta có: OB = OC = DB = DC

Do đó, tứ giác OBDC là hình thoi b)

Xét tam giác OBD có:

OB = OD = BD = R Do đó, tam giác OBD đều

OBD 60o

 =

Do OBDC là hình thoi nên đường chéo BC là đường phân giác của góc OBD OBD o

CBD CBO 30

 = = 2 =

Xét tam giác ABD nội tiếp đường tròn (O) Có AD là đường kính

Do đó ABD vuông tại B ABD 90o

 =

Mà: ABD=OBA+OBDOBA=ABD OBD− =90^o −60^o =30^o c)

Xét tam giác ACD nội tiếp đường tròn (O) Có AD là đường kính

Do đó ACD vuông tại C ACD 90o

 =

OCD=OBD=60o (do OBDC) là hình thoi

Mà: ACD=OCA+OCDOCA=ACD OCD− =90^o −60^o =30^o Xét tam giác ABC có:

o o o

ABC=ABO+OBC=30 +30 =60

Do OBDC là hình thoi nên đường chéo BC là đường phân giác của góc OCD

o

OCD 60 o

OCB 30

2 2

 = = =

o o o

ACB=ACO+OCB=30 +30 =60 Xét tam giác ABC, có: ABC=ACB=60^o Nên tam giác ABC cân tại A

Mà ABC=60^o

Do đó, tam giác ABC là tam giác đều.

Bài 20 trang 159 SBT Toán lớp 9 tập 1:

a) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD. Các đường vuông góc với CD tại C và D tương ứng cắt AB ở M và N. Chứng minh rằng AM = BN

b) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên AB lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Qua M và N kẻ các đường thẳng song song với nhau, chúng cắt nửa đường tròn lần lượt ở C và D. Chứng minh rằng MC và ND vuông góc với CD.

Lời giải:

a)

Do nửa đường tròn tâm O đường kính AB nên OA = OB

 OM + MA = ON + NB (1) Xét tứ giác MCDN có:

MC vuông góc với CD ND vuông góc với CD

 MC // ND

Do đó, MCDN là hình thang Kẻ OI vuông góc với CD

 OI // MC // ND (2) (cùng vuông góc với CD) Mà OI là một phần của đường kính do đi qua tâm O Do đó, I là trung điểm của CD (3)

Từ (2) và (3) ta suy ra O là trung điểm của MN

 OM = ON (4)

Từ (1) và (4) ta suy ra AM = BN b)

Do nửa đường tròn tâm O đường kính AB nên OA = OB

 OM + MA = ON + NB Mà MA = NB  OM = ON Do đó, O là trung điểm của MN Xét tứ giác CDNM có:

MC // ND

Do đó , CDNM là hình thang Có O là trung điểm của MN Dựng I là trung điểm của CD

Do đó, OI là đường trung bình của hình thang CDMN

 OI // MC // ND (1)

Mà OI là một phần của đường kính do đi qua tâm O, OI giao với dây cung CD (khác đường kính) tại trung điểm I

OI CD

 ⊥ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra MC cũng vuông góc với CD và ND cũng vuông góc với CD.

Bài 21 trang 159 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB.

Dây CD cắt đường kính AB tại I. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh rằng CH = DK.

Lời giải:

Xét đường tròn (O)

CD là dây cung khác đường kính Kẻ OM vuông góc với CD tại M

Mà OM là một phần của đường kính Do đó M là trung điểm của CD

 MC = MD

 CH + HM = MK + KD (1) Xét tam giác ABK có:

OM giao AK tại N OM vuông góc với CD BK vuông góc với CD

 OM // BK hay ON // BK

Mà O là trung điểm của AB (tâm – đường kính) Do đó N là trung điểm của AK

Xét tam giác HKA có:

N là trung điểm của AK (2) MN vuông góc với HK AH vuông góc với HK

 MN // AH (3)

Từ (2) và (3) ta suy ra M là trung điểm của HK

 MH = MK (4)

Từ (1) và (4) ta suy ra CH = DK

Bài 22 trang 159 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm bên trong đường tròn.

a) Hãy nêu cách dựng dây AB nhận M làm trung điểm b) Tính độ dài AB ở câu a biết rằng R = 5cm, OM = 1,4cm

Lời giải:

a)

Cách dựng:

- Dựng đoạn OM

- Qua M dựng đường thẳng vuông góc với OM cắt (O) tại A và B.

- Nối A và B ta được dây cần dựng

Chứng minh:

Ta có: OM⊥AB tại M

Mà OM là một phần của đường kính và AB là một dây cung khác đường kính Do đó, M là trung điểm của AB

b)

Xét tam giác OMB vuông tại M Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

2 2 2

OB =OM +MB

( )

2 2 2 2

MB OB OM 5 1, 4 23,04

 = − = − =

MB 23,04 4,8

 = = (cm)

Mà M là trung điểm của AB nên MA = MB = ^AB 2 AB 2MB 2.4,8 9,6

 = = = (cm)

Bài 23 trang 159 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn, điểm B nằm bên ngoài đường tròn sao cho trung điểm I của AB nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây CD vuông góc với OI tại I. Hãy cho biết ACBD là hình gì? Vì sao?

Lời giải:

Xét đường tròn (O)

OI là một phần đường kính

OI vuông góc với dây cung CD tại I Do đó, I là trung điểm của CD

CI DI

 = (1)

Mà I là trung điểm của AB AI=BI (2) Mặt khác AB giao CD tại I (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra ACBD là hình bình hành (do có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm của mỗi đường)

Bài tập bổ sung

Bài 2.1 trang 159 SBT Toán lớp 9 tập 1: Độ dài cạnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn (O;R) bằng

(A) ^R 2 (B) R 3

2 (C) R 3

(D) Một đáp số khác

Hãy chọn phương án đúng.

Lời giải:

Xét tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O; R) Gọi độ dài cạnh của tam giác là a

Kẻ đường cao AH

Do tam giác ABC đều nên tâm đường tròn ngoại tiếp O là giao điểm của các đường trung trực vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác ABC

O AH;OA R 2AH

  = = 3

AH 3R

 = 2

Mặt khác, ta có OH là một phần của đường kính, OH vuông góc với dây cung BC nên H là trung điểm của BC

BC a BH CH

2 2

 = = =

Xét tam giác ABH vuông tại H Áp dụng định lí Py-ta-go ta có:

2 2

2 2 2 2 3 a

AB AH HB a R

2 2

   

= +  =  +  

2

2 9 2 a 3 2 9 2 2 2

a R a R a 3R a R 3

4 4 4 4

 = +  =  =  =

Vậy ta chọn đáp án (C)

Bài 2.2 trang 160 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho đường tròn (O; 2cm). Vẽ hai dây AB và CD vuông góc với nhau. Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ABCD.

Lời giải:

Ta có:

AB, CD là các dây cung

Bán kính của đường tròn là 2cm nên độ dài đường kính là 4cm Do đó, ta có: AB4cm; CD4cm

Do AB vuông góc với CD nên ta có:

2 ABCD

1 1

S AB.CD .4.4 8(cm )

2 2

=  =

Vậy giá trị lớn nhất của S_ABCD là 8cm² khi AB và CD là đường kính của đường tròn (O; 2cm)

Bài 2.3 trang 160 SBT Toán lớp 9 tập 1: Cho đường tròn (O;R), dây AB khác đường kính. Vẽ về hai phía của AB các dây AC, AD. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ B đến AC và AD. Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm A, H, B, K thuộc cùng một đường tròn;

b) HK < 2R.

Lời giải:

a)

Xét tam giác AHB vuông tại H

Có AHB=90^o

Do đó, tam giác AHB nội tiếp đường tròn đường kính AB Hay A, H, B nằm trên đường tròn đường kính AB (1) Xét tam giác AKB vuông tại K

Có AKB=90^o

Do đó, tam giác AKB nội tiếp đường tròn đường kính AB Hay A, K, B nằm trên đường tròn đường kính AB (2)

Từ (1) và (2) ta có bốn điểm A, H, K, B cùng nằm trên đường tròn đường kính AB b)

Xét đường tròn đường kính AB Gọi I là trung điểm của AB

Ta có HK là dây cung không đi qua I HKAB (1) Xét đường tròn (O; R) có:

AB là dây cung không đi qua tâm O AB2R (2) Từ (1) và (2) ta suy ra HK < 2R