CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 6 ( SỐ HỌC)

Trường THCS Văn Tiến

CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 6 ( SỐ HỌC)

1. CHUYÊN ĐỀ CHIA HẾT 2. CHUYÊN ĐỀ ĐIÊN CHỮ SỐ

3. CHUYÊN ĐỀ SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ 4. CHUYÊN ĐỀ ƯCLN-BCNN

5. CHUYÊN ĐỀ VỀ LŨY THỪA 6. CHUYÊN ĐỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

7. CHUYÊN ĐỀ VỀ TÌM CHỮ SỐ TÂN CÙNG 8. CHUYÊN ĐỀ SỐ NGUYÊN

9. CHUYÊN ĐỀ VỀ PHÂN SỐ

10.CHUYÊN ĐỀ VỀ DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT 11.CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC

THCS VĂN TIẾN.

CHUYÊN ĐỀ VỀ DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT

I. Dãy cộng:

Xét các dãy số sau:

a/ Dãy số tự nhiên: 0;1;2;3;…

b/ Dãy số lẻ: 1;3;5;7;…

c/ Dãy số chẵn: 2;4;6;8;…

d/ Dãy các số chia cho 3 dư 1: 1;4;7;10;…

Trong các dãy trên, mỗi số hạng kể từ số hạng số 2 đều lớn hơn số hạng đứng liền trước nó cùng một số đơn vị.

- Số đơn vị là 1 ở dãy (a) - Số đơn vị là 2 ở dãy (b), (c) - Số đơn vị là 3 ở dãy (d) Ta gọi các dãy trên là dãy cộng.

Xét dãy cộng 4;7;10;13;16;19;…

Hiệu giữa 2 số liên tiếp của dãy là 3.

Số hạng thứ 6 của dãy là 19.

19= 4+(6-1).3

Số hạng thứ 10 của dãy là:

4+(10-1).3= 31 Tổng quát hóa:

Nếu một dãy cộng có số hạng là a1 và hiệu giữa 2 số hạng liên tiếp là d thì số hạng thứ n của dãy kí hiệu là an bằng :

an = a1+(n-1).d

Để tính tổng số hạng của dãy cộng:

4+7+10+…+25+28+31 (gồm 10 số ) Ta viết A = 4+7+10+…+25+28+31 A= 31+28+25+…+10+7+4

Nên 2A= (4+31) + (7+28) +…+ (28+7) + (31+4) A = ^(431₂ ^).10 = 175 => A=175

Tổng quát S= a1 + a2 +…+an (có n số hạng)

S= 2

( a

a

Trường hợp đặc biệt tổng của n số tự nhiên liên tiếp : S= 1+2+…+n = ^(1₂^n).n

VD1: Bạn Giang đánh số trang của một quyển sách dày 284 trang bằng dãy chữ số chẵn: 2;4;6;8;…

a/ Biết mỗi chữ số viết mất 1 giây. Hỏi bạn Giang cần bao nhiêu phút để đánh số trang quyển sách?

b/ Chữ số thứ 300 mà bạn Giang viết là chữ số nào?

Giải:

a/ Dãy 2;4;6;8;… có 4 số gồm 4 chữ số.

Dãy 10;12;…;98 có (98-10)/2+1 = 45(số) Gồm 2.45= 90 (chữ số)

Dãy 100;102;…;284 có (284-100)/2+1 = 93 (số) Gồm 3.93 = 279 (chữ số)

Bạn Giang phải viết tất cả 4 +90+279 = 373 (chữ số) hết 373 giây bằng 6 phút 13 giây.

b/ Viết từ 2 đến 98 cần 4+90 = 94 (chữ số), còn lại 300-94 = 206 (chữ số) để viết các số chẵn có 3 chữ số kể từ 100

Ta thấy: 206 :3 = 68 dư 2.

Số chẵn thứ 68 kể từ 100 là 100+(68-1).2= 234 Hai chữ số tiếp theo là chữ số 2 và 3 thuộc số 236.

Vậy chữ số thứ 300 mà Giang viết là chữ số 3 thuộc số 236.

VD2:

s c/ 1993

1 ...

11 (1)

Giải

Số gồm n chữ số 1 chia hết cho 13 khi và chỉ khi n  6 (nhận xét) Chỉ ra trong dãy (1) các số chia hết cho 13 ta được dãy :

6c/s

1 ...

11 ; 

s c/ 12

1 ...

11 ; 

s c/ 18

1 ...

11 ;…; 

s c/ 1992

1 ..

11 (2)

Số số hạng của dãy (2) bằng số số hạng của dãy : 6;12;18;…;1992 (3)

Các dãy (1) và (2) không phải là dãy cộng, còn dãy (3) là dãy cộng.

Số số hạng của dãy (3) là (1992-6): 6+1 = 332.

Do đó, dãy (2) có 332 số tức là 332 số tương ứng trong dãy (1) chia hết cho 13.

II. Các dãy khác:

VD: Tìm số hạng thứ 100 của các dãy được viết theo quy luật:

a/ 3;8;15;24;35;… (1) b/ 3;24;63;120;195;… (2)

c/ 1;3;6;10;15;… (3) d/ 2;5;10;17;26;… (4) HD:

a/ 1.3; 2.4;… (1) b/ 1.3; 4.6; … (2) c/ ¹₂^.2;2₂^.3;... (3) d/ 1+1²; 1+2²;… (4) Giải:

a/ Dãy (1) có thể viết dưới dạng: 1.3; 2.4 ; 3.5; 4.6; 5.7;…

Mỗi số hạng của dãy (1) là một tích 2 số mà số thứ 2 lớn hơn số trước là 2 đơn vị.

Các thừa số thứ nhất của các số làm thành dãy 1;2;3;4;5;…

Do đó, dãy này có số hạng thứ 100 là 100.

Vậy số hạng thứ 100 của dãy (1) bằng: 100.102 = 10200

b/ Dãy (2) có thể viết dưới dạng: 1.3; 4.6; 7.9; 10.12; 13.15; …

Số hạng thứ 100 của dãy 1;2;7;10;13;… là 1+(100-1).3 = 298 Số hạng thứ 100 của dãy (2) bằng: 298.300 = 89400

c/ Dãy (3) có thể viết dưới dạng ^;...

2 6 .

;5 2

5 .

;4 2

4 .

;3 2

3 .

;2 2

2 . 1

Số hạng thứ 100 của dãy (3) bằng: ¹⁰⁰₂^.101 = 5050

d/ Dãy (4) có thể viết dưới dạng 1+1²; 1+2²; 1+3²; 1+4²; 1+5²;…

Số hạng thứ 100 của dãy (4) bằng: 1+100² = 10001 III. Bài tập áp dụng:

Bài 1:Tìm số hạng thứ 1000 khi viết liên tiếp liền nhau các số hạng của dãy số lẻ:

1;3;5;7;…

Giải:

Viết từ 1 đến 9 có 5 số gồm 5 chữ số:

Dãy 11;13;…;99 có (99-11) :2 +1 = 45 số Gồm 2 .45 = 90 chữ số

Do đó từ 1 đến 99 phải dùng 5 + 90 = 95 chữ số.

Còn lại 1000 - 95 = 905 chữ số để viết các số lẻ có 3 chữ số kể từ 101

Ta thấy, 905 : 3 = 301 dư 2. Số lẻ thứ 301 kể từ 101 là: 101+(301-1) :2 = 701 Hai chữ số tiếp theo là chữ số 7 và 0 thuộc số 702.

Vậy chữ số thứ 1000 là 0 của số 702.

Bài 2: Có số hạng nào của dãy sau tận cùng bằng 2 hay không?

1; 1+2;1+2+3;1+2+3+4;…

HD:

Số hạng thứ n của dãy bằng :^n.(n₂^1)

Nếu số hạng thứ n của dãy có tận cùng bằng 2:

Thì n.(n+1) có tận cùng bằng 4. Điều này vô lý vì n.(n+1) chỉ có tận cùng bằng 0 hoặc 2 hoặc 6.

Bài 3: Cho:

S1=1+2 S2=3+4+5 S3=6+7+8

S4=10+11+12+13+14

…

Tính S100? Giải:

Số số hạng của S1, … S99 theo thứ tự bằng 2;3;4;5;…;100 Trước S100 có 2+3+…+100=^(2100₂ ^).99 =5049 số

Số hạng dầu tiên của S100 là: 5050

Mà S100 có 101 số nên S100 =^(50505150₂ ^).101= 515100 Bài 4: Cho A=1+4+4²+4³+…+4⁹⁹ B=4¹⁰⁰ CMR: A<

3 B

Giải:

A= 1+4+4²+4³+…+4⁹⁹ 4A=4+4²+4³+…+4¹⁰⁰

=> 4A-A = 3A = 4¹⁰⁰-1

=> 3A = 4¹⁰⁰-1 < 4¹⁰⁰ = B

=> A< ^B₃

Bài 5: Tính giá trị của biểu thức:

a/A = 9+99+999+…+

s c/ 50

9 ...

99

b/B = 9+99+999+…+

s c/ 200

9 ...

99

Giải:

a/ A = 9+99+999+…+

s c/ 50

9 ...

99

= 10-1+10²-1+10³-1+…+10⁵⁰-1

= 

s c/ 50

1 ...

11 0-50 = 

s c/ 48

1 ...

11 060 b/ B = 

s c/ 200

1 ...

11 0 – 200 = 

s c/ 197

1 ...

11 0910

Suy nghĩ từ 1 bài toán.

Bài toán 1:

Cho A = 1.2+2.3+3.4+…+9.10 Và B = A.3

Tính giá trị của B Giải:

Theo đề ra ta có:

B = (1.2+2.3+3.4+…+9.10).3

=1.2(3-0)+2.3(4-1)+3.4(5-2)+…+9.10(11-8)

=1.2.3-0+2.3.-2.3+3.4.5-2.3.4+…+9.10.11-8.9.10

=9.10.11=990

Trước hết bài toán yêu cầu khi tính tổng của A Ta có: A=

3

B =330 A=^9.10₃^.11

Từ đó ta có tổng quát:

A=1.2+2.3+3.4+…+(n-1).n

=>A=

3

) 1 .(

).

1

(n n n

hay B= A.3 = (n-1).n.(n+1)

(*) Từ bài toán trên ta có suy nghĩ tìm tòi lời giải và đề xuất bài toán Từ B=(1.2+2.3+3.4+…+9.10).3

=(0.1+1.2+2.3+…9.10).3

=¹^02 ^324 ^546 ^768 ^9810

=(1.1.2+3.3.2+5.5.2+7.7.2+9.9.2).3

=(1²+3²+5²+7²+9²)6

Kết hợp với cách tính tổng ở trên ta có

B=9.10.11

=>1²+3²+7²+9² =

6 11 . 10 . 9

Từ đó ta có bài toán tổng quát Bài tập 2: Tính tổng:

P= 1² + 3² + 5² + 7² +…+(2n+1)²

Kết luận P= (2n+1). (2n +2). (2n +3) / 6 Ta có thể phát triển bài toán

Bài tập 3: Tính tổng:

Q= 11² + 13² + 15² +…+ (2n + 1)²

Bài tập 4: Cho A= 1.2+ 2.3+ 3.4 + 4.5 +…+ 9.10 và C= A+ 10.11 Tính giá trị của C.

=> C= 10.11.12 /3 Mặt khác:

C= (1.2+2.3+3.4+…+9.10+10.11) = (1.2+2.3+3.4+4.5+…+9.10+10.11) = 2(13)4(35)...10(911) = 2.2.2 +4.4.2 + …+ 10.10.2 =2.(2² +4²+…+10²)

=> 2² +4² +…+10² = 10.11.12 /6 Tổng quát hóa.

Bài tập 5: CMR:

2² + 4² + 6²+…+(2n)² = 2n (2n+1).(2n+2) /6 Từ đây tiếp tục đề xuất bài toán khác.

Bài tập 6: Tính tổng:

20² + 22² + … + 48² +50² Bài tập 7: CMR

1² +2² +3²+…+n² = n(n+1).(2n+1)/6 Giải:

Xét trường hợp n chẵn:

1²+2²+3²+…+n² = (1²+3²+5²+…+(n-1)²)+(2²+4²+6²+…+n²)

=(n1).n(n1)n(n1).(n2)/6 = n.(n+1).(2n+1)/6 Với n lẻ chứng minh tương tự.

Cách 2:

1³ = 1³

2³ = (1+1)³ =1³+3.1².1+3.1.1²+1³ 3³ = (2+1)³ =2³+3.2².1+3.2.1² +1³

…

(n+1)³ = n³ + 3n² +1+3n .1²+1³

=> 1³+2³+…+(n+1)³= (1³+2³+…+n³)+3.(1²+2²+…+n²)+3.(1+2+…+n)+(n+1)

=> (n+1)³ = 3.( 1²+2²+…+n²)+ 3.(1+2+…+n)+(n+1)

=>3.( 1²+2²+…+n²) = (n+1)³ -3.(1+2+…+n)- (n+1)

= (n+1)².(n+1) -3.

2 ) 1 .(n

n - (n+1)

= (n+1).[2.(n+1)² -3n -2]/2

= (n+1).n .(2n+1)/2

=> 1²+2²+3²+…n² = ^n(n1).(₆^2.n1) Cách khác:

1²+2²+3²+…+n² = 1.(2-1)+ 2.(3-1) + 3.(4-1)+…+n [(n+1)-1]

=1.2+2.3+3.4+…+n .(n+1)-(1+2+…+n)

=^n.(n1₃^{).(n2)n.(n}₂^{1)  n.(n1).(}₆^2.n1) Ta phát triển bài toán.

Bài tập 8: Tính giá trị biểu thức:

A= -1²+2²-3²+4²-…-19²+20² Giải:

Ta tách:

A= (2²+4²+…+20²)-( 1²+3²+…+19²) Ta đã biết cách làm.

Ta cũng có cách khác:

A = (2²-1²)+(4³-3²)+…+(20²-19²)

= (2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+…+(20+19)(20-19)

= 3+7+11+15+19+23+27+31+35+39

= (39+3).10/2 = 210

Do B = A.3 ta nghiên cứu ở trên. Vì 3 là số liền sau của nhóm 1.2, ta nghiên cứu bài toán:

Bài tập 9 :

Tính A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+4.5.6+5.6.7+6.7.8+7.8.9+8.9.10 Giải:

A = (1.2.3+2.3.4+…+7.8.9+8.9.10).4/4

= [1.2.3.(4-0)+2.3.4.(5-1)+…+7.8.9.(10-6)+8.9.10(11-7)]/4

=(1.2.3.4-1.2.3.4+2.3.4.5-2.3.4.5+…+7.8.9.10-7.8.9.10+8.9.10.11)/4

= 8.9.10.11/4 = 1980 Ta có bài toán tổng quát :

A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+…+(n-1).n.(n+1) =(n-1).n.(n+1).(n+2)/4

Do thời gian có hạn nên còn dãy phân số viết theo quy luật tôi chưa trình bày đượcở đây .

Trên đây là một vài suy nghĩ của tôi về dãy số (với số tự nhiên,nguyên) viết theo quy luật. Bài viết của tôi còn nhiều hạn chế.,không tránh khỏi thiếu sót

Mong các bạn đóng góp để tôi hoàn thiện hơn