Chuyên đề giá trị tuyệt đối bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 - 7 - THCS.TOANMATH.com

(1)

CHUYÊN ĐỀ: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

A. Lý thuyết :

+ ĐN: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của một số a ( a là số thực) - Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó.

TQ: Nếu a0 a =a Nếu a0 a =−a

Nếu x - a  0=>

|

x-a = x - a

|

Nếu x - a  0=>

|

x-a = a - x

|

+Tính chất: Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm: a 0 với mọi a  R

- Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau. 





−

=

 =

= a b

b b a

a

- Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó: −_a _a _a và −a =aa₀_;a= a a₀

- Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn: Nếu ab0 a  b - Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn: Nếu 0ab a  b - Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối: a.b = a.b

- Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối:

b a b a =

- Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó: a² =a²

- Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu: a + b  a+b và a +b = a+b a.b0

(2)

DẠNG 1: PHÁ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Bài 1: Phá giá trị tuyệt đối:

a, 2x+3 b, 4x−2 c, 3x−5 d, 2−x

HD :

a, Ta có:

2 3 3 2 3 2

2 3 3

2

x x

x

x x

 +  − 

  

+ =

− −  − 

  



b,

4 2 1 4 2 2

2 4 1

2

x x

x

x x

 −   

  

− =

 −   

  

 c,

3 5 5 3 5 3

5 3 5

3

x x

x

x x

 −   

  

− =

 −   

  



( )

2 2

, 2 2 2

x x

d x

x x

− 

− = 

− 



Bài 2: Phá giá trị tuyệt đối:

a, 2x− + −4 x 3 b, x− + +5 x 6 HD :

a, Ta có bẳng sau :

x 2 3

2x-4 - 0 + / +

x-3 - / - 0 + Khi đó ta có :

Nếu ^x^{ =}² ²^x^{− + − =}⁴ ^x ³

(

^{4 2}⁻ ^x

) (

^{+ −}³ ^x

)

^{= − +}³^x ⁷

Nếu 2  =x 3 2x− + − =4 x 3 2x− + − = −4 3 x x 1 Nếu x =3 2x− + − =4 x 3 2x− + − =4 x 3 3x−7 b,

Ta có bẳng sau :

x -6 5

x-5 - / - 0 +

x+6 - 0 + / + Khi đó ta có :

Nếu x − = − + + = − − − = − −6 x 5 x 6 5 x x 6 2x 1 Nếu −   = − + + = − + + =6 x 5 x 5 x 6 5 x x 6 11 Nếu x = − + + = − + + =5 x 5 x 6 x 5 x 6 2x+1 Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau:

a, ^{3 2}

(

^x^{− − −}¹

)

^x ⁵ ^b,²^x^{+ + +}³ ^x ²

HD:

a, Nếu ^x^{ =}⁵ ^{3 2}

(

^x^{− − − =}¹

)

^x ⁵ ⁶^x^{− −}³

(

^x⁻⁵

)

⁼⁵^x⁺²

Nếu ^x^{ =}⁵ ^{3 2}

(

^x^{− − − =}¹

)

^x ⁵ ⁶^x^{− − −}³

(

⁵ ^x

)

⁼⁷^x⁻⁸

b, Nếu 3

2 3 2 2 3 2 3 5

x −2 = x+ + + =x x+ + + =x x+

Nếu 3

2 3 2 2 3 2 1

x −2 = x+ + + = − − + + = − −x x x x Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:

a, 3x− + −1 1 3x b, ³

(

^x^{− −}¹

)

²^x⁺³

HD:

(3)

a, Nếu : 1

3 1 1 3 3 1 1 3 0

x =3 x− + − x = x− + − x=

Nếu ¹ ³ ^{1 1 3} ³ ¹

(

³ ¹

)

⁶ ²

x =3 x− + − x = x− + x− = x−

b, Nếu ^x^{ − =}³ ³

(

^x^{− −}¹

)

²^x^{+ =}³ ³^x^{− −}^{3 2}

(

^x⁺³

)

^{= −}^x ⁹

Nếu ^x^{ − =}³ ³

(

^x^{− −}¹

)

²^x^{+ =}³ ³^x^{− +}^{3 2}

(

^x⁺³

)

⁼⁵^x⁺³

Bài 5: Tính giá trị của biểu thức:

a, A=3x²−2x+1, Với x =0,5 b, B = 3x− + −1 x 3 với 1 x =3 HD:

a, Vì 0,5

0,5 0,5

x x

x

 =

= =  = − TH1 :

1 2 1 3

0,5 3. 2. 1

2 2 4

x= = =A     − + = TH2 :

1 2 1 3 11

0,5 3 2. 1 2

2 2 4 4

x= − = =A −  − − + = + =

b, Vì

1

1 3

3 x x

x

 =

= = 

 = −



TH1 : 1 1 1 8

3. 1 3

3 3 3 3

x= = =B − + − =−

TH2 : 1 1 1 10 7

3. 3 1

3 3 3 3 3

x=− = =B − +− − = +− = − Bài 6: Tính giá trị của biểu thức:

a, _A=₆_x³−₃_x²+₂_x +₄ với 2

x= −3 b, ₂_x −₃_y với 1

; 3

x= 2 y= − HD:

a, Với

3 2

2 2 2 2 2 2

6. 3. 2. 4

3 3 3 3 3 3

x=− = x = − = = =A     −     + +

52

= 9

b, Với 1 1 1

, 3 3 2 3 2. 3.3 1 9 8

2 2 2

x= = x = y= − = y = = =B x − y = − = − = − Bài 7: Tính giá trị của biểu thức:

a, 2x− −2 31−x với x = 4 b,

5 2 7 1 3 1

x x

D x

− +

= − với 1

x =2 HD:

a, Với x= = =4 A 2 x− −2 3 1− =x 2. 2− − = − = −3 3 4 9 5

b, Với 1 1/ 2

2 1/ 2 x x

x

 =

= =  = − TH1 :

1 1

5. 7. 1

1 4 2 5

2 3.1 1 2

2

x D

− + −

= = = =

− TH2 :

1 1

5. 7. 1

1 4 2 23

2 3. 1 1 10

2

x D

+ +

− −

= = = =

− −

(4)

DẠNG 2: ^{A x}

( ) (

⁼^{k k}^⁰

)

Bài 1: Tìm x biết:

a, 2 3x− + =1 1 5 b, 2 1 4

3 2

5 35 7

x− = + c, x+ − =5 4 3 HD:

a, 3 1 2

2 3 1 1 5 2 3 1 4 3 1 2

3 1 2

x x x x

x

 − =

− + = = − = = − = =  − = −

b,

2 13

2 1 4 2 13 3 5 5

3 2 3

2 13

5 35 7 5 5

3 5 5

x

x x

x

 − =

− = + = − = = 

 − =−



c, 5 4 3

5 4 3

x

x x

 + − = + − = = 

+ − = −



a, 3x+ −1 11=3 b, x+ − =3 8 20 HD :

a, Ta có : 3 1 11 3

3 1 11 3

x x

x

 + − = + − = = 

+ − = −



b, Ta có : 3 8 20

3 8 20

x

x x

 + − = + − = = 

+ − = −



Bài 3: Tìm x nguyên biết :

a, ^{5 2}

(

^x⁺³

)

⁺ ^{2 2}

(

^x⁺³

)

⁺ ²^x^{+ =}³ ¹⁶ ^b, ^x²⁺ ⁶^x⁻² ⁼^x²⁺⁴

HD :

a, VT=5 2x+ +3 2 2x+ +3 2x+ =3 16=8 2x+ =3 16 2 3 2

2 3 2

x x

x

 + =

= + = =  + = − b, Vì

2 2

2 2 2

2 2

6 2 4

4 0 6 2 4

6 2 4

x x x

x x x x

x x x

 + − = + +  = + − = + = 

+ − = − −



a, 1 21

3 : 2 1

2 x− = 22 b,

2 3 1 2

2 x− = c, 7,5−35−2x =−4,5 Bài 5: Tìm x biết:

a, x− + =1 2 3 b, 2x−5 =4 c,

4 2 1 4 5 3

1− − x = Bài 6: Tìm x, y biết:

a, 1

4 2

x+ − = −5 b,

3 1 5 1 2

1− x+ = c,

8 1 7 4 2

3− x+ = Bài 7: Tìm x biết:

a, 1 4

2 1

2 5

x− + = b, ² 1 ²

2 2

x + x− =2 x + c, ² 3 ² x x+4 =x Bài 8: Tìm x biết:

(5)

a, 1 1

2 1

2 5

x− − = b, 1 3 2

2x+ − =1 4 5 c, ² 3 x x +4 =x Bài 9: Tìm x biết:

a, 1 3 3

2 2

2 4 4

x x x

 +  − = −

 

  b, 1 3 3

2 2

2 4 4

x− x− = x− c, 2x− − + =3 x 1 4x−1 Bài 10: Tìm x biết:

a, x− − =1 1 2 b, 3x+ − =1 5 2 c, 5 3 2− x− =1 7 Bài 11: Tìm x biết:

a, 3,75 2,15

15

4 − − =−−

+

x b, 23x−1+1=5 c, 1 3

2− =

x

a, 3,5

2 1 5

2 + =

+

−x b)

5 21 3 1 =

−

x c,

4 5 4 1 2

2− 3x− = −

a, 4

7 4 3 5 4 2

3+ x− = b,

6 5 3 5 2 1 4 5 3 ,

4 − x+ = c, 5%

4 3 4

1 − =

+ x Bài 14: Tìm x biết:

a, 2

3 : 1 4 5 9 ,

6 − x+ = b,

2 7 5 4 1 2: 3 4

11+ x− = c, 3

2 1 4 : 3 5 , 4 2

15− x+ =

a, 6

3 2 : 4 5 3

21+ x− =

b, 2: 1 1

3 x 6 12

− + = c, 9 9 1 1: ² 3 4 2 2 2− x = 4

(6)

DẠNG 3: A x

( )

=B x

( )

Phương pháp: Chia khoảng phá GTTĐ Bài 1: Tìm x biết:

a, 2x+ = +3 x 2 b, ¹ ⁴

(

^{3, 2}

)

²

3 5 5

x− + = − + HD:

a, TH 1 : 3

2 3 2 1

x−2 = x+ = + = = −x x (t/m)

TH2 : 3 5

2 3 2

2 3

x− = − − = + = =x x x − (t/m)

b,

1 2

1 4 14 1 14 4 2 3

3 5 5 3 5 5 1

3 2 x

x x

x

 − =

− + = = − = − = = 

 − = −



a, 4− +x 2x=3 b, x− +7 2x+ =5 6 c, 3x− 2x+ =1 2 HD:

a, TH1 : ^x^{ =}⁴

(

⁴⁻^x

)

⁺²^x^{= = = −}³ ^x ¹

(

^{t m}^/

)

TH2 : ⁴

(

⁴

)

² ³ ⁷

( )

x = x− + x= = =x 3 l

b, TH1 : 8

7 7 2 5 6

x = − +x x+ = = =x 3(loại) TH2 : x = − +7 7 x 2x+ = = = −5 6 x 6 (t/m)

c, TH1 : ¹ ³

(

² ¹

)

² ³

x −2 = x− x+ = = =x (t/ m)

TH2 : ¹ ³

(

² ¹

)

² ¹

2 5

x− = x+ x+ = = =x (loại) Bài 3: Tìm x biết:

a, 2x− = −3 x 3 b, 5x− − =3 x 7 c, 3x− = +2 x 7 HD :

a, ^1: ³ ² ³ ³ ⁰

( )

TH x =2 x− = − = =x x l 3

( )

2 : 3 2 3 2

TH x = −2 x= − = =x x l

b, 3 5

1: 5 3 7

5 2

TH x = x− − = = =x x (t/m)

3 2

2 : 3 5 7

5 3

TH x = − x− = = =x x − (t/m)

c, 2 9

1: 3 2 7

3 2

TH x = x− = + = =x x (t/m)

2 5

2 : 2 3 7

3 4

TH x = − x= + = =x x − (t/m)

(7)

Bài 4 : Tìm x biết :

a, 4x+ − =3 x 15 b, 2 5x− −3 2x=14 c, 3x− +2 5x=4x−10 HD:

a, 3

1: 4 3 15 ...

TH x −4 = x+ − =x = =x

2 : 3 4 3 15 ...

TH x−4 = − − − =x x = =x

b, ^1: ³ ^{2 5}

(

³

)

² ¹⁴ ^...

TH x =5 x− − x= = =x

( )

2 : 3 2 3 5 2 14

TH x =5 − x − x= = =x ...

c, 2

1: 3 2 5 4 10 ...

TH x =3 x− + x= x− = =x

2 : 2 2 3 5 4 10 ...

TH x = −3 x+ x= x− = =x Bài 5: Tìm x biết:

a, x−2016 = −x 2012 b, x+ − =1 5 0 c, x+ =4 7 HD:

a, TH1:x2016= −x 2016= −x 2012= =x ...

2 : 2016 2016 2012 ...

TH x = − = −x x = =x b, x+ = = + =  = =1 5 x 1 5 x ...

c, _x+ = = + =  = =₄ ₇ _x ₄ ₇ _x _...

a, x−20 =11 b, x− = −5 x 5 c, x− = −6 6 x HD:

a, x−20 =11= −x 20= 11 b, x− = − = −  = 5 x 5 x 5 0 x 5 c, x− = − = −  = 6 6 x x 6 0 x 6 Bài 7: Tìm x biết:

a, x− + − =7 x 7 0 b, 17− + − =x x 4 0

c, x− + − =3 x 3 0 HD:

a, x− + − = = − = − = −  = 7 x 7 0 x 7 7 x x 7 0 x 7

b,

( ) ( )

17 4 0 4

17 4 0

17 4 0 4

x x x

x x

x x x

− + − = 

− + − = = 

− + − = 



c, x− + − = = − = − = −  = 3 x 3 0 x 3 3 x x 3 0 x 3 Bài 8: Tìm x biết:

a, x+ − =2 x 2 b, x− =3 21 c, 2x+ − − =3 x 3 0 HD:

a, x+ − = = + = + = +  =  −2 x 2 x 2 x 2 x 2 0 x 2

b, 3 21

3 21

x x

x

 − =

− = =  − = −

c, 2 3 3

2 3 3 0 2 3 3

2 3 3

x x

x x x x

x x

− = − + − − = = − = − =  − = −

(8)

a, 2x+ = +3 x 2 b, x− +7 2x+ =5 6 HD:

a,

2 3 2 3

2 3 2 2

2 3 2 3

2

x x x

x x

x x x

 + = +  − 

  

+ = + =

− − = +   − 

  



b,

( )

7 2 5 6 7

7 2 5 6

7 2 5 6 7

x x x

x x

x x x

− + + = 

− + + = = 

− + + = 



a, 5x = −x 12 b, 9+ =x 2x c, 5x −3x=2 d, x+ − =6 9 2x Bài 11: Tìm x biết:

a, x− + =5 5 x b, x+ − =7 x 7 c, 3x− + =4 4 3x d, 7−2x + =7 2x Bài 12: Tìm x biết:

a, 1

2x = −3 2x b, x− =1 3x+2 c, 7− =x 5x+1 d, 2x− + =3 x 21 Bài 13: Tìm x biết:

a, 4+2x = −4x b, 3x− + =1 2 x c, x+15+ =1 3x d, 2x− = +5 x 2 Bài 14: Tìm x biết:

a, 2x− = +5 x 1 b, 3x− − =2 1 x c, 3x− =7 2x+1 d, 2x− + =1 1 x Bài 15: Tìm x biết:

a, 4− +x 2x=3 b, 3x−4 +4=3x c, 7−2x +7=2x d, 6x− − =2 5 2016x−2017 Bài 16: Tìm x biết:

a. 2x− = +5 x 1 b. 6x− =2 3x−4 c. 3x− = −2 x 2 d, 2x− =3 3x+2 Bài 17: Tìm x biết:

a, 2x− = −3 x 5 b.3x+ = +2 x 1 c. 2x+ = −1 7 x d.2x+ =3 1 Bài 18: Tìm x biết:

a. 2− =x 2x−1 b. 2x− = −1 x 3 c. 2x− = +1 x 2 d, x− =1 2x−1 Bài 19: Tìm x biết:

a. x− = −2 2 x

(9)

DẠNG 4: A x

( )

= B x

( )

Phương pháp:

Cách 1: Tách 2 TH:

TH1: ^{A x}

( )

⁼^{B x}

( )

TH2: ^{A x}

( )

^{= −}^{B x}

( )

Cách 2: Xét khoảng bằng cách lập bẳng xét dấu:

Bài 1: Tìm x biết: _x− −₂ ₂_x+ − = −₃ _x ₂ HD:

Lập bảng xét dấu ta có:

x - 3/2 2

x-2 - / - 0 +

2x+3 - 0 + / + Khi đó ta có : TH1 : ³

(

²

) (

² ³

)

²

x−2 = − − − − − = −x x x

TH2 : ³ ²

(

²

) (

² ³

)

²

2 x x x x

−   = − − + − = − TH3 : ^x^{ =}²

(

^x^{− −}²

) (

²^x^{+ − = −}³

)

^x ²

a, 2x− − = −3 x 2 x b, 2x− −3 4x− =1 0 HD :

a, Ta có bẳng xét dấu :

x 3/2 2

2x - 3 - 0 + / +

2 - x + / + 0 -

Khi đó ta có : ^1: ³

(

^{3 2}

)

²

TH x = −2 x − = −x x

( ) ( )

2 :3 2 2 3 2

TH 2  =x x− − =x −x

( )

3: 2 2 3 2

TH x = x− − = −x x

b,

( )

2 3 4 1

2 3 4 1 0 2 3 4 1

2 3 1 4

x x

x x x x

x x

− = −

− − − = = − = − = 

− = −



a, 3x− +5 2x+ =3 7 b, x + + =x 2 3 c, 3x− = +5 x 2 HD :

a, Ta có bằng xét dấu :

x -3/2 5/3 3x - 5 - / - 0 +

2x + 3 - 0 + / + Khi đó ta có : ^1: ³

(

^{5 3}

) (

² ³

)

⁷

TH x−2 = − x + − + =x

(10)

( ) ( )

3 5

2 : 5 3 2 3 7

2 3

TH −   = −x x + x+ =

3 : 5 3 5 2 3 7

TH x =3 x− + x+ = b, Ta có bẳng xét dấu :

x -2 0

x - / - 0 +

x + 2 - 0 + / + Khi đó ta có : ^TH^1:^x − = − + − −²

( ) (

^x ^x ²

)

=³

( ) ( )

2 : 2 0 2 3

TH −   = − +x x x+ =

( )

3: 2 2 3

TH  = +x x x+ =

c, Ta có : 3 5 2

3 5 2

x x

− = +

− = + =  − = − − Bài 4: Tìm x biết:

a, x− + + =1 x 3 4 b, 2x+ −3 2 4− =x 5 HD :

a, Ta có bẳng sau :

x -3 1

x - 1 - / - 0 +

x + 3 - 0 + / + Khi đó ta có : ^TH^1:^x^{ − = −}³

(

¹ ^x

) (

^{+ − − =}^x ³

)

⁴

( )

2 : 3 1 1 3 4

TH −   = −x x + + =x

( ) ( )

3: 1 1 3 4

TH x = x− +x x+ = b, Ta có bẳng sau :

x -3/2 4

2x+3 - 0 + / +

4-x - / - 0 + Khi đó ta có : ^1: ³

(

² ³

) (

² ⁴

)

⁵

TH x−2 = − − −x x− =

( ) ( )

2 : 3 4 2 3 2 4 5

TH −2   =x x+ − x− =

( ) ( )

3: 4 2 3 2 4 5

TH x = x+ − −x = Bài 5: Tìm x biết:

a, x + − =8 x 0 b, x+ − = −x 3 x c, 2x− − = −3 x 2 x HD :

a, Ta có bảng xét dấu :

x 0 8

x - 0 + / +

8-x + / + 0 - Khi đó ta có : ^TH^1:^x^{ = − + −}⁰

( ) (

^x ⁸ ^x

)

⁼⁰

2 : 0 8 8 0

TH   = + − =x x x

( )

3: 8 8 0

TH x = +x x− =

b, Ta có − =x x = x+ − = − =x 3 x 2x = −3 x

1: 0 2. 3

TH x = x= −x

( )

2 : 0 2 3

TH x = − = −x x

(11)

c, Ta có bảng xét dấu ta có :

x 3/2 2

2x - 3 - 0 + / +

2 - x + / + 0 - Khi đó ta có : ^1: ³

(

^{3 2}

)

²

TH x = −2 x − = −x x

( ) ( )

2 :3 2 2 3 2

TH 2  =x x− − =x −x

( )

3: 2 2 3 2

TH x = x− − = −x x Bài 6: Tìm x biết: x−2011+ −x 2010 =2012

HD :

Ta có bảng xét dấu :

x 2010 2011 x - 2011 - / - 0 +

x - 2010 - 0 + / + Khi đó ta có : ^TH^1:^x^²⁰¹⁰^=

(

²⁰¹¹⁻^x

) (

⁺ ²⁰¹⁰⁻^x

)

⁼²⁰¹²

^TH^{2 : 2010}^{ }^x ²⁰¹¹^=

(

²⁰¹¹⁻^x

) (

⁺ ^x⁻²⁰¹⁰

)

⁼²⁰¹²

( ) ( )

3: 2011 2010 2012

TH x− + x− =

Bài 7: Tìm x biết: _x−_1,5+_2,5− =_x ₀ HD:

Vì 1,5 0 1,5 0

1,5 2,5 0

2,5 0

x x

 −   − =

 = − + − = =

 −   − =



Bài 8: Tìm x, y biết :

a, _x + + =_x ₂ ₀ b, _x−_1,38+ ₂_y+_{4, 2} =₀ c, ₅_x− = +₄ _x ₂ HD:

a, Vì 0 0

2 0

x x

x x x x

   =

 = + + = =

 +   + =



b, Vì 1,38 0 1,38 0

1,38 2 4, 2 0

2 4, 2 0

x x

x y

y y

 −   − =

 = − + + = =

 +   + =



c, 5 4 2

5 4 2

x x

− = +

− = + =  − = − − Bài 9: Tìm x biết: x + − =x 1 1

HD :

Ta có bảng xét dấu :

x 0 1

x - 0 + / +

x - 1 - / - 0 + Khi đó ta có : ^TH^1:^x^{ = − + −}⁰

( ) (

^x ¹ ^x

)

⁼¹

( )

2 : 0 1 1 1

TH   = + −x x x =

( )

3: x 1 1 1

TH  = +x x− =

(12)

Bài 10: Tìm x, y biết: 4x+ − − =3 x 1 7 HD :

a, Ta có bảng xét dấu :

x -3/4 1

4x + 3 - 0 + / +

x - 1 - / - 0 + Khi đó ta có : ^1: ³

(

⁴ ³

) (

¹

)

⁷

TH x −4 = − − − −x x =

( ) ( )

2 : 3 1 4 3 1 7

TH −4   =x x+ − −x =

( ) ( )

3: 1 4 3 1 7

TH x = x+ − x− = Bài 11: Tìm x biết : 2x− − = −3 x 2 x

HD :

Ta có bẳng xét dấu :

x 3/2 2

2x - 3 - 0 + / +

2 - x + / + 0 - Khi đó ta có :

( )

1: 3 3 2 2

TH x = −2 x − = −x x

( ) ( )

2 :3 2 2 3 2

TH 2  =x x− − =x −x

( )

3: 2 2 3 2

TH x = x− − = −x x Bài 12: Tìm x biết:

a, 2x− −3 3x+ =2 0 b, 7x+ −1 5x+ =6 0 c, 5 7 5 3 4x− −2 8x+ =5 0 Bài 13: Tìm x biết:

a, 7 5 1

5 0

8x+ −6 2x+ = b, 2+3x = 4x−3 c, 3 1

4 1

2x+ =2 x− Bài 14: Tìm x biết: 7 2 4 1

3x+ =3 3x−4 Bài 15: Tìm x biết :

a, x− − − =1 x 3 2x−1 b, 4 3x− +1 x −2x− +5 7x− =3 12 Bài 16: Tìm x biết:

a, 1 1 1

2 8 1, 2

5− + − +x x 5 5= b, 3x+ −4 2x+ −1 5x+ + − =3 x 9 5 Bài 17: Tìm x biết:

a, 1 1 1

2 3 3 2

2 2 5

x+ + −x = −x b, 2x− + + =6 x 3 8 Bài 18: Tìm x biết:

a, x+ + − =5 x 3 9 b, x+ + − + + =1 x 2 x 3 6 Bài 19: Tìm x biết:

a, x− + − + − =2 x 3 x 4 2 b, 2 x+ + − =2 4 x 11 Bài 20: Tìm x biết:

a, x+ + − =5 3 x 8 b, x− + − =2 x 5 3 c, 3x− +5 3x+ =1 6 Bài 21: Tìm x biết:

a, 2 x− +3 2x= =5 11 b, x+ +1 2x− =3 3x−2 c, x− + − +3 5 x 2x− =4 2

(13)

a, x− + − =4 x 6 2 b, x+ + + =1 x 5 4 c, 3x+ +7 3 2− =x 13 Bài 23: Tìm x biết:

a, 5x+ + −1 3 2x = −4 3x b, x+ +2 3x− + − =1 x 1 3 c, x− + − =2 x 7 4 Bài 24: Tìm x biết:

a, 5x−4 = x+2 b, 2x−3−3x+2 =0 c, 2+3x = 4x−3 Bài 25: Tìm x biết:

a, 7x+1− 5x+6 =0 b, 4 1 2

1 2

3x+ = x− c, 0

5 3 8 5 2 7 4

5x− − x+ = Bài 26: Tìm x biết:

a, 4

1 3 4 3 2 5

7x+ = x− b, 5 0

2 1 6 5 8

7x+ − x+ =

(14)

DẠNG 5: BIỂU THỨC CÓ NHIỀU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp: Lập bảng xét dấu

a, 43x−1+ x −2x−5+7x−3=12 b, 3x+4−2x+1−5x+3+ x−9 =5 Bài 2: Tìm x biết:

a, 1,2

5 81 5 1 5

21−x + x− + = b, x+ + x − = −x

5 21 2 31 2

31 2 Bài 3: Tìm x biết:

a, 2x−6+ x+3=8 ^b, x+5+ x−3=9

a, x−2 + x−3 + x−4 =2 b,

x + 1 + x − 2 + x + 3 = 6

a,

2 x + 2 + 4 − x = 11

b, x−2 + x−3 + 2x−8 =9 Bài 6: Tìm x biết:

a,

3 x x + 1 − 2 x x + 2 = 12

b, x−1+3x−3 −2x−2 =4 Bài 7: Tìm x biết:

a,

x + 5 − 1 − 2 x = x

b, x − 2x+3 = x−1

a, x +1−x =x+ x−3 b, x−2 + x−5 =3

a, x−₃+ x+₅ =₈ b, ₂x−₁+ ₂x−₅ =₄ Bài 10: Tìm x biết:

a, x−3+3x+4 = 2x+1 Bài 11: Tìm x biết:

a, x − 2x+ = −3 x 1 b, 3x x+ −1 2x x+ =2 12 Bài 12: Tìm x biết:

a, x+ − −5 1 2x =x b, x + − = + −1 x x x 3

(15)

DẠNG 6: A x

( )

a hoặc A x

( )

a Phương pháp:

Với ^{A x}

( )

^{ = − }^a ^a ^{A x}

( )

^^a

Với

( ) ( )

( )



 = 

  − A x a A x a

A x a Bài 1: Tìm x biết:

a, x− 2 4 b, 5x− 3 2 c, 3x+ 1 4

HD :

a, x−  = −  − 2 4 4 x 2 4 b, 5x−  = − 3 2 2 5x− 3 2

c, 3 1 4

3 1 4

x x

x

 +  +  =  +  − Bài 2: Tìm x biết:

a, 3x− − 2 x 1 b, 3x−  +2 x 1 c, 2x+ 3 5 HD:

a, 2

1: 3 2 1

TH x =3 x− − x 2

2 : 2 3 1

TH x = −3 x− x

b, 2

1: 3 2 1

TH x =3 x−  +x 2

2 : 2 3 1

TH x = −3 x +x c, 2x+  = − 3 5 5 2x+ 3 5

a, 2x− 3 5 b, 3x− 1 7 c, 3+ 2x+ 5 13

HD:

a, 2 3 5

2 3 5

x x

x

 − 

−  =  −  − b, 3x−  = − 1 7 7 3x− 1 7

c, 2 5 10

2 5 10

x x

x

 + 

= +  =  +  − Bài 4: Tìm x biết:

a, ₂_x+ −₃ ₄_x₉ b, _x− ₁ ₄ c, _x−₂₀₀₁₂₀₀₂ HD:

a, ^1: ³

(

² ³

)

⁴ ⁹

TH x−2 = x+ − x 3

2 : 2 3 4 9

TH x −2 = − − −x x

(16)

DẠNG 7: SỦ DỤNG TÍNH CHẤT: A+ B  A+B Bài 1: Tìm x nguyên biết:

a, x− + − + − + − =1 x 3 x 5 x 7 8 b, x−2010 + −x 2012 + −x 2014 =2 HD :

a, Ta có : ^=

(

^x^{− + −}¹ ^x ⁷

) (

⁺ ^x^{− + −}³ ^x ⁵

)

= − + − + − + −^x ¹ ⁷ ^x ^x ³ ⁵ ^x

1 7 3 5 6 2 8

x x x x

 − + − + − + − = + = Dấu bằng xảy ra khi

( )( )

1 7 0

3 5

3 5 0

x x

x x x

− − 

 =  

 − − 



b, ta có :

1010 2014 2012 2010 2014 2012 2 2012 2

VT= −x + − + −x x  −x + − + −x x = + −x  Vì x−2012 0, dấu bằng khi

(

2010 1014

)( )

0

2012 0 2012

x x

− − 

 = =

 − 



Bài 2: Tìm x nguyên biết: x− + − + − + + −1 x 2 x 3 ... x 100=2500 HD :

Ta có : ^VT ⁼

(

^x^{− +}¹ ¹⁰⁰⁻^x

) (

⁺ ^x^{− +}² ⁹⁹⁻^x

)

^{+ +}^...

(

^x⁻⁵⁰⁺ ⁵¹⁻^x

) (

^{1 100}

) (

^{2 99}

)

^...

(

^{50 51}

)

VT x− + −x + x− + −x + + x− + −x 99 97 95 ... 1 2500

= + + + + =

Dấu bằng xảy ra khi :

(

^x⁻^{1 100}

)(

⁻^x

)

^^0,

(

^x⁻^{2 99}

)(

⁻^x

)

^^0,...

(

^x⁻^{50 51}

)(

⁻^x

)

^⁰

50 51 x x

 =

=  =

Bài 3: Tìm x nguyên biết:

a, x− + − + − + − =1 x 2 y 3 x 4 3 HD :

a, Ta có : Đặt A= − + − + − + −x 1 x 2 y 3 x 4

Ta có : x− + − = − + − 1 x 4 x 1 4 x 3 Nên A=3 khi và chỉ khi

2 3 0

x− = − =y và

(

^x⁻^{1 4}

)(

⁻^x

)

^{ = =}⁰ ^x ^2,^y⁼³

a, 2004= − + −x 4 x 10+ +x 101+ +x 990+ +x 1000 HD :

a, Ta có _VP= − + +₄ _x _x ₁₀₀₀+₁₀− + +_x _x ₉₉₀+ +_x ₁₀₁ 1004 1000 101 2004

VP + + +x 

Dấu bằng khi

( )( )

4 1000 0

10 990 0 101

101 0 x x

x x x

x

− + 



− +  = = −

 + =



Bài 5: Tìm x nguyên biết: x−2005+ −x 2006+ −y 2007 + −x 2008 =3 HD :

Đặt A= −x 2005+ −x 2006+ −y 2007+ −x 2008

Khi đó ta có : A= −x 2005+2008− + −x x 2006+ −y 2007  + −3 x 2006+ −y 2007 Dấu bằng xảy ra khi :

(

^{2005 2008}

)( )

⁰ 2006

2006 2007 0 2007

x x x

x y y

− − 

  =

 =

 − = − =  =



(17)

Bài 6: Tìm x biết: 2x− +3 2x+ =4 7 HD :

Ta có: 3 2− x+2x+  −4 3 2x+2x+ =4 7 dấu bằng xảy ra khi

3 2 0 3 2 4 0 2

2

x x

−   

 =

 +  

   − Bài 7: Tìm x biết: _x+_2,5+ +_x _6,5+ +_x _9,5 =₇

HD:

2,5 2,5

x+  − −x , x+6,5 0 và x+9,5  +x 9,5

Nên: VT  − −x 2,5+ +x 9,5 7= , dấu bằng xảy ra khi x= −6,5 Bài 8: Tìm x nguyên biết: x+ + + + + + + +1 x 2 x 3 ... x 100=605x HD :

Vì x+ 1 0,x+ 2 0,...x+100  =0 VT =0 605x = 0 x 0 Với ^x^{ =}⁰ ^VT⁼

(

^x^{+ +}¹

) (

^x⁺²

) (

⁺ ^x^{+ + +}³

)

^...

(

^x⁺¹⁰⁰

)

⁼⁶⁰⁵^x

100x 5050 605x

= + =

Bài 9: Tìm biết: x+ + + =3 x 1 3x HD :

Vì x+ 3 0,x+  =1 0 3x = 0 x 0

Với ⁰ ³ ³

(

³

) (

¹

)

³

1 1

x x

x x x x

x x

 + = +

 = = + + + = + = +



Bài 10: Tìm x, biết x 1 x 3 ... x 2019 2020x+ + + + + + = .

Bài 11: Tìm x biết: 11 2 4

17 17 17 4

x+ + +x + +x = x HD :

Vì 11 2 4

0, 0, 0 0 4 0 0

17 17 17

x+  x+  x+  =VT  = x = x

Khi đó : 11 2 4

17 17 17 4

x x x x

 +  + +  + + =

     

     

Bài 12 : Tìm x biết :

a, x+0,8+ +x 5, 2+ +x 9, 7 =4x HD:

a, Vì x+0,8 0, x+5, 2 0, x+9, 7  =0 4x = 0 x 0 Khi đó:

(

^x⁺^0,8

) (

⁺ ^x⁺^{5, 2}

) (

⁺ ^x⁺^{9, 7}

)

⁼⁴^x

Bài 13: Tìm x biết :

a, _x− + − +₂ _x ₃ ₂_x− =₈ ₉ b, _x− +₁ ₃_x− −₃ ₂_x− =₂ ₄ Bài 14: Tìm x biết:

a, x+ + + + + =1 x 2 x 3 4x b, x+ + + + + + + =1 x 2 x 3 x 4 5x−1 Bài 15: Tìm x biết:

a, 3 1

2 4

5 2

x+ + + + + =x x x b, x+1,1+ +x 1, 2+ +x 1,3+ +x 1, 4 =5x Bài 16: Tìm x biết:

a, 1 2 3 100

... 101

101 101 101 101

x+ + +x + +x + + +x = x

Bài 17: Tìm x biết: 1 1 1 1

... 100

1.2 2.3 3.4 99.100

x+ + +x + +x + + +x = x

(18)

a, x− + − =2 x 5 3 b, 2x− +1 2x− =5 4 Bài 19: Tìm x biết:

a, x+5+ 3−x =8 b, x−2 + x−5 =3 c, 3x−5+3x+1=6 Bài 20: Tìm x biết:

a, 2x−3+2x+5 =11 b, x+1+ 2x−3 =3x−2 c, x−3+5−x+2x−4 =2 Bài 21: Tìm x biết:

a, x−4+ x−6 =2 b, x+1+ x+5 =4 c, 3x+7+32−x =13 Bài 22: Tìm x biết:

a, 5x+1+3−2x = 4+3x b, x+2+ 3x−1+ x−1=3 c, x−2+ x−7 =4 Bài 23: Tìm x, y thoả mãn :

a)

( x − 1 ) (

²

+ y + 3 )2 = 0 Bài 24: Tìm x, y thoả mãn:

a)

x − 2007 + y − 2008  0

Bài 25: Tìm x thoả mãn:

a) x+5+ 3−x =8

... 50

1.3 3.5 97.99

x+ + +x + + +x = x

... 101

1.5 5.9 397.401

x+ + +x + + +x = x Bài 28: Tìm x biết: ^x+ + + + − =⁵ ^x ³ ^x ² ⁸

(

^x−³

)

Bài 29: Tìm x biết c, 2x+ +5 2x− =3 8 Bài 30: Tìm x nguyên biết:

a, x− + − =1 4 x 3 b, x+ + − =2 x 3 5 c, x+ + − =1 x 6 7 Bài 31: Tìm số nguyên x, y biết:

a, x+y=4 và x+ +2 y =6 b, x+y=4 và 2x+ + − =1 y x 5 Bài 32: Tìm số nguyên x, y biết:

a, x-y =3 và x + y =3 b, x-2y=5 và x+ 2y− =1 6 Bài 33: Tìm số nguyên x, y biết:

a, x+y=5 và x+ + − =1 y 2 4 b, x-y=3 và x− + − =6 y 1 4 Bài 34: Tìm số nguyên x, y biết:

a, x-y=2 và 2x+ +1 2y+ =1 4 b, 2x+y=3 và 2x+ + + =3 y 2 8 Bài 35: Tìm x biết : x−2014 + −x 2015+ −x 2016 2=

(19)

DẠNG 8: Tìm x, y nguyên thỏa mãn đẳng thức : A+ B =m Phương pháp :

+ Nếu 0

0 0

 =

= =  = m A

B

+ Nếu m0...Do A = 0 0 B  =m Tìm B rồi suy ra tìm A Bài 1: Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn :

a, x−2007+ −x 2008 =0 b, x− − + + =y 2 y 3 0 c,

(

x+2

)

² +2 y− =1 0 Bài 2: Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn :

a, x−3y⁵+ + =y 4 0 b, x− − +y 5

(

y−3

)

⁴ =0 c, _x+₃_y− +₁ ₃_y+ =₂ ₀ Bài 3: Tìm cặp số nguyên (x ;y) thỏa mãn :

a, x+ + − =4 y 1 3 b, 2x+ + − =1 y 1 4 c, 3x + + =y 5 5 HD :

a, Do ^x+  =  −  = − ⁴ ⁰ ⁰ ^y ² ³ ^y ²



^0;1;2;3



Bài 4: Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn :

a, 5x +2y+ =3 7 b, 3x− + + =5 y 4 5 c, x+ +6 4 2y− =1 12 Bài 5: Tìm cặp số nguyên (x ;y) thỏa mãn :

a, 2 3x + + =y 3 10 b, 3 4x + + =y 3 21 c, y²= − −5 x 1 Bài 6: Tìm cặp số nguyên (x ;y) thỏa mãn :

a, _y²= −₃ ₂_x−₃ b, ₂_y²= − +₃ _x ₄ c, ₃_y²=₁₂− −_x ₂ Bài 7: Tìm x, y biết :

a, 3x− +4 5y+ =5 0 b, 3x− +4 3y+ =5 0 HD:

a, Vì 3 4 0 3 4 0

3 4 5 5 0

5 5 0

x x

x y

y y

 −   − =

 = − + + = =

 +   + =



b, Vì 1,5 0 1,5 0

3 4 3 5 0

3 5 0

x x

x y

y y

 −   − =

 = − + +  =

 +   + =



Bài 8: Tìm x, y biết :

a, x−1006y+ −x 20120 b, ^x^{+ +}⁵

(

³^y⁻⁴

)

²⁰¹² ⁼⁰

HD :

a, 1006 0

1006 2012 0

2012 0

x y

x y x

x

− =

− + −  =  − =

b, Vì

(

⁵

)

⁰₂₀₁₂ ⁵

(

³ ⁴

)

²⁰¹² ⁰ ⁵ ⁰

3 4 0

x x

x y

y y

 +   + =

 = + + − = =

 −   − =



a,

(

²^x⁻¹

)

²⁺ ²^y^{− − =}^x ⁸ ^{12 5.2}⁻ ² ^b, ^x⁻²⁰¹¹^y ⁺

(

^y⁻¹

)

²⁰¹² ⁼⁰

HD:

a,

(

² ¹

)

² ² ⁰ ² ^{1 0}

2 0

x y x x

y x

 + =

− + − = =  − =

b, ²⁰¹¹

(

¹

)

²⁰¹² ⁰ ²⁰¹¹

1 0

x y

x y y

y

 =

− + − = =  − =

(20)

Bài 10: Tìm x, y biết:

a, 3x−4 + 3y+5 =0 b, 0

25 9 = + +

−y y

x c, 3−2x + 4y+5 =0

Bài 11: Tìm x,y biết:

a, 3 0

7 2 4

5−3x + y− = b, 0

13 23 17 5 11 , 4 1 3 2 1 3

2− + x + − + y = c, x−2007+ y−2008=0 Bài 12: Tìm x,y biết:

a, 5x+1+ 6y−8 0 b, x+2y + 4y−3 0 c, x−y+2+ 2y+10 Bài 13: Tìm x,y biết:

a, 12x+8+11y−5 0 b, 3x+2y + 4y−10 c, x+y−7+ xy−10 0 Bài 14: Tìm x,y biết:

a, x−y−2+ y+3 =0 b, x−3y²⁰⁰⁷ + y+4²⁰⁰⁸ =0 Bài 15: Tìm x,y biết:

a,

(

x+y

)

²⁰⁰⁶+2007y−1=0 b, x−y−5+2007

(

y−3

)

²⁰⁰⁸ =0 Bài 16: Tìm x,y biết:

a,

(

x−1

) (

² + y+3

)

² =0 b, 2

(

x−5

)

⁴ +52y−7⁵ =0 Bài 17: Tìm x,y biết:

a,

( )

0

2 4 1 2

3 x− y ²⁰⁰⁴ + y+ = b, 0

2 2 1 1 3

2000

 =



 



 − +

−

+ y y

x Bài 18: Tìm x,y biết:

a, x−2007+ y−20080 b, ₀

3 10 2 3

7

5+ + 

−y y

x

Bài 19: Tìm x,y biết:

a, 0

25 6 5 4 2008 2007 2

1 4 3 2

1 ²⁰⁰⁶

 +

 +



 



 x− y b, 20072x−y²⁰⁰⁸+2008y−4²⁰⁰⁷ 0

(21)

DẠNG 9: ^A⁺ ^B ^^{m m}^,

(

^⁰

)

Phương pháp : Vì

0

0 0 0

0 A B

A A B A B m

B

 + 

  = +  =  + 

 



, Đưa về dạng 4

Bài 1: Tìm x y nguyên thỏa mãn :

a, _x + _y ₃ b, _x+ + − ₅ _y ₂ ₄ c, ₂_x+ + − ₁ _y ₄ ₃ HD :

a, Vì

3

0 0 0 3

0 x y

x x y x y

y

 + 

  = + = =  + 

 



TH1 : x + y =0 TH2 : 0

1

0 1

x y x

y

 

+ = =    TH3 : x + y =2 Bài 2: Tìm x, y nguyên sao cho :

a, 3x+ + y 5 4 b, 5x+ + − 1 y 2 7 c, 4 2x+ + + 5 y 3 5 Bài 3 : Tìm x, y nguyên sao cho :

a, ₃_x+ +₅ ₂ _y− ₁ ₃ b, _{3 2}_x+ +₁ _{4 2}_y− ₁ ₇

(22)

DẠNG 10: A x B x

( ) ( )

. = C y

( )

Phương pháp :

Vì ^{A y}

( )

^{ =}⁰ ^{A x B x}

( ) ( )

^.  =   =⁰ ⁿ ^x ^m Tìm được x Bài 1: Tìm các số cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn :

a,

(

²⁻^x

)(

^x^{+ = +}¹

)

^y ¹ ^b,

(

^x⁺^{3 1}

)(

⁻^x

)

⁼ ^y ^c,

(

^x⁻^{2 5}

)(

⁻^x

)

⁼²^y^{+ +}¹ ²

HD :

a, ^y^{+  =}¹ ⁰

(

²⁻^x

)(

^x+  = −   = =¹

)

⁰ ¹ ^x ² ^y ^...

Bài 2: Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:

a,

(

^x⁺^{1 3}

)(

⁻^x

)

⁼² ^y ⁺¹ ^b,

(

^x⁻^{2 5}

)(

⁻^x

)

^{− + =}^y ¹ ¹^c,

(

^x⁻³

)(

^x^{− + − =}⁵

)

^y ² ⁰

Bài 3: Tìm các số nguyên x thỏa mãn:

a,

(

x+2

)(

x−3

)

0 b,

(

2x−1

)(

2x−5

)

0 c,

(

3−2x

)(

x+2

)

0 Bài 4: Tìm các số nguyên x thỏa mãn:

a)

(

2−x

)(

x+1

)

= y+1 b,

(

x+3

)(

1−x

)

= y c,

(

x−2

)(

5−x

)

= 2y+1+2 Bài 5: Tìm các số nguyên x thỏa mãn:

a)

(

x+1

)(

3−x

)

=2y +1 b,

(

x−2

)(

5−x

)

− y+1=1 c,

(

x−3

)(

x−5

)

+ y−2 =0 Bài 6: Tìm các số nguyên x thỏa mãn:

a,

(

³x+¹

)(

⁵−²x

)

⁰

(23)

DẠNG 11: Sử dụng phương pháp đối lập 2 vế của đẳng thức:

=

A B , trong đó:   = = = ==

A m A m

A B

B m B m

a, ^x^{+ + − = −}² ^x ¹ ³

(

^y⁺²

)

² ^b, ⁵ ¹ ¹²

1 3

x x

− + − = y

+ + c,

( )

²

3 5 10

2 6 2

y

x + + =

− + HD:

a, Vì x+ + −  + + − =2 1 x x 2 1 x 3

Mặt khác: ³⁻

(

^y⁺²

)

² ^³^{, Để}

( )

2

2 1 3

2 1 3 2

3 2 3

x x

x x y

y

 + + − = + + − = − + = 

− + =



2 1

2 x y

−  

=  = −

a, 6

1 3

3 3

x x

− + − = y

+ + b,

( )

²

2 3 2 1 8

2 5 2

x x

y + + − =

− + Bài 3: Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:

a,

( )

²

3 1 3 5 12

3 2

x x

y + + − =

+ + b, 3 1 ¹⁶

2 2

x x

y y

+ + − =

− + + Bài 4: Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn: 10

2 1 5

4 2

x y

− − + = y

− +

(24)

DẠNG 12: TÌM MIN MAX CỦA BIỂU THỨC GTTD Bài 1: Tìm GTNN hoặc GTLN của :

a, A=2 3x− −1 4 b, B=1,5− −2 x c, C = x−3 HD :

a, Ta có: 3x−  =1 0 2 3x− −  − =  −1 4 4 A 4

Khi đó A đạt GTNN bằng -4 khi 1

3 1 0

x− = = =x 3 b, Ta có: 2−  = − −  = =x 0 2 x 0 B 1,5− − 2 x 1,5

Khi đó B đặt GTLN bằng 1,5 khi x=2

c, Ta có: _C= − _x ₃ ₀ khi đó đạt GTNN bằng 0 kho x = 3 Bài 2: Tìm GTNN hoặc GTLN của :

a, A=0,5− −x 3,5 b, E= −1, 4− −x 2 c, F=5,5−2x−1,5 HD :

a, Ta có:A=0,5− −x 3,5 0,5=MaxA=0,5 khi x=3,5 b, B= −1, 4− −  − =x 2 2 MaxB= −2 khi x=1,4

c, F=5,5−2x−1,5 5,5=MaxF=5,5 khi 1,5 3

2 4

x= = Bài 3: Tìm GTNN hoặc GTLN của :

a, _G= −_{10, 2 3}− _x −₁₄ b, _A= −_2,5− −_x _5,8 c, _K=_{10 4}− _x−₂ HD :

a, Ta có: G= −10, 2 3− x−14 −14=MaxG= −14 khi 10, 2 3− x=0 b, A= −2,5− −x 5,8 −5,8=MaxA= −5,8, khi 2,5− =x 0

c, K=10 4− x− 2 10=MaxK=10 khi x− =2 0 Bài 4: Tìm GTNN hoặc GTLN của :

a, H = −4 5x− −2 3y+12 b, M = −5 2x−1 c, A=1,7+ 3, 4−x HD:

a, ^H ^{= −}⁴

(

⁵^x^{− +}² ³^y⁺¹²

)

^{ =}⁴ ^MaxH ⁼⁴^khi ⁵ ² ⁰

3 12 0

x y

 − =

 + =

 b, M = −5 2x−  =1 5 MaxM=5 khi 2x− =1 0 c, _A=_{1, 7}+_{3, 4}− _x _{1, 7}=_MinA=_{1, 7} khi 3, 4− =x 0 Bài 5: Tìm GTNN hoặc GTLN của :

a, A= x+2,8 −3,5 b, A=3,7+4,3−x c, N=2,5− +x 5,8 HD:

a, A= +x 2,8−3,5 −3,5=MinA= −3,5 khi x+2,8=0 b, A=3, 7+4,3− x 3, 7=MinA=3, 7 khi 4,3− =x 0 c, N= 2,5− +x 5,85,8=MinN=5,8 khi 2,5− =x 0 Bài 6: Tìm GTNN hoặc GTLN của :

a, B=4x− +3 5y+7,5+12,5 b,A= 4,9+ −x 2,8 c, A= − +4 2 3x−1 HD:

a, B= 4x− +3 5y+7,5+12,5 12,5 =MinB=12,5 khi 4 3 0

5 7,5 0

x y

 − =

 + =

 b, A= 4,9+ −x 2,8 −2,8=MinA= −2,8 khi 4,9+ =x 0 c, A= − +4 2 3x−  − =1 4 MinA= −4 khi 3x− =1 0

(25)

Bài 7: Tìm GTNN hoặc GTLN của :

a, A= 2 3x− +2 1 b, A= 2x+4,5+ −x 2,7 c, B= −2x− −3 4y− −5 17 HD:

a, A=2 3x− +  =2 1 1 MinA=1 khi 3x− =2 0

b, A= 2x+4,5+ −x 2, 7 0Dấu = xảy ra khi 2 4,5 0 2, 7 0 x

x

+ =

 − =



=> Không tồn tại x để xảy ra dấu bằng Bài 8: Tìm GTNN hoặc GTLN của :

a, A=x²+1 b, B=3x⁴−5 c,

1 2

2 7 C =x+  −

 

HD:

a, A=x²+  =1 1 MinA=1 khi x=0 b, B=3x⁴−  − =5 5 MinB= −5 khi x=0 c,

1 2

7 7 7

C=x+2 −  − =MinC= − khi 1 x=−2 Bài 9: Tìm GTNN hoặc GTLN của :

a, A= x+ −5 12 b, B= x+ + + + −2 x y 5 17 c, C =

(

^x⁺¹

)

²⁺ ²^x^{− − +}³ ^y ³⁰

HD:

a, _A= + −_x ₅ ₁₂ − =₁₂ _MinA= −₁₂ khi x+ =5 0

b, _B= + + + + −_x ₂ _x _y ₅ ₁₇ −₁₇=_MinB= −₁₇ dấu bằng kh