Công thức về Hệ trục tọa độ lớp 10 chi tiết nhất | Toán lớp 10

Công thức về Hệ trục tọa độ lớp 10 chi tiết nhất

A. Lí thuyết tóm tắt.

- Tọa độ của điểm trên trục: Có: OM=ke. Khi đó số k là tọa độ của điểm M trên trục (O;e).

- Tọa độ của điểm trong mặt phẳng Oxy: Có M(x; y)OM=xi+y j.

- Tọa độ của vectơ trên trục: Trên trục (O;e) , hai điểm A và B trên trục (O; e) có tọa độ lần lượt là a và b thì AB= b – a. Trong đó, AB là độ dài đại số của vectơ

AB đối với trục (O;e).

- Tọa độ của vectơ trong mặt phẳng Oxy: Với u=(x; y) = +u xi y j. Với

A A

A(x ; y ) và B(x ; y )_{B B} ta có: AB=(x_B−x ; y_{A B} −y )_A . - Tọa độ trung điểm

+) Trên trục (O;i ), I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì:

A B

I

x x

x 2

= +

+) Trong mặt phẳng Oxy, I(x ; y )_{I I} là trung điểm của đoạn thẳng AB thì:

A B A B

I I

x x y y

x ; y

2 2

+ +

= = .

- Tọa độ của trọng tâm G(x ; y )_{G G} của tam giác ABC là:

A B C A B C

G G

x x x y y y

x ; y

3 3

+ + + +

= =

- Điều kiện để hai vectơ cùng phương: Hai vectơ u=(u ;u )_{1 2} và v=(v ; v )_{1 2} với v0 cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho u₁=kv₁ và u₂ =kv₂.

- Hai vectơ bằng nhau khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.

- Phép toán về tọa độ của vectơ:

Cho u=(u ;u )_{1 2} và v=(v ; v )_{1 2} , khi đó:

1 1 2 2

u+ =v (u +v ;u +v )

1 1 2 2

u− =v (u −v ;u −v )

1 2

k.u=(ku ;ku ) , k . B. Các công thức.

- Độ dài đại số của vectơ AB trên trục: AB= b – a. ( a, b là tọa độ của A và B trên trục)

- Trong mặt phẳng Oxy:

+) Tọa độ của điểm: M(x; y)OM=xi+y j +) Tọa độ của vectơ:

u=(x; y) = +u xi y j

B A B A

AB=(x −x ; y −y ) trong đó A(x ; y )_{A A} và B(x ; y )_{B B} - Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB

+) Trên trục (O;i ) : _I x^A x^B

x 2

= +

+) Trong mặt phẳng Oxy: _I x^A x^B _I y^A y^B

x ; y

2 2

+ +

= =

- Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: x_G ^{xA xB xC}; y_G ^{yA yB yC}

3 3

+ + + +

= =

- Điều kiện hai vectơ u=(u ;u )_{1 2} và v=(v ; v )_{1 2} cùng phương: ^{1 2}

1 2

u u

v = v =k

- Hai vectơ bằng nhau: Cho u=(u ;u )_{1 2} và v=(v ; v )_{1 2} ta có: ^{1 1}

2 2

u v

u v

u v

 =

=   =

- Phép toán về tọa độ của vectơ: Cho u=(u ;u )_{1 2} và v=(v ; v )_{1 2}

1 1 2 2

u+ =v (u +v ;u +v )

1 1 2 2

u− =v (u −v ;u −v )

1 2

k.u=(ku ;ku ) , k . C. Ví dụ minh họa.

Bài 1: Cho tam giác ABC có A (-1;3), B (2;5), C(1;4). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB, trọng tâm G của tam giác ABC và tọa độ của vectơ AB.

Giải:

Áp dụng công thức tọa độ trung điểm ta có:

Gọi I=(x ; y )_{I I} .

A B

I

x x 1 2 1

x 2 2 2

+ − +

= = =

A B

I

y y 3 5

y 4

2 2

+ +

= = =

I 1; 4 2

 

 =   Gọi G=(x ; y )_{G G}

Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm tam giác ta có:

A B C

G

x x x 1 2 1 2

x 3 3 3

+ + − + +

= = =

A B C

G

y y y 3 5 4

y 4

3 3

+ + + +

= = =

G 2;4 3

 

 =  

Ta có: AB= − −(2 ( 1);5 3)− =(3;2) AB=(3;2)

Bài 2: Cho hai vectơ a=(3;4) và b=(6;8). Chứng minh rằng a và b cùng phương và tính tọa độ các vectơ a+b , a−b.

Giải:

Ta có:

3 4 1

6 = = 8 2 a và b cùng phương a+ = +b (3 6;4 8)+ =(9;12)

a− = −b (3 6;4 8)− = − −( 3; 4)

D. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Trên trục tọa độ (O; i) cho ba điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là -2; 1 và 4.

Xác định tọa độ các vectơ AB, AC.

Bài 2: Cho ba điểm A (-2; 0), B (0;3) và C (1;2). Tìm tọa độ vectơ u 2AB BC= − . Bài 3: Cho hai vectơ u=(2;3) và v=(4; x). Tìm x để hai vectơ u và v cùng hướng.

Bài 4: Cho ba điểm A (1;4), B (3;5), C(5;m). Tìm m để AB BC= .

Bài 5: Cho tam giác ABC có A (2;1), B (-1;-2), C (-3;2). Tìm tọa độ điểm M sao cho C là trung điểm của đoạn MB và tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC.