Ta có z 2 , x F y xy z y z y

(1)

Trường ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Tp HCM Đáp án môn: TOÁN 3 (MATH132601) Khoa KHCB-Bộ môn Toán Ngày thi: 2/1/2020

Câu Ý Nội dung Thang

điểm

I

1

Hàm véc tơ vị trí ^R( )t =



^V( )t dt= −3costⁱ−3sint^j+2t^{k + C}

3cos 3sin 4,1, 4, 4, 0

2 2 2

    

 = −   −   +  =

     

     

R i j k + C = C

Vậy hàm véc tơ vị trí ^R^{( )}^t ⁼

(

^{4 3cos}⁻ ^t

) (

ⁱ⁻ ^3sin^t⁻⁴

)

^j⁺²^t^k

0.5 0.25 0.25

2

( ) ( )

V( )t =R'( )t = 3sint i− 3cost j+2k R'( )t = 13

( ) ( )

( )t = 3cost + 3sint

R" i j

'( )t  ( )t = −6sint +6 cost +9

R R" i j k

Độ cong tại t là 117 3 13 13 13

k= =

0.25 0.25 0.25 0.25

II 1

Xét ( , , ) x z

F x y z xy

z y

= + − . Ta có 1 ² ₂ ₂ 1

, z 2 , x

F y xy

z y z y

 = − − − − +

( ) 1, 10, 0 F M 2

 = − −

Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cong tại điểm M là

( ) ( )

1 4 10 1 0 10 24 0

2 x y x y

− − − − =  + − =

0.5

0.25

2

2 6 4 12

4 2 1

x y

f xy x y

f x x y

= + − −

 = − + +



2

0 2( 2)( 3) 0

0 4 2 1 0

x y

f x y

f x x y

= − + =

 

 =  − + + =

Điểm dừng ^2,³ ^,

(

^{1, 3 ,}

) (

^{5, 3}

)

M 2 N − − P −

 

Ta có f_xx =2y+6, f_xy =2x−4, f_yy =2 ,

( )

²

xx. yy xy

D= f f − f

0.5

0.5 0.25

Điểm dừng

fxx fxy fyy D Kết luận

M 9 0 2 18>0 f đat cực tiểu tại M N 0 -6 2 -36<0 f không đat cực trị tại N P 0 6 2 -36<0 f không đat cực trị tại P

0.75

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại 2,³ M 2

 

  , _min 17 ( ) f M = −4

(2)

III 1

( )

2

3 2 2

2 ^x 4 4

I x⁺ x y dydx

− −

=

 

+

( )

2

3 2 2 2

2 2 4

125 4

x x

I x y y dx

I

+

− −

= +

=



0.5 0.25 0.25

2

Giao tuyến

2 2 2 2

2 2

3 2 2 1

1

z x y x y

z x y z

 = − −  + =

 

 = +  =

 



Đổi biến sang tọa độ trụ Khi đó

2

2 1 3 2

0 0 ^r .

K =

  

^ r⁻ z r dzdrd

( )

2 1

2 2 4

0 0

1 (3 2 ) 2

K = 2

 

^ r − r −r drd = 

0.25

0.5

IV 1

Công thực hiện ^.

(

⁷

)

C C

W =



F dR=



xydx+ x− y dy (1 )

D

W = −



−x dA

( ) ( )

0 2 2 2

2 2 0 2

20 4

1 1 8

3 3

x x

x x dydx x x dydx

+ −

− − − −

= −

 

− −

 

− = − − = −

0.25 0.25

0.5 2

0 0

. . . 0

S S S S

Flux=



^{F N}dS=



^{F N}dS−



^{F N}dS= −I I I = div

òòò

V ^FdV⁼ ¹⁰ ^10.²₃ ^.3³ ¹⁸⁰ V

dV =  = 



^0.5

Mặt 0 2 2 0

0 0

: ; 0,0, 1

9 ^S

z dz

S x y

=  =

 = −

 + 

 N

( )

( ) ⁽ ⁾

( ) ( )

3 0

2 3

0 0

2 0, 9 3 , 0 2 . 0, 0, 1

2 cos 2 18

D

I x x y x dA

x dA ^ r  rdrd 

= − − − − + −

= − = − = −



  

Vậy thông lượng cần tìm Flux= − =I I₀ 198

0.5

V ¹₂

219 120 20

, 12

23 23

x 100 y

Q Q y

x

 

= − =  +  500, 2

t t 25

x y

= = t

12

219 120 20 2

. . .500 12 .

23 23

100 25

1095 48 20 4

19 12

23 25

30000 500 115

t x t y t

Q Q x Q y y

x t

t t t

 

= + = − +  + 

 

−  

= + +   + + 

(4) 5

Qt − . Vậy lượng xe máy bán ra tại thời điểm này đang giảm.

0.25