SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
MÔN TOÁN 7
TIẾT 53:
TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
B A
C
1. Đ ƯỜ NG TRUNG TUY N C A TAM GIÁC Ế Ủ
TÍNH CH T BA Đ Ấ ƯỜ NG TRUNG TUY N C A TAM GIÁC Ế Ủ
M
- Đo n th ng AM ạ ẳ n i ố đ nh A ỉ c a ủ tam giác ABC v i ớ trung đi m M c a ể ủ c nh BC ạ g i là ọ đ ườ ng trung tuy n ế (xu t phát t đ nh A ho c ng v i ấ ừ ỉ ặ ứ ớ c nh BC) c a tam giác ABC. ạ ủ
- Đ ườ ng th ng AM cũng đ ẳ ượ c g i là ọ đ ườ ng trung tuy n. ế
P N
G
- M t tam giác có ba đ ộ ườ ng trung tuy n. ế
Chú ý:
E F
G
D Dựa vào hình vẽ, tìm xem các
tỉ số sau bằng bao nhiêu ?
Hãy so sánh 3 tỉ số trên ?
GA DA
GB EB
CG CF
6
9 2 3 4
6 2 3 4
6 2 3
GA
DA GB
EB CG
CF
2
3
2. TÍNH CH T BA ĐẤ ƯỜNG TRUNG TUY N C A TAM GIÁCẾ Ủ
- Ba đ ườ ng trung tuy n c a m t tam giác cùng đi qua m t đi m, ế ủ ộ ộ ể đi m đó đ ể ượ ọ c g i là tr ng tâm ọ c a tam giác. ủ
2 3
Trong tam giác ABC:
+) Các đ ườ ng trung tuy n AD, BE, CF ế cùng đi qua đi m G (hay ể đ ng quy ồ t i đi m G) ạ ể
a) Tính ch t:
ấ- Tr ng tâm c a tam giác cách m i đ nh m t kho ng ọ ủ ỗ ỉ ộ ả b ng đ dài đ ằ ộ ườ ng trung tuy n đi qua đ nh y. ế ỉ ấ
Đi m G g i là ể ọ tr ng tâm ọ c a tam giác ABC ủ
C A
B D
F E
G
AG= 2
3 A D
+)
BG = 2
3 B E
;
; CG = 2
3 C F
Đ nh lí (SGK/66) ị
2. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC b) Cách xác đ nh tr ng tâm c a m t tam giác
ị ọ ủ ộCách 1 Cách 2
Vẽ hai trung tuy n BP và CN c a
ế ủ
Vẽ trung tuy n AM
ếB A
C
P N
G
B A
C M
G
L y G là giao đi m c a BP và CN
ấ ể ủL y đi m G trên AM sao cho
ấ ểAG = 2
3 AM
M
B A
C M
P G N
B A
C
P G N
B A
C M
G
2
3
III. BÀI
TẬP Bài 24 (SGK/66): Cho hình 25. Hãy điền số thích hợp vào chỗ trống trong các đẳng thức sau:
M
N P
S
R G
a) MG = ... MR GR = ... MR GR = ... MG
b) NS = ... NG NS = ... GS NG = ... GS 2
3
1 3
1 2
3 2
3
2
Hình 25
HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
• Ôn tập các kiến thức vừa học
• Làm bài tập 23, 26, 27 trong SGK trang 66, 67
• Chuẩn bị tiết sau Luyện tập
III. BÀI
TẬP Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G
a) Chứng minh rằng: BD = CE và tam giác BGC cân
Bài 2: A
B C
E D
G
GT
KL
cân t i Aạ
BD, CE là các đường trung tuy nế BD, CE c t nhau t i Gắ ạ
a) BD = CE và
S đ phân tíchơ ồ BD = CE
∆ ABD =∆ ACE
^A chung
A D = AE
AB= AC
A D = 1
2 AC
AE= 1
2 AB
a) Ch ng minh BD = CEứ Vì cân t i A (gt)ạ
⇒
AB= AC
Mà BD là trung tuy n c a (gt)ế ủ
D là trung đi m ACể
⇒ A D= 1
2 AC
CE là trung tuy n c a (gt)ế ủ
E là trung đi m ABể
⇒ A E= 1
2 A B
⇒
AD = AE
Xét
^ A chung (cmt)
(cmt)
⇒
∆ ABD =
∆ ACE (c .g.c )
BD = CE (2 c nh tạ ương ng)ứ
Trong m t tam giác cân, hai ộ đường trung tuy n ng v i ế ứ ớ hai c nh bên thì b ng nhauạ ằ
Bài 2: A
B C
E D
G
GT
KL
cân t i Aạ
BD, CE là các đường trung tuy nế BD, CE c t nhau t i Gắ ạ
a) BD = CE và
S đ phân tíchơ ồ
∆ BGC c ân
BG =CG
BG = 2
3 BD
C G = 2 3 CE
a) Ch ng minh ứ
Xét :
BD là trung tuy n (gt)ế CE là trung tuy n (gt)ế BD giao CE t i Gạ
G là tr ng tâm ọ
BG = 2
3 B D v à
C G = 2
3 CE
Mà BD = CE (cmt)
⇒
BG =CG
⇒
∆BCG c ânt ạiG
BD = CE (cmt)
⇒
G là tr ng tâm ọ
III. BÀI
TẬP Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G a) Chứng minh rằng: BD = CE và tam giác BGC cân
b) Trên tia đối tia DG lấy điểm M sao cho D là trung điểm GM.
Chứng minh CG là trung tuyến tam giác BMC
Bài 2:
GT
KL
cân t i Aạ
BD, CE là các đường trung tuy nế BD, CE c t nhau t i Gắ ạ
a) BD = CE và
b)
MD = DG
b)
S đ phân tíchơ ồ
G là trung đi m BM ể
BG
=2 GD GM
=2 GD
b) Ch ng minh: ứ
CGl àtrung tuy ế n ∆BCM
G là tr ng tâm ọ
D là
trung đi m GMể Vì G là tr ng tâm (cmt)ọ
⇒
BG = 2 G D
Mà D là trung đi m GM (gt)ể
⇒
GM =2 GD
G là trung đi m BMể
CG là trung tuy n ế
A
B C
E D
G
M
III. BÀI
TẬP Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G a) Chứng minh rằng: BD = CE và tam giác BGC cân
b) Trên tia đối tia DG lấy điểm M sao cho D là trung điểm GM.
Chứng minh CG là trung tuyến tam giác BMC
c) Gọi F là giao của AG với BC, N là giao của MF với CE. Biết CE bằng 18cm, tính GN
Bài 2:
GT
KL
cân t i Aạ
BD, CE là các đường trung tuy nế BD, CE c t nhau t i Gắ ạ
a) BD = CE và
b)
MD = DG
c) AG giao BC t i Fạ
MF giao CE t i N, CE = 18cmạ b)
c)
S đ phân tíchơ ồ Tính
N là tr ng tâmọ
GN = 1
3 GC
GC
= ?
(cmt)
c) Tính
Vì G là tr ng tâm (cmt)ọ
MF là trung tuy n ế
G là tr ng tâmọ
là đường trung tuy n ế
F là trung đi m BCể
MF là đường trung tuy n ế
Xét có
(cmt)
(cmt)
CG giao MF t ại N
N là tr ng tâm ọ
⇒ GN = 1
3 GC
GC= 2 3 CE
Mà (cmt)
⇒ GC = 2
3 ⋅ 18 =12 ( cm )
⇒ GN = 1
3 ⋅ 12= 4 ( cm )
A
B C
E D
G
F
M
N
CG là trung tuy n ế
F là
trung đi m BCể
III. BÀI
TẬP Bài 3: Cho tam giác ABC. Trên tia đối tia BA lấy điểm D sao cho BD = BA. Trên cạnh BC lấy điểm
E sao cho . Gọi K là giao điểm của AE và CD. Chứng minh rằng: BE= 1 3 BC
a) DK = KC
b) BC + AK > 3
2 AC
C A
B
D
E
K
C A
B
D
E
K Bài 3:
GT
KL
ΔABC
, BD = BA
,
BE= 1
3 BC
AE giao CD t i Kạ
a) DK = KC
b)
BC + AK > 3
2 AC
S đ phân tíchơ ồ a) DK = KC AK là trung tuy n ế
E là tr ng tâm ọ
BE= 1 3 BC
a) Ch ng minh: DK = KCứ
BE= 1 3 BC
Vì
B là trung đi m ADể
⇒
CE = 2
3 CB
Xét có:
CB là trung tuy nế
Vì , BD = BA
CB là trung tuy n ế
CB là trung tuy n (cmt)ế (cmt)
CE= 2
3 CB
E là tr ng tâm ọ
A
K là trung đi m CDể
⇒
DK = KC
BD = BA
C A
B
D
E
K Bài 3:
GT
KL
ΔABC
, BD = BA
,
BE= 1
3 BC
AE giao CD t i Kạ
a) DK = KC
b)
BC + AK > 3
2 AC
b) Ch ng minh:ứ
BC + AK > 3
2 AC
a) Ch ng minh: DK = KCứ
BE= 1 3 BC
Vì
B là trung đi m ADể
⇒
CE= 2
3 CB
Xét có:
Vì , BD = BA
CB là trung tuy n ế
CB là trung tuy n (cmt)ế (cmt)
CE= 2
3 CB
E là tr ng tâm ọ
A
K là trung đi m CDể
⇒
DK = KC
S đ phân tíchơ ồ b)
BC + AK > 3
2 AC
E là tr ng tâmọ
3
2 CE + 3
2 A E > 3
2 AC
CE
+ A E> AC
B t đ ng th c ấ ẳ ứ tam giác trong
HƯỚNG DẪN VỀ
Hoàn thành câu 3b NHÀ
Làm các bài 27, 28, 29, 30 (SGK – trang 67)
Chu n b bài sau: ẩ ị “C ng, tr đa th c m t bi n” ộ ừ ứ ộ ế
