Ứng dụng của khai triển Taylor trong chứng minh Bất đẳng thức - Nguyễn Sơn Hà

(1)

Khai triển Taylor và ứng dụng.TS Nguyễn Sơn Hà-Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội

ỨNG DỤNG CỦA KHAI TRIỂN TAYLOR TRONG VIỆC XÁC ĐỊNH ĐA THỨC ĐỂ ĐÁNH GIÁ BIỂU THỨC

TS Nguyễn Sơn Hà, Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm – ĐHSP Hà Nội Email sonhadhsphn@gmail.com

(Nội dung báo cáo tại khóa tập huấn GV THPT Chuyên Toán năm 2016 khu vực phía Nam)

TÓM TẮT

Bài viết trình bày kinh nghiệm sử dụng khai triển Taylor của một hàm số khả vi liên tục cấp cao để đánh giá so sánh giá trị của hàm số đó với giá trị của một đa thức. Từ đó, trong một số điều kiện của hàm số và biến số, giáo viên có thể đưa ra các bài toán mới liên quan đến bất đẳng thức.

MỤC LỤC

STT Nội dung Trang

1 Mở đầu. 1

2 Một số hệ quả của khai triển Taylor. 2

3 Khai triển Taylor của một số hàm số và ứng dụng. 4

4 Bài tập đề nghị. 20

5 Kết luận. 22

6 Tài liệu tham khảo. 22

NỘI DUNG 1.Mở đầu

Với hàm số khả vi cấp cao, ta có khai triển Taylor:

Nếu ^{f x}

 

khả vi cấp ⁿ^¹



ⁿ^^N^*



^và ^f⁽ⁿ^¹⁾

 

^x liên tục tại một lân cận U của x₀ thì ,

 x U tồn tại điểm c giữa hai điểm x và x₀ sao cho

   

^{ }

  

^ ^

 



¹

  

¹

0

0 0 0

1

! 1 ! .

k n

n k n

k

f x f c

f x f x x x x x

k n

 



    





Trong bài viết này, ta gọi _ , , ₀_

   

0 ^{ }

 

⁰ 0



1 !

n k

k f n x

k

f x

P x f x x x

 k

 



 là đa thức

Taylor cấp n của ^{f x}

 

^{tại điểm}x0.

Khi đó

 

_ _

 

^ ^

 

   

0

1

, , 0 .

1 !

n

n f n x

f c

f x P x x x

n

 

  



Bài viết này xét các tình huống xác định được dấu của

 



¹

 

0



¹, 1 !

n

f c n

x x n

 

  từ đó

đánh giá so sánh được ^{f x}

 

với đa thức ^P__{f n x}_{, ,} ₀_

 

^x ^.

(2)

2. Một số hệ quả của khai triển Taylor

Từ đẳng thức

 

_ _

 

^ ^

 

   

0

1

, , 0 ,

1 !

n

n f n x

f c

f x P x x x

n

 

  

 ta có một số kết quả sau Hệ quả 1. Cho n là số nguyên dương, nếu ^{f x}

 

là đa thức bậc n thì

 

_ _

 

, , 0 .

f n x

f x P x Hệ quả 2. Cho n là số nguyên dương lẻ, ^{f x}

 

xác định trên R thỏa mãn: ^{f x}

 

^{khả vi}

cấp ⁿ^¹



ⁿ^^N^*



^và ^f ⁽ⁿ^¹⁾

 

^x liên tục tại một lân cận U củax₀. a) Nếu ^f^{ }ⁿ^¹

 

^x ^{  }⁰ ^x ^R^thì f x

 

P__{f n x}, , ₀_

 

x  x R.

b) Nếu ^f^{ }ⁿ^¹

 

^x ^{  }⁰ ^x ^R^thì ^{f x}

 

^^P__{f n x}_{, ,} ₀_

 

^x ^{ }^x ^R^.

Hệ quả 3. Cho n là số nguyên dương chẵn, ^{f x}

 

xác định trên R thỏa mãn ^{f x}

 

^khả

vi cấp ⁿ^¹



ⁿ^^N^*



^và ^f⁽ⁿ^¹⁾

 

^x liên tục tại một lân cận U củax₀.

a)Nếu ^f^{ }ⁿ^¹

 

^x ^{  }⁰ ^x ^R^thì f x

 

P_f n x, , ₀_

 

x  x x0và f x

 

P__{f n x}, , ₀_

 

x  x x0. b)Nếu ^f^{ }ⁿ^¹

 

^x ^{  }⁰ ^x ^R^thì f x

 

P_f n x, , ₀_

 

x  x x0 và f x

 

P__{f n x}, , ₀_

 

x  x x0. Hệ quả 4. Cho ^{f x}

 

khả vi cấp 2 và ^f ^''

 

^x liên tục tại một lân cận U củax₀.

a) Nếu ^f ^''

 

^x ^{  }⁰ ^x ^R^thì f x

 

 f x

 

0  f '

 

x0 xx0



 x R. b) Nếu ^f ^''

 

^x ^{  }⁰ ^x ^R^thì f x

 

 f x

 

0  f '

 

x0 xx0



 x R. Hệ quả 4 là trường hợp riêng của hệ quả 2 khi n=1.

Hệ quả 5. Cho ^{f x}

 

khả vi cấp 3 và ^f⁽³⁾

 

^x ^{liên tục}

tại một lân cận U củax₀.

a)Nếu ^f^{ }³

 

^x ^{  }⁰ ^x ^R^thì f x

 

P_f,2,x₀_

 

P__f,2,_x₀_

 

x  x x0. b) Nếu ^f^{ }³

 

^x ^{  }⁰ ^x ^R^thì f x

 

P_f,2,x₀_

 

P__f,2,_x₀_

 

x  x x0. Hệ quả 5 là trường hợp riêng của hệ quả 3 khi n=2.

Các hệ quả trên vẫn đúng khi tập xác định của hàm số là một khoảng đồng thời hàm số có đạo hàm cấp cao liên tục và không đổi dấu trên tập xác định.

Nếu dùng khai triển Taylor thì ta có thể thấy ngay các hệ quả trên. Tuy nhiên khai triển Taylor không được đưa vào chương trình Trung học phổ thông. Các bài toán sau đây có được từ việc xét các trường hợp riêng của các hệ quả trên. Trong mỗi trường hợp, tác giả có đưa ra định hướng cách chứng minh các bất đẳng thức trên cơ sở sử dụng kiến thức được quy định trong sách giáo khoa hiện hành.

Khi giải nhiều bài toán về bất đẳng thức, ta mò mẫm và dự đoán về một bất đẳng thức mới và kiểm nghiệm lại xem bất đẳng thức đó có đúng không. Bài viết này tập trung

(3)

việc sử dụng đa thức ^P__{f n x}_{, ,} ₀_

 

^x giúp ta đưa ra một số đánh giá mới trong tình huống liên quan đến hàm ^{f x}

 

^.

3. Khai triển Taylor một số hàm số và ứng dụng 3.1)Hàm số ^{f x}

 

^ ^{x x}^, ^{ }



^0;



^.

 

¹

 

¹ ^{ }³

 

₂³

 

' , '' 0, 0 0; .

2 4 8

f x f x f x x

x x x x x

        

 ,1, 

        

' 1 .

2 2

f a

x a

P x f a f a x a a x a

a a

       

 ,2, 

         

²

   

²

'' 1 1

' 2! 2 8

f a

P x f a f a x a x a a x a x a

a a a

         

 

²

1 .

2 8

x a

a a a

   

Bài 1. (Sử dụng Hệ quả 5).Cho x0,a0. Chứng minh rằng

a)Nếu xa thì ¹

 

²^.

2 2 8

x a x a

x x a

a a a a

     

b)Nếu 0 x a thì ¹

 

² ^.

2 8 2

x a x a

x x a

a a a a

 

   

Cách giải:

+) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số không âm, ta có . 2 x a

x a

 

+) ¹

 

²

  

²



³



^.

2 8 8

x a

x x a x a x a

a a a a a

 

 

     

Từ đây, ta có:

a)Nếu xa thì ¹

 

²^.

2 2 8

x a x a

x x a

a a a a

     

b)Nếu 0 x a thì ¹

 

² ^.

2 8 2

x a x a

x x a

a a a a

 

   

3.2)Hàm số ^{f x}

  

^{ }¹ ^x



^^,^x^{  }



^1;



^.

_f,1,0

 

1 ,

P x  x _ _

   

2

,2,0

1 1 ,

f 2

P x x   x

 ^

  

 ²

  

^{1 1}

 

²^, ^{ }³

  

¹



^{2 1}

 

³^.

f x    x ^^ f x     x ^^ -Khi ^* _ , ,0_

 

0

, _f ^k ^k.

k

N P x C x



 





 



(4)

-Khi ^1,

 

¹ ^, ^\

 

^{1 .}

f x 1 x R

    x  

 Ta có

 

   

 

^{ }

 

^{ }

   

 

3

2 3 4 1

1 !

1 2 3!

' , '' , ,.., .

1 1 1 1

n n

n

f x f x f x f x n

x x x x ^

  

   

   

 

   

_ _{, ,0}_

   

^{ }

   

1 1

0 1 ! 0 0 1 1 .

!

n k n

k k

k k k

f n

k k

f k P x f f x x

 k 

    



 





Bài 2. (Sử dụng Hệ quả 4).Cho x 1. Chứng minh rằng a)



¹^^x



^ ^{ }¹ ^^x_nếu^^{ }



^;0

 

^{ }^1;



^.

b)



¹^^x



^ ^{ }¹ ^^x_nếu^^

 

^{0;1 .}

Cách giải: Xét sự biến thiên của hàm số ^y^{ }



¹ ^x



^ ^{ }¹ ^^x^.

Không phải lúc nào cũng có f x

 

P f n x



, , 0



x hoặc f x

 

P f n x



, , 0



x. Đa thức



, , 0



P f n x là một trong những biểu thức mà ta sẽ chọn để đánh giá so sánh với ^{f x}

 

^.

Thực tế, sau khi mò mẫm và dự đoán, ta phải kiểm nghiệm xem các bất đẳng thức có đúng không. Bất đẳng thức trong Bài 2 là bất đẳng thức Bernoulli.

Bài 3. (Sử dụng Hệ quả 5).

Cho  2. Chứng minh rằng

  

1



2

1 1 0.

x ^ x  2^ x x

     

Cách giải: Xét sự biến thiên của hàm số

    

1



2

1 1 .

g x x ^ x  2 x

 ^

    

Bài 4. (Nguyễn Vũ Lương, Các bài toán về hàm mũ và loga, NXB Giáo dục, 2013) Cho x0. Chứng minh rằng a) ¹ 1 ² ³

1 x x x

x    

 b) ¹ 1 ² ³ ⁴.

1 x x x x

x     



Nhận xét: Có thể dùng phương pháp biến đổi tương đương để chứng minh các bất đẳng thức trên.

3.3)Hàm số ^{f x}

 

^^{e x}^x^, ^^R^.

 

^x^{, '}

 

^x^{, ''}

 

^x^, __f_,1,0_

 

¹ ^,

f x e f x e f x e P x  x _ ,2,0_

 

1 ².

f 2

P x   x x

 _{, ,0}

 

¹ ² ³ ^... ^.

2! 3! !

n f n

x x x

P x x

      n

Bài 5. (Sử dụng Hệ quả 4). Chứng minh rằng e^x    1 x x R.

Cách giải: Xét sự biến thiên của hàm số ye^x  1 x. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0.

x Như vậy nếu x0 thì e^x  1 x.

Bài 6. (Sử dụng Bài 5). Cho ^a^^e^. Chứng minh rằng a^x   1 x x 0.

(5)

Cách giải: a^x e^x    1 x x 0.

Bài 7. (Sử dụng Hệ quả 4). Đề thi Olympic 30 tháng 4 năm 2001.

Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có



^{1 sin}^ ^A



^{1 sin}^ ^B



^{1 sin}^ ^C



^^e^{3 3}² ^.

Cách giải:



^{1 sin}^ ^A



^{1 sin}^ ^B



^{1 sin}^ ^C



^ê^sinÂ^.ê^sin^B^.ê^sin^C ^ê^sinÂ^^sin^B^^sin^C ^ê^{3 3}² ^.

Bài 8. (Sử dụng Hệ quả 4).

Cho ^* ₁ ₂

1

, , ,.., 0, .

n

n i

i

n N a a a s a



  



Chứng minh rằng

 

1

1 .

n

s i i

a e



 



Cách giải: Theo Bài 5,

 

¹

1 1

1 1 .

n i

i i i

n n a

a a s

i i

a e a e e^ e

 

  



 



  

Bài 9. (Sử dụng Hệ quả 5).

Chứng minh rằng

2 2

) 1 0, ) 1 0.

2 2

x x x x

a e   x  x b e   x  x Cách giải: Hàm số

 

^{ln 1} ²

2 f x x  x x 

     

  đồng biến trên



^0;^



^.

   

² ²

0 0 ln 1 1 .

2 2

x x x

x f x f x  x  e x

            

 

Các đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x0.

Bài 10. (Sử dụng Hệ quả 5). Cho ^* ¹ ²

1

, , ,.., 0, .

n

n i

i

n N a a a a s



 



 Chứng minh rằng

2

1

1 .

2

n

i s i i

a a e



 

  

 

 



Cách giải: Theo Bài 9, ² ² ¹

1 1

1 1 .

2 2

n i

i i i

n n a

a a s

i i

a a

a e a e e^ e

 

  

         

 

 

Cho nN^*. Chứng minh rằng

2 3

1 ... 0.

2! 3! !

n

x x x x

e x x

      n   Cách giải: Hàm số

 

1

ln 1 !

n k

k

f x x x

 k

 

    





 đồng biến trên



^0;^



^.

   

1 1

0 0 ln 1 1 .

! !

k k

n n

x

k k

x x

x f x f x e

k k

 

 

          









(6)

Bài 12. (Sử dụng Hệ quả 5). Cho ^* ¹ ²

1

, , ,.., 1, 1.

n

n i

i

n N a a a a n

 n

 



  Chứng minh rằng



²



1

1 2 .

n

n n i

i

a e



 



Cách giải: Đặt

 

1 1

1 , 0 1, . .

n n

i i i i i

i i

a x x i n a n x

n n

 

   



  







²

  

²



²



²

1 1 1 1

1 1 1 2 2 2 1 .

2

n n n n

n i

i i i i i

i i i i

a x x x x x

   

 

 

            

   

Theo Bài 8, ¹

2 2 1

1 1

1 1 .

2 2

n i

i i i

n n x

x x n

i i n

i i

x x

x e x e e^ e e

 

  

          

 

 



²



1

1 2 .

n

n n i

i

a e







 

Ngoài những bất đẳng thức được phát hiện ra nhờ khai triển Taylor, có thể kết hợp bất đẳng thức đại số để đưa ra bất đẳng thức mới.

Bài 13. (Sử dụng Hệ quả 4). Cho các số thực ^{a a}¹^, ²^,...,^aⁿ thỏa mãn

1

0.

n k k

a





 _Chứng

minh rằng ²

1 1

2

k

n n

a

k

k k

e n a

 

 

   

 

^.

Cách giải: Theo Bài 4, ta có

 

1 1 1

1 .

k

n n n

a

k k

k k k

e a n a

  

   

  

Ta sẽ chứng minh ²

1 1

2

n n

k k

a a

 

 

  

 

Ta có

2

2 2

1 1 1 1, 1 1 1,

n n n n n n n

k k k i k k i

k k k i i k k k i i k

a a a a a a a

        

 

        

   







 







 







 

2 2

1 1 1

2 .

n n n

k k k k

k k k

a a a a

  









 



Từ các kết quả trên, ta có ²

1 1

2

k

n n

a

k

k k

e n a

 

 

   

 

^.

Bài 14. (Sử dụng Hệ quả 4). (Đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2012) Cho x  y z 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 2

3^{x y} 3^{y z} 3^{z x} 6 6 6 . P ^  ^  ^  x  y  z Cách giải: Theo Bài 13, ta có:

(7)



² ² ²



3^{x y}^ 3^{y z}^ 3^{z x}^  3 2 x y  y z  z x .

   

2 2 2 2 2 2

2 2

xy  y z  z x  x  y z  xy yzzx



² ² ²

 

² ² ²

 

² ² ²



2 x y z x y z 3 x y z .

        



² ² ²



3^{x y}^ 3^{y z}^ 3^{z x}^ 3 6 x y z P 3.

        

3

P tại



^{x y z}^{, ,}

 

^ ^{0;0;0 .}



Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 3.

Ta có thể sử dụng khai triển Taylor để đề xuất các bất đẳng thức mới, từ đó xét tính bị chặn và hội tụ của dãy số.

Bài 15. (Sử dụng Hệ quả 4). Cho các dãy số dương

     

un ^, sn ^, vn thỏa mãn

 

^*

1 1

, 1 , .

n n

n k n k

k k

s u v u n N

 









  Chứng minh rằng

 

sn hội tụ khi và chỉ khi

 

vn hội tụ.

Cách giải: Áp dụng Bài 5, ta có

 

¹

1 1

1 .

n k

k k

n n u

u k

k k

u e e ^

 

   

 

Các dãy số

 

sn ^,

 

vn là dãy tăng các số dương và s_n  v_n e^sⁿ  n N^*. Dễ thấy

 

sn bị chặn khi và chỉ khi

 

vn bị chặn.

Vì vậy

 

vn hội tụ.

Bài 16. (Sử dụng Hệ quả 5). Cho các dãy số dương

     

un ^, sn ^, wn thỏa mãn

1

,

n

n k

k

s u





2 *

1

1 1 , .

2

n

n k k

k

w u u n N



 





     Chứng minh rằng

 

wn hội tụ.

Cách giải: Áp dụng Bài 4, ta có ² ¹

1 1

1 1 .

2

n k

k k

n n u

u

k k

u u e e ^

 

     

 

 

 

Các dãy số

 

sn ^,

 

wn là dãy tăng các số dương và s_n w_n e^sⁿ  n N^*. Dễ thấy

 

sn bị chặn khi và chỉ khi

 

wn bị chặn.

Vì vậy

 

wn hội tụ.

Nhận xét, có thể tổng quát Bài 15 và Bài 16 với dãy số

 

wn mà

0

1 !

n m i k n

i k

w u

 i



 

  









^trong

đó mlà hằng số nguyên dương.

Bài 17. (Sử dụng Hệ quả 4). Cho  1 và dãy số dương

 

un thỏa mãn

* 1

1 1 , .

n n

k

u n N

k^



 





    Chứng minh rằng dãy

 

un hội tụ.

(8)

Cách giải: Áp dụng Bài 4, ta có ¹

1 1

1 1 .

n

k

n n

k k n

k k

u e e

k

 

 ^

 

  





  



 Bổ đề: Cho  1 và

 

vn thỏa mãn ^*

1

1 , .

n n

k

v n N

k^





 Ta có dãy

 

vn bị chặn trên

Xét ^{f x}

 

^^x¹^^^,^x^



^0;^



^.^{Ta có} ^f ^'

  

^x ¹



^x ¹ ^.

x



 ^ ^

  

*, k N

  theo định lí Lagrang tồn tại xk



k k^; ¹



thỏa mãn

   

 

¹ ¹ ¹

 

¹

1 1 1 1 1 1 1 1

' .

1 ^k 1 ^k ^k 1 1

f k f k

f x

k k k ^ k^ x^ x^ k^ k ^



   

 

           

      

 

   

¹

 

¹

1 1 1 1 1 1

; 1 .

1 ^k 1 1 1

xk k k

x k

k ^ ^ k ^  ^^ k ^^

 

        

     

   

1 1

1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 .

1 1 1

n n n

k k^ k k ^ k  k^ k ^

 



   

 

       

    

  

   

1

1 1 1

1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 .

1 1 1 1

1

n n

k k^ k k ^ ^ n^ n^



  



  

 

 





 



          Vì  1 nên



¹



¹ ^*

1 1 1 vⁿ 1 n N

n^

  

 ^   ^ ^ ^{ } ^{ } (đpcm).

Áp dụng bổ đề, ta cóu_n e ¹ n N^*.



    

Vì

 

un đơn điệu tăng và bị chặn trên nên

 

un hội tụ.

Cho dãy số (x_n) :x₁ 1,



²



²



*

2 3 1

1 3 3 1

, 2.

n 1 n

n n n n n

x x n N n

n n n ^

    

   

  Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn.

Cách giải:



²



²



2 3 1

1 3 3 1

1 2.

n n

n n n n n

x x n

n n n ^

    

  

 

 



   

2 2 3 2 2 3

1 1

2 3 2 2 3

2

1 3 3 1 1 ( 2) ( 2) 1 1

2.

( 1) ( 1) 1

n 1 n n

n n n n n n n n n n

x x x n

n n n n

n n ^ ^

 

             

   

     

   

   

 

² ³ ¹

2 1

1 2

n 1 n

f n f n

x x n

f n n ^

  

     

 

  

 

trong đó ^{f x}

 

^^x²^{ }^x ^1.

(9)

 

   

 

¹

3

1 1 2

1 2.

n 1 n

f n f n

x x n

f n n f n ^

      

Đặt

 

¹ ¹

n n

u f n x n

f n

    ₃ ₁ ₃

1

1 1

1 1 .

n

n n

k

u u

n ^  k

   

       

 



 

   

2

2 3

1

1 1

1 .

1 1

n

n n

k

f n n n

x u

f n n n  k

   

     



   Với mỗi n nguyên dương, đặt

1

3 1

1 1 .

n n

k

u k





 





  ^{Ta có}^xⁿ ^ ⁿ_n²²^{ }_{ }ⁿ_n ¹₁^uⁿ ^{ }ⁿ ^N^*^. Ta có lim ²₂ ¹ 1,

1

n

n n n n



  

  theo Bài 17

 

un hội tụ. Vậy

 

yn hội tụ.

Bài 19. (Sử dụng Hệ quả 4). Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán của Việt Nam, 2011.

Cho dãy số thực

 

xn xác định bởi

 

1

1 2

1

1, 2 . 2, .

1

n

n i

i

x x n x n n N

n





    





Với mỗi số nguyên dương n, đặt y_n  x_n_₁x_n. Chứng minh rằng dãy số

 

yn có giới hạn hữu hạn khi n .

Cách giải: ₂ ¹ ¹ ²

1 1

2 ( 1)

( 1) 2 .

n n

n i i n

i i

n n

x x x x

n n

 

 

   



 

1 2

1 2 2 2

1 1

2( 1) 2( 1) 2( 1) ( 1)

2 .

n n

n i i n n n

i i

n n n n

x x x x x x

n n n n



  

 

     

       

   

 

2

1 *

1 3 2

( 1)( 1) 1

1 .

1

n n

x x

n n

x x n N

n n n n

 

   

        

1 1 1 *

2 2

1 1 1

1 1

1 1 .

1 1 1

n n n

k k n

k k k

x x x x

n N

k k k n k

 

  

   





 



     



    

 

¹

1 2 2

1 1

1 1 1 .

n n

k k

x n x n

k k





 

   

  



   



  

 

¹

1 2 2

1 1

1 1 1 .

n n

n n n

k k

y x x n n

k k



  

   

    



  



  

 

₂ ¹ ₂ ₂ ¹ ₂

1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 .

n n

n

k k

y n n

n k n n k

 

 

         

      



       



   Với mỗi n nguyên dương, đặt

1

2 1

1 1 .

n n

k

u k





 

   

 



^{Ta có}^yⁿ ^{  }^^_¹ ¹_n _n¹²^^_^uⁿ ^{ }ⁿ ^N^*^.

Ta có lim 1 ¹ ¹₂ 1,

n^ n n

   

 

  theo Bài 16

 

un hội tụ. Vậy

 

yn hội tụ.

Nhờ khai triển Taylor, ta có thể đề xuất các bất đẳng thức, từ đó đề xuất các bài giải phương trình, hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá.

(10)

Bài 20. (Sử dụng Hệ quả 4). Giải phương trình e^x  1 x. Cách giải: Sử dụng Bài 5, phương trình có tập nghiệm ^S ^

 

^{0 .}

Bài 21. (S