b) Chứng minh Bài 2 (5,0 điểm)

(1)

PHÒNG GD&ĐT THÁI THỤY

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017

Môn: Toán 7

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (3,0 điểm).

a) Tính 2 3 1001 33 7 11 1008 1009

A . : .

1001 2002 17 34 1008 2016 25 2016

     

         

   

   

b) Chứng minh: 2 6 12 20 30 42 24 Bài 2 (5,0 điểm).

a) Tìm x, y biết: 4x = 5y và x² – y² = 1 b) Tìm x biết: x 1  x2  x7 5x 10

c) Tìm kích thước của hình chữ nhật có độ dài các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.

Bài 3 (2,0 điểm).

a) Cho đa thức f (x)ax²bxc, biết 13a b 2c0. Chứng minh: f ( 2).f (3) 0 b) Cho A2x² 5x ; B x²x3; C2x2

Chứng minh rằng trong 3 biểu thức A, B, C có ít nhất một biểu thức luôn có giá trị không âm với mọi giá trị của x.

Bài 4 (4,0 điểm).

a) Cho 4x3y  6y 5z 0 và x.y.z0. Tính 2x 3y 4z

M 3x 4y 5z

 

  

b) Cho hàm số y = x. Vẽ đồ thị hàm số trên hệ trục tọa độ Oxy và tính khoảng cách từ điểm M(0;3) đến đồ thị hàm số.

Bài 5 (5,0 điểm).

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC.

a) Chứng minh rằng: ADC = ABE.

b) Chứng minh rằng: DIB 60^o.

c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng AMN đều.

d) Chứng minh rằng IA là phân giác của DIE .  Bài 6 (1,0 điểm).

Tìm các số tự nhiên a, b sao cho: (2016a + 3b + 1)(2016^a + 2016a + b) = 225 ---HẾT---

Họ và tên thí sinh:………Số báo danh: …………..………

(2)

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7 – NĂM HỌC 2016-2017

Bài Nội dung Biểu

điểm

1

a) Tính

2 3 1001 33 7 11 1008 1009

A . : .

1001 2002 17 34 1008 2016 25 2016

     

         

   

   

b) Chứng minh: 2 6 12 20 30 42  24 a)

2 3 33 7 11 1009

A :

17 34 34 25 50 2016

   

       

   

0,5 1 1009

A 1:

2 2016

 

   

  0,5

A 1: 2017

2016

 

  

  0,5

A 2016

 2017

0,25 Vậy 2016

A2017 0,25

b) 2 6 12 20 30  42

2, 25 6, 25 12, 25 20, 25 30, 25 42, 25

      0,5

1,5 2.5 3,5 4,5 5,5 6,5 24

       0,25

Vậy 2 6 12 20 30  42 24 0,25

2

a) Tìm x, y biết: 4x = 5y và x² – y² = 1 b) Tìm x biết: x 1  x2  x7 5x 10

c) Tìm kích thước của hình chữ nhật có độ dài các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.

a) Từ 4x = 5y 

2 2 2 2

x y x y x y

5 4 5 4 25 16

   

      

    0,25

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2 2 2 2

x y x y 1

25 16 25 16 9

   

 0,25



2

x 1 2 25 5

x x

25 9  9  3 hoặc x = 5

3 0,25

*) Với x =5 5 4

4. 5y y

3 3   3 0,25

*) Với 5 5 4

x 4. 5y y

3 3 3

 

      0,25

Vậy các cặp số (x, y) cần tìm là: 5 4 5 4

; ; ;

3 3 3 3

   

 

   

    0,25

b) x 1  x2  x7 5x 10 (*)

Ta thấy VT ≥ 0 suy ra VP = 5x -10 ≥0  x ≥ 2 0,25

(3)

Với x ≥ 2 thì x 1 x 1; x 2 x2; x7 x7 0,5 (*) trở thành: x 1 x   2 x75x 10 2x 16x8 (thỏa mãn) 0,5

Vậy x = 8 0,25

c) Gọi kích thước hình chữ nhật cần tìm là x, y (đơn vị độ dài )

(x,yN^*; xy ) 0,25 Ta có diện tích và chu vi hình chữ nhật lần lượt là : xy và 2(x+y) 0,25 Theo bài ra ta có: xy= 2(x+y) với x, yN^* ; x y 0,25

xy 2x 2y 0

   

x(y 2) 2(y 2) 4

    

(y 2)(x 2) 4

   

0,25 Với x, yN^* x 2 ; y 2 ; x  2 2; y  2 2

Mà xy   x 2 y 2 nên (x2)(y2)4.12.2 0,25 Ta có 2 trường hợp sau :

x 2 4 y 2 1

 



 



x 6 y 3

 

  

hoặc x 2 2

y 2 2

 



 



x 4 y 4

 

  

0,25 0,25 Có hai hình chữ nhật thỏa mãn bài toán :

Hình chữ nhật có kích thước 6 và 3; 4 và 4 (đơn vị độ dài) 0,25

3

a) Cho đa thức f (x)ax² bxc, biết 13a b 2c0. Chứng minh:f ( 2).f (3) 0

b) Cho A2x²5x ; B x² x3; C 2x2

Chứng minh rằng trong 3 biểu thức A, B, C có ít nhất một biểu thức luôn có giá trị không âm với mọi x.

a) f ( 2) f (3)  4a-2b+c+9a3b c 13a b 2c0 0,5

         

²

f 2 f 3 f 2 .f 3 f 3 0

          0,25

Vậy f ( 2).f (3) 0 0,25

b) Xét ^A^^{B C}^ ^



^2x² ^^5x

 

^{ }^x² ^^x^³



^

^

^2x^²

^

2 2

2x 5x x x 3 2x 2

       0,25

x2 2x+1

  0,25

 

²

= x 1 0 x 0,25

Suy ra trong 3 biểu thức A, B, C có ít nhất một biểu thức luôn có giá trị

không âm với mọi x. 0,25

4

a) Cho 4x3y  6y 5z 0 và x.y.z0. Tính 2x 3y 4z

M 3x 4y 5z

 

  

b) Cho hàm số y = x. Vẽ đồ thị hàm số trên hệ trục tọa độ Oxy và tính khoảng cách từ điểm M(0;3) đến đồ thị hàm số.

a) 4x3y  6y 5z 04x3y0 và 6y 5z 0 0,25

(4)

Suy ra: x y

3  4 và y z

5  6 0,25

x y x y

3  415  20; y z y z

5  6 20  24 x y z 15 20 24

   (*) 0,25

(*) 2x 3y 4z 2x 3y 4z

30 60 96 30 60 96

 

   

  (tính chất dãy tỷ số bằng nhau) 0,25

(*) 3x 4y 5z 3x 4y 5z

45 80 120 45 80 120

 

   

  (tính chất dãy tỷ số bằng nhau) 0,25

2x 3y 4z 30 60 96

 

  : 3x 4y 5z 45 80 120

 

  =2x 30 :3x

45 0,25

 2x 3y 4z 245 2x 3y 4z 186

. 1 M

186 3x 4y 5z 3x 4y 5z 245

   

   

    0,25

Vậy 186

M 245 0,25

b) Vẽ đồ thị hàm số y = x

x y

y = x

O 1 2 M(0;3)

1 H

0,75

+) Kẻ MH vuông góc đồ thị hàm số y = x tại H.

 MH là khoảng cách từ M đến đồ thị hàm số y = x 0,25

+) Chứng minh MOH 45^o∆OHM vuông cân. 0,25

+) Áp dụng định lý Pitago tính được 3

MH 2 (đơn vị độ dài). 0,5 Vậy khoảng cách từ M đến đồ thị hàm số y = x là 3

2 0,25

5

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC.

a) Chứng minh rằng: ADC = ABE.

b) Chứng minh rằng: DIB 60^o.

c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng

AMN đều.

d) Chứng minh rằng IA là phân giác của DIE . 

Vẽ hình và ghi GT, KL 0,25

(5)

I K

A

B C

D

E

M J N

0,25

a) Ta có: AD = AB; DAC BAE BAC 60 ^ovà AC = AE Suy ra ADC = ABE (c.g.c)  đpcm

0,75 0,25

b) Từ ADC = ABE (câu a)ABE ADC, 0,25

mà BKI AKD(đối đỉnh). 0,25

Khi đó xét BIK và DAK từ đó suy ra BIK DAK = 60⁰ (đpcm) 0,5 c) Từ ADC = ABE (câu a)  CM = EN và ACM AEN 0,5

ACM = AEN (c.g.c)  AM = AN và CAMEAN 0,5

 

MANCAE = 60⁰. Do đó AMN đều (đpcm) 0,5

d) Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ = IB  BIJ đều  BJ = BI và

 

JBIDBA = 60⁰

0,25 Suy ra IBAJBD, kết hợp BA = BD IBA = JBD (c.g.c) 0,25

  AIB DJB

  = 120⁰ mà BID = 60 ⁰ DIA

 = 60⁰. 0,25

Từ đó suy ra IA là phân giác của góc DIE (đpcm) 0,25

6

Tìm các số tự nhiên a, b sao cho:

(2016a + 3b + 1)(2016^a + 2016a + b) = 225

Theo đề bài  2016a + 3b + 1 và 2016â + 2016a + b là 2 số lẻ. 0,25 Nếu a  0  2016â + 2016a là số chẵn, để 2016â + 2016a + b lẻ  b lẻ

Nếu b lẻ  3b + 1 chẵn do đó 2016a + 3b + 1 chẵn (không thoả mãn) Vậy a = 0

0,25 Với a = 0  (3b + 1)(b + 1) = 225

Vì b  N  (3b + 1)(b + 1) = 1.225 = 3.75 = 5. 45 = 9.25 3b + 1 không chia hết cho 3 và 3b + 1 > b + 1 3b 1 25

b 8 b 1 9

  

  

   0,25

Vậy a = 0 ; b = 8. 0,25

Lưu ý :

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản của một cách giải, nếu học sinh có cách giải khác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó.

- Phần hình học, học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.

- HS làm đến đâu cho điểm tới đó và cho điểm lẻ đến 0,25. Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn.