Đề khảo sát chất lượng Toán 9 năm 2021 trường THCS Lê Ngọc Hân - Hà Nội - THCS.TOANMATH.com

(1)

TRƯỜNG THCS LÊ NGỌC HÂN

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MÔN: TOÁN – LỚP 9 Thời gian làm bài: 120 phút Ngày kiểm tra: 21 tháng 5 năm 2021 Bài I( 2 điểm). Cho các biểu thức

4 3 A x

x

= +

+ ^và

3 1

9 3 : 3

x x

B x x x

+

 

= − + +  − với x>0;x≠9 1. Tính A tại ¹

x= 9.

2. Chứng minh rằng ¹ 3 B x

x

= + +

3. Đặt ^P=

(

^A−^{1 .}

)

^B. Tìm giá trị của x đểP đạt giá trị lớn nhất.

Bài II (2,5 điểm).

1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Một đơn vị vận tải dựđịnh sử dụng một lượng xe có trọng tải như nhau để chuyên chở 420 tấn vật liệu xây dựng. Tuy nhiên khi làm việc, có 2 xe không hoạt động, do đó mỗi xe còn lại phải chở thêm 7 tấn nữa mới hoàn thành công việc đúng hạn được giao. Hỏi ban đầu, đội vận tải dự định sử dụng bao nhiêu xe và mỗi xe dựđịnh chở bao nhiêu tấn vật liệu? (Biết các xe đều chở khối lượng vật liệu xay dựng như nhau).

2. Bài toán thực tế.

Để làm một cái mũ chú hề như hình bên, bạn An cần một tờ giấy thủ công màu. Mũ là hình nón có đường kính đáy là 160mm, chiều cao là 400mm.

Hãy xác định diện tích tờ giấy màu mà bạn An cần chuẩn bị theo cm²? (lấy π

= 3,14 và làm tròn kết quả đến số thập phân thứ 2).

Bài III (2 điểm).

1. Giải hệphương trình sau:

3 1

1

1 2 13

1 3 x x y x

x x y x

 + = −

 − +



 − =

 − +



2. Trên mặt phẳng tọa độ xOy, cho Parabol ( ) :P y= −x² và đường thẳng ^{( ) :}^d ^y= − + +⁶^x ^m ³ a. Tìm tọa độ giao điểm của ( )P và ( )d khi m=2.

b. Tìm mđể ( )P cắt ( )d tại hai điểm phân biệt A x y( ;₁ ₁); ( ;B x y₂ ₂)thỏa mãn y₁+x₂ =0

Bài IV (3 điểm). Cho đường tròn (O), từ điểm A ở ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với (O) (B, C là các tiếp điểm). OA cắt BC tại E.

1. Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.

2. Chứng minh: BC vuông góc với OA và ^{BA BE}^. R AE = .

3. Gọi I là trung điểm của BE, đường thẳng qua I và vuông góc với OI cắt các tia AB, AC theo thứ tự tại D và F. Chứng minh ∆DOF cân và F là trung điểm AC

Bài V (0,5 điểm). Giải phương trình:

2

3 2 1

5 3 3 2 3

2 2

x + x + x− + = x + x

Chúc em làm bài tốt!

ĐỀ CHÍNH THỨC

(2)

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9

Bài Câu Đáp án Điểm

1 4

3 A x

x

= +

+ . Tính A tại ¹ x=9. ĐK: ^x^>^0;^x^≠⁹

1

x=9(TMĐK)

0,25

Thay vào A, ta có:

1 4 9 1 3 9 A

+

=

+ ⁼

13 10

Vậy tại ¹

x= 9 thì A = ¹³ 10

0,25

( )( ) ( )( )

3 1 3 3 3

: .

9 3 3 3 3 3 3

x x x x x

B x x x x x x x x

 

+ + − −

   

= − + +  − = − + + − + 

0,25

I 2

(

^x^x ³³

)(

^x^x ³³

)

^. ^x^x³ ^x^x ^x³ ^. ¹^x

 + + −  −  + 

 

= − +  =  + 

0,25

(

¹

)

1

. 3 x x

x x

 + 

 

= + 

 

0,25

1 3 x x

= +

+ Vậy ¹ 3 B x

x

= +

+ 0,25

3 Đặt ^P⁼

(

^A⁻^{1 .}

)

^B. Tìm giá trị của x để P đạt giá trị lớn nhất.

* ĐK: ^x>^0;^x≠⁹ 0,25

(3)

( )

( ) ( )

2

2 2

4 1 1

( 1). 1 .

3 3 3

3 2 1 2

3 3 3

x x x

P A B

x x x

x

x x x

 +  + +

= − = + −  + = +

= + − = −

+ + +

Đặt ¹

a 3

= x

+ ⇒ P= −a 2a²

2 2 2

2

1 1 1

2 2 2 2. .

2 4 16 16

1 1

2 4 8

P a a a a a a

a

 

   

= − + = −  − = −  − + − 

 

= −  −  +

Ta có

2

2 1 0

4

1 1 1 1

2 4 8 8 8

a a

a P

 

−  −  ≤ ∀

 

⇒ −  −  + ≤ ⇒ ≤ Dấu “=” xảy ra khi

1 2 1

2 0

4 4

a a

 

−  −  = ⇔ =

 

1 1

3 4 1 1( D )

3 4 x x x TM K

⇒ x = ⇔ + = ⇔ = ⇔ =

+

Vậy ¹

max 8

P = đạt được khi x=1

0,25

Gọi sốxe ban đầu đội vận tải dựđịnh sử dụng là x (x>2;x∈N, đơn vị: xe).

0,25

II Số xe thực tế làm việc là x – 2 (xe) 0,25

Ban đầu mỗi xe dựđịnh chở ⁴²⁰

x (tấn/xe) 0,25

Thực tế mỗi xe phải chở là ⁴²⁰ 2

x− (tấn/xe) 0,25

Vì so với dự kiến, mỗi xe phải chở thêm 7 tấn nên ta có phương trình 420

x + 7 = ⁴²⁰ 2 x−

0,25

(4)

420( 2) 7 ( 2) 420

( 2) ( 2) ( 2)

x x x x

x x x x x x

− −

⇔ + =

− − −

420 840 7 2 14 420

( 2) ( 2)

x x x x

x x x x

− + −

⇔ =

− −

0,25

( )( )

2 2

2

420 840 7 14 420

7 14 840 0

2 120 0

10 12 0

10( ) 12( )

x x x x

x x

x L

x TM

⇒ − + − =

⇔ − − =

⇔ + − =

 = −

⇔  =

0,25

Vậy ban đầu đội vận tải dự kiến sử dụng 12 xe Và mỗi xe dựđịnh chở ^{420 :12}⁼³⁵(tấn/xe)

0,25 Diên tích xung quanh hình nón là

3,14.160.400 200960( 2)

Sxq =πrl= = mm 0,25

Diện tích giấy màu cần dùng là:

2 2

200960( ) 2009, 6( )

Sxq = mm = cm 0,25

1

Giải hệphương trình sau:

3 1

1

1 2 13

1 3 x x y x

x x y x

 + = −

 − +



 − =

 − +



ĐK:

1 1 a x x b x y

 =

 −



 =

 +

; hệphương trình đã cho trở thành

3 1

2 13 3 a b a b

+ = −



 − =



0,25

III 3 1 18 6 6 3 1

3 6 13 3 6 13 21 7

a b a b a b

a b a b a

+ = − + = − + = −

  

⇔ − = ⇔ − = ⇔ = 0,25

1 1 1 2

3. 1

3 1 1

1 3 3

3

b b

b

a a

a

 + = −  = − −  = −

  

⇔ ⇔ ⇔

= =

 =  



0,25

(5)

⇒

2 10

2 2 2

1 1 10

1 9 10

1 3 1 3

x x x

x y

x y x y y

x x

 = −   

 + = − = − = −

 ⇔ + ⇔ + ⇔ +

   

 =  − =  − =  =

 −



10 20 2 15

10 10

y y

x x

= − − = −

 

⇔ = ⇔ =

Vậy nghiệm của hệphương trình là

(

^{x y}^;

) (

⁼ ^{10; 15}⁻

)

0,25

2 Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) ta có

2 2

6 3

6 3 0

x x m

− = − + +

⇔ − + + =

(

^a⁼^1;^b⁼^4;^c⁼⁴^m⁻^m²

)

Với m = 2, ta có phương trình

( )( )

2 6 5 0 1 5 0

1 5

x x x x

x x

− + = ⇔ − − =

 =

⇔  =

0,25

Tung độgiao điểm là

2 2

1 1 1

5 5 25

x y

= ⇔ = − = −

Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là (1; 1); (5; 25)− −

0,25

3 Xét phương trình hoành độ giao điểm là

2 2

6 3

6 3 0

x x m

− = − + +

⇔ − + + =

( )

2 2

1; 6; 3

4 ( 6) 4.1. 3

36 4 12 26 4

a b c m

b ac m

m m

= = − = +

∆ = − = − − +

= − − = −

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ∆ > ⇔0 24 4− m> ⇔ <0 m 6 Áp dụng định lý Vi-ét ta có:

1 2

6 (1)

. 3 (2)

x x b a x x c m

a

 + = =−



 = = +



0,25

Ta có y₁ = −x₁² thay vào y₁+x₂ =0 được

Từ (1) ta có x₂ = −6 x₁, thay vào −x₁²+x₂ =0 ta có

( )( )

2 2

1 6 1 0 1 1 6 0 1 3 2 2 0

x x x x x x

− + − = ⇔ + − = ⇔ + − =

0,25

(6)

⇔ ¹

1

3 2 x x

 = −

 =

TH1: x₁= − ⇒3 x₂ =9thay vào (2) ta có −3.9= + ⇔ = −m 3 m 30(TMĐK) TH1: x₁ = ⇒2 x₂ =4thay vào (2) ta có 2.4= + ⇔ =m 3 m 5(TMĐK)

Vậy để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn y₁+x₂ =0 thì ^m∈ −

{

^30;5

}

Hình

0,25

1 Ta có: AB, AC là tiếp tuyến tại B và C của (O) (giả thiết)

⇒ AB ⊥ OB tại B; AC ⊥ OC tại C (Định nghĩa tiếp tuyến)

⇒ ^{ }ABO= ACO=90⁰

0,25

IV Xét tứ giác ABOC có

  180⁰

ABO+ACO= 0,25

Mà ^{ }ABO ACO; là hai góc đối của tứ giác ABOC.

⇒ ABCO là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết)

0,25

2 Ta có, AB, AC là tiếp tuyến tại B và C của (O) (giả thiết)

⇒ AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

0,25 Mà OA = OB = R

⇒ A, O thuộc đường trung trực BC (tính chất đảo về các điểm thuộc đường trung trực)

⇒ AO là đường trung trực của BC

0,25

D

F

I

E

C B

O A

(7)

⇒ AO ⊥ BC tại E

Xét ∆ EAB và ∆ EBO có

  90⁰ AEB=BEO=

BAE =EBO(cùng phụ với ^ABE)

⇒ ∆EAB ∼ ∆EBO (g-g)

0,25

⇒ ^EA ^AB ^{BE BA}^. OB R

EB =OB⇒ AE = = 0,25

3 a) Ta có OID^{ }=OBD=90⁰⇒ BDOI nội tiếp

⇒ ODI^{ }=OBI(hai góc nội tiếp chắn ^OI^) Ta có FIO^{ }=FCO=90⁰⇒ FIOC nội tiếp

⇒ IFO^{ }=ICO(hai góc nội tiếp chắn ^OI^)

0,25

Ta có OB = OC = R ⇒ ∆OBC cân tại O ⇒ OBC^{ }=OCB

⇒ ODI^{ }=OFI

⇒ ∆OFD cân tại O

0,25

Ta có ∆ODF cân tại O, OI là đường cao

⇒ OI là đường trung tuyến

⇒ I là trung điểm OD

Mà I là trung điểm BE (giả thiết)

⇒ BDEF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

⇒ EF // BD hay EF//AB

0,25

Xét ∆CAB có

E là trung điểm BC, EF // AB (F ∈ AC)

⇒ F là trung điểm AC.

0,25

V Ta có

3 2 2

2

5 3 3 2 (5 2) (5 2) (5 2)

(5 2)( 1)

x x x x x x x x

x x x

+ + − = − + − + −

= − + +

Phương trình đã cho tương đương với:

2

2 1 2

(5 2)( 1) 3 ( : )

2 2 5

x− x + + =x x + x− dkxd x≥

2 2

2 (5x 2)(x x 1) x 6x 1

⇔ − + + = + −

0,25

Đặt a= 5x−2;b= x²+ +x 1, a b; ≥0 0,25

(8)

Ta có 2ab=a²+b² ⇔ =a b

Khi đó:

2 2 2

5 2 1

4 3 0

( 1)( 3) 0

x x x

x x

− = + +

⇔ − = + +

⇔ − + =

⇔ − − =

{1;3}

S =

Chú ý :

1) Học sinh phải lập luật đúng và chặt chẽ mới cho điểm tối đa.

2) Nếu học sinh có cách giải đúng mà khác với hướng dẫn chấm thì giáo viên thống nhất chia điểm dựa vào hướng dẫn chấm dành cho câu hay ý đó.

3) Giáo viên có thể chia nhỏ các bước giải để chấm điểm cho học sinh

4) Phần hình học: nếu học sinh không vẽ hình tương ứng hoặc vẽ hình sai thì không cho điểm.

5) Điểm tổng toàn bài để lẻ đến 0,25.