Chuyên đề số chính phương ôn thi vào chuyên Toán



Sưu tầm

CHUYÊN ĐỀ

SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Thanh Hóa, tháng 9 năm 2019

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC

CHUYÊN ĐỀ: SỐ CHÍNH PHƯƠNG

BÀI 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN A. Định nghĩa và tính chất

1. Định nghĩa: Số chính phương là bình phương đúng của một số nguyên Vd: 42 ;16² 4²

2. Các tính chất của số chính phương

a. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 không thể có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8

Như vậy để chứng minh một số không phải số chính phương ta chỉ ra số đó có hàng đơn vị là 2, 3, 7, 8

b. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các TSNT với số mũ chẵn, không chứa TSNT với số mũ lẻ

Vd: 360060² 2 .3 .5^{4 2 2}

Để chứng minh một số không phải SCP ta chỉ ra số đó khi phân tích ra TSNT thì có số mũ lẻ

c. Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng 3n hoặc 3n + 1 (a² 0,1(mod3)) không có SCP nào có dạng 3n + 2 (nN)

d. Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng 4n hoặc 4n + 1 (a² 0,1(mod 4)) không có SCP nào có dang 4n + 2 hoặc 4n + 3 (nN)

e. Số các ước số của một số chính phương là số lẻ, ngược lại một số có số lượng các ước là lẻ thì đó là số chính phương

f. Nếu số chính phương chia hết cho p thì chia hết cho p² g. Nếu , : .

( , ) 1 , a b la SCP

a b a b

 

 

 đều là các số chính phương

h. Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn ( 121, 49,

<)

- Số chính phương tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2 - Số chính phương tận cùng là 4 thì chữ số hàng chục là chẵn - Số chính phương tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là lẻ

- Nếu SCP có chữ số tận cùng là 0 thì SCP đó có một số chẵn chữ số 0 ở tận cùng: 100, 10000

*) HỆ QUẢ : Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4 - Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25

- Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9 - Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16 B. Bài tập

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC

Bài 1: Chứng minh rằng

a) Một số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1 b) Một số chính phương khi chia cho 4 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1

c) Một số chính phương khi chia cho 5 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1 hoặc 4 d) Một số chính phương lẻ khi chia cho 8 chỉ có số dư là 1

Lời giải a. Ta đi xét các trường hợp

- Nếu n3kn² 9k² 3

- Nếu ^{2 2}

3 3

3 1 9 6 1

n k n  k  k  dư 1

- Nếu ^{2 2}

3 3

3 2 9 12 3 1

n k n  k  k   dư 1 b)

- Nếu n chẵn ^{2 2}

4

2 4

n k n k

   

- Nếu n lẻ ^{2 2}

4 4

2 1 4 4 1

n k n k k

        dư 1

c)

- ^{2 2}

5

5 25

n kn  k

- ^{2 2}

5 5

5 1 25 10 1

n k n  k  k  dư 1

- ^{2 2}

5 5

5 2 25 20 4

n k n  k  k  dư 4

d. ^{2 2 2}

8

2 1 (2 1) 4 4 1 4 ( 1) 1

n k n  k  k  k  k k   dư 1

Bài 2: Cho hai số chính phương có tổng là một số chia hết cho 3. Chứng minh rằng cả hai số chính phương đó đều chia hết cho 9

Lời giải

Gọi hai số chính phương là: a b², ² , theo đầu bài ta có: a²b² 3 - Giả sử a² / 3,b² / 3a²b² chia 3 dư 2

- Giả sử hoặc a² hoặc b² không chia hết cho 3, số còn lại chia hết cho 3 a²b² / 3

2 2

2 2

3 3 9

( )

3 3 9

a a a

b dpcm

b b

  

 

  

  

 

Bài 3: Cho hai số chính phương ó tổng là một số chia hết cho 3. Chứng minh rằng cả hai số chính phương đó đều chia hết cho 9

Lời giải Ta có: 10 n 99

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC

- 2n + 1 là số chính phương lẻ 2n1 chia cho 8 dư 12 8n n 4n chẵn - n chẵn 3n1 là SCP lẻ3n1 chia 8 dư 13 8n n 8

+) Nếu n5k 1 2n 1 10k3(vo ly. ) +) Nếu

5 5

5 2 3 1 15 5 2 ( . )

n k  n  k   vo ly +) Nếu

5 5

5 3 2 1 10 5 2 .

n k  n  k  vo ly +) Nếu

5 5

5 4 3 1 15 10 3 .

n k  n  k  vo ly

Vậy 40 40 .

5 5

10 99 80( )

n n thoa man

n k n

n n loai

 

 

      

Bài 4: Cho A là só chính phương gồm bốn chữ số, nếu ta thêm vào mỗi chữ số của số A một đơn vị thì ta được số chính phương B, hãy tìm A và B

Lời giải Đặt Aa B²; b a²( b;32  a b 100)

Dễ thấy: B A 11111111b²a²  (b a b)( a) Ta có: 1    b a b a 200

Mà:

2 2

11 45 2025

1111 1.1111 11.101

101 56 3136

b a a a A

b a b b B

     

  

         

Bài 5: Tìm số nguyên tố ab a(  b 0), sao cho ab ba là số chính phương Lời giải

Ta có: ab ba 9(a b ) là số chính phương  a b là SCP 1 4 a b a b

  

    +) a  b 1 21,32, 43,54,65,76,87,98

+) a  b 4 51,62,73,84,95

Bài 6: Tìm SCP có bốn chữ số, biết rằng hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống nhau

Lời giải

Gọi số chính phương cần tìm là : aabbn a b²( , N,1 a 9,0 b 9)

Ta có : aabb 1000 a100a10b b 1100a11bn² n² 11(100a b )(1) Lại có : aabb 11100a b 1199a a b11 a b11

Mà : 1 a 9,0     b 9 1 a b 18  a b 11

Thay a + b = 11 vào (1), được :n² 11(99a11) 11 (9 ¹ a 1) 9a1 phải là số chính phương

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC

Bằng phép thử a = 1, 2,<., 9 ta được a = 7, b = 4 Vậy số cần tìm là : 7744 11 .8 ^{2 2} 88²

Bài 7: Tìm số tự nhiên n để 2⁸2¹¹2ⁿ là số chính phương Lời giải

Đặt 2⁸2¹¹2ⁿ a a²( 0,aN)48²2ⁿ a² 2ⁿ (a48)(a48) +) n  0 (a 48)(a48) 1 voly

+)

48 2 5 2 5 7

0 ( ; ) 96 2 2 2 (2 1) 2 .3 12

48 2 2 4 5

x y

x y y x y

y x y

le

a x

n x y n x y n

a y





      

 

                  

BÀI 2: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN SỐ CHÍNH PHƯƠNG A. Nhắc lại các tính chất

a. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 không thể có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8

Như vậy để chứng minh một số không phải số chính phương ta chỉ ra số đó có hàng đơn vị là 2, 3, 7, 8

b. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các TSNT với số mũ chẵn, không chứa TSNT với số mũ lẻ

Vd: 360060² 2 .3 .5^{4 2 2}

Để chứng minh một số không phải SCP ta chỉ ra số đó khi phân tích ra TSNT thì có số mũ lẻ

c. Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng 3n hoặc 3n + 1 (a² 0,1(mod3)) không có SCP nào có dạng 3n + 2 (nN)

d. Số chính phương chỉ có thể có 1 trong 2 dạng 4n hoặc 4n + 1 (a² 0,1(mod 4)) không có SCP nào có dang 4n + 2 hoặc 4n + 3 (nN)

e. Số các ước số của một số chính phương là số lẻ, ngược lại một số có số lượng các ước là lẻ thì đó là số chính phương

f. Nếu số chính phương chia hết cho p thì chia hết cho p² g. Nếu , : .

( , ) 1 , a b la SCP

a b a b

 

 

 đều là các số chính phương

h. Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn ( 121, 49,

<)

- Số chính phương tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2 - Số chính phương tận cùng là 4 thì chữ số hàng chục là chẵn

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC

- Số chính phương tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là lẻ

k. Số chính phương N chia hết cho p^2n1 p^2n2( :p nguyen to. )

*) HỆ QUẢ : Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4 - Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25

- Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9 - Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16 B. Bài tập

Bài 1:

a. Số 1234567890 có là SCP không ?

b. Chứng minh rằng số TN có tổng các chữ số là 2015 hoặc 2013 không phải là SCP Lời giải

a. Đặt N123...90S N( )45

Ta có N chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên không phải là số chính phương - Hoặc N chia hết cho 5 nhưng không chia hết ho 25 nên không phải là số chính phương b. Giả sử số tự nhiên M có S(M) = 2015

Ta có S(M) chia cho 3 dư 2 Mchia 3 dư 2  không là số chính phương ( ) 2013

S M  chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên không là SCP

Bài 2: Cho N1.3.5...2015. Chứng minh rằng N 1;N3 không là số chính phương Lời giải

Ta có: N 3 N 1 chia cho 3 dư 2  không là số chính phương 3; 9 3 3

( 3) : 9. .3 3 / 9 N N N

N du N

 

    

Cách 2: Ta có N chia hết cho 5 và N lẻ nên chữ số tận cùng của N là 5 N + 3 có chữ số tận cùng là 8 nên không phải là số chính phương

Bài 3: Chứng minh rằng số A29²⁹58⁵⁸87⁸⁴ không là số chính phương Lời giải

29 58 29 87 58

29 29

/ 29

29 (1 2 .29 3 .29

A  

Ta có A 29²⁹ nhưng A không chia hết cho 29³⁰ mà 29 là số nguyên tố từ đó suy ra A không là số chính phương.

Bài 4:

a. Chứng minh rằng với  n N thì 2n²2n3 không là số chính phương b. Chứng minh rằng với  n N thì 3ⁿ1002 không là số chính phương

Lời giải

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC

a. ²

4

2n 2n 3 2 (n n  1) 3 chia 4 dư 3 nên không là số chính phương b. - n  0 3ⁿ 1002 1003: khong la so chinh phuong. . . .

- n  1 3ⁿ 1002 1005 3; / 9 khong la so chinh phuong. . . . - n  2 3ⁿ 1002 3; / 9khong la so chinh phuong. . . .

Bài 5: Chứng minh rằng tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2015 không phải là số chính phương

Lời giải

25 5; / 25

(2015 1)

1 2 .... 2015 .2015 1008.2015

S      2   dpcm

Bài 6: Giả sử N 1.3.5....2015. Chứng mỉnh rằng các số có dạng 2N1;2 ;2N N1 không phải số chính phương

Lời giải

Ta có: 2N 32N1 chia 3 dư 2 nên không là số chính phương

- N lẻ N2k 1 2N 4k2 chia 4 dư 2 nên không là số chính phương

- N lẻ 4 1 2 1 8 3

( . . . . )

4 3 2 1 8 7

N q N q

khong la so chinh phuong

N q N q

    

 

      

Bài 7: Chứng tỏ rằng các số sau không là số chính phương

a) abab b) abcabc c)

ababab

Lời giải

a) 2

101. 101 .

101 101

abab ab

ab vo ly abab abab

   

 

b) abcabc1001.abc11.91.abc

Vì abc /11 đồng thời abc / 91 không là số chính phương c) c

Bài 8: Cho các số tự nhiên: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Lập được tất cả các STN có 6 chữ số bao gồm tất cả các chữ số trên. Trong các số đã lập có số nào là số chính phương không?

Hướng dẫn

Tổng các chữ số của cac số là 21chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9

Bài 9: Cho một số tự nhiên gồm 21 chữ số 4. Có cách nào viết thêm các chữ số 0 vào vị trí tùy ý để số mới tạo thành là một số chính phương hay không?

Hướng dẫn ( ) 21.4 84 3

S N   nhưng không chia hết cho 9

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC

Bài 10: Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2006 không phải là số chính phương Lời giải

Do tổng các chữ số của số đó là 2006 nên số đó chia cho 3 dư 2. Chứng tỏ số đã cho không phải là số chính phương.

Bài 11: Chứng minh số: n = 4⁴ + 44⁴⁴ + 444⁴⁴⁴ + 4444⁴⁴⁴⁴ + 15 không là số chính phương Hướng dẫn

ì số này chia cho 4 dư 3 nên số này không là số chính phương

Bài 12: Giả sử N = 1.3.5.7 . . . 2007. 2011. Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N - 1, 2N và 2N + 1 không có số nào là số chính phương

Lời giải a) Ta có 2N - 1 = 2.1.3.5.7 . . . 2011 - 1

Có 2N 3 => 2N – 3 ⋮ 3 => 2N – 3 = 3k => 2N - 1 = 3k + 2 (k  N)

=> 2N – 1 chia cho 3 dư 2

=> 2N - 1 không là số chính phương.

b) 2N = 2.1.3.5.7 . . . 2011 => 2N chẵn.

Ta có N lẻ (vì N là tích các số tự nhiên lẻ) => N không chia hết cho 2

=> Mặc dù 2N 2 nhưng 2N không chia hết cho 4.

=> 2N không là số chính phương.

c) 2N + 1 = 2.1.3.5.7 . . . 2011 + 1

2N + 1 lẻ nên 2N + 1 không chia hết cho 4

2N không chia hết cho 4 nên 2N + 1 không chia cho 4 dư 1.

=> 2N + 1 không là số chính phương.

Bài 13: Chứng minh rằng nếu p là tích của n (với n > 1) số nguyên tố đầu tiên thì p - 1 và p + 1 không thể là các số chính phương

Lời giải

Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên (trong đó có 2 là số nguyên tố chẵn, còn lại tất cả là các số nguyên tố lẻ) => p 2 và p không thể chia hết cho 4 (1)

a) Giả sử p + 1 là số chính phương. Đặt p + 1 = m² ( m  N).

Vì p chẵn nên p + 1 lẻ => m² lẻ => m lẻ.

Đặt m = 2k + 1 (k  N). Ta có m² = 4k² + 4k + 1 => p + 1 = 4k² + 4k + 1

=> p = 4k² + 4k = 4k (k + 1) 4 mâu thuẫn với (1).

=> p + 1 không phải là số chính phương.

b) p = 2.3.5... là số chia hết cho 3 => p – 3 ⋮ 3 => p – 3 = 3k => p - 1 = 3k + 2.

=> p – 1 chia cho 3 dư 2 => p - 1 không là số chính phương.

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC

Vậy nếu p là tích n (n >1) số nguyên tố đầu tiên thì p - 1 và p + 1 không là số chính phương.

Bài 14: Chứng minh rằng tổng bình phương của 2 số lẻ bất kỳ không phải là số chính phương.

Lời giải a và b lẻ nên a = 2k + 1, b= 2m + 1 (Với k, m  N).

=> a² + b² = (2k + 1)² + ( 2m + 1)² = 4k² + 4k + 1 + 4m² + 4m + 1 = 4 (k² + k + m² + m) + 2

=> a² + b² chia cho 4 dư 2

=> a² + b² không thể là số chính phương.

Bài 15: Chứng minh rằng: Nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 3m² + m = 4n² + n thì m - n và 4m + 4n + 1 đều là số chính phương.

Lời giải Ta có: 3m² + m = 4n² + n  4(m² - n²) + (m - n) = m²

 (m - n)(4m + 4n + 1) = m² là số chính phương (*)

Gọi d là ước chung lớn nhất của m - n và 4m + 4n + 1 thì (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia hết cho d => 8m + 1 chia hết cho d.

Mặt khác, từ (*) ta có: m² chia hết cho d² => m chia hết cho d.

Từ 8m + 1 chia hết cho d và m chia hết cho d ta có 1 chia hết cho d => d = 1.

Vậy m - n và 4m + 4n + 1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương.

Bài 16: Các tổng sau có phải là số chính phương không?

a) A    3 3² 3³ ... 3²⁰ b) B 11 11²11³ c) 10108

d) 10¹⁰5 e) ^{1010010501}

Lời giải

a) Tổng A Chi hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên không là số chính phương b) Tổng B có chữ số tận cùng là 3 nên không là số chính phương

c) Ta có: 10¹⁰8 có chữ số tận cùng là 8 nên không là số chính phương

d) Ta có: 10¹⁰5 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên không là số chính phương

e) Ta có: 10¹⁰⁰ 10⁵⁰1có tổng các chữ số là 3 nên chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 nên không là số chính phương.

Bài 17: Viết liên tiếp từ 1 đên 12 ta được 1 số A=1234<1112 hỏi số A có thể có 81 ước không?

Lời giải

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC

Giả sử A là số chính phương, ta có tổng các chữ số của A là:

1 2 3 ... 11 12 51 3      nhưng không chia hết cho 9 nên không là số chính phương Khi đó A không thể có 81 ước

Hoặc chỉ ra A có chữ số tận cùng là 2, nên A không là số chính phương.

BÀI 3: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Bài 1: Chứng minh rằng với  n N thì 3ⁿ4 không là số chính phương Lời giải

- Với n 0 3ⁿ 4 5 không là số chính phương - Với n 1 3ⁿ 4 7 không là số chính phương - Với n2

Giả sử 3ⁿ4 là số chính phương

2 2 2 3

3 4 ( , 3) 4 3 ( 2)( 2) 3 ( )

2 3

k

n n n

q

m m N m m m m m k q n

m

  

              

  

(m 2) (m 2) 3^q 3^k 4 3^q 3 (*)^k

         Vì (*) / 3

. 3 4

(*) 3 VT n

vo ly VP

  

 không là số chính phương với mọi số tự nhiên n Bài 2: Chứng minh rằng không tồn tại hai số chính phương có hiệu bằng 10002

Lời giải

Giả sử có hai số chính phương là m² và n² thỏa mãn điều kiện đầu bài, tức là:

2 2

10002

m n  ( giả sử m > n) m²n² 10002(mn m)( n)10002(*) Vì m²n² là số chẵn nên m n², ² có cùng tính chẵn lẻ m n, cùng tính chẵn lẻ

2 (*) 4

( )( ) 4 .

2 (*) / 4

m n VT

m n m n vo ly dpcm

m n VP

  

       

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì n²2 không là số chính phương Lời giải

Giả sử n²2 là số chính phương, khi đó đặt ^{2 2 * 2 2}

4 / 4

2 ( ) 2

n  m mN m n 

Bài 4: Chứng minh rằng tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không là số chính phương Lời giải

Đặt: S n n( 1)(n2)(n3)(nN^*)

Ta đi chứng minh S không là số chính phương

Giả sử S m m²( N^*)n n( 1)(n2)(n 3) m² (n²3 )(n n²3n2)m²

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC

Đặt

2 * 2 2 2 2 2 2 2

3 ( ) ( 2) 2 2 1 1 ( 1) 1

n  na aN a a m a  am a  a m   a m 

2 2 2 2 1 1

( 1) 1 ( 1) 1 ( 1 )( 1 ) 1 0 .

1 1

a m

a m a m a m a m m vo ly

a m

  

                      Vậy S không là số chính phương

Bài 5: Chứng minh rằng với tổng của abcbcacab không là số chính phương Lời giải

Đặt S abcbcacab111(a b c)3.37.(a b c)

Giả sử S là số chính phương Giả sử S 37S 37² (a b c  ) 37 Mà a  b c 27vo ly. dpcm

Bài 6: Chứng minh rằng với  n Z^ thì 7ⁿ 24 không là số chính phương Lời giải

Đặt 7ⁿ 24a a²( N^*)

- n lẻ: Đặt n2k 1 7ⁿ2449 .7^k 24a²

Có 49 chia 4 dư 149^k chia 4 dư 1; 7.49^k chia 4 dư 3 a² chia 4 dư 3 ( vô lý)

- n chẵn: 7^2k 24a k²( 0)24(7 )^{k 2}a² (a7 )(^k a7 )^k ( cùng tính chẵn lẻ) (a 7 )(^k a 7 )^k 2.12 4.6

     Ta xét hai trường hợp: 2.7 10

. . . .

2.7 2

k

k khong ton tai k vo ly dpcm

 

  

 



Bài 7: Chứng minh rằng với  n Z^ thì 7ⁿ 24 không là số chính phương Lời giải

Giả sử 7ⁿ 24a a²( N^*)

- Với n lẻ: Đặt n2k 1 7ⁿ2449 .7^k 24a²

Có 49 chia 4 dư 149^kchia 4 dư 1; 7.49^k chia 4 dư 3 a² chia 4 dư 3 ( vô lý)

- Với n chẵn 7^2k 24a k²( 0)24(7 )^{k 2}a² (a7 )(^k a7 )^k ( cùng tính chẵn lẻ)

(a 7 )(^k a 7 )^k 2.12 4.6

     Ta xét 2 trường hợp: 2.7 10

( . . . ) .

2.7 2

k

k khong ton tai k vo ly dpcm

 

 

 



Bài 8: Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n sao cho 13n²2là số chính phương Lời giải

- Nếu n chẵn, lẻ thì m cũng chẵn, lẻ nên m, n cùng tính chất chẵn lẻ

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC

+) Nếu m, n là các số lẻ thì ²

:4. .1

13 2

du

n  chia 4 dư 3 nên không tồn tại m² do m² chia 4 dư 1 +) Nếu m, n chẵn (*). .4. .2

(*). 4

VT chia du VP dpcm





Bài 9: Chứng minh rằng một số chẵn bất kỳ không chia hết cho 4 thì không phân tích thành hiệu của hai số chính phương

Lời giải

Giả sử n4k2 ( chẵn chia 4 dư 2 do không chia hết cho 4);

2 2 2 2 2

4 2 ( )( ) ,

n a b  k a b  a b a b a b cùng tính chẵn lẻ

( ) 2 ( )( ) 4

( ) 2 4 2 / 4 .

a b a b a b

mau thuan dpcm

a b k

    

     

BÀI 4: DÙNG CHỮ SỐ TẬN CÙNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN SỐ CHÍNH PHƯƠNG A. Lý thuyết

- Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9 không thể có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8

- Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn ( 121, 49,

<)

- Số chính phương tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2 - Số chính phương tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là lẻ

- Nếu SCP có chữ số tận cùng là 0 thì SCP đó có một số chẵn chữ số 0 ở tận cùng: 100, 10000

B. Bài tập

Bài 1: Chứng minh rằng các số sau không là số chính phương

a) A11¹¹111¹¹¹1111¹¹¹¹ b) B100¹⁰⁰10¹⁰8 c) C10¹⁰5 Lời giải

a) A có chữ số tận cùng là 3 nên không là SCP b) B có chữ số tận cùng nên không là SCP c) C có chữ số tận cùng là 5 nên không là SCP

Bài 2: Chứng minh rằng số tự nhiên N 2015³2014²2013²2012²2011² không là SCP

Lời giải

20153 có chữ số tận cùng là 5; 2014² có chữ số tận cùng là 6; 2015² có chữ số tận cùng là 9

20122 có chữ số tận cùng là 4; 2011² có chữ số tận cùng là 6

Vậy N có chữ số tận cùng là: (5 9  6 4) 1 23N không là SCP

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC

Bài 3: Không mất tính tổng quát hãy cho biết các tổng, hiệu sau có phải là SCP không?

a) A7.13.25.63.105 113 b) B11.19.27.63.99 122.92 c) C12.13.14.15.16 3.12.13.14.82

Lời giải a)

tan . .5

7.13.25.63.105 113 113 . .8

cung

A   tan cung  không là SCP b)

/ .1 / .4

11.19.27.63.99 122.92

t c t c

B   tận cùng 7 nên không là SCP

c)

/ .0 / .4

12.13.14.15.16 3.12.13.14.82 12.13.14(15.16 3.82) 12.13.14(380 3.82) 0

t c t c

C       

không là số chính phương.

Bài 4: Cho 4 chữ số 0, 2, 3, 4. Tìm số chính phương có bốn chữ số gồm cả bốn chữ số trên Lời giải

Gọi A là só chính phương có bốn chữ số cần tìm

A không có tận cùng là 2 hoặc 3 nên chữ số tận cùng của A là 0 hoặc 4 - Nếu chữ số tận cùng của A là 0 thì chữ số hàng chục là 0 nên vô lý

- Nếu chữ số tận cùng của A là 4 thì chữ số hàng chục là chẵn nên chữ số hàng chục là 0 hoặc 2

- A có thể là: 3204, 2304, 3024

Ta có: 56320457 ;2304² 48 ;54^{2 2}320455² Vậy số cần tìm là 2304

Bài 5: Chứng minh rằng tổng bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không là SCP Lời giải

Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là: n2,n1, ,n n1,n2(nN n, 2) Ta có: (n2)² (n 1)²n² (n 1)² (n 2)² 5n²105(n²2)

Vì n² là số chính phương nên n không thể có chữ số tận cùng là 3 hoặc 8 nên n² + 2 không chia hết cho 5 n²2 / 5S 5

Nhưng S không chia hết cho 25 S không là số chính phương

Bài 6: Chứng minh số: n = 2004² + 2003² + 2002² - 2001² không phải là số chính phương.

Lời giải

ì chữ số tận cùng của các số 2004² ; 2003² ; 2002² ; 2001² lần lượt là 6 ; 9 ; 4 ; 1.

Do đó số n có chữ số tận cùng là 8 nên n không phải là số chính phương.

Bài 7: Chứng minh số 1234567890 không phải là số chính phương.

Lời giải

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC

Thấy ngay số 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng là 0) nhưng không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng là 90). Do đó số 1234567890 không phải là số chính phương.

Chú ý: Có thể lý luận 1234567890 chia hết cho 2 (vì chữ số tận cùng là 0), nhưng không chia hết cho 4 (vì hai chữ số tận cùng là 90) nên 1234567890 không là số chính phương.

Bài 8: Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phương.

Lời giải

Ta thấy tổng các chữ số của số 2004 là 6 nên 2004 chia hết cho 3 mà không chia hết 9 nên số có tổng các chữ số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9, do đó số này

không phải là số chính phương.

Bài 9: Cho n Є N và n - 1 không chia hết cho 4. Chứng minh rằng 7ⁿ + 2 không thể là số chính phương

Lời giải

Do n - 1 không chia hết cho 4 nên n = 4k + r (r Є {0, 2, 3}).

Ta có 7⁴ - 1 = 2400 100. Ta viết 7ⁿ + 2 = 7^{4k + r} + 2 = 7^r(7^4k - 1) + 7^r + 2.

Vậy hai chữ số tận cùng của 7ⁿ + 2 cũng chính là hai chữ số tận cùng của 7^r + 2 (r = 0, 2, 3) nên chỉ có thể là 03, 51, 45.

Theo tính chất 5 thì rõ ràng 7ⁿ + 2 không thể là số chính phương khi n không chia hết cho 4.

Bài 10: Chứng minh số: 1234567890 không phải là số chính phương Lời giải

- Ta thấy số: 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng bằng 0), nhưng không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng bằng 90).

- Do đó số 1234567890 không phải là số chính phương.

Chú ý: Có thể luận rằng: Số 1234567890 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 (vì hai chữ số tận cùng là 90).Nên 1234567890 không phải là số chính phương.

Bài 11: Chứng minh rằng xnếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phương

Lời giải

Ta thấy tổng các chữ số của 2004 là 6 nên 2004 chia hết cho 3 mà nó lại không chia hết cho 9. Nên số có tổng các chữ số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9. Do đó số này không phải là số chính phương.

Bài 12: Tổng sau có là số chính phương hay không A = 3 + 3² + 3³ + <+ 3²⁰ Lời giải

Ta biết rằng số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9. A chia hết cho 3, nhưng chia 9 dư 3, do đó A không là số chính phương.

Bài 13: Chứng minh tổng sau không là số chính phương: B = 11 + 11² + 11³

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC

Lời giải B tận cùng bằng 3 nên không là số chính phương Bài 14: Chứng minh 10¹⁰ + 5 không là số chính phương

Lời giải

10¹⁰ + 5 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên không là số chính phương.

Bài 15: Chứng minh 10¹⁰⁰ + 10⁵⁰ +1không là số chính phương Lời giải

10¹⁰⁰ + 10⁵⁰ + 1 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên không là số chính phương.

Bài 16: Chứng minh rằng các số sau không là số chính phương

a) abab b) abcabc c)

ababab

Lời giải Giả sử các số trên đều là số chính phương. Ta có a) n²ababab.10²ab101ab ab101 (vô lí ) b) n² abcabcabc.10³abc 1001abc3.11.13.abc ì 3, 11, 13 là số nguyên tố nên abc 1001 (vô lí )

c) n² abababab.10⁴ab.10²ab 10101abab3.7.13.37 ì 3, 7, 13, 37 là số nguyên tố nên ab 10101 (vô lí)

ậy các số trên đều không phải là số chính phương.

Bài 17: Cho A  1 2 2²2³ ... 2³³. Hỏi A có là số chính phương không? ì sao?

Lời giải Ta có ^{A  1 2}









   

2 2 3 30 2 3

3 2 . 1 2 2 2 ... 2 . 1 2 2 2

         

 

29 29

3 2.30 ... 2 .30 3 2 ... 2 .3.10

        . Ta thấy A có chữ số tận cùng bằng 3.

Mà số chính phương không có chữ số tận cùng là 3. Do đó, A không là số chính phương.

Vậy A không là số chính phương.

Bài 18: Cho A10²⁰¹²10²⁰¹¹10²⁰¹⁰10²⁰⁰⁹8. Chứng minh rằng A không phải là số chính phương.

Lời giải

Ta có các số : 10²⁰¹² ; 10²⁰¹¹ ; 10²⁰¹⁰ ; 10²⁰⁰⁹ đều có chữ số tận cùng là 0 Nên A10²⁰¹²10²⁰¹¹10²⁰¹⁰10²⁰⁰⁹8 có chữ số tận cùng là 8

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC

Vậy A không phải là số chỉnh phương vì số chính phương là những số có chữ số tận cùng là 1 ; 4; 5 ; 6 ; 9

Bài 19: Chứng minh rằng tổng sau: P = 1 + 3 + 3² + 3³ + ...+ 3⁶¹ + 3⁶² không là số chính phương

Lời giải

P = (1 + 3 + 3² + 3³) + (3⁴ + 3⁵ + 3⁶ + 3⁷) + ... + (3⁵⁶ + 3⁵⁷ + 3⁵⁸ + 3⁵⁹) + 3⁶⁰ + 3⁶¹ + 3⁶²

= (40 + 3⁴. 40 + ... + 3⁵⁶. 40) + 3⁶⁰ + 3⁶¹ + 3⁶².

- Các số hạng trong ngoặc đều có tận cùng là 0.

- Số 3⁶⁰ = (3²)³⁰ = 9³⁰ => chữ số tận cùng là 1.

- Số 3⁶¹ = 3.3⁶⁰ => có chữ số tận cùng là 3.

- Số 3⁶² = 9.3⁶⁰ => có chữ số tận cùng là 9.

Vậy tổng P có chữ số tận cùng là 3 => P không là số chính phương.

Bài 20: Cho A= 1 2 2²2³ ... 2²⁰¹⁰2²⁰¹¹. Hỏi số A8 có phải là số chính phương không?

Lời giải Tính được A 8 2²⁰¹²  1 8 2^4.503 7 ....6 7 ....3

Vì SCP không có tận cùng bằng 3, nên A+8 không phải là SCP.

BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 1: Chứng minh rằng các số sau không là số chính phương

a) A12¹²13¹²14¹² b) B7¹⁰⁰ 161 c) C100¹⁰⁰9⁸8 Lời giải

a) A có chữ số tận cùng là 3 nên không là số chính phương b) ¹⁰⁰

/ .1

7 161

t c

B   B có chữ số tận cùng là 2 nên không là số chính phương c) C có chữ số tận cùng là 7 nên không là số chính phương

Bài 2: Tìm SCP có bốn chữ số bao gồm cả bốn chữ số sau: 2, 3, 4, 9 Lời giải

Ta có số cần tìm có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9

- Nếu chữ số tận cùng là 4 thì chữ số hàng chục là chẵn = 2 nên ta có các số: 3924, 9324 (Thử lại: Phân tích thành TSNT xem số nào thỏa mãn)

- Nếu chữ số tận cùng là 9 thì chữ số hàng chục là 2 hoặc 4 nên có các số:

3429; 4329; 2349;3249 572 loai



Bài 3: Tìm SCP có bốn chữ số được viết bởi các chữ số sau: 3, 6, 8, 8 Lời giải

Số cần tìm có tận cùng là 6 nên chữ số hàng chục là 3, thử lại ta có: 836 = 94²

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC

Bài 4: Ta ký hiệu n! là tích của n số nguyên dương đầu tiên. Cụ thể n! 1.2.... n Tìm số tự nhiên n sao cho: 1! 2! 3! ...   n! là số chính phương

Lời giải 1! 2! 3! ... !

S     n

- Với n  5 n! 1.2.3.4.5... 10n n! có chữ số tận cùng là 0 +) Với n    1 S 1! 1 1²

+) Với n     2 S 1! 2! 3 loai +) Với n      3 S 1! 2! 3! 9 3²

+) Với n      4 S 1! 2! 3! 4! 33loai +) Với

33 / 0

5 1! 2! 3! 4! 5! ... !

t c

n S n S



          có tận cùng là 3 nên S không là SCP Vậy n = 1 hoặc n = 3 là các giá trị cần tìm

BÀI 5: PHƯƠNG PHÁP KẸP ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN SỐ CHÍNH PHƯƠNG A. Nội dung

Ta dựa vào tính chất sau: Không tồn tại số chính phương nằm giữa hai số chính phương liên tiếp

VD: 4,9,16, 25,36,....

Ta đi giải bài toán: Chứng minh k không phải là số chính phương Cách giải: Chỉ ra một số tự nhiên q, sao cho: q²  k (q1)² B. Bài tập

Bài 1: Chứng minh rằng số 10224 không là số chính phương Lời giải

Nhận thấy:

2 2 2 2

101 10201;102 10404;10201 10224 10404  101 10224 102 khonglasochinhphuong

Bài 2: Tìm số tự nhiên n để n²3n là số chính phương Lời giải +) n 0 n²3n 0 lasochinhphuong

+) n 1 n²3n 4 lasochinhphuong +)

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1: ( 1) 2 1 2 3 ;( 2) 3 ( 1) 3 ( 2)

n n n  n n  n n n  n n n  n n n  n n

2 3 :

n n khonglasochinhphuong

 

Bài 3: Chứng minh rằng  n N các số sau không là số chính phương

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC

a. n²7n10 b. 4n²5n2 Lời giải

a. Nhận thấy   n N (n3)² n²6n 9 (n4)² dpcm b. (2n1)² 4n²5n 2 (2n2)²

Bài 4: Chứng minh rằng tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không là SCP Lời giải

Giả sử nN, đặt

2 2 2 *

( 1)( 2)( 3) ( 3 )( 3 2) ( 2) 2 ( )

S n n n n  n  n n  n a a a  a aN Nhận thấy a² a²2a(a1)² S khonglasochinhphuong:

Bài 5: Chứng minh rằng số S 2016²⁰¹⁶2016¹⁰⁰⁰2016⁹⁹⁹ ... 2016²2016 không là SCP

Lời giải Ta có : S 2016²⁰¹⁶ (2016^{1008 2}) (1)

Ta đi chứng minh S (2016¹⁰⁰⁸1)² 2016²⁰¹⁶2.2016¹⁰⁰⁸1 Thật vậy : 2016¹⁰⁰⁰2016⁹⁹⁹ ... 2016²2016 1000.2016 ¹⁰⁰⁰

1000 1001 1008 2

1000.2016 2016 2.2016   1 S (2016 1) (2) dpcm

b. CMR : A2018²⁰¹⁸2018¹⁰⁰⁰2018⁹⁹⁹ ... 2018²2018 5 không là số chính phương

Lời giải

Ta có : A2018²⁰¹⁸ (2018^{1009 2})

2018 2018 1000 1000 2018 1000 2018 1009

2018 .... 5 2018 2018 .... 2018 2018 1001.2018 2018 2.2018 1

A           

1009 2

(2018 1) A khonglasochinhphuong:

  

Bài 6: Chứng minh rằng tổng bốn số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương Lời giải

2 2 2 2 2 2 2

( 1) ( 2) ( 3) 4 12 14( 0) (2 3) 5 (2 4) 4 2

An  n  n  n  n  n n  n   n  n

2 2

(2n 3) A (2n 4) A khonglasochinhphuong:

     

Bài 6: Chứng minh số 4014025 không là số chính phương.

Lời giải

Ta có 2003² = 4012009 ; 2004² = 4016016 nên 2003² < 4014025 < 2004². Chứng tỏ 4014025 không là số chính phương.

Bài 7: Chứng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không là số chính phương với mọi số tự nhiên n khác 0

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC

Lời giải

Ta có: A + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n² + 3n)(n² + 3n + 2) + 1 = (n² + 3n)² + 2(n2 + 3n) +1 = (n² + 3n +1)².

Mặt khác: (n² + 3n)² < (n² + 3n)² + 2(n² + 3n) = A.

Điều này hiển nhiên đúng vì n ≥ 1.

Chứng tỏ: (n² + 3n)² < A < A + 1 = (n² + 3n +1)².

=> A không là số chính phương.

Bài 8: Chứng minh rằng số có dạng n⁶ - n⁴ + 2n³ + 2n² trong đó n  N và n >1 không phải là số chính phương.

Lời giải

n⁶ - n ⁴ + 2n³ + 2n² = n². (n⁴ - n² + 2n +2) = n². [n²(n-1)(n+1) +2(n+1)]

= n²[(n+1)(n³ - n² + 2)] = n²(n + 1) . [(n³ + 1) - (n² - 1)]

= n²(n + 1)² . (n² - 2n + 2)

Với nN, n > 1 thì n² - 2n + 2 = ( n -1)² + 1 > ( n - 1)² Và n² - 2n + 2 = n² - 2(n - 1) < n² Vậy (n - 1)² < n² - 2n + 2 < n² => n² - 2n + 2 không phải là một số chính phương.

Bài 9: Chứng minh rằng số 40725 không là số chính phương Lời giải

Ta có số 40725 chia 8 dư 5 nên không là số chính phương Hoặc: 201² 40725202²

Bài 10: Chứng minh rằng với số tự nhiên n thì các số sau không phải số chính phương

a) An²2n3 b) B9n²8n10

Lời giải

a) Ta có: n²2n 1 n²2n 3 n²4n  4 (n 1)²n²2n 3 (n2)²

2 2 3

A n n

    không là số chính phương b)

- Với n = 0, n = 1 thì không thỏa mãn

- n 2 (3n1)² 9n²8n10(3n2)²

Bài 11: Chứng minh rằng tích của hai số tự nhiên liên tiếp khác 0 không là số chính phương

Lời giải Ta có: S n n( 1)(n1)

Dễ thấy: n² n² n n²2n 1 (n1)²dpcm

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC

BÀI 6: BÀI TOÁN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG A. Lý thuyết

Bài toán: Chứng minh một số là số chính phương Cách 1: Dùng định nghĩa, ta chứng minh An² Cách 2: Sử dụng tính chất

Nếu ( a, b) = 1 và a.b là số chính phương thì a và b đều là số chính phương B. Bài tập

Bài 1: Cho tổng S    1 3 5 .... 2015 a) Chứng minh rằng S là số chính phương b) Tìm các ước nguyên tố của S

Lời giải

a) Số số hạng cuả S là:(2015 1) : 2 1 1008     S (1 2015).1008 : 2 1008 ²S là số chính phương

b) 10082 .3 .7^{4 2}  S (2 .3 .7)^{4 2 2} 2 .3 .7^{8 4 2}  các ước nguyên tố của S là: 2, 3, 7

Bài 2: Chứng minh rằng nếu thêm một đơn vị vào tích của 4 số nguyên dương liên tiếp thì ta được một số chính phương

Lời giải Gọi nN^* và đặt S n n( 1)(n2)(n 3) 1 Ta có S (n²3 )(n n²3n 2) 1

Đặt an²3n S a a(   2) 1 (a1)² là số chính phương : ,

TQ x y N

   . Chứng minh S  x x(  y x)( 2 )(y x3 )y  y⁴ là số chính phương Bài 3: Tìm SCP abcd, biết rằng ab cd 1

Lời giải

100 100( 1) 100 101

abcd  ab cd  cd cd   cd Giả sử

2 * 2 2 2

( ) 100 101 10 101. ( 10)( 10) 101. (*)

abcd n nN n   cd n   cd  n n  cd

Nhận thấy: n² abcd 9999 10000 100  ²  n 100 Từ (*)(n10)(n10) 101 mà 101 là số nguyên tố

2 2

10 101 10( . . 100. . . .

10 101 91 8281( )

n n loai do n co ba chu so

n n n tm

   

      

Bài 4: Cho N là tổng của hai số chính phương. CMR : a) 2N cũng là tổng cả hai số chính phương

b) N² cũng là tổng của 2 số chính phương Lời giải

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC

Đặt N a²b²

a) 2N 2a²2b² (a²2ab b ²)(a²2ab b ²)(a b )²(a b )² b)

2 2 2 2 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2

( ) 2 (( 2 ) 4 ( ) (2 )

N  a b a  a b b  a  a b b  a b  a b  ab dpcm Bài 5: Chứng minh rằng nếu m, n thỏa mãn: 3n² n 4m²m thì n m và 4m4n1 đều là các số chính phương

Lời giải Theo đầu bài ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2

3n  n 4m  m 3n  n 4m   m 0 (4n 4m ) (n m)n 4(n m n )( m) (n m)n (4n 4m 1)(n m) n2(*)

    

Gọi ( , 4 4 1) [4( ) (4 4 1)] d 8n+1 d(1)

4 4 1

n m d

d n m m n n m m n

m n d

 

             

Mặt khác: VT(*) d n d² n d(2)

Từ (1)(2) 1d   d 1 (nm m, 4 4n 1) 1(**) Từ (*)(**) n m m;4 4n1 đều là các số chính phương

Bài 6: Tìm một số TN có ba chữ số mà hai chữ số đầu cũng như hai chữ số cuối đều lập thành các số chính phương và số này gấp 4 lần số kia

Lời giải

abc sao cho ^{2 2} 4

; ;

4 ab ba ab m bc n

bc ba

 

  

 

Các số chính phương có hai chữ số là: 16, 25,36, 49,64,81abc164

Bài 7: Tìm số chính phương có bốn chữ số sao cho hai chữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuối giống nhau

Lời giải

Gọi số chính phương cần tìm là : aabbn a b²( , N,1 a 9,0 b 9)

Ta có : aabb 1000 a100a10b b 1100a11bn² n² 11(100a b )(1) Lại có : aabb 11100a b 1199a a b11 a b11

Mà : 1 a 9,0     b 9 1 a b 18  a b 11

Thay a + b = 11 vào (1), được :n² 11(99a11) 11 (9 ¹ a 1) 9a1 phải là số chính phương

Bằng phép thử a = 1, 2,<., 9 ta được a = 7, b = 4 Vậy số cần tìm là : 7744 11 .8 ^{2 2} 88²

Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC

Bài 8: Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50 chữ số 2. Chứng minh rằng A – B là một số chính phương

Lời giải Ta có:

1 2 100 50

100. / 50. /

10 1 10 1 10 1 10 1 10 1

1 ;11 ;....;11...1 11....1 ; 2.11....1 2.

9 9 9 9 9

n

c s s

n

A B

    

       

100 50 50

10 1 2(10 1) 10 1 2

( ) :

9 3

A B    

    là một số chính phương

50 50

50. /

10 1 10 1 999....9 3

c s 3

 N

   

Vậy A – B là số chính phương.

Bài 9: Tìm tất cả các số tự nhiên có ba chữ số abc sao cho

2 2

1 ( 2) abc n cba n

  



 



Lời giải

2

2 2

2

1 100 ( 2) 999 10 2 31

( 2) abc n

n n

cba n

  

        

  



2 2

99 0

( 1) ( 2) 99( ) 4 5 99

abc cba n n a c n VP



         

4.12 5 4n 5 4.33 5 4n 5 99 n 26abc262 1 675;cba576 Bài 10: Tìm các số tự nhiên m, n sao cho 2^m5ⁿ là số chính phương

Lời giải Đặt 2^m5ⁿ k m n²( , ?; ,m nN)(*)

- Với m0,(*) 1 5ⁿ k²(1)

Với n: Ta có 5ⁿ chia 4 dư 1 VT(1) chia 4 dư 2 ( loại) - Với m > 0

+) Với

2 2 1 2

0 (*) 2 1 (2) 1 2 ( 1)( 1) 2 ( );

1 2

a

m m m

b

n k k k k k a b m b a

k

  

               

  

1

2 2^b 2^a 2 (2^{a b a} 1)

le





     ( vì ước của 2 là 1, 2)

2 2 1

3 3

2 1 1 2

a b a

a m k

 b

   

         +) Với n 0 (*)2^m5ⁿ k²(*)

Có 2^m có chữ số tận cùng là 2 hoặc 8 với m lẻ