Bài giảng Toán 12 từ cơ bản đến nâng cao – Trần Đình Cư - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

LỚP TOÁN THẦY CƯ- XÃ TẮC- TP HUẾ

Trung tâm ứng dụng CN và dạy học MTC

SĐT: 0834 332 133

BÀI 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1. Nhắc lại định nghĩa

Kí hiệu K là khoảng hoạcc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y f x( ) xác định trên K. Ta nói

 Hàm số y f x( ) đông biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x x₁, ₂ thuộc K mà x₁ nhỏ hơn x2 thì f x

 

1 nhỏ hơn f x

 

2 , tức làx1x2 f x

 

1  f x

 

2 ;

 Hàm số y f x( ) nghịch biên (giảm) trên K nếu với mọi cặp x x₁, ₂ thuộc K mà x₁ nhỏ hơn x₂ thì f x

 

1 lớn hơn f x

 

2 , tức là x1x2 f x

 

1  f x

 

2 .

Hàm số đồng biến hoạ̉c nghịch biển trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K. Nhận xét:

- Nếu hàm số đổng biến trên K thì đổ thị đi lên từ trái sang phải (H.3a) ; - Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xương từ trái sang phái (H.3b).

2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Định lí: Giả sử hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm trên khoảng K

 Nếu ^{f x}

 

^{0 với mọi x} thuộc K thì hàm số ^{f x}

 

đồng biến trên K .

 Nếu ^{f x}

 

^{0với mọi x} thuộc K thì hàm số ^{f x}

 

nghịch biến trên K . Tóm lại, trên K

( ) 0 ( ) ( ) 0 ( )

f x f x

f x f x





  

  





 CHÚ Ý

Nếu f x^( ) 0,  x K thì f x( ) không đổi trên K.

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm trên khoảng K

Nếu ^{f x'}

 

^0



^{f x'}

 

^{0 ,}



^{ x K và f x'}

 

^0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.

Chú ý: ^{f x}

 

^0 chỉ tại một số hữu hạn điểm. Tuy nhiên một số hàm số có ^{f x'}

 

^0 tại vô hạn điểm nhưng các điểm rời rạc thì hàm số vẫn đơn điệu.

Ví dụ: Hàm số y2xsin 2 .x

Ta có ^{y' 2 2cos 2  x2 1 cos 2}



^{ x}



^{  0, x} ^.

 

0 1 cos 2 0

y    x  x k k có vô hạn điểm làm cho ' 0y  nhưng các điểm đó rời rạc nên hàm số y2xsin 2x đồng biến trên .

II - QUY TǺC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1. Quy tắc

Bước 1. Tìm tập xác định.

Bước 2. Tính đạo hàm f x^( ). Tìm các điểm x i_i( 1,2, , ) n mà lại đó đạo hàm bằng 0 hoạc không xác định.

Bước 3. Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 4. Nêu kết luận vể các khoáng đống biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ. Xét sự đổng biển, nghịch biền của hàm sồ 1 ³ 1 ²

2 2

3 2

y x  x  x

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Cho hàm số ^{y f x}

 

^.Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số 1. Phương pháp:

- Bước 1: Tìm tập xác định

- Bước 2: Tính đạo hàm f x^( ). Tìm các điểm tại đó f x^( ) 0 hoặc f x^( ) không xác định - Bước 3 : Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

- Bước 4: Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số theo định lý trên 2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y  x³ 6x²9x4. Lời giải.

Hàm số y  x³ 6x²9x4 có tập xác định  .

Ta có y^ 3x²12x9. Cho ² 1

0 3 12 9 0

3.

y x x x

x

  

        

Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (;1), (3;) và đồng biến trên khoảng (1;3) . Ví dụ 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y  x⁴ 4x²3.

Lời giải.

Tập xác định của hàm số y  x⁴ 4x²3 là .

Ta có y^ 4x³8x. Cho ^{y   0 4x38x 0 4x}



^{ x2 2}



^0

2 2

4 0 0 0

2 0 2 2.

x x x

x x x

     

        Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ; 2) và (0; 2), hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( 2;0) và ( 2;).

Ví dụ 3. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số 3 2 7 y x

x

 

 . Lời giải.

Hàm số 3 2 2 3

7 7

x x

y x x

  

 

  có tập xác định \{ 7} . Ta có 17 ₂ 0, 7 ( 7)

y x

x

      

 .

Bảng biến thiên

Hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng ( ; 7) và ( 7; ).

Ví dụ 4. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y x  16x² . Lời giải.

Tập xác định:  [ 4; 4].

Đạo hàm: ²

2 2

1 16

16 16

x x x

y x x

  

  

  .

Cho ² _{2 2 2}

2

0 0

0 16 2 2

0 16 8

16 0

x x

x x

y x

x x x

x

            

 .

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( 4;2 2) và nghịch biến trên khoảng (2 2; 4). 3. Bài tập

Câu 1: Cho hàm số 2 1 1 y x

x

 

 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên _. B. Hàm số đã cho nghịch biến trên _.

C. Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định.

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định Lời giải

Chọn D

Tập xác định: ^D^{\ 1}

 

. Đạo hàm:

 

/

2

1 0, 1.

y 1 x

x

    



Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng



^;1



^và



^1;



^.

Câu 2: Cho hàm số

3 2

3

y x x x. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên _. B. Hàm số đã cho nghịch biến trên



^;1



^.

C. Hàm số đã cho đồng biến trên



^1;



và nghịch biến trên



^;1



^.

D. Hàm số đã cho đồng biến trên



^;1



và nghịch biến



^1;



^.

Lời giải Chọn A

Đạo hàm: ^{y/x22x 1}



^x1



^{2  0, x}  và y^/   0 x 1. Suy ra hàm số đã cho luôn đồng biến trên _.

Câu 3: Hàm số y x ³3x²9x m nghịch biến trên khoảng nào được cho dưới đây?

A.



^1;3



^B.



^{ ; 3}



^hoặc



^1;



^.

C. _ D.



^{ ; 1}



^hoặc



^3;



^.

Lời giải Chọn A

Ta có: y^/3x²6x9.

Ta có y^/  0 3x²6x     9 0 1 x 3. Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng



^1;3



^.

Câu 4: Hàm số y2x⁴1 đồng biến trên khoảng nào?

A. 1

; 2

  

 

  B.



^0;



^{C. 1;}

2

 

 

  D.



^;0



Lời giải Chọn B

Ta có y' 8 x³  0 x 0.

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng



^0;



^.

Câu 5: Cho hàm số y2x⁴4x². Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng



^{ ; 1}



^và

 

^{0;1 .}

B. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng



^{ ; 1}



^và



^1;



^.

C. Trên các khoảng



^{ ; 1}



^và

 

^{0;1 , ' 0y } nên hàm số đã cho nghịch biến.

D. Trên các khoảng



^1;0



^và



^1;



^{, ' 0y } nên hàm số đã cho đồng biến.

Lời giải Chọn B

Ta có ^{y' 8 x38x8x x}



^{21 ; ' 0}



^y   ^^x_x^ ⁰₁.

Vẽ phác họa bảng biến thiên và kết luận được rằng hàm số

● Đồng biến trên các khoảng



^1;0



^và



^1;



^.

● Nghịch biến trên các khoảng



^{ ; 1}



^và

 

^{0;1 .}

Câu 6: Cho hàm số 2 1 2 y x

x

 

 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên . B. Hàm số đã cho đồng biến trên ^{\ 2 .}

 

^

C. Hàm số đã cho đồng biến trên



^{;0 .}



D. Hàm số đã cho đồng biến trên



^1;



^.

Lời giải Chọn D

Tập xác định: ^D^\

 

^{2 . Đạo hàm}



⁵²



^{2 0, 2.}

y x

  x    



Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng



^{ ; 2}



^và



^{ 2;}



^.

Suy ra hàm số đồng biến trên



^1;



^{. Chọn D}

Bình luận: Hàm số đồng biến trên tất cả các khoảng con của các khoảng đồng biến của hàm số. Cụ thể trong bài toán trên:

 Hàm số đồng biến trên



^{ 2;}



^;





^{1;   }

 

^2;



^.

Suy ra hàm số đồng biến trên



^1;



^.

Câu 7: Cho hàm số y 1x². Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên

 

^{0;1 .}

B. Hàm số đã cho đồng biến trên toàn tập xác định.

C. Hàm số đã cho nghịch biến trên

 

^{0;1 .}

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên toàn tập xác định.

Lời giải Chọn C

Tập xác định ^{D }



^1;1



^{. Đạo hàm '} ₂^{; ' 0 0}

1

y x y x

x

    

 .

Vẽ bảng biến thiên, suy ra được hàm số nghịch biến trên

 

^{0;1 .}

Câu 8: Cho hàm số y x 1 4x. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên

 

^{1;4 .}

B. Hàm số đã cho nghịch biến trên 5 1; .

2

 

 

  C. Hàm số đã cho nghịch biến trên 5

; 4 . 2

 

 

 

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên .

Lời giải Chọn C

Tập xác định: ^D

 

^{1;4 . Đạo hàm ' 1 1}

2 1 2 4

y  x  x

  .

Xét phương trình ^{' 0 1 4}

 

^{1;4 5}

 

^{1; 4}

1 4 2

y x x x x

x x

 

        

  

 ^.

Vẽ bảng biến thiên, suy ra được hàm số nghịch biến trên khoảng 5;4 . 2

 

 

 

Dạng 2: Dựa vào bảng biến thiên, tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số 1. Phương pháp: Dự vào bảng biến thiên

* Nếu ' 0y  ( hoặc chiền biến thiên của hàm số đi xuống) trên khoảng

 

^{a b;} thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó

* Nếu ' 0y  ( hoặc chiền biến thiên của hàm số đi lên) trên khoảng

 

^{a b;} thì hàm số đồng biến trên khoảng đó

2. Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên như hình vẽ:

WEB: TOANTHAYCU.COM

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào?

Lời giải Ta có y^     0, x ( ; 1) (0;1)     y^ 0, x ( ; 2). Ví dụ 2:

Cho hàm số y f x( ) có bảng biến thiên dưới đây. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; 1). B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1) . C. Hàm số đồng biến trên khoảng (2;). D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; ).

Lời giải.

Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: hàm số nghịch biến trên các khoảng (;0),(0;1) và đồng biến trên khoảng (1;). Do đó, khẳng định "Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; ) " sai.

3. Bài tập

Câu 1: Cho hàm số ^{y f x}

 

liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau:

Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai?

I. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng



^{ ; 5}



^và



^{ 3; 2}



^.

II. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng



^;5



^.

III.Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng



^{ 2;}



^.

IV.Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng



^{ ; 2}



^.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải Chọn A

WEB: TOANTHAYCU.COM Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên khoảng



^{ ; 2}



^;

nghịch biến trên khoảng



^{ 2;}



^.

Suy ra II. Sai; III. Đúng; IV. Đúng.

Ta thấy khoảng



^{ ; 3}



chứa khoảng



^{ ; 5}



nên I Đúng.

Vậy chỉ có II sai.

Câu 2: Cho hàm số ^{y f x}

 

có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng



^{ 2;}



^và



^{ ; 2 .}



B. Hàm số đã cho đồng biến trên



^{   ; 1}

 

^{1;2 .}



C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

 

^{0;2 .}

D. Hàm số đã cho đồng biến trên



^{2; 2}



^.

Lời giải Chọn C

Vì

  

^{0;2  1; 2}



, mà hàm số đồng biến trên khoảng



^1;2



nên suy ra C đúng.

Câu 3: Cho hàm số ^{y f x}

 

có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ; 1 2

  

 

  ^và



^3;



^.

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 1

; .

2

 

 

 

C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng



^3;



^.

D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng



^;3



^.

Lời giải Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số

WEB: TOANTHAYCU.COM

● Đồng biến trên các khoảng 1

; 2

  

 

  ^và 1;3 2

 

 

 ^.

● Nghịch biến trên khoảng



^3;



^.

Câu 4: Cho hàm số ^{y f x}

 

xác định liên tục trên ^\

 

^2 và có bảng biến thiên như hình dưới đây

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng



^{    3; 2}

 

^{2; 1 .}



B. Hàm số đã cho có giá trị cực đại bằng 3.

C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng



^{ ; 3}



^và



^{ 1;}



^.

D. Hàm số đã cho có điểm cực tiểu là 2.

Lời giải Chọn C

Dựa vào bảng biến thiên, ta có nhận xét sau

Hàm số nghịch biến trên khoảng



^{ 3; 2}



^và



^{  2; 1}



A sai (sai chỗ dấu ).

Hàm số có giá trị cực đại y_C  2 B sai.

Hàm số đồng biến khoảng



^{ ; 3}



^và



^{  1;}



^{C đúng.}

Hàm số có điểm cực tiểu là 1 D sai.

Dạng 3: Dựa vào đồ thị hàm số y f x_{ } hoặc y f x'_{ } . Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

1. Phương pháp:

 Đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên khoảng

 

^{a b;} thì sẽ đồng biến trên khoảng đó

 Đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải trên khoảng

 

^{a b;} thì sẽ nghịch biến trên khoảng đó

2. Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho hàm số y f x( ) xác định trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( 1;0) và (1;). B. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ; 1) và (0;1) . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1;1) .

D. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( 1;0) và (1;). Lời giải.

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng ( 1;0) và (1;). Chọn đáp án (A) Ví dụ 2. Hàm số y f x( ) có đồ thị như hình bên. Hàm số y f x( ) đồng biến trên khoảng nào

dưới đây?

Lời giải.

Dựa vào đồ thị, hàm số đồng biến trên ( ; 1) và



^1;



3. Bài tập

Câu 1: Cho hàm số y f x_{ } xác định, liên tục trên _ và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số đồng biến trên



^{1; }



^.

B. Hàm số đồng biến trên



^{ ; 1}



^và



^1;



^.

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng



^{1;1 .}



D. Hàm số đồng biến trên



^{   ; 1}

 

^1;



^.

Lời giải Chọn D

Dựa vào đồ thị ta có kết quả: Hàm số đồng biến trên



^{ ; 1}



^và



^1;



, nghịch biến trên



^1;1



nên các khẳng định A, B, C đúng.

Theo định nghĩa hàm số đồng biến trên khoảng

 

^{a b;} thì khẳng định D sai.

Câu 2: Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên



^;0



^và



^{0; }



^.

B. Hàm số đồng biến trên



^1;0

 

^{  1;}



^.

C. Hàm số đồng biến trên



^{ ; 1}



^và



^{1; }



^.

D. Hàm số đồng biến trên



^1;0



^và



^{1; }



^.

Lời giải Chọn D

Từ dáng điệu của đồ thị ta nhận thấy trong khoảng



^{1;0 ; 1;}

 

^{ }



dáng điệu của hàm số là đi lên nên hàm số đồng biến trên



^{1;0 ; 1;}

 

^{ }



^.

Theo định nghĩa hàm số đồng biến trên khoảng

 

^{a b;} thì khẳng định B sai.

Câu 3 : Cho hàm số ^{f x}

 

có đạo hàm ^{f x'}

 

xác định, liên tục trên  và ^{f x'}

 

có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên



^1;



^.

B. Hàm số đồng biến trên



^{ ; 1}



^và



^3;



^.

C. Hàm số nghịch biến trên



^{ ; 1 .}



D. Hàm số đồng biến trên



^{  ; 1}

 

^3;



^.

Lời giải Chọn B

Dựa vào đồ thị của hàm số ^{f x'}

 

, ta có nhận xét:

 ^{f x'}

 

đổi dấu từ '' '' sang '' '' khi qua điểm x 1.

 ^{f x'}

 

đổi dấu từ '' '' sang '' '' khi qua điểm x3.

Do đó ta có bảng biến thiên

x y

O

-4

-1 3

1

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy B đúng.

Dạng 4: Tìm tham số m để hàm số đồng biến trên tập xác định 1. Phương pháp:

Cho hàm số y f x( ) liên tục trên K (một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng) đồng thời phương trình f x^( ) vô nghiệm trên K hoặc có nghiệm rời rạc trên K. Khi đó

 Hàm số ( )f x đồng biến trên K f x^( ) 0,  x K^.

■ Hàm số ( )f x nghịch biến trên K f x^( ) 0,  x K. Kiến thức bổ trợ

Cho tam thức bậc hai h x( )ax² bx c a( 0). Khi đó

0 0

( ) 0, ( ) 0,

0. 0

a a

h x    x     h x    x   

Lưu ý: khi đã chắc chắn a0, hai công thức trên đây mới được sử dụng.

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y x ³3x²3(m2)x3m1 đồng biến trên

.

Lời giải.

Hàm số y x ³3x²3(m2)x3m1 có tập xác định . Hàm số đồng biến trên 3 2 6 3( 2) 0,

y^ x x m x

      

  ^.

0 3 0

0 9 9( 2) 0 1

a m

 m

   

       

Vậy với m1 thì hàm số đồng biến trên .

Ví dụ 2. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 1 ^{3 2}

(3 ) ( 3) ( 2) 3

y 3 m x  m x  m x đồng biến trên .

Lời giải.

Hàm số 1 ^{3 2}

(3 ) ( 3) ( 2) 3

y3 m x  m x  m x có tập xác định .

Khi đó hàm số trở thành y 6x²5x3. Đây là hàm số bậc hai, có lúc tăng, lúc giảm khi xét trên

. Do đó ta loại m3.

* Xét a    3 m 0 m 3.

Hàm số luôn tăng trên   y^ (3 m x) ²2(m3)x(m2) 0

2

3 0 3 3

3 1

2 5 3 0 1 2

2 a m m

m m m m



     

 

             

Vậy với 3 2 m 1

    thì hàm số đồng biến trên .

Ví dụ 3. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 7

5 3

y mx m x m

  

  đồng biến trên mọi khoảng của tập xác định.

Lời giải.

Tập xác định: 3

\ 5 m

 

  

 



 ^.

Ta có

2

2

2 35

(5 3)

m m

y x m

    

  ^.

Hàm số đồng biến trên mọi khoảng xác định khi và chỉ khi 3 2

0, 2 35 0 ( 7;5).

5

y^   x m  m  m    m

Vậy, với m ( 7;5) thì hàm số đồng biến trên mọi khoảng xác định của nó.

3. Bài tập

Câu 1: Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để hàm số y x ³3x²mx m đồng biến trên tập xác định

A. m1. B. m3. C.   1 m 3. D. m3.

Lời giải Chọn B

TXĐ: D. Đạo hàm y' 3 x²6x m .

Ycbt  y' 0,  x  ( ' 0y  có hữu hạn nghiệm) 0 3 0 ' 0 9 3 0 3.

a m

m

 

 

      

Câu 2: Cho hàm số ^{1 3 2}



^{4 3}



²⁰¹⁷

y3x mx  m x . Tìm giá trị lớn nhất của tham số thực m để hàm số đã cho đồng biến trên .

A. m1. B. m2. C. m4. D. m3. Lời giải

Chọn D

Tập xác định D. Đạo hàm y'x²2mx4m3.

Để hàm số đồng biến trên  y' 0,  x ( ' 0y  có hữu hạn nghiệm) ' m2 4m 3 0 1 m 3

         .

Suy ra giá trị lớn nhất của tham số m thỏa mãn ycbt là m3.

Câu 3: Cho hàm số y  x³ mx²_4m9_x5 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng _ ; _?

A. 4. B. 6. C. 7. D. 5.

Lời giải Chọn C

TXĐ: D. Đạo hàm y' 3x²2mx4m9.

Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng



^{ ;}



^{thì  y' 0,  x}  ( ' 0y  có hữu hạn nghiệm) ^{   ' 0 m23 4}



^m      ⁹



^{0 9 m 3}



9; 8;...; 3 .



m^ m

^    

Sai lầm hay gặp là '' Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng



^{ ;}



^thì

' 0,

y x

   '' . Khi đó ra giải ra    9 m 3 Câu 4: Cho hàm số ^{3 2 2}



³



3

ymx  x  m x m . Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số m để hàm số đồng biến trên 

A. m 4 B. m0 C. m 2 D. m1

Lời giải Chọn D

TXĐ: D. Đạo hàm: y'mx²4x m 3.

Yêu cầu bài toán  y' 0,   x  ( ' 0y  có hữu hạn nghiệm):

TH1. ● m0 thì 3

' 4 3 0

y      x x 4 (không thỏa mãn).

TH2. ● ₂

'

0 1.

'_y 3 4 0

a m m

m m

    

     



Suy ra giá trị m nhỏ nhất thỏa mãn bài toán là m1.

Câu 5: Cho hàm số



²



³



²



²



⁸



^{2 1}

3

y m x  m x  m x m  . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số nghịch biến trên .

A. m 2. B. m 2. C. m 2. D. m 2. Lời giải

Chọn C

Ta có ^y'



^m2



^x22



^m2



^{x m 8.}

Yêu cầu bài toán  y' 0,   x ( ' 0y  có hữu hạn nghiệm):

TH1 ● m    2 0 m 2, khi đó 'y  10 0,   x  (thỏa mãn).

TH2 ●

  

²

   

2 0 2 0

10 2 0 2

' 2 2 8 0

a m m

m m

m m m

  

   

    

         

 

 .

Hợp hai trường hợp ta được m 2.

Câu 6: Cho hàm số mx 2m 3

y x m

 

  với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S

A. 5 B. 4 C. Vô số. D. 3

Lời giải Chọn D

Ta có

 

2 2

2 3

' m m

y x m

  

  .

Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì ' 0,y   x m

 

2 2 3 0 1 3 ^m 0;1;2 .

m m m ^ m

         ^ 

Sai lầm hay gặp là cho y^{' 0,}       x m ¹ m ^{3 m}  m



1;0;1; 2;3 .



Dạng 5: Tìm tham số m để hàm số đồ ng biến và nghịch biến trên tập con của , trên khoảng có độ dài bằng l

1. Phương pháp:

Phương pháp 1: Cô lập tham số, lập bảng biến thiên, từ đó rút ra điều kiện của tham số.

Phương pháp 2: Lập bảng biến thiên trực tiếp để tìm các khoảng đơn điệu cụ thể, từ đó rút ra kết luận.

Để hàm số y ax ³bx² cx d có độ dài khoảng đồng biến (a0); nghịch biến (a0)



x x1; 2



bằng l

 Bước 1: Tính y^.

 Bước 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến 0

0 a

 



 Bước 3: x₂x₁ l (2) thành



x1x2



²4x x1 2 l².

 Bước 4: Sử dụng định lí Vi-ét đưa (2) thành phương trình theo tham số.

 Bước 5: Giải phương trình, so sánh với điều kiện (1) để chọn kết quả thỏa mann.

2. Các ví dụ

Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y  x³ 3x²3mx1 nghịch biến trên (0;). Lời giải.

Tập xác định của hàm số .

Ta có y^ 3x²6x3m.

Hàm số nghịch biến trên (0;) khi và chỉ khi y^  0, x (0;). Hay 3x²6x3m  0, x (0;  ) m x²2 ,x x (0;) (1).

Xét hàm số f x( )x²2x trên (0;) có f x^( ) 2 x2; ( ) 0f x^   x 1

Từ bảng biên thiên ta có (1)m 1.

Vậy với m 1 thì hàm số đã cho nghịch biến trên (0;).

Ví dụ 2: Cho hàm số ^yx3



^m1



^x2



^2m23m2



^{x2m m}



^{2 1}



. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên _^2;



^.

Lời giải Ta có ^{y/ 3x22}



^m1



^x



^{2m23m2 .}



Xét phương trình y^/ 0 có ^{ /}



^m1



^{23 2}



^m23m2

 

^{7 m2    m 1}



^{0, m} ^. Suy ra phương trình y^/ 0 luôn có hai nghiệm x₁x₂ với mọi m.

Để hàm số đồng biến trên _^{2; }



phương trình y^/ 0 có hai nghiệm x₁x₂2

   



¹1



2 ²



¹1 2 ²



1 2



2 2 0 4

2 4 0

2 2 0

x x x x

x x x x

x x

   

   

 

        

 



²

  

2 1

3 4

2 3 2 2 1

2. 4 0

3 3

m

m m m



 

 

   

   



5 3

3 2 2

2 2

m m m

 

       ^. Ví dụ 3: Tìm m để hàm số mx 4

y x m

 

 nghịch biến trên (;1). Lời giải.

Tập xác định \{m}. Ta có

2 2

4

( )

y m

x m

  

 ^.

Hàm số nghịch biến trên (;1) khi và chỉ khi y^   0, x ( ;1).

Hay ₂ ( ;1) 1

2 1.

4 0 2 2

m m

m m m

   

     

     





Vậy với m  ( 2; 1 ], hàm số đã cho luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.

Ví dụ 4. Tìm a để hàm số y x ³3x²ax a nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 .

Tập xác định của hàm số . Ta có: y 3x² 6x a; _y 9 3a

       .

Với 9 3 a 0 a3 y^0,  hàm số luôn đồng biến trên , mâu thuẫn giả thiết.

Do đó a3 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với 9 3 a   0 a 3 y^ có hai nghiệm x x x1, 2



1 x2



. Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 khi và chỉ khi

 

²

1 2 1 2 1 2

4 9

1 4 1 4 1

3 4

x x   x x  x x    a   a (thỏa màn).

Vậy với 9

a4, hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 . 3. Bài tập

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số ^{y x 33}



^m1



^{x23m m}



^2



^x nghịch biến trên đoạn

 

^{0;1 .}

A. m0. B.   1 m 0. C.   1 m 0. D. m 1.

Lời giải Chọn C

Đạo hàm ^{y3x26}



^m1



^{x3m m}



^2



^3._^x22



^m1



^{x m m}



^{2 .}



^_

Ta có ^{ '}



^m1



^{2m m}



^2



^{ 1 0,  m} .

Do đó y 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x m x m ,  2.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, để hàm số nghịch biến trên

 

^{0;1 }

  

^{0;1  m m; 2}



0 1 0.

2 1

m m

m

 

      

Câu 2: Biết rằng hàm số ^{1 3 3}



¹



^{2 9 1}

y3x  m x  x (với m là tham số thực) nghịch biến trên

khoảng



x x1; 2



và đồng biến trên các khoảng giao với



x x1; 2



bằng rỗng. Tìm tất cả các giá trị của m để x₁x₂ 6 3.?

A. m 1 B. m3 C. m 3, m1. D. m 1, 3

m

Lời giải Chọn D

Ta có ^{y/ x26}



^m1



^x9.

Yêu cầu bài toán  y' 0 có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn x₁x₂ 6 3

/

/ / /

1 2 /

0 0

2 6 3 3 3 27

x x a

   

 

          



 

²

 

^{2 3}

9 1 9 27 1 4

1

m m m

m

 

           .

Câu 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x ³3x²mx m giảm trên đoạn có độ dài lớn nhất bằng 1?

A. 9

m 4 B. m3 C. m3 D. 9

m4 Lời giải

Chọn D

Ta có y' 3 x²6x m .

Yêu cầu bài toán  y' 0 có hai nghiệm phân biệt x x₁, ₂ thỏa mãn x₁x₂ 1

' 9 3 0 3 3

' 9 3 9 9

2 1 2. 1 4

3 4

m m m

m m m

a

   

    

  

          .

Câu 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số x 1

y x m

 

 nghịch biến trên khoảng



^;2



^?

A. m2 B. m1 C. m2 D. m1

Lời giải Chọn C

Ta có

 

²

' m 1

y x m

  

 .

Với     m 1 0 m 1 thì ' 0, y   x m hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng



^;m



^và



^m;



^.

Ycbt ^{ }



^{; 2}

 

^{ ;m}



^{ m 2}: (thỏa mãn).

Cách 2. Ta có

 

²

' m 1

y x m

  

 .

Ycbt

   

1 0

' 0, 2 1 0 1

; 2 2; 2 2.

m

y x m m

m m m

x m m

  

   



   

   

           

Dạng 6: BÀI TẬP DÀNH CHO HỌC SINH 8+, 9+

Câu 1. Cho hàm số ^{f x}

 

có bảng xét dấu đạo hàm ^{f x}

 

^{như sau:}

Hàm số ^{y f x}



^22x



nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.



^2;1



^{. B.}



^{ 4; 3}



^{. C.}

 

^{0;1 . D.}



^{ 2; 1}



^.

Hướng dẫn giải Chọn D

Đặt: ; .

. ( là các nghiệm bội chẵn của phương trình: ).

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng .

Chú ý: Cách xét dấu :

   

  ²2

y g x f x x ^{g x}

 

^



^{f x}



^22x

 

^



^{2x2 .}



^{f x}



^22x



 

 0

g x ^



^{2x2 .}



^{f x}



^22x



^{0  } _



^{ }_



_

 ² 2 2 0

2 0

x

f x x

 

  

   

   

  



2 2 2

1

2 2

2 1 2 3 x

x x vo nghiem

x x

x x

  

   



   

 

   1 1 2 1 2 1

3 x x x x x

  1 2

x x²2x1

 

 ²2

y f x x



^{ 2; 1}



 

g x

Chọn giá trị (dựa theo bảng xét dấu của hàm ). Suy ra , . Sử dụng quy tắc xét dấu đa thức “lẻ đổi, chẵn không” suy ra dấu của trên các khoảng còn lại.

Câu 2. Cho hàm số ^{y f x}

 

có đạo hàm ^{f x}

 

^{x x.}



^2

 

^{2 x5}



^{3 . Hàm số g x}

  

^{ f 10 5 x}



đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.



;1



. B.

 

1;2 . C.



2;^



. D.

 

1;3 . Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có .

.

Bảng xét dấu

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng . Câu 3. Cho hàm số f x

 

có bảng biến thiên như sau

Hàm số ^y



^{f x}

  

^33



^{f x}

  

² nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.

 

^{2;3 . B.}

 

^{1;2 . C.}

 

^{3;4 . D.}



^{ ; 1}



^.

Hướng dẫn giải Chọn A

 

    0 1; 1 2

x x²2x0 ^g

 

^{0  f}

 

^{0 0}

 

f x ^{g x}

 

^{0     x}



^{1; 1 2}



 

g x

    

^

  

  10 5 . 10 5    5. 10 5 

g x x f x f x

   

    

 

           

   

  

10 5 0 2

0 10 5 0 10 5 2 12

10 5 5 15

x x

g x f x x x

x x

( ) g x

 

g x

 

^1;2

x

( ) g x

  1 2 12  

5

 0  0  ⁰ 

Ta có ; ;

.

+ ; ; .

+ Bảng xét dấu của

Từ bảng xét dấu suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng . Câu 4. Cho hàm số ^{y f x}

 

^{, hàm số} f x^

 

^x^3ax^2bx c a b c^



, , ^



có đồ thị như hình vẽ

Hàm số ^{g x}

 

^{ f f x}



^

  

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.



^1;



^{. B.}



^{ ; 2}



^{. C.}



^1;0



^{. D. }_^{ }_

 

3 3; 3 3 . Hướng dẫn giải

Chọn B

Vì các điểm thuộc đồ thị hàm số nên ta có hệ:

         

3 ².  6 . 

y f x f x f x f x ^y3f x f x f x^

     

^{. }_ ^2_

   

 

  

   

 



0

0 0

2 f x

y f x

f x

 

  

  

 

  1 0 2

3 4 x f x x

x x

 

  ^{ }  ^

1 1

0 4

f x x x

x

 

   

  

  

    

 

2 1

3 4

;1 2 1;2

4 3 x x x f x x x

x x x y

       

 ³3 ²

y f x f x

 

^2;3



1;0 , 0;0 , 1;0

    

^{y f x }

 

Ta có:

Xét

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có nghịch biến trên

Câu 5. Cho hàm số y f x^

 

có đồ thị nằm trên trục hoành và có đạo hàm trên , bảng xét dấu của biểu thức ^{f x}

 

như bảng dưới đây.

Hàm số

   

 

  

 

2 2

2

2 1

f x x y g x

f x x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.



;1



. B.  

 

2;5

2 . C.

 

1;3 . D.



2;^



. Hướng dẫn giải

Chọn C

.

   

      

           

 

      

 

3 2

1 0 0

0 1 '' 3 1

1 0 0

a b c a

c b f x x x f x x

a b c c

 

^



^

  

^{ }

 

^{  }

   

^{. ''}

 

g x f f x g x f f x f x

            

  

  

                 

  



3

3 2 3

3 2

0

0 ' . 0 3 1 0 1

1

3 1 0

x x g x g x f f x f x f x x x x x

x x x

  

 



  

   

  



1 1

2 2

1 0

( 1,325 ) ( 1,325)

3 3 x x x x x x x x x

 

g x



^{ ; 2}



     

 

 

   

 

 

  

   

  

   

2 2 2

2 2

2 2

2 . 2 2 2 . 2

2 1 2 1

x x f x x x f x x

g x f x x f x x

Ta có bảng xét dấu của :

Dựa vào bảng xét dấu ta có hàm số nghịch biến trên các khoảng và .

   

   

       

             

2

2 2

2

1 1

2 2 0 2 2

0 1

2 0 2 1 3

2 3

x x

x x x

g x x

f x x x x x

x x

 

g x

 

y g x



^{ ; 1}



 

^{1; 3}

BÀI 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

I. KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU

Giả sử hàm số ^{y f x}

 

xác định và liên tục trên khoảng

 

^{a b; (a} có thể là , b có thể là ) vàx0

 

a b; .

 Nếu tồn tại số h sao cho f x

 

 f x

 

0 với mọi x



x0h x; 0h



và x x ₀ thì ta nói hàm số ^{f x}

 

đạt cực đại tại điểm x₀.

 Nếu tồn tại số h sao cho f x

 

 f x

 

0 với mọi x



x0h x; 0h



và x x ₀ thì ta nói hàm số ^{f x}

 

đạt cực tiểu tại điểm x₀. Khi đó:

Chú ý:

 Nếu hàm số ^{f x}

 

đạt cực đại tại điểm x₀, thì x₀ được gọi là một điểm cực đại của hàm số ^{f x}

 

^, f x

 

0 được gọi là giá trị cực đại của hàm số ^{f x}

 

^.

 Nếu hàm số ^{f x}

 

đạt cực tiểu tại điểm x₀, x₀ được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số ^{f x}

 

^, f x

 

0 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số ^{f x}

 

^.

 Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập xác định K.

 Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị).

II - ĐIẾU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ ĐỊNH LÝ 1

Giả sử hàm số y f x( ) liên tục trên khoảng K 



x0h x; 0h



và có đạo hàm trên K hoặc trên



\ 0

K x , với h0.

a) Nếu f x^( ) 0 trên khoảng



x0h x; 0



và f x^( ) 0 trên khoảng



x x0; 0h



thì x₀ là một điểm cực đại của hàm số f x( ).

b) Né́u f x^( ) 0 trên khoảng



x0h x; 0



và f x^( ) 0 trên khoảng



x x0; 0h



thì x₀ là một điểm cực tiêu của hàm số f x( ).

Ví du: Tìm các điểm cực trị của hàm số y x ³  x² x 3. III - QUY TẮC TÌM CỰC TRI

Áp dụng Định lí 1 , ta có quy tắc tìm cực trị sau đây.

Bước 1. Tìm tập xác định.

Bước 2. Tính f x^( ). Tìm các điếm tại đó f x^( ) bằng 0 hoặc f x^( ) không xác định.

Bước 3. Lập bảng biến thiên.

Bước 4. Từ báng biến thiên suy ra các diểm cực trị.

ĐỊNH LÍ 2

Giả sử hàm số y f x( ) có đạo hàm cấp hai trong khoảng



x0h x; 0h



, với h0. Khi đó : a) Nếu f x^

 

0 0, f^

 

x0 0 thì x₀ là điểm cực tiểu :

b) Nếu f x^

 

0 0, f^

 

x0 0 thì x₀ là điểm cực đại.

Áp dụng Định lí 2, ta có quy tắc sau đây để tìm các điểm cực trị của một hàm số.

QUY TẮC II 1. Tìm tập xác định.

2. Tính f x^( ). Giải phương trình f x^( ) 0 và kí hiệu x i_i( 1,2, ,n) là các nghiệm của nó.

3. Tính f x^( ) và f^

 

xi .

4. Dựa vào dấu của f^

 

xi suy ra tính chất cực trị của điểm x_i. Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số ( ) ⁴ 2 ² 6

4

f x  x  x  . CHÚ Ý

- Giá trị cực đại (cực tiểu) ^{f x} ⁰ của hàm số f nói chung không phải là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số f trên tập xác định K mà ^{f x} ⁰ chỉ là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số f trên khoảng  ^{a b, K} và  ^{a b,} chứa x0.

- Nếu ^{f x}  không đổi dấu trên tập xác định K của hàm số f thì hàm số f không có cực trị.

- Nếu x₀ là một điểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 và điểm có tọa độ ^{x f x0;}  ⁰  được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Cho hàm số ^{y f x}

 

^. Tìm các điểm cực đại, cực tiểu, giá trị cực đại giá trị cực tiểu 1. Phương pháp

Quy tắc 1. Lập bảng biến thiên suy ra kết luận về cực trị.

Tìm f x^( ).

จ Tìm các điểm x i_i( 1,2, , ) n mà tại đó f x^

 

i ⁰ hoặc tại đó hàm số f liên tục nhưng không có dạo hàm.

Lập bảng biến thiên. Xét sự đổi dấu của f x^( ) khi x đi qua x_i, từ đó suy ra cực trị của hàm số.

Quy tắc 2: Dựa vào đạo hàm cấp 2 . Tính f x^( ).

Giải phương trình f x^( ) 0 và tìm các nghiệm x i_i( 1,2, , ) n . Tính f x^( ) và f^

 

x ii ⁽ ^{1, 2, , )} n

 

i ⁰

f^ x

   hàm số đạt cực đại tại x_i.

 

i ⁰

f^ x

   hàm số đạt cực tiểu tại x_i. 2. Các ví dụ

Ví dụ 1: Tìm giá trị cực tiểu y_CT của hàm số y  x³ 3x4. Lời giải

Tập xác định: D^. Đạo hàm: y  3x²3.

Xét ² 1

0 3 3 0

1

y x x

x

 

          . Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có giá trị cực tiểu là y_CT  6. Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số y x ⁴2x²3.

Lời giải.

Tập xác dịnh: .

Ta có: y^4x³4x.

Giải ³

1 2

0 4 4 0 0 3

1 2

x y

y x x x y

x y



   



       

   

 Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại tại x0, CD 3y  . Hàm số đạt cực tiểu tại x 1,y_CT2. Ví dụ 3. Tìm cực trị của hàm số x² 4

y x

  .

Lời giải.

Tập xác định: \{0}. Ta có:

2

2 2

4 4 4

1 x

y x y

x x x

 

      .

Giải 2 4

0 2 4

x y

y x y

      

      Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại tại x 2,y_C  4. Hàm số đạt cực tiểu tại x2,y_CT4. Ví dụ 4. Tìm cực trị của hàm số y x  2x x ² .

Lời giải.

Tập xác dịnh: [0;2].

Ta có:

2

1 1 , (0;2) 2

y x x

x x

   

 ^.

Giải ² 1 0_{2 2} 2

0 2 1 1

2 ( 1) 2

y x x x x x

x x x

               . Bảng biến