Toán 6,7 năm học 2020-2021

PHÒNG GD&ĐT THÁI THỤY

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2020-2021

Môn: Toán 6

Thời gian làm bài:120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1.(5 điểm)

a) Tính giá trị của biểu thức A =32.7432.2732 b) Tìm số tự nhiên x, biết: 2x2021 2²⁰²¹: 4¹⁰⁰⁹ 2021⁰ c) Thực hiện phép tính:

B = 246 + 8 + 101214 + ... 2014 + 2016 + 20182020 d) So sánh P và Q biết: P =

7 7

10 5 10 8



 ; Q =

8 8

10 6 10 7





Bài 2.(5 điểm)

a) Cho S3²  3³ 3⁴  ... 3²⁰²¹. Chứng minh S không chia hết cho 13.

b) Số tự nhiên a khi chia cho 13 dư 4, chia cho 7 thì dư 5. Hỏi số a chia cho 91 dư bao nhiêu ?

c) Cho Q 1.2.3...2020. 1 ^{1 1} ... ¹

2 3 2020

 

      . Chứng minh Q là số tự nhiên chia hết cho 2021.

Bài 3.(3,75 điểm)

a) Tìm số tự nhiên x thỏa mãn: 2 + 4 + 6 + 8 +…+ 2x = 110

b) Chứng minh rằng số (2021² + 2²⁰²¹) và số 2021 là hai số nguyên tố cùng nhau.

c) Tìm số tự nhiên n có 4 chữ số biết n là số chính phương và n là bội của 147.

Bài 4.(4,25 điểm)

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa tia Ox vẽ hai tia Oy và Oz sao cho 𝑥𝑂𝑦 = 60⁰, 𝑥𝑂𝑧 = 140⁰.Vẽ tia Om là tia phân giác của góc yOz.

a) Tính 𝑦𝑂𝑧, 𝑥𝑂𝑚.

b) Vẽ tia On sao cho 𝑥𝑂𝑛 = 80⁰, tia On có phải là tia phân giác của góc mOy không?

Vì sao ?

Bài 5.(2 điểm)

Cho đoạn thẳng AB = 2²⁰²⁰ (cm). Gọi M₁ là trung điểm của đoạn thẳng AB; gọi M₂ là trung điểm của đoạn thẳng M₁B; gọi M₃ là trung điểm của đoạn thẳng M2B, …, gọi M2020 là trung điểm của đoạn thẳng M2019B. Tính độ dài đoạn thẳng M₁M2020.

---HẾT---

Họ và tên học sinh: ...Số báo danh:...

PHÒNG GD&ĐT THÁI THỤY



KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2020-2021



HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 6 (Gồm 6 trang)

Bài Câu Nội dung Điểm

1. a) Tính giá trị của biểu thức A = 32.7432.2732 b) Tìm số tự nhiên x, biết: 2x2021 2²⁰²¹: 4¹⁰⁰⁹ 2021⁰ c) Thực hiện phép tính:

Q = 246 + 8 + 101214 + ... 2014 + 2016 + 20182020 d) So sánh P và Q biết: P =

7 7

10 5 10 8



 ; Q =

8 8

10 6 10 7





5,0

a) a) Tính giá trị của biểu thức A = 32.7432.2732 0,5 A = 32.7432.2732

A = 32.(7427 1) 0,25

A = 32.100 3200 0,25

Vậy A = 3200

b) b) Tìm số tự nhiên x, biết: 2x2021 2²⁰²¹: 4¹⁰⁰⁹ 2021⁰ 1,5

2021 2018

2x 2021 2 : 2 1

    0,25

2 2021 23 1 2 2021 9

x x

   

  

0,25

2 2021 9 2 2021 9

x x

 

    

0,25

2 2030 2 2012

x x

 

  

0,25

1015 1006 x

x

 

  

0,25

Vậy ^x





c) Thực hiện phép tính:

B = 246 + 8 + 101214 + ... 2014 + 2016 + 20182020 1,5 Ta thấy tổng trên có 1010 số, nếu nhóm Q thành từng nhóm mỗi nhóm 4 số thì thừa ra 2 số

0,5 B = (246 + 8) + (101214 +16) + ... +(201020122014 + 2016) + (2018 2020)

0,5

B = 0 + 0 + …+ 0 + (2018 2020) = 2 0,25

B =2 0,25

d)

d) So sánh P và Q biết: P =

7 7

10 5 10 8



 ; Q =

8 8

10 6 10 7





1,5

Ta có P =

7

7 7

10 8 13 13

10 8 1 10 8

   

 

0,25

Q =

8

8 8

10 7 13 13

10 7 1 10 7

   

 

0,25

Mà 10⁸ 7 10⁷8 0,25

Nên 13₈ 13₇ 10 710 8

  0,25

Suy ra Q < P 0,25

Vậy Q < P 0,25

2. a) Cho S3²  3³ 3⁴  ... 3²⁰²¹. Chứng minh S không chia hết cho 13.

b) Số tự nhiên a khi chia cho 13 dư 4, chia cho 7 thì dư 5. Hỏi số a chia cho 91 dư bao nhiêu?

c) Cho Q 1.2.3...2020. 1 ^{1 1} ... ¹

2 3 2020

 

      . Chứng minh Q là số tự nhiên chia hết cho 2021.

5,0

a) a) Cho S3²  3³ 3⁴  ... 3²⁰²¹. Chứng minh S không chia hết cho 13 1,5

2 3 4 2021

S3  3 3  ... 3 S có 2020 số hạng, chia S thành từng nhóm mỗi

nhóm 3 số hạng thì được 673 nhóm và thừa ra một số hạng. 0,25

2 3 4 5 6 7 8 2019 2020 2021

S 3 (3  3 3 )(3  3 3 ) ... (3  3 3 )

3 2 6 2 2019 2

S 9 3 (1 3 3 )    3 (1 3 3 ) ... 3    (1 3 3 )  0,25

3 6 2019

S 9 3 .13 3 .13 ... 3   .13

3 6 9 2019

S 9 13.(3     3 3 ... 3 ) 0,25

Mà 13.(3³   3⁶ 3⁹ ... 3²⁰¹⁹)13

và 9 không chia hết cho 13 0,25

suy ra S không chia hết cho 13 0,25

Vậy S không chia hết cho 13. 0,25

b) b) Số tự nhiên a khi chia cho 13 dư 4, chia cho 7 thì dư 5. Hỏi số a chia cho

91 dư bao nhiêu? 1,5

Vì a chia cho 13 dư 4 và chia cho 7 dư 5 nên a 4 13 và a5 7 0,25 4 13 13

5 14 7

  

   



 a

a

9 13 9 7

 

  



 a a

0,25

9 13.7

 a  Vì (13;7) = 1 Hay a9 91

0,25 91 9 ( *)

a k k N

    0,25

91 91 82 91( 1) 82

a k k

       0,25

a chia cho 91 dư 82 Vậy a chia cho 91 dư 82.

0,25

c) c) Cho Q 1.2.3...2020. 1 ^{1 1} ... ¹

2 3 2020

 

       . Chứng minh Q là số tự nhiên chia hết cho 2021.

2,0

Ta thấy tổng

1 1 1

1 ...

2 3 2020

   

Có 2020 số hạng nên

0,25

1 1 1

1 ...

2 3 2020

1 1 1 1 1 1 1

1 ...

2020 2 2019 3 2018 1010 1011

    

       

             

0,25

2021 2021 2021 2021

1.2020 2.2019 3.2018 ... 1010.1011

     0,25

1 1 1 1

2021. ...

1.2020 2.2019 3.2018 1010.1011

 

      

0,25 Khi đó

1 1 1 1

Q 1.2.3...2020.2021. ...

1.2020 2.2019 3.2018 1010.1011

 

      

0,25

1.2...2020 1.2...2019.2020 1.2...1010.1011...2020

Q 2021. ...

1.2020 2.2019 1010.1011

 

      0,25





Q2021. a a a  ... a Trong đó a a a₁; ₂; ₃;...;a₁₀₁₀N

0,25

Vậy Q là một số tự nhiên chia hết cho 2021. 0,25

3. a) Tìm số tự nhiên x thỏa mãn: 2 + 4 + 6 + 8 +…+ 2x = 110

b) Chứng minh rằng số (2021² + 2²⁰²¹) và số 2021 là hai số nguyên tố cùng nhau.

c) Tìm số tự nhiên n có 4 chữ số biết n là số chính phương và n là bội của 147.

3,75

a) a) Tìm số tự nhiên x thỏa mãn: 2 + 4 + 6 + 8 +…+ 2x = 110 1,0 Ta có : 2 + 4 + 6 + 8 +…+ 2x = 110

2.(1 + 2 + 3 +…+ x) = 110 (1 + 2 + 3 +…+ x) = 55

0,25

x(x + 1): 2 = 55

x(x + 1) = 110 = 10.11

0,25 Vì x(x + 1) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.

Suy ra: x = 10

0,25

Vậy x = 10 0,25

b) b) Chứng minh rằng số (2021² + 2²⁰²¹) và số 2021 là hai số nguyên tố cùng 1,25

nhau

Gọi d là ước nguyên dương của hai số 2021² + 2²⁰²¹ và 2021 0,25 Suy ra 2021chia hết cho d và 2021² + 2²⁰²¹ chia hết cho d 0,25 Mà 2021² chia hết cho d, suy ra 2²⁰²¹ chia hết cho d 0,25

Mà 2 và 2021 nguyên tố cùng nhau nên d = 1 0,25

Vậy số (2021² + 2²⁰²¹) và số 2021 là hai số nguyên tố cùng nhau 0,25 c) c) Tìm số tự nhiên n có 4 chữ số biết n là số chính phương và n là bội của

147.

1,5

Vì n là số tự nhiên có 4 chữ số nên 1000 n 9999 0,25 Theo bài ra n là bội của 147 nên n =147.k = 7 .3k² 0,25 Do n là số chính phương nên khi phân tích ra thừa số nguyên tố thì lũy thừa

các thừa số nguyên tố phải có số mũ chẵn suy ra 3k

2 2

3 7 .3 . 441

k m n m m

     0,25

1000 441 9999

2 22

m m

  

  

0,25 Để n là số chính phương thì m phải là số chính phương nên m{4; 9; 16} 0,25 Suy ra các số tự nhiên cần tìm là 1764; 3969; 7056

Vậy các số cần tìm là: 1764; 3969; 7056 0,25

4. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa tia Ox vẽ hai tia Oy và Oz sao cho 𝑥𝑂𝑦 = 60⁰, 𝑥𝑂𝑧 = 140⁰.Vẽ tia Om là tia phân giác của góc yOz.

a) Tính 𝑦𝑂𝑧, 𝑥𝑂𝑚

b) Vẽ tia On sao cho 𝑥𝑂𝑛 = 80⁰, tia On có phải là tia phân giác của góc mOy không? Vì sao?

4,25

a) Tính 𝑦𝑂𝑧, 𝑥𝑂𝑚 2,5

Vẽ hình đến câu a) 0,25

a) a) Tính 𝑦𝑂𝑧, 𝑥𝑂𝑚 2,25

Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ hai tia Oy và Oz ta có

𝑥𝑂𝑦 < 𝑥𝑂𝑧 (60⁰ < 140⁰) nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz 0,25

Do đó 𝑥𝑂𝑦 + 𝑦𝑂𝑧 = 𝑥𝑂𝑧 0,25

Thay số 60⁰ + 𝑦𝑂𝑧 = 140 ⁰ 0,25

Suy ra 𝑦𝑂𝑧 = 80⁰ 0,25

Do Om là tia phân giác của góc yOz nên tia Om và tia Oz nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa tia Oy (1)

và 𝑧𝑂𝑚 = 𝑦𝑂𝑚 = ¹

2 𝑧𝑂𝑦 = 40⁰

0,25 y

O x

z m

Vì tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz nên tia Oz và Ox nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng chứa tia Oy (2)

0,25 Từ (1) và (2) suy ra tia Ox và tia Om nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau

có bờ là đường thẳng chứa tia Oy

0,25 Mà 𝑦𝑂𝑚 + 𝑦𝑂𝑥 = 40⁰ + 60⁰< 180⁰ nên tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Om

nên:

𝑥𝑂𝑚 = 𝑥𝑂𝑦 + 𝑦𝑂𝑚

0,25

𝑥𝑂𝑚 = 60⁰ + 40⁰= 100⁰.

Vậy 𝑥𝑂𝑚 = 100⁰ 0,25

b) b) Vẽ tia On sao cho 𝑥𝑂𝑛 = 80⁰, tia On có phải là tia phân giác của góc mOy không? Vì sao?

1,75

TH1: Tia On và tia Oy cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa tia Ox

0,25

Trên cùng một nửa mặt phẳng chứa tia Ox có

𝑥𝑂𝑦 < 𝑥𝑂𝑛 < 𝑥𝑂𝑚 (60⁰< 80⁰< 100⁰) nên tia On nằm giữa hai tia Oy và

Om (3) 0,25

Tia On nằm giữa hai tia Ox và Om nên

𝑥𝑂𝑛 + 𝑛𝑂𝑚 = 𝑥𝑂𝑚

80⁰ + 𝑛𝑂𝑚 = 100⁰ suy ra 𝑛𝑂𝑚 = 20⁰ 0,25

Tia Oy nằm giữa hai tia Ox và On nên 𝑥𝑂𝑦 + 𝑦𝑂𝑛 = 𝑥𝑂𝑛 suy ra 60⁰ + 𝑦𝑂𝑛 = 80⁰ 𝑦𝑂𝑛 = 20⁰ suy ra 𝑦𝑂𝑛 = 𝑛𝑂𝑚 (4)

Từ (3) và (4) suy ra tia On là tia phân giác của góc yOm 0,25 TH2: Tia On và tia Oy nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng chứa tia Ox

0,25

Do tia Oy và tia Om cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox 0,25

O x

z m y

n

O x

z m y

n

Và On và tia Oy nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa tia Ox, suy ra tia On không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng chứa hai tia Oy và Om có bờ là Ox.

Do đó tia On không nằm giữa hai tia Om và Oy

Vậy tia On không phải là tia phân giác của góc mOy 0,25 5. Cho đoạn thẳng AB = 2²⁰²⁰ (cm). Gọi M₁ là trung điểm của đoạn thẳng AB;

gọi M₂ là trung điểm của đoạn thẳng M₁B; gọi M₃ là trung điểm của đoạn thẳng M₂B, …, gọi M₂₀₂₀ là trung điểm của đoạn thẳng M2019B. Tính độ dài đoạn thẳng M₁M2020.

2,0

Hình vẽ

0,25

Ta có

2020 1

AB 2

M B 2  2 0,25

2020 1

2 2

M B 2

M B 2  2 0,25

2020 2

3 3

M B 2

M B 2  2 0,25

…

2020 2019

2020 2020

M B 2

M B 1

2 2

   0,5

Vì BM2020 < BM1 (1 < 2²⁰¹⁹) nên điểm M2020 nằm giữa hai điểm B và M1. 0,25 Do đó M₁M₂₀₂₀ = M₁B – M₂₀₂₀B = 2²⁰¹⁹ – 1 (cm) 0,25 Ghi chú:

- Hướng dẫn trên gồm các bước giải bắt buộc và biểu điểm tương ứng. Thí sinh phải biến đổi hợp lí, có lập luận chặt chẽ, trình bày lời giải cụ thể mới cho điểm tối đa theo thang điểm.

- Bài 4 nếu không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai không chấm điểm.

- Mọi cách giải khác trên mà đúng cho điểm tối đa theo thang điểm.

- Điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn.

M₂₀₂₀

M₂ B M₁

A