Giải Toán 10 Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế - Chân trời sáng tạo

Bài 3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế.

A. Câu hỏi

Hoạt động khởi động trang 74 SGK Toán 10 tập 1:

Với số liệu đo được từ một bên bờ sông như hình vẽ bên, bạn hãy giúp nhân viên đo đạc tính khoảng cách giữa hai cái cây bên kia bờ sông.

Lời giải:

Đặt tên các điểm như hình vẽ trên.

Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có:

BC² = AB² + AC² − 2 . AB . AC. cos A

 BC² = 75² + 100² − 2 . 75 . 100 . cos 32^o

 BC² ≈ 2904,28.

 BC ≈ 53,9 m

Vậy khoảng cách giữa hai cái cây khoảng 53,9 m.

Hoạt động thực hành 1 trang 75 SGK Toán 10 tập 1:

a) a = 17,4; B=44 30 ;C^{0 '} =64⁰ b) a = 10; b = 6; c = 8 Lời giải

a) A 180= ⁰ −(44 30' 64 )⁰ + ⁰ =71 30^{0 '} Áp dụng định lí sin ta có:

a b c

sin A =sin B=sin C

0 '

0 '

sin B sin 44 30

b a. 17, 4. 12,86

sin A sin 71 30

 = = 

0

0 '

sin C sin 64

c a. 17, 4. 16, 49

sin A sin 71 30

= = 

b) Áp dụng định lí côsin ta có:

2 2 2

b c a 0

cos A 0 A 90

2bc

= + − =  =

Áp dụng định lí sin ta có:

0 '

a b b.sin A 3

sin B B 36 52

sin A =sin B = a =  =5

0 0 0 ' 0 '

C 180 (90 36 52 ) 53 8

 = − + =

Hoạt động vận dụng 1 trang 76 SGK Toán 10 tập 1:

Hai máy bay cùng cất cánh từ một sân bay nhưng bay theo hai hướng khác nhau.Một chiếc di chuyển với tốc độ 450 km/h theo hướng tây và chiếc còn lại di chuyển theo

hướng lệch so với hướng bắc 25⁰ về phía tây với tốc độ 630km/h (Hình 5).Sau 90 phút, hai máy bay cách nhau bao nhiêu kilômét? Giả sử chúng đang ở cùng độ cao

Lời giải:

Ta có: OA = 450.1,5 = 675 km OB = 630.1,5 = 945 km

Mặt khác, ta có: AOB=90⁰ −25⁰ =65⁰

2 2 2

AB =OB +OA −2.OB.OA.cos AOB

= 945² + 675² − 2 . 945 . 675 . cos 65^o

≈ 809 494,7526

 AB ≈ 899,72

Vậy sau 90 phút hai máy bay cách nhau khoảng 899,72 km.

Hoạt động vận dụng 2 trang 77 SGK Toán 10 tập 1:

Trên bản đồ địa lí, người ta thường gọi là tứ giác với bốn đỉnh lần lượt là các thành phố Hà Tiên, Châu Đốc, Long Xuyên, Rạch Giá là tứ giác Long Xuyên. Dựa theo các khoảng cách đã cho trên Hình 6, tính khoảng cách giữa Châu Đốc và Rạch Giá.

Lời giải

Áp dụng định lí côsin ta có:

2 2 2

0 '

49 104 78 1019

cos CLH CLH 45 35

2.49.104 1456 + −

= =  

2 2 2

0 '

104 56 77 8023

cos HLR HLR 46 28

2.104.56 11648 + −

= =  

0 '

L HLR CLH 92 3

 = + =

2 2 2

CR 49 56 2.49.56.cos L 5733,31 CR 75,72km

 = + −   

Vạy khoảng cách giữa Châu Đốc và Rạch Giá khoảng 75,72 km B. Bài tập

Bài tập 1 trang 77 SGK Toán 10 tập 1:

Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) AB 14;AC= =23;A=125⁰. b) BC=22;B=64 ;C⁰ =38⁰. c) AC=22;B 120 ;C= ⁰ =28⁰. d) AB = 23; AC = 32; BC = 44.

Lời giải

a) Áp dụng định lí côsin ta có:

2 2 2 0 2 2 0

BC =AB +AC −2AB.AC.cos125 =14 +23 −2.14.23.cos125 1094,38

BC ≈ 33,08

Áp dụng định lí sin ta có:

BC AB AC

sin A =sin C =sin B

0 '

AB.sin A 14.sin125

sin C 0,35 C 20 17

BC 33,08

 = =   =

0 '

AC.sin A 23.sin125

sin B 0,57 B 34 44

BC 33,08

 = =   =

b) Ta có: A 180= ⁰ −(64⁰ +38 )⁰ =78⁰ Áp dụng định lí sin ta có:

BC AC AB

sin A =sin B=sin C

0 0

BC.sin B 22.sin 64

AC 20, 22

sin A sin 78

 = = 

0 0

BC.sin C 22.sin 38

AB 13,85

sin A sin 78

= = 

c) Ta có: A 180= ⁰ −(120⁰ +28 )⁰ =32⁰ Áp dụng định lí sin ta có:

BC AC AB

sin A =sin B=sin C

AC.sin A 22.sin 32

BC 13, 46

sin B sin120

 = = 

 AC.sin C 22.sin 28

AB 11,93

sin B sin120

= =  



d) Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

2 2 2

0 '

AB AC BC 383

cos A A 105 5

2.AB.AC 1472

+ − −

= =  

Áp dụng định lí sin ta có:

0 '

BC AB AB.sin A 23.sin105 5'

sin C 0,505 C 30 18

sin A sin C BC 44

=  = =    

0 0 ' 0 ' 0 '

B 180 (105 5 30 18 ) 44 37

 = − + 

Bài tập 2 trang 77 SGK Toán 10 tập 1:

Để lắp đường dây điện cao thế từ vị trí A đến vị trí B, do phải tránh một ngọn núi nên người ta phải nối đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10km, sau đó nối đường dây từ vị trí C đến vị trí B dài 8km.Góc tạo bởi hai đoạn dây AC và CB là 70 .Tính ⁰ chiều dài tăng thêm vì không thể nối trực tiếp từ A đến B

Lời giải

Áp dụng định lí côsin ta có:

2 2 2

AB =AC +BC −2.AC.BC.cos C 109, 28

 AB ≈ 10,45 km.

Vậy chiều dài tăng thêm vì không thể nối trực tiếp từ A đến B là:

10 + 8 – 10,45 = 7,55 km.

Bài tập 3 trang 77 SGK Toán 10 tập 1:

Một người đứng cách thân một cái quạt gió 16m và nhìn thấy tâm của cánh quạt với góc nâng 56,5⁰(Hình 8).Tính khoảng cách từ tâm của cánh quạt đến mặt đất.Cho biết khoảng cách từ mắt người đó đến mặt đất là 1,5m

Lời giải

Đặt tên các điểm như hình bên dưới.

Xét tam giác OAB vuông tại B ta có:

tan AB .tan 16.tan 56,50 24,17

O AB OB O

=OB  = = 

Vậy khoảng cách tử tâm cánh quạt đến mặt đất khoảng 24,17 + 1,5 = 25,67 m.

Bài tập 4 trang 78 SGK Toán 10 tập 1:

Tính chiều cao AB của một ngọn núi.Biết tại hai điểm C, D cách nhau 1 km trên mặt đất(B, C, D thẳng hàng), người ta nhìn thấy đỉnh A của núi với góc nâng lần lượt là

32 và 0 40 (Hình 9) ⁰

Lời giải

Vì CDA và ADB là hai góc kề bù nên CDA 180= ⁰ −40⁰ =140⁰

Xét tam giác ACD có : CAD 180= ⁰ −(32⁰ +140 )⁰ =8⁰ Áp dụng định lí sin ta có:

0 0

AD CD CD.sin C 1.sin 32

sin C =sin AAD= sin A = sin8 ≈ 3,81 km.

Xét tam giác ABD vuông tại B, ta có: AB ⁰

sin ADB AB AD.sin 40

= AD = ≈ 2,45 km.

Bài tập 5 trang 78 SGK Toán 10 tập 1:

Hai người quan sát khinh khí cầu tại hai địa điểm P và Q nằm ở sườn đồi nghiêng 32 so với phương ngang, cách nhau 60m (Hình 10). Người quan sát tại P xác định 0

góc nâng của khinh khí cầu là 62 . Cùng lúc đó, người quan sát tại Q xác định góc ⁰ nâng của khinh khí cầu đó là 70⁰. Tính khoảng cách từ Q đến khinh khí cầu.

Lời giải

Gọi điểm tại khinh khí cầu là A

Theo giả thiết ta có: APQ=30 ;⁰  =38⁰

Mà AQP và α là hai góc kề bù nên AQP=180⁰ −38⁰ =142⁰

0 0 0 0

PAQ 180 (30 142 ) 8

 = − + =

Áp dụng định lí sin ta có:

0 0

PQ AQ PQ.sin APQ 60.sin 30

sin A =sin APQAQ= sin A = sin8 ≈ 215,56 km.

Bài tập 6 trang 78 SGK Toán 10 tập 1:

Một người đứng ở trên một tháp truyền hình cao 352m so với mặt đất, muốn xác định khoảng cách giữa hai cột mốc trên mặt đất bên dưới. Người đó quan sát thấy góc được tạo bởi hai đường ngắm tới hai cột mốc này là 43 , góc giữa phương thẳng ⁰ đứng và đường ngắm tới một điểm mốc khác là 54⁰(Hình 11). Tính khoảng cách giữa hai cột mốc này.

Lời giải

Xét tam giác ADB vuông tại B ta có:

0

0 0

AB AB 352

cos 62 AD 749,78

AD cos 62 cos 62

=  = =  m.

Tương tự với tam giác ABC vuông tại B ta có: AB ₀

AC 598,86

cos54

= 

Áp dụng định lí côsin ta có:

2 2 2 0

CD =AD +AC −2AD.AC.cos 43 264028,34

CD ≈ 513,84 m

Vậy khoảng cách giữa hai mốc này khoảng 513,84 m.