Đề thi thử soạn theo hướng Đánh giá năng lực năm 2021-2022 - Môn Toán ĐỀ SỐ 23 - Thư viện tải tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia

Đề thi thử soạn theo hướng Đánh giá tư duy năm 2021-2022 - Môn Toán ĐỀ SỐ 23 (Theo ĐHBK-3)

II. Phần 2 (5đ) – Toán trắc nghiệm (câu hỏi 36 – 60)

Câu 36.Cho hàm số ^{y f x}

 

. Đồ thị hàm số ^{y f x '}

 

như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số

 

^



^23



g x f x .

A.2. B.3. C.4. D.5.

Câu 37. Lưu lượng xe ô tô vào đường hầm được cho bởi công thức

 

₂^290,4

0,36 13,2 264

  

f v v

v v (xe/

giây), trong đó v km h



/



là vận tốc trung bình của các xe ô tô khi vào đường hầm. Gọi v₀ vận tốc trung bình của các xe ô tô khi vào đường hầm sao cho lưu lượng xe là lớn nhất. Giá trị của v₀ xấp xỉ giá trị nào sau đây nhất?

A. 27,08km h/ . B. 27,06km h/ . C. 27,09km h/ . D. 27km h/ . Câu 38.Cho các hàm số y a y ^x; log ;_bx ylog_cx có đồ thị như hình vẽ.

Chọn mệnh đề đúng?

A. b c a  . B. a c b  . C. c b a  . D. c a b  .

Câu 39.Một kĩ sư mới ra trường làm việc với mức lương khởi điểm là 7 triệu đồng/tháng. Cứ sau 9 tháng làm việc, mức lương của kĩ sư đó lại được tăng thêm 10%. Hỏi sau 4 năm làm việc, tổng số tiền lương kĩ sư đó nhận được là bao nhiêu?

A.415 367 400 đồng. B.418 442 010 đồng.

C.421 824 081 đồng. D.407 721 300 đồng.

Câu 40.Các nhà khoa học nghiên cứu đã chỉ ra rằng giả sử nhiệt độ trung bình của năm lấy làm mốc là t0 , khi nhiệt độ trung bình Trái Đất tăng lên so với t₀ là t C thì nước biển dâng lên so với lúc đầu là

 

^{ t}

 

f t ka m , trong đó k, a là các hằng số dương. Biết khi nhiệt độ trung bình tăng 2C so với t₀ thì nước biển dâng 0,03m, khi nhiệt độ trung bình tăng 5C so với t₀ thì nước biển dâng 0,1 m. Hỏi khi nhiệt độ trung bình Trái Đất tăng thêm bao nhiêu độC so với t₀ thì mực nước biển dâng lên 0,15m(lấy gần đúng).

A. 5,56 .C B. 6,74 .C C. 6,01 .C D. 5,01 .C

Câu 41. Cho hình chữ nhật ABCD có AB2BC2a. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳngABCDquanh trụcAB.

A. 2a³. B.1a³. C. 4a³. D. 8a³.

Câu 42. Cho một tấm bìa hình vuông ABCD cạnh 48 cm. Gọi S, I lần lượt là trung điểm của BC, AD.

Dùng compa vạch cung trònMN có tâm làSvà bán kínhSI (như hình vẽ) rồi cắt tấm bìa theo cung tròn đó. Dán phần hình quạt sao cho cạnh SM và SN trùng nhau thành một cái mũ hình nón không đáy với đỉnhS(giả sử phần mép dán không đáng kể). Tính thể tíchVcủa cái mũ đó.

A. ^{V 512 35}₃

 

^{cm3 . B.V 512 35}₉

 

^{cm3 .}

C. ^{V 1024}

 

^{cm3 . D. V 512 35}

 

^{cm3 .}

Câu 43.Cho hàm số y f x^

 

xác định trên \ 1

 

thỏa mãn '

 

¹ , 0

 

2017, 2

 

2018

 1  

f x  f f

x .

Tính S f^

 

^{3 } f

 

^1 .

A. S ln 4035. B. S 4. C. S ln 2. D. S 1.

Câu 44.Cho đồ thị biểu diễn vận tốc của hai xeAvà Bkhởi hành cùng một lúc và cùng vạch xuất phát, đi cùng chiều trên một con đường. Biết đồ thị biểu diễn vận tốc của xeAlà một đường parabol và đồ thị biểu diễn vận tốc của xeB là một đường thẳng như hình vẽ bên. Hỏi sau 5 giây kể từ lúc xuất phát thì khoảng cách giữa hai xe là bao nhiêu mét? (Biết rằng xeAsẽ dừng lại khi vận tốc bằng 0).

A. ²⁵⁰

3 m. B.270 m. C.200 m. D. ¹¹⁰

3 m.

Câu 45. Cho số phứcz thỏa mãn



1 2 i z



5 1



i



². Tổng bình phương phần thực và phần ảo của số phức w z iz  bằng

A.2. B.4. C.6. D.8.

Câu 46.Trong mặt phẳng phứcOxy, các số phứczthỏa mãn z   2 1i z i . Tìm số phứczđược biểu diễn bởi điểmMsao choMAngắn nhất với A

 

^1;3 .

A. 3 .i B.1 3 . i C. 2 3 . i D.  2 3 .i

Câu 47. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

 

S có tâm là điểm I



^{1;2; 3}



và tiếp xúc với trục Ox.

Phương trình của

 

S là:

A.



x1

 

² y2

 

²  z3



² 13.

B.



x^1

 

^2 y^2

 

^2 z^3



^{2 13.}

C.



x1

 

² y2

 

²  z3



² 13.

D.



x1

 

² y2

 

²  z3



²  13.

Câu 48.Cho tứ diệnABCDcó DAB CBD^{ }  90 ;AB a AC a ;  5;ABC^135 . Biết góc giữa hai mặt phẳng



ABD BCD

 

,



bằng 30C. Thể tích của tứ diệnABCDbằng

A. ³ . 2 3

a B. ³ .

2

a C. ³ .

3 2

a D. ³.

6 a

Câu 49.Cho hình nón chứa bốn mặt cầu cùng có bán kính là 2, trong đó ba mặt cầu tiếp xúc với đáy, tiếp xúc lẫn nhau và tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón. Mặt cầu thứ tư tiếp xúc với ba mặt cầu kia và tiếp xúc với mặt xung quanh của hình nón. Tính bán kính đáy của hình nón.

A. 1 2 ^{2 6}.

  3 B.1 6 ^{2 6}.

  3

C. 1 3 ^{2 6}.

  3 D. 1 3 ^{2 3}.

  3

Câu 50. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau ₁: ^{2 6 2}

2 2 1

  

 



x y z

d và

2: 4 1 2

1 3 2

    



x y z

d . Phương trình mặt phẳng

 

P chứa d₁ và

 

P song song với đường thẳng d₂ là:

A.

 

P x: 5y8 16 0.z  B.

 

P x: 5y8 16 0.z  C.

 

P x: 4y6 12 0.z  D.

 

P : 2x y  6 0.

Câu 51.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho điểm A



2;2; 2



và điểm B



3; 3;3



. ĐiểmMthay đổi trong không gian thỏa mãn ²

 3 MA

MB . Điểm N a b c



; ;



thuộc mặt phẳng

 

P : x 2y2z 6 0.

sao choMNnhỏ nhất. Tính tổng T a b c   .

A.6. B. 2. C.12. D. 6.

Câu 52.Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình thoi tâmO, tam giácABDđều cạnh a 2.SAvuông góc với mặt phẳng đáy và ^{3 2}

 2

SA a. Hãy tính góc giữa đường thẳngSOvà mặt phẳng



ABCD



.

A. 45 . B. 30 . C. 60 . D. 90 .

Câu 53.Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình chữ nhật, biết AB2 ,a AD a SA , 3a vàSAvuông góc với mặt phẳng đáy. GọiM là trung điểm cạnhCD, điểm E SA^ sao cho SE a^ , cosin của góc giữa hai mặt phẳng



^SAC



^và



^BME



^bằng

A. 3 .

2 15 B. 1 .

15 C. 14 .

15 D. 14 .

3 15 Câu 54.Phương trình 2cos²x5sinx 4 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn 0;⁹

2

 

 

 

 ?

A.5. B.4. C.6. D.7.

Câu 55. Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lý học nam. Người ta chọn trong số người này 3 người để lập một đoàn đi công tác, trong đó phải có cả nam lẫn nữ và phải có cả nhà Toán học lẫn nhà Vật lý. Số cách thành lập đoàn này là

A.120. B.78. C.90. D.72.

Câu 56. Một công ty nhận được 50 hồ sơ xin việc của 50 người khác nhau muốn xin việc vào công ty, trong đó có 20 người biết tiếng Anh, 17 người biết tiếng Pháp và 18 người không biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Công ty cần tuyển 5 người biết ít nhất một thứ tiếng Anh hoặc Pháp. Tính xác suất để trong 5 người được chọn có đúng 3 người biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp?

A. 351 .

201376 B. 1 .

23 C. 5 .

100688 D. 1755 .

100688

Câu 57.Cho cấp số nhân

 

un với u₂ 2 và u₄ 18. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng

A. 3. B.9. C.16. D. 1.

9

Câu 58. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a;b;c. Gọi p là nửa chu vi của tam giác. Biết dãy số a;b;c;ptheo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm cosin của góc nhỏ nhất trong tam giác đó.

A. 4.

5 B. 3.

4 C. 5.

6 D. 3.

5

Câu 59.Tam giác mà ba đỉnh của nó là trung điểm ba cạnh của tam giácABCđược gọi là tam giác trung bình của tam giácABC. Ta xây dựng dãy các tam giác A B C A B C A B C_{1 1 1}, _{2 2 2}, _{3 3 3},... sao cho tam giác A B C_{1 1 1} là tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương n2, tam giác A B C_{n n n} là tam giác trung bình của tam giác A B C_{n1 n1 n1}. Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu S_n tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác A B C_{n n n}. Tính tổng S S S ₁ ₂ ... S_n...

A. 15 .

 4

S 

B. S 4 . C. 9 .

 2 S 

D. S 5 .

Câu 60. Theo thống kê tại một nhà máyZ, nếu áp dụng tuần làm việc 40 giờ thì mỗi tuần có 100 công nhân đi làm và mỗi công nhân làm được 120 sản phẩm trong một giờ. Nếu tăng thời gian làm việc thêm 2 giờ mỗi tuần thì sẽ có 1 công nhân nghỉ việc và năng suất lao động giảm 5 sản phẩm/1 công nhân/1 giờ.

Ngoài ra, số phế phẩm mỗi tuần ước tính là ^{P x}

 

^{95x2 }₄^{120x , với x} là thời gian làm việc trong một tuần. Nhà máy cần áp dụng thời gian làm việc mỗi tuần mấy giờ để số lượng sản phẩm thu được mỗi tuần là lớn nhất?

A. x36. B. x32. C. x44. D. x48.

III. Phần 3 (2,5đ) – Toán tự luận

Bài 1.Cho đồ thị chuyển động của hai xe như hình vẽ bên dưới. Ta có t h

 

là thời gian tính từ lúc hai xe bắt đầu chuyển động, x km

 

là vị trí của hai xe so với vị trí mốc chuyển độngO.

1. Viết phương trình chuyển động của hai xe



^{x f t}

  

^.

2. Xác định thời điểm hai xe gặp nhau.

3. Tính quãng đường mỗi xe đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi gặp nhau.

Bài 2.Cho hàm số lượng giác

 

tan ¹

 sin

f x x

x.

1. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của hàm số trên.

2. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số trên.

Bài 3.Nhân viên của một quán cafe cần làm 7 li sinh tố bơ. Biết li thủy tinh đựng sinh tố có dạng hình trụ, chiều cao gấp hai lần đường kính đáy. Mỗi li sinh tố khách hàng yêu cầu thả ba viên đá, các viên đá của quán đều có dạng hình lập phương, cạnh của hình lập phương bằng một nửa bán kính đáy li. Biết mỗi quả bơ có thể làm được 2 li sinh tố (không chứa đá) có thể tích bằng ⁶

7 thể tích li. Hỏi để làm được 7 li sinh tố theo yêu cầu của khách hàng thì nhân viên cần dùng tối thiểu bao nhiêu quả bơ? Biết thể tích sinh tố trong mỗi li đều bằng ⁶

7 thể tích li.

Đáp án

36-B 37-A 38-D 39-B 40-C

41-A 42-A 43-D 44-D 45-D 46-A 47-C 48-D 49-C 50-A

51-B 52-C 53-B 54-A 55-C 56-D 57-A 58-A 59-B 60-A

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 36.Từ đồ thị hàm số ta có '

 

0 ²

1

  

    f x x

x .

Ta có ^{g x'}

 

^{2 'xf x}



^23



   

 

   

 



   

 

       

     



2

2 2

' 0 0

' 3 0

0 0

3 2 1

2 (nghiÖm kÐp) 3 1(nghiÖm kÐp)

g x x

f x

x x

x x

x x

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị.

Câu 37.

Xét hàm

 

₂^290,4

0,36 13,2 264

  

f v v

v v

   

 

2 2 2

290,4 0,36 264 ' 0,36 13,2 264

 

 

 

f v v

v v .

 

^{10 66}

' 0

 f v   v 3 (do v0).

Dựa vào bảng biến thiên ta có _max ^{10 66} 3

 

  

 

f f . Vậy lưu lượng xe lớn nhất khi

10 66 27,08 /

 3 

v km h.

Câu 38.Từ các đồ thị hàm số, ta thấy y a ^x và ylog_bx là các hàm số đồng biến nên a1 và b1.

Mặt khác, ylog_cx là hàm số nghịch biến nên 0 c 1.

Vẽ đồ thị hàm số ylog_ax bằng cách lấy đối xứng đồ thị hàm số

 ^x

y a qua đường thẳng y x^ .

Kẻ đường thẳng y1 cắt hai đồ thị hàm số ylog_ax và log

 _b

y x lần lượt tại hai điểm AvàB. Khi đó, x_A a và x_B b.

Từ đồ thị hàm số ta thấy x_A x_B. Vậy a b .

Câu 39.Tổng tiền lương 9 tháng đầu là 9.7.10⁶ đồng.

Tiền lương tháng 10 là 7.10 1 10%⁶







7.10 .1,1⁶ đồng.

Tổng tiền lương từ tháng 10 đến tháng 18 là 9.7.10 .1,1⁶ đồng.

Tiền lương tháng 19 là 7.10 1 10%⁶







²7.10 .1,1^{6 2} đồng.

Tổng tiền lương từ tháng 19 đến tháng 27 là 9.7.10 .1,1^{6 2} đồng.

Tiền lương tháng 28 là ^{7.10 1 10%6}



^



^{3 7.10 .1,16 3 đồng.}

Tổng tiền lương từ tháng 28 đến tháng 36 là 9.7.10 .1,1^{6 3} đồng.

Tiền lương tháng 37 là 7.10 1 10%⁶







⁴7.10 .1,1^{6 4} đồng.

Tổng tiền lương từ tháng 37 đến tháng 45 là 9.7.10 .1,1^{6 4} đồng.

Tiền lương tháng 46 là 7.10 1 10%⁶







⁵ 7.10 .1,1^{6 5} đồng.

Tổng tiền lương từ tháng 46 đến tháng 48 là 3.7.10 .1,1^{6 5} đồng.

Tổng tiền lương sau 4 năm (từ tháng 1 đến tháng 48) là 418 442 010 đồng.

Câu 40.Khi nhiệt độ trung bình tăng 2C so với t₀ thì nước biển dâng 0,03m, khi nhiệt độ trung bình tăng 5C so với t₀ thì nước biển dâng 0,1m.

Khi đó, ta có:

3 3

2 5

2 3

10 10

0,03 3 3

0,1 0,03 0,03. 9

100

   

  

  

  

      a a

ka

ka k a k

.

 

0,03.^{3 9} . ³¹⁰

 

100 3

 

   

 

t

f t m .

Khi nước biển dâng lên 0,15mthì ta có

3

3 3 3 3

10 3 3

9 10 10 100

0,15 0,03. . 5.

100 3 3 9

log 5. 100 6,01 . 9

   

     

   

 

    

t t

t C

Vậy khi nhiệt độ trung bình trái đất tăng thêm 6,01C so với t₀ thì mực nước biển dâng lên 0,15m.

Câu 41.

Theo giả thiết ta có r BC a  . Độ dài đường cao là h AB 2a.

Thể tích khối trụ làV r h² . .2a a² 2a³.

Câu 42.Ta có MN SM SN  48cm nên SMN đều ^MSN60 Chu vi đường tròn đáy của cái mũ chính là chiều dàixcủa dây cungMN.

Mặt khác số đo cungMNbằng số đo MSN^ 60 nên .48.60 16

 180 

x  .

Gọirlà bán kính của đường tròn đáy của cái mũ, ta có 2 ¹⁶ 8

2 2

   x  

x r r 

  .

Chiều cao của cái mũ h SM²r²  48 8² ² 8 35. Vậy thể tích cái mũ^{V 1}₃^{r h2 1}₃^{8 .8 352 512 35}₃

 

^{cm3 .}

Câu 43.+) Trên khoảng



1;



ta có '

 

1 ln



1



1

 

ln



1



1

 1       



^{f x dx}



_x ^{dx x C f x x C .} Mà f

 

2 2018C12018.

+) Trên khoảng



;1



ta có '

 

1 ln 1

 

2

 

ln 1

 

2

 1       



^{f x dx}



_x ^{dx x C f x x C} Mà f

 

0 2017C22017.

Vậy

   

 

ln 1 2018 1

ln 1 2017 1

  

 

  



x khi x

f x x khi x . Suy ra f

 

3  f

 

 1 1.

Câu 44. Biểu đồ biểu diễn vận tốc của xe A là

 

P v: _A at² bt c a



0



đi qua điểm

  

0;0 ; 3;60 ; 4;0

  

v_A  20t²80t.

Biểu thức biểu diễn vận tốc của xe B là đường thẳng ^:vB ^mt n m^



^0



đi qua điểm

  

0;0 ; 3;60



v_B 20t.

Ta có v_A  20t²80 0t  t 4 nên xeAdừng lại sau giây thứ 4.

Do đó quãng đường xeAđi được sau 4 giây là ⁴



²

  

0

20 80 640

 



  3

SA t t dt m .

Quãng đường xeBđi được sau 5 giây đầu là ⁵

   

0

20 250







SB t dt m

Khoảng cách giữa hai xe sau 5 giây kể từ lúc xuất phát là ¹¹⁰

 

 S S_AS_B  3 m . Câu 45.Ta có



1 2



5 1

 

2 5 1

 

² 10 10 1 2

 

4 2

1 2 1 2 5

 

        

 

i i i i

i z i z i

i i .

Suy ra w z iz^{  }



^{4 2} i

 

^i ^{4 2} i



^{ 2 2}i.

Vậy số phứcwcó phần thực bằng 2, phần ảo bằng 2. Suy ra 2²2² 8.

Câu 46.Gọi M x y

 

, là điểm biểu diễn số phức z x yi x y 



, 



. Gọi E



1, 2



là điểm biểu diễn số phức 1 2 i.

Gọi F



^{0, 1}



là điểm biểu diễn số phức i.

Ta có z    2 1i z i ME MF  Tập hợp điểm biểu diễn số phứcz là đường trung trực củaEF:

:   2 0

EF x y .

ĐểMAngắn nhất thì MA EF^ tại M M

 

3,1   z 3 i. Câu 47.GọiAlà hình chiếu củaIlên trục OxA



1;0;0



.

Vì điểmAnằm trên mặt cầu nên bán kính của mặt cầu là R IA  0² 

   

2 ² 3 ²  13.

Phương trình mặt cầu

 

S tâm I



1;2; 3



và bán kính R 13 là



x1

 

² y2

 

² z 3



² 13. Câu 48.

Dựng DH ^



ABC



.

Ta có ^ ^ ^{ }

 

^{ }

BA DA

BA DAH BA AH

BA DH .

Tương tự ^ ^ ^{ }

 

^{ }

BC DB

BC DBH BC BH

BC DH

Tam giácAHBcó AB a ABH ,^ 45

 HAB vuông cân tại A^AH AB a^{ } . Áp dụng định lý cosin, ta có BC a 2.

Vậy ¹. . .sin^{ 1}. . 2. ^{2 2}

2 2 2 2

_ABC    a

S BA BC CBA a a .

Dựng ^ ^ ^{ }

 

HE DA

HE DAB

HF DB và HF ^



DBC



.

Suy ra

 DBA DBC ,  

^



^{ HE HF,}



^EHF và tam giácHEFvuông tạiE.

Đặt DH x , khi đó

2 2 2 2

, 2

  2

 

ax xa

HE HF

a x a x .

Suy ra cos^{ 3 2}₂ ^{2 2}₂

4 2 2

     



HE x a

EHF x a

HF x a

Vậy 1. . ³

3 ^ 6

 

ABCD ABC a

V DH S .

Câu 49.

Xét trường hợp tổng quát là bốn mặt cầu có bán kínhr.

Gọi tâm các mặt cầu làS, A, B, C, trong đóSlà tâm của mặt cầu trên cùng. Do các mặt cầu tiếp xúc ngoài nhau nênS.ABClà chóp đều cạnh2r.

GọiIlà tâm của tam giácABC, khi đóSIvuông góc với mặt phẳng



ABC



và ^{2 3}

 r3

AI .

Tam giácSAIvuông tạiI, có

2

2 2 4 2 2 3 2 6

3 3

 

     

r r

SI SA AI r .

Kẻ đường sinhJPcủa hình nón tiếp xúc với hai mặt cầu tâmSvà tâmAlần lượt tạiH, K.

Ta có SAI ~JSH(g-g) nên SJ SH SA AI .

. 2 . . 3 3

SJ  SA SH  r r 2 3r

AI r .

Chiều cao của khối nón là

2 6 2 6

3 1 3

3 3

 

          

h JS SI IO r r r r .

Bán kính khối nón là R OP JO  .tanSJH^ .

.tan 1 3 2 6 .

3

2 6 2 3 3 2 6 1

1 3 . . 1 3 .

3 3 2 6 3 2

 

      

   

         

   

R h ASI r AI

SI

r r r

r

Áp dụng với r  2 ta được 2. ¹ . 1 3 ^{2 6} 1 3 ^{2 6}

3 3

2

 

      

R .

Câu 50.Đường thẳng d₁ đi qua A



^{2;6; 2}



và có một vectơ chỉ phương 1 



2; 2;1



u .

Đường thẳng d₂ có một vectơ chỉ phương ₂ 



1;3; 2



u .

Gọi n^ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

 

P . Do mặt phẳng

 

P chứa d₁ và (P) song song với đường thẳng d₂ nên   1, 2



1;5;8



n u u .

Vậy phương trình mặt phẳng

 

^{P đi qua A}



^{2;6; 2}



và có một vectơ pháp tuyến ^{n }



^1;5;8



^là

5 8 16 0

   

x y z .

Câu 51.Gọi M x y z



^{; ;}



. Ta có ²

3 MA MB

  

²

 

²



²

2 2

9 4 6 6 6 108

 MA  MB  x  y  z  .

Vậy điểmMthuộc mặt cầu tâm I



6;6; 6



, bán kính R6 3.

VậyMNnhỏ nhất khiM, Nthuộc đường thẳng đi qua tâmIvà vuông góc với mặt phẳng

 

P . Gọi

 

d là đường thẳng đi qua tâmIvà vuông góc với mặt phẳng

 

P .

Khi đó

 

^{: 6 26}

6 2

  

  

   



x t

d y t

z t

. Tọa độ điểm Nlà nghiệm của hệ phương

trình:

6 6 2

6 2

2 2 6 0

  

  

   

    



x t

y t

z t

x y z

 

6 2

6 2 2

2; 2;2

6 2 2

6 12 4 12 4 6 0 4

    

 

     

 

        

          

 

x t x

y t y

z t z N

t t t t

.

Do đó T      2 2 2 2. Câu 52.

Ta có SA^



ABCD



nên AO là hình chiếu vuông góc của SO lên



ABCD



nên góc giữaSOvà đáy là góc SOA^.

Tam giácABDđều cạnh a 2 nên 2 ^{3 6}

2 2

  a

AO a .

Tam giác SAOvuông tại Anên ta có ^

3 2

tan 2 3

6 2

 SA  a

SOA AO a , suy

ra SOA^ 60.

Vậy góc giữa đường thẳngSOvà mặt phẳng



ABCD



bằng 60. Câu 53.

Góc giữa hai mặt phẳng

 

^{ và}

 

^{ là góc  . Khi đó}

 



^,



sin  ,

 d A d A

  . Gọi điểmGlà trọng tâm BCD, kéo dài

tiaBMcắtADtạiF.

Ta có



SAC

 

^ BEF



^EG.

Khi đó góc giữa hai mặt phẳng



SAC



và



BME



là góc

 có

   

 

sin ,

 d A BEF, d A EG

 .

Ta có



^,

  

^{2 3}₃ ^,



^,



^ ₂^. ₂ ^ ₇⁷⁰



a AE AG a

d A BEF d A EG

AE AG

 

 

 

, 14 1

sin cos

, 15 15

  d A BEF   

d A EG

  .

Câu 54.Phương trình ^{2cos2x5sinx   4 0 2 1 sin}



^{ 2x}



^{5sinx 4 0}

2 sin 2 1

2sin 5sin 2 0 sin 1 sin 2 sin 6 2

 

        

 

 x

x x x

x



 

6 2 ,

5 2

6

  

 

  





x k

k l

x l

 

 

.

Vì 0;⁹

2

 

  

x 

nên

9 1 9 1 1 13

0 2 2

6 2 6 2 6 12 6

5 9 5 9 5 5 11

0 2 2

6 2 6 2 6 12 6

          

  

 

  

          

  

  

k k k

l l l

  

  

 

 

0;1;2 0;1



 

  k

l . Vậy phương trình có 5 nghiệm.

Câu 55.Để chọn ra 3 người để lập 1 đoàn đi công tác, trong đó phải có cả nam lẫn nữ và phải có cả Toán học lẫn Vật lý, ta có các trường hợp sau:

TH1: 1 nhà Vật lý nam, 2 nhà Toán học nữ có C C₄¹. ₃² cách.

TH2: 1 nhà Vật lý nam, 1 nhà Toán học nam, 1 nhà toán học nữ có C C C₄¹. .₅¹ ₃¹ cách.

TH3: 2 nhà Vật lý nam, 1 nhà Toán học nữ có C C₄². ₃¹ cách.

Vậy có C C¹₄. ₃² C C C C C₄¹. .¹₅ ¹₃ ₄². ¹₃ 90 cách.

Câu 56.Số người biết tiếng Anh hoặc tiếng Pháp là: 50 18 32  . Số người biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp là:



^{20 17 32 5}



^{  .}

Số phần tử của không gian mẫu là số cách chọn 5 người trong 32 người biết tiếng Anh hoặc tiếng Pháp.

Suy ra n

 

 C32⁵ .

Gọi A là biến cố “trong 5 người được chọn có đúng 3 người biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp”.

Chọn 3 người biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp có C₅³ cách.

Ứng với mỗi cách chọn 3 người nói trên, có C₂₇² cách chọn 2 người còn lại.

Suy ra, n A

 

C C5³. 27²

Vậy xác suất của biến cốAlà

   

 

^1006881755

 

 p A n A

n .

Câu 57.Do

 

un là cấp số nhân nên u_n1u q_n. với n^^*, suy ra ^{2 4}

2

18 9 3

u  2    

q q

u .

Câu 58.Theo giả thiếta;b;c;ptheo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên

2 2 2 2

2 2 3 4 5 4

2

4

2 5 2

4 3

5 5 5 5

4 4 4 3

  

     

   

             

   



     

  

  

  

      

  

a c b

a c b a c b a c b

t a b c

b p c b c a c b c b c

a c b a b b b a

c b c b c b a

Suy ra c b a^{ } . Do đó gócAlà góc nhỏ nhất.

Từ đó ta có

2 2 2

2 2 2 16 25

9 9 4

cos 2 24 5. 5

3 3

 

b c a   a a a 

A bc a a .

Câu 59.Tam giác A B C_{1 1 1} có bán kính đường tròn ngoại tiếp là 1 2 3 3. 3 1 .

 

1 ² 3

 3 2    

R S  R .

Tam giác A B C_{2 2 2} có bán kính đường tròn ngoại tiếp là 2 3 2 .

 

2 ² 1.3 1 1

2 4 4

    

R S  R  S .

Tam giác A B C_{3 3 3} có bán kính đường tròn ngoại tiếp là 3 3 3 .

 

3 ² 1 .3 1 2

4 16 4

    

R S  R  S

………..

Tam giác A B C_{n n n} có bán kính đường tròn ngoại tiếp là ³₁ ¹ ₁

2 ^ 4 ^

  

n n n n

R S S .

Suy ra S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, có u₁S₁3 , công bội ¹

 4 q .

Vậy 1 ¹1 4

4

 



S S .

Câu 60.Gọitlà số giờ làm tăng thêm mỗi tuần, t.

 số công nhân bỏ việc là 2

t nên số công nhân làm việc là100

2t người.

Năng suất của công nhân còn120 ⁵

 2t sản phẩm một giờ.

Số thời gian làm việc một tuần là 40 t x giờ.

Để nhà máy hoạt động được thì

 

40 0

120 5 0 40;48

2

100 0

2

  

     



  



t

t t

t

.

Số sản phẩm trong một tuần làm được: ^{100 120 5}



⁴⁰



2 2

  

     

t t

S t .

Số sản phẩm thu được là:

       

       

2

2

95 40 120 40

100 120 5 40

2 2 4

1 5 5 5 95

' 120 40 100 40 100 120 40 30

2 2 2 2 2 2 2

15 1135 2330.

4 2

  

  

      

      

                 

  

t t

t t

f t t

t t t t

f t t t t

t t

Ta có

   

4

' 0 466

3

  

  

  t

f t t L .

Dựa vào bảng biến thiên ta có số lượng sản phẩm thu được mỗi tuần lớn nhất khi t   4 x 36.

PHẦN TỰ LUẬN Bài 1.

1. Xe 1 chuyển động qua 3 quá trình, từOđếnA, từAđếnBvà từBđếnC.

Phương trình đường thẳng OA x: 80t. Phương trình đường thẳng AB x: 40. Phương trình đường thẳng BC x: 50 10t . Phương trình chuyển động của xe 1 là:

 

 

 

 

1

 

80 0 0,5

40 0,5 1

50 10 1 2

  



   

    



x t t

x t x t km

x t t

.

Phương trình chuyển động của xe 2 chính là phương trình đường thẳng DC x t: 2

 

 30 90t

 

km . 2. Hai xe gặp nhau ở vị trí giao điểmFcủaBCvàDE

 

50 10 30 90 1,25

 t   t  t h

Vậy sau khi đi được^1,25

 

h thì hai xe gặp nhau.

3. Ta có: x_F  30.1,25 90 52,5 

 

km . Quãng đường xe 1 đi được từ lúc bắt đầu di chuyển đến lúc 2 xe gặp nhau là x_F x_o 52,5

 

km .

Quãng đường xe 2 đi được từ lúc bắt đầu di chuyển đến lúc 2 xe gặp nhau là

 

90 52,5 37,5

   

D F

x x km

Bài 2.

1. Điều kiện xác định ^{cos 0} \

sin 0 2 2

       

   

 x 

x k D k

x

 

. Xét hàm số ytanx là hàm tuần hoàn có chu kì T₁. Xét hàm số

 

¹

sin g x x.

Ta có



2

     

2



2

1 1 sin sin

sin sin

      

g x T g x  x T x

x T x .

Chọn sin 1

 2  

x  x

   

2 2 2

sin 1 2 2

2 2 2

 

  T    T   k  k T k  k Giá trị nhỏ nhất của T₂ là 2 .

Ta thấy  x D x k;  2D thì g x k



 2



g x

 

. Vậy hàm số ^{g x}

 

^_sin¹

x là hàm số tuần hoàn với chu kì T₂ 2 . Khi đó, hàm số tan ¹

 sin

y x

x là hàm tuần hoàn với chu kì T BCNN T T



1; 2



 . 2. Ta thấy     x D x D

Mặt khác,

 

tan

   

¹ tan ¹

 

sin sin

        

f x x  x f x

x x .

Hàm số f x

 

^tanx^_sin¹

x là hàm lẻ.

Bài 3.

Gọi bán kính đáy li là r r



^0



.

Khi đó, chiều cao của li là h4r; cạnh của viên đá là 2 r .

Thể tích của li là V₀ r h² 4r³

Thể tích của một viên đá là ₁ ^{3 3 0}

2 8 32

     

r r V

V  .

Để làm được 7 li sinh tố cần 7 3 21  viên đá .

Khi đó, thể tích các viên đá bằng 21 ₁ ^{21 0}

 32V V  .

Vì mỗi quả bơ có thể làm được 2 li sinh tố (không chứa đá) có thể tích bằng ⁶

7 thể tích li nên thể tích sinh tố bơ được làm từ một quả bơ là 2.⁶ ₀ ¹² ₀

7 7

 

V V V .

Thể tích sinh tố bơ được làm từnquả bơ là 12 0



^*



 7  Vn nV n Tổng thể tích bơ và đá để làm 7 li sinh tố là 7.⁶ ₀ 6 ₀

7V  V . Theo đề bài ra ta có ¹² ₀ ^{21 0} 6 ₀ 3,38

7 nV 32V  V  n

 .

Vậy cần tối thiểu 4 quả bơ để làm được 7 li sinh tố như yêu cầu.