Đề Học Sinh Giỏi Huyện Toán 7 Năm 2009 – 2010 Phòng GD&ĐT Phú Thiện – Gia Lai

(1)

UBND HUYỆN PHÚ THIỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán

Năm học: 2009-2010

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: Thực hiện phép tính (6 điểm).

a. .

4 9 9 5 3 : 2 4

3 



 

  ; b.

1 1 1

4 1 3 1 2 1 19

45

 





























 



 







 ;

c. ₁₀¹⁵ ₁₉⁹ ₂₉²⁰ ⁹₆

27 . 2 . 7 6 . 2 . 5

8 . 3 . 4 9 . 4 . 5



 .

Bài 2: (6 điểm)

a. Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16;

b. Tìm x, biết: 3 :2 1 2

1 x =

22 21

c. Tìm x, y, z biết:

15 2 3 5

2xy  y z và x + z = 2y.

Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức

d c b

a  .

Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d).

Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA.

a. Chứng minh: CD // AB.

b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N . Chứng minh rằng: ABH = CDH.

c. Chứng minh: HMN cân.

Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số có dạng abcabcluôn chia hết cho 11.

Hết

Họ và tên học sinh:...; SBD:...

Học sinh trường:...

ĐỀ CHÍNH THỨC

(2)

UBND HUYỆN PHÚ THIỆN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán

Năm học: 2009-2010

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: Thực hiện phép tính (6 điểm).

Giải:

a. .

4 9 9 5 3 : 2 4

3 



 

 

4 9 9 :1 4 3 4 9 9 5 3 : 2 4

3   



 

  0,75đ

= 9

4 36 4 9 1 .9 4

3    0,75đ

b.

1 1 1

4 1 3 1 2 1 19

45

 





























 



 









3 4 1

1 2 1

1 19

45 4

1 3 1 2 1 19 45

1 1 1





 

























 



 









 



1,0đ

= 1

19 19 19 26 19

45   1,0đ

c. ₁₀¹⁵ ₁₉⁹ ₂₉²⁰ ⁹₆

27 . 2 . 7 6 . 2 . 5

8 . 3 . 4 9 . 4 . 5



6 29 19

10

9 20 9

15

27 . 2 . 7 6 . 2 . 5

8 . 3 . 4 9 . 4 . 5



 = ₁₀²^.¹⁵₁₉²^.⁹₁₉ ² ²⁰₂₉ ³₃^._.⁹₆

3 . 2 . 7 3 . 2 . 2 . 5

2 . 3 . 2 3 . 2 . 5



 01đ

 

5.3 7

3 . 2

3 2 . 5 3 . 2

18 29

2 18

29



  01đ

= 8

1 7 15

9 10 



 0,5đ

Bài 2: (6 điểm) Giải:

a. Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16.

2x – 2 – 6x – 6 – 8x – 12 = 16 0,25đ

-12x – 20 = 16 0,25đ

-12x = 16 + 20 = 36 0,50đ

x = 36 : (-12) = -3 0,50đ

ĐỀ CHÍNH THỨC

(3)

b. Tìm x, biết: 3 :2 1 2

1 x =

22 21

Nếu 2

1

x . Ta có: (vì nếu x = ½ thì 2x – 1 = 0) 0,25đ

3 : 2 1 2

1 x =

22 21

2

7: (2x – 1) =

22

21 0,25đ

2x – 1 =

2 7:

22 21 =

3 11 21 .22 2

7  0,25đ

2x =

3

11 + 1 =

3

14 0,25đ

x = 3

14: 2 =

3 7 >

2

1 0,25đ

Nếu 2

1

x . Ta có: 0,25đ

3 : 2 1 2

1 x =

22 21

2

7: (1 - 2x) =

22

21 0,25đ

-2x =

3

11 - 1 =

3

8 0,25đ

x = 3

8: (-2) =

2 1 3 4 

 0,25đ

Vậy x =

3

7 hoặc x =

3

4 0,25đ

c. Tìm x, y, z biết :

15 2 3 5

2x y  y z và x + z = 2y Từ x + z = 2y ta có:

x – 2y + z = 0 hay 2x – 4y + 2z = 0 hay 2x – y – 3y + 2z = 0 0,25đ

hay 2x – y = 3y – 2z 0,25đ

Vậy nếu:

15 2 3 5

2x y  y z thì: 2x – y = 3y – 2z = 0 (vì 5  15). 0,25đ Từ 2x – y = 0 suy ra: x = ^y

2

1 0,25đ

(4)

Từ 3y – 2z = 0 và x + z = 2y.  x + z + y – 2z = 0 hay y 2

1 + y – z = 0 0,25đ hay ^y

2

3 - z = 0 hay y =

3

2z. suy ra: x =

3

1z. 0,25đ

Vậy các giá trị x, y, z cần tìm là: {x =

3

1z; y =

3

2z ; với z  R } hoặc {x =

2

1y; y  R; z =

2

3y} hoặc {x  R; y = 2x; z = 3x}

0,5đ

Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức

d c b

a  .

Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d) Ta có: (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)

ab + ad + 2cb + 2cd = ab + 2ad + cb + 2cd 0,75đ

cb = ad suy ra:

d c b

a  0,75đ

Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA.

a. Chứng minh: CD // AB.

b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N . Chứng minh rằng: ABH = CDH.

c. Chứng minh: HMN cân.

Giải:

a/ Chứng minh CD song song với AB.

Xét 2 tam giác: ABK và DCK có:

0,25đ BK = CK (gt)

D Kˆ C A Kˆ

B  (đối đỉnh) 0,25đ

AK = DK (gt) 0,25đ

A

B D

M N

K

C H

(5)

 ABK = DCK (c-g-c) 0,25đ

 DCˆKDBˆK; mà ABˆCACˆB90⁰ACˆDACˆBBCˆD90⁰ 0,25đ

 ACˆD90⁰ BAˆC AB // CD (AB  AC và CD  AC). 0,25đ b. Chứng minh rằng: ABH = CDH

Xét 2 tam giác vuông: ABH và CDH có:

0,25đ BA = CD (do ABK = DCK)

AH = CH (gt) 0,25đ

 ABH = CDH (c-g-c) 0,50đ c. Chứng minh: HMN cân.

Xét 2 tam giác vuông: ABC và CDA có:

0,25đ AB = CD; ACˆD90⁰ BAˆC; AC cạnh chung:  ABC = CDA (c-g-c)

 ACˆBCAˆD 0,25đ

mà: AH = CH (gt) và MHˆANHˆC (vì ABH = CDH) 0,50đ

 AMH = CNH (g-c-g) 0,50đ

 MH = NH. Vậy HMN cân tại H 0,50đ Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số có dạng abcabcluôn chia hết cho 11.

Giải:

Ta có: abcabc = a.10⁵ + b.10⁴ + c.10³ + a.10² + b.10 + c 0,25đ

= a.10²(10³ + 1) + b.10(10³ + 1) + c(10³ + 1) 0,50đ

= (10³ + 1)( a.10² + b.10 + c) 0,50đ

= (1000 + 1)( a.10² + b.10 + c) = 1001( a.10² + b.10 + c) 0,25đ

= 11.91( a.10² + b.10 + c) _ 11 0,25đ

Vậy abcabc_ 11 0,25đ

Hết